Coordenadas Polares

1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD FERMIN TORO
FACULTAD DE INGENIERIA
ESCUELA DE TELECOMUNICACIONES
COORDENADAS POLARES
AUTOR:
PEROZA N., WILMER E.
C.I.V-25.177.702
TUTOR: DOMINGO MENDEZ
SAIA A.

2. LAS COORDENADAS POLARES
Las coordenadas polares o sistemas polares son un sistema de
coordenadas bidimensional en el cual cada punto del plano se determina por una distancia y
un ángulo, ampliamente utilizados en física y trigonometría.
De manera más precisa, se toman: un punto O del plano, al que se le llama origen o polo, y
una recta dirigida (o rayo, o segmento OL) que pasa por O, llamada eje polar (equivalente al eje x del
sistema cartesiano), como sistema de referencia. Con este sistema de referencia y una unidad de
medida métrica (para poder asignar distancias entre cada par de puntos del plano), todo punto P del
plano corresponde a un par ordenado (r, θ) donde r es la distancia de P al origen y θ es el ángulo
formado entre el eje polar y la recta dirigida OP que va de O a P. El valor θ crece en sentido
antihorario y decrece en sentido horario. La distancia r (r ≥ 0) se conoce como la «coordenada radial»
o «radio vector», mientras que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo polar». En el caso
del origen, O, el valor de r es cero, pero el valor de θ es indefinido. En ocasiones se adopta la
convención de representar el origen por (0,0º).

3. La integral definida es una herramienta útil
en las ciencias físicas y sociales, ya que muchas
cantidades de interés en dichas ciencias pueden
definirse mediante el tipo de suma que se presenta
en la integral definida. Antes de estudiar casos
específicos en que se utiliza la integral definida,
daremos las siguientes definiciones:
Definición: Recibe el nombre de partición de un intervalo cerrado [a, b] un conjunto de
intervalos cerrados: {[x0, x1], [x1, x2], [x2, x3], . . . , [xn−2, xn−1], [xn−1, xn]} que posee las
propiedades: 1. [x0, x1] ∪ [x1, x2] ∪ . . . ∪ [xn−2, xn−1], [xn−1, xn]} = [a, b] 2. [xi−1, xi ] ∩ [xi , xi+1] =
xi con i ∈ {1, 2, . . . , n} 3. [xj−1, xj ] ∩ [xk, xk+1] = ∅ a menos que k = j o j − 1 = k + 1.

4. Integral de Riemann.
Vamos a definir la integral de una función cualquiera, f(x), en un intervalo [a, b], con la única
condición de que esté acotada. Se toman todas las funciones escalonadas g(x) por defecto, y todas
las funciones escalonadas h(x) por exceso, es decir, g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) cuando x ∈ [a, b]. En estas
condiciones, si existe un único número I que cumpla
∫ 𝑔
𝑏
𝑎
( 𝑥) 𝑑𝑥 ≤ ḷ ≤ ∫ ℎ( 𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
este número l se le llama integral de f(x) entre a y b.
Se representa: ḷ = ∫ 𝑓( 𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 , y se lee “integral desde a hasta b, de f(x), diferencial de x”.
Teorema:
Toda función continua en un intervalo es integrable en dicho intervalo.

5. Teorema Fundamental del Cálculo
Si f(x) es integrable en el intervalo [a, b], su función área, A(t), se define de la siguiente
forma: 𝐴( 𝑡) = ∫ 𝑓( 𝑥)
𝑡
𝑎
𝑑𝑥 ∀ 𝑡 ∈ [ 𝑎, 𝑏]. En estas condiciones A(t) f (x)dx ∀t ∈[ ] a,b . En estas
condiciones, si f es continua en [a, b], la función A es una primitiva de la función f en [a, b].
Cuando vimos la suma de Riemann, observamos la forma de calcular el área de una región
limitada porcontornos incluyendo una función que dijimos que erapositiva. Si la función es negativa,
significa que el área se está midiendo hacia abajo y para evitar esto, tomamos la función con su
respectivo signo.
Esta vez vamos acalcular áreas tambiénlimitadas porcurvas,pero usaremos directamente
el límite de la suma de Riemann, es decir la integral definida, ya que ahora conocemos diferentes
técnicas para desarrollar estas integrales, el cálculo lo extenderemos a funciones menores que cero y
será más fácil cuando aprendamos aaplicarlas.Esto nos permite recordarla interpretación geométrica
de la integral, que no es más que un cálculo de área, pues es un producto de dos dimensiones.
GRAFICAS DE ECUACION POLAR
Las gráficas en coordenadas polares están dadas en la forma En principio
entonces paratrazar una curva hay que hacer una tabla dándole valores a y encontrando los valores
correspondientes de . Sin embargo al igual que en coordenadas rectangulares hay cosas que
permiten hacer la gráfica en una forma más racional evitando hacer tantos puntos.
Usted debe ser consciente de que la apariencia de la gráfica en calculadora depende de la
ventana de graficación especificada x-y, y también del rango de los valores mostrados de θ. Cuando

6. se dibujan gráficas en coordenadas polares, debe identificarse algunos valores mostrados de θ
correspondientes a r = 0 o donde r alcanza un máximo o un mínimo. Además,debe identificar el rango
de valores de θ que producen una copia de la curva polar, cuando ésta es apropiada. Se deduce que
muchas curvas familiares tienen ecuaciones polares sencilla
Con estos conceptos básicos de localización de puntos en el sistema de coordenadas
polares, podemos graficar funciones y no sólo puntos. En este tipo de funciones la variable
independiente es θ y la dependiente es r, así que las funciones son del tipo r = r(θ). El método para
graficar estas funciones es el siguiente, primero graficamos la función r = r(θ) en coordenadas
rectangulares y a partir de esa gráfica trazamos la correspondiente en polares. Guiándonos con la
dependencia de r con respecto a θ.
Recordemos que θ es la variable independiente y generalmente va de 0 a 2π.
INTERSECCIÓN DE LAS GRAFICAS COORDENADAS
Ahora que ya conoces las coordenadas polares y observó una variedad de gráficas de las
mismas, el próximo paso consiste en extender las técnicas del cálculo al caso de intersección de
ecuaciones en dichas coordenadas polares, con el propósito de buscar todos los puntos de dicha
intersección. Puesto que un punto puede representarse de formas diferentes en coordenadas polares,
debe tenerse especial cuidado al determinar los puntos de intersección de dos gráficas polares, por lo
que se sugiere realizar el dibujo de las ecuaciones,inclusive cuando más adelante calculemos el área
de una región polar.
De igual forma el problema de hallar los puntos de intersección de dos gráficas polares con
el de encontrar los puntos de colisión de dos satélites en órbita alrededor de la tierra, dichos satélites
no entrarían en colisión en tanto lleguen a los puntos de intersección en tiempos diferentes (valores
de q). La colisión se producirá solamente en aquellos puntos de intersección que sean "puntos
simultáneos", aquellos a los que se llega en el mismo instante (valor de q).

7. Las intersecciones con el eje polar, cuando existen, pueden obtenerse resolviendo la
ecuaciónpolardadapara r, cuando a LJ se le asignan sucesivamente los valores 0,p,2p,y engeneral
np, donde n es un entero cualquiera. Análogamente, si existen algunas intersecciones con el eje
normal, puedenobtenerseasignado aLJlos valores de np/2,donde nes un número impar cualquiera.
Si existe un valor de LJ para el cual r=0, la gráfica pasa por el polo. 2. Simetría. La simetría de una
curva se analiza mediante las siguientes transformaciones.Simetría conrespecto alLa ecuaciónpolar
no se altera o se transforma en una ecuación equivalente Eje polar a) se sustituye a LJ por – LJ o b)
se sustituye a LJ por p-LJ y r por -r Eje normal a) se sustituye a LJ por p-LJ o b) se sustituye a LJ
por -LJ y r por -r Polo a) se sustituye a LJ por p-LJ b) se sustituye a r por -r 3. Extensión del lugar
geométrico. Para determinar la extensión de la gráfica de un lugar geométrico dado en coordenadas
polares, primero se despeja a r en función de LJ, de modo que tenemos r=fLJ)
Si r es finito para todos los valores de LJ, se trata de una curva cerrada. Si r es infinita para
ciertos valores de LJ la gráfica no es una curva cerrada. Para valores de LJ que hacen a r compleja
no hay curva; tales valores constituyen intervalos excluidos dellugar geométrico. Si la gráfica es una
curva cerrada, es útil, determinar los valores máximo y mínimo de r.

8. Ejemplos:

9. CALCULO DEL ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA EN COORDENADAS
El desarrollo de una fórmula para el área de una región polar va paralelo al de zonas en
sistema de coordenadas rectangulares, pero con sectores de un círculo en lugar de rectángulos como
elementos básicos de dicha área. Consideremos la función dada por r= f(), donde f es continua y
no negativa en el intervalo   ,   . La región limitada por la gráfica para hallar el área de esta
región, partimos el intervalo   ,   en n subintervalos iguales    <  <  <........<  <  = 
A continuación aproximamos el área de la región por la suma de las mismas de los n sectores.
Luego de haber notado el teorema anterior, podemos decir que usar la fórmula para hallar el área
de una región limitada por la gráfica de una función continua no negativa. Sin embargo, no es
necesariamente válida si f toma valores positivos y negativos en el intervalo   ,   .
Algunas veces lo más difícil a la hora de hallar el área de una región polar es determinar los límites
de integración.
Ahora, bien cuando se quiere hallar el área comprendida entre dos gráficas polares, se
emplea el procedimiento conocido de sustraer un área de otra. Aunque en el siguiente ejemplo los
cálculos no fueron sencillos, con frecuencia, determinar los límites de integración es la parte más
desafiante para hallar el área de una región polar.
Ejemplo 1.- Hallar el área de la región A comprendida dentro del caracol cos21r y el
exterior del circulo 2r
Solución: Si observamos la figura se puede apreciar las dos ecuaciones donde el área A
entre ellos esta sombreada. Los puntos de intersección del círculo y el caracol están dados por:
2cos21  , igualando
0cos221 
021  cos , entonces: 2 cos  = 1, luego
2
1
cos  , por lo que
2
1
cos 1
 y además
3/

10. Estos valores son los límites de integración que se necesitan, luego:
   
 
)
2
(ucuadradasUnidades
3
π3
2
53
π
0
)θsen2θ(4cosθ
3
π
0
Cálculo.dellFundamentaTeoremayLinealidadd12cos2θ4cosθ
3
π
0
dθ3θ
2
4cos4cosθ
3
π
3
π
dθ
2
2
2
2cosθ1
2
1
A

 
 






EJEMPLO 2. - Hallar el área interior del limacon r = 3 + 2cos  y exterior a la circunferencia 2r 
Solución: Primero debe resolverse la ecuación igualando ambas ecuaciones: 2cos23 
. Observe que como cos es periódico, existen muchas soluciones para esta ecuación. En
consecuencia, es necesario recurrir a la gráfica para determinar en cuales soluciones esta interesado.
En este caso, se desea hallar las soluciones menores negativas y las más pequeñas positivas.
Observando la figura, cuidadosamente donde solo se ha representado solo aquellas porciones de las
gráficas correspondientes a  entre las primeras dos soluciones positivas.

11. Esta porción de las gráficas corresponde al área exterior a la limacon e interior a la
circunferencia.Como se tiene:
2
1
cos

 ,lo cual ocurre en
3
2
y
3
2 


 a partir delteorema
mencionado anteriormente, el área encerrada por la porción de la limacon en este intervalo esta dada
por:
 
6
44333
dcos23
2
13
2
3
2
2 



. De manera semejante, el área encerrada por la
circunferencia en este intervalo esta dado por:
  3
38
d2
2
1
3
2
32
2 



, el área interior de la limacon y exterior a la circunferencia esta dada por:
    

3
2π
3
2π
2
3
2π
32π
2
θd2
2
1
θdθ2cos3
2
1
, por lo que 2,24
6
28333
3
8
6
44333






los
demás detalles rutinarios se dejan al estudiante.

12. TIPOS DE GRAFICAS DE COORDENADAS POLARES
ROSA DE CUATRO HOJAS/PÉTALOS
Este tipo de gráfico se conoce como Rosa de cuatro pétalos. Es fácil ver cómo se forma una figura
parecida a una rosa con cuatro pétalos. La función para este gráfico es:
ROSA DE TRES HOJAS/PÉTALOS
Presentamos ahora el gráfico llamado Rosa de tres pétalos. Analógicamente al gráfico de la rosa
de cuatro pétalos, este gráfico es parecido pero tiene sólo tres hojas o pétalos en su forma gráfica.
Un ejemplo es el siguiente:

13. ROSA DE OCHO HOJAS/PÉTALOS
El siguiente gráfico es como los dos anteriores, pero ahora con ocho hojas o pétalos, tal como lo
vemos en la siguiente función graficada:
UNA ROSA DENTRO DE OTRA
Un caso interesante y especial que se puede dar es el que se muestra en la gráfica que vemos a
continuación, donde se aprecia una rosa de tres pétalos precisamente dentro de otra rosa de tres
pétalos u hojas. Veamos:

14. CARDIOIDES
A continuación se presenta el tipo de gráfico que se denomina cardioide. Para este ejemplo se
presenta una cardioide simétrica con respecto al eje poplar y que apunta hacia la derecha. Podemos
observar que se distingue una figura como de un corazón, razón por la cual se llama este gráfico
cardioide. La función que lo ha generado es:
Habiendo visto el primer gráfico de una cardiode, se presenta otro gráfico de este tipo pero ahora
apunta hacia arriba, tal como lo vemos a en el gráfico de la siguiente función:

15. LIMACONES O CARACOLES
Limaçon viene del latín limax que significa caracol. El caracol de Pascal, lo descubrió Etienne
Pascal padre de Blaise Pascal en la primera mitad del siglo XVIIy el nombre se lo dio Roberval en
1650 cuando la usó como ejemplo para mostrar su método para trazar tangentes. Un limaçon o las
gráficas polares que generan limaçones son las funciones en coordenadas polares con la forma:
r = 1 + b cos
Ahora veamos un ejemplo concreto de un gráfico de este tipo,donde se muestra un caracol que
apunta hacia la derecha y que tiene un lazo interior. La función para este gráfico es la siguiente:
Veamos otro gráfico de una función que tiene como resultado un caracol con un lazo interior pero
que a diferencia del gráfico anterior, este apunta hacia abajo. Veamos:

16. Continuando con la gráfica de caracoles o limacones, hay otro tipo que es el caracol con hendidura
o caracol con concavidad. Como podremos observar, este no tiene lazo, y está dirigido hacia la
izquierda. Veamos a continuación el gráfico que resulta, el cual apunta hacia la izquierda:
Ahora se muestra un gráfico igual al anterior con la diferencia que ahora está dirigido hacia la
derecha, de modo que tenemos un limaçon o caracol con hendidura o concavidad que está
dirigido hacia la derecha:
Antes de terminar el tema de los limacoides o caracoles, veamos otro gráfico diferente a los otros,
que es conocido como caracol convexo o caracol ovalado, el cual está apuntando hacia arriba,
como lo vemos en el gráfico siguiente:

17. CIRCUNFERENCIA
Esta nueva función nos presenta una forma conocida por todos y es precisamente la
circunferencia, la cual será formada en el gráfico polar mediante la siguiente función:
Ahora veamos una nueva gráfica que resulta en una circunferencia, con la única diferencia que
ahora aparece arriba del rayo inicial (o del eje x que todos conocemos), a diferencia del gráfico
anterior, que la circunferencia aparecía abajo del radio inicial. La función con su gráfico es esta:

18. LEMNISCATA
En matemáticas, una leminscata es un tipo de curva descrita por la siguiente ecuación en
coordenadas polares:
La representación gráfica de esta ecuación genera una curva similar a . La curva se ha
convertido en el símbolo delinfinito y es ampliamente utilizada en matemáticas. El símbolo en sí
mismo es, a veces,llamado lemniscata. Un ejemplo de esta función con su respectivo gráfico lo
apreciamos a continuación:

19. Tenemos otro ejemplo de lemniscata, pero ahora aparece a lo largo del eje x o en sentido horizontal:

20. Finalmente se muestra un gráfico como los dos anteriores, donde aparece una lemniscata, con la
única diferencia que ahora se muestra en sentido vertical. Veamos:
LA NEFROIDE DE FREETH
Esta es una curva muy reciente si hablamos relativamente a las demás. Hay curvas polares que
tienen varios siglos de existir, mientras que esta que trataremos en este momento es bastante
reciente, pues fue desarrollada por el matemático inglés T.J. Freeth, quien descubrió esta curva en
1879. Un ejemplo se aprecia en este gráfico:

21. CONCOIDES DE NICÓMENES
Nicómenes nació sobre el año 280 antes de Cristo en Grecia y murió en el año 210 a.C. Se sabe
muy poco de su vida pero es famoso por su "Las líneas de la Concoide". Veamos un gráfico en
coordenadas polares de la concoide de Nicómenes:
Veamos un nuevo ejemplo de una concoide de Nicómenes. La gráfica anterior está hacia la derecha,
mientras que la que se presenta a continuación tiene una dirección hacia arriba. Veamos:

22. Un tercer ejemplo de Concoide de Nocómenes lo tenemos en el gráfico que se muestra a
continuación, donde su forma se ve diferente a los dos gráficos anteriores de este mismo tipo debido
a que se le está restando un número uno a la función. El mismo gráfico veríamos si se le estuviera
sumando uno a la función. El gráfico quedará así:

23. CISOIDE DE DIOCLES
Esta es una curva muy famosa y útil en el cálculo. Fue utilizada por un griego llamado Diocles para
resolver el problema de la duplicación del cubo.El gráfico aparece de esta forma:
PARÁBOLA
Esta figura es muy conocida en el mundo del Cálculo. Tal como podemos generar funciones de
parábolas en coordenadas cartesianas, lo podemos hacer también en coordenadas polares.Veamos
el ejemplo:

24. ESPIRAL
Este gráfico tiene la forma de una espiral, tal como su nombre lo indica. La espiral más simple la
podemos encontrar al mirar una cuerda enrollada sobre símisma. La forma de una espiral la vemos
en una serpiente enrollada por ejemplo.
El gráfico que se presenta a continuación es también conocido como Espiral de Arquímedes,
precisamente en honor Arquímedes,quien fue un notable físico y matemático griego que al ser
fascinado por la belleza de esta curva, realizó un estudio profundo sobre sus propiedades
matemáticas en su escrito titulado Sobre las espirales, escrito en el siglo III antes de Cristo.
Para mostrar el gráfico que se forma, presentamos la siguiente función en coordenadas polares que
formará la espiral polar siguiente:

25. Veamos ahora otra gráfica espiral conocida como espiral de Fermat, pues fue examinada por
Fermat en 1936. Su ecuación es r² = a² + . En el siguiente ejemplo se muestra una función y su
respectiva gráfica que nos permiten conocer la espiral de Fertat:

26. Un segundo gráfico espiral lo tenemos en la función que veremos ahora, que podríamos encontrarla
con dos nombres refiriéndose al mismo gráfico. Ambos nombres equivalen a lo mismo como
podremos apreciar . Dichos nombres con los que se conoce a esta espiral son: espiral recíproca o
espiral hiperbolica. Tendremos entonces:
Otro caso que se puede dar es la espiral logarítmica, que se ilustra mediante la siguiente función y
su respectivo gráfico: