algebra

1. Universidad Pública de El Alto
Área de Ingeniería “Desarrollo Tecnológico Productivo”
INGENIERÍA ELECTRÓNICA, INGENIERÍA TEXTIL, INGENIERÍA AMBIENTAL, INGENIERÍA ELÉCTRICA, INGENIERÍA AUTOTRÓNICA E INGENIERÍA EN PRODUCCIÓN EMPRESARIAL
WJHM/2020
PRACTICA GENERAL N°2
ALGEBRA DISCRETA (MAT-100) 2-2020
ALGEBRA DE BOOLE
1. Demostrar:
a) x y + x 𝑦 + x y = x y
b) AB + AC + BCD = AB + AC
2. Simplifique las siguientes expresiones booleanas:
𝐹 = (𝑥 + 𝑦) ∙ (𝑥 ∙ 𝑦 + 𝑧) 𝐹 = 𝑦 + 𝑧
𝐺 = ( 𝑥 ∙ 𝑦 + 𝑥 ∙ 𝑧) ∙ (𝑥 + 𝑦 ∙ 𝑧) 𝐺 = 𝑥 + 𝑧
𝐻 = 𝑥𝑦 + (𝑥 + 𝑦)𝑧̅ + 𝑦 𝐻 = 𝑦 + 𝑥𝑧̅
𝐼 = 𝑦𝑧 + 𝑤𝑥 + 𝑧 + [𝑤𝑧(𝑥𝑦 + 𝑤𝑧)] 𝐼 = 𝑤𝑥 + 𝑧
𝐽 = 𝑎 + 𝑏 + (𝑎 + 𝑏 + 𝑐) 𝐽 = 𝑎 + 𝑏
𝐾 = 𝑥 + 𝑥 𝑥 + 𝑥 𝑥 𝑥 + 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 + ⋯ 𝐾 = 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + ⋯
𝐿 = (𝐴 + 𝐵)(𝐴̅)+(𝐴 + 𝐶)(𝐴 + 𝐵) + 𝐴 ⊕ 𝐵 𝐿 = 𝐴 + 𝐵+𝐶̅
𝑀 = 𝐶 𝐷 + 𝐸 𝑀 = (𝐶 + 𝐷)(𝐶 + 𝐸)
𝑁 = 𝐴 + (𝐵𝐶) 𝑁 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶
𝑂 = 𝑎 + 𝑏 𝑐 + 𝑑 𝑒 + 𝑓 𝑂 = (𝑎 + 𝑏 𝑐)(𝑑 + 𝑒 + 𝑓)
3. Aplicando las leyes de De Morgan, obtener el complemento de las siguientes funciones:
a) 𝑓 = (𝑥 + 𝑦) ∙ (𝑦 ∙ 𝑧 + 𝑥 ∙ 𝑦) 𝑓 = 𝑥 + 𝑦 ∙ 𝑧
b) 𝑔 = 𝑥 ∙ 𝑦 ∙ (𝑥 + 𝑧) ∙ (𝑦 ∙ 𝑧 + 𝑥 ∙ 𝑦) 𝑔 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑥 ∙ 𝑧
4. Utilizando las leyes de De Morgan, obtener una expresión en forma de sumas de productos para las
siguientes funciones:
a)
(𝑥 + 𝑦)(𝑥𝑦 + 𝑧)
b)
𝐵𝐶 + 𝐴 + (𝐵 + 𝐶̅)𝐴̅ 𝐶𝐷
5. Encuentre cuál de las cuatro funciones lógicas de tres variables 𝑓(𝐴, 𝐵, 𝐶) dadas a continuación
representa una función lógica diferente de las otras tres.
a).- m1 + m3 + m4 b).- 𝐴 + 𝐶 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 c).- 𝐴(𝐵 + 𝐶) + 𝐴̅𝐶̅ d) .- 𝐴̅𝐶 + 𝐵𝐶̅

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6. Hallar el 𝑓𝑛𝑑, 𝑓𝑛𝑐, ∑ 𝑚, ∏ M de:
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑥𝑦
b) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 + 𝑦(𝑥 + 𝑧)
c) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑦𝑧 + 𝑥𝑧)(𝑥𝑦 + 𝑧)
d) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥𝑦 + 𝑥𝑧)(𝑥 + 𝑦𝑧)
e) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 + [𝑦 + (𝑥𝑦 + 𝑥𝑧)]
f) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦𝑧)(𝑥𝑦 + 𝑥𝑧)(𝑦 + 𝑥𝑦𝑧)
g) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥𝑦 + 𝑥𝑧)(𝑥𝑦𝑧 + 𝑦𝑧)(𝑥𝑦𝑧 + 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦𝑧 + 𝑥𝑦𝑧)
h) 𝑓(𝑤, 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑤𝑦 + (𝑤𝑦 + 𝑧)(𝑥 + 𝑤𝑧)
i) 𝑓(𝑤, 𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑤𝑥𝑦𝑧 + 𝑥𝑦𝑧)(𝑤𝑦𝑧 + 𝑥𝑦𝑧 + 𝑦𝑥𝑧)(𝑤𝑧 + 𝑥𝑦 + 𝑤 𝑦𝑧 + 𝑥𝑦𝑧 + 𝑥𝑦𝑧)
j) 𝑓(𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷) = 𝐴 + 𝐵𝐶
7. Para cada una de las siguientes funciones, use un mapa de Karnaugh para encontrar una
representación como suma minimal de productos.
a) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ∑ (0,2,4,7) R. 𝑥 𝑧 + 𝑦 𝑧 + 𝑥𝑦𝑧
b) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ∑ (1,2,5,6) R. 𝑦𝑧 + 𝑦𝑧
c) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑢) = ∑ (5,6,8,11,12,13,14,15) R. 𝑥 𝑧 𝑢 + 𝑦 𝑧 𝑢 + 𝑥𝑧𝑢 + 𝑦 𝑧 𝑢
d) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑢) = ∑ (0,1,2,3,6,7,14,15) R. 𝑥 𝑦 + 𝑦𝑧
e) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑢, 𝑣) = ∑ (1,2,3,4,10,17,18,19,22,23,27,28,30,31)
R. 𝑥 𝑦 𝑧 𝑢 𝑣 + 𝑥𝑦𝑧𝑣 + 𝑥 𝑧 𝑢 𝑣 + 𝑦 𝑧 𝑣 + 𝑥 𝑦 𝑢 + 𝑥𝑢𝑣
f) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑢, 𝑣) = ∑ (0,3,5,7,8,12,13,15,16,21,23,24,28,29,31)
R. 𝑥 𝑦 𝑢 𝑣 + 𝑥 𝑢 𝑣 + 𝑧 𝑢 𝑣 + 𝑧𝑣
8. Para la función booleana 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑢) = ∑ (7,9,10,11,14,15)
a) Hallar 𝑓 como producto de sumas (𝑓. 𝑛. 𝑐..)
b) Hallar 𝑓 como sumas de productos (𝑓. 𝑛. 𝑑.)
c) Simplificar la 𝑓. 𝑛. 𝑑.
d) Construya la red de puertas lógicas de la 𝑓. 𝑛. 𝑑. simplificada
9. Encuentre la forma normal disyuntiva de cada función y dibuje el circuito combinatorio correspondiente
(𝑓. 𝑛. 𝑑.).
R.

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10. En los siguientes ejercicios, escriba la expresión booleana que representa el circuito combinatorio,
escriba la tabla lógica y escriba la salida de cada compuerta.
R. R.
11. Demuestre que los circuitos combinatorios son equivalentes:

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R.
4.
12. Obtener el circuito o red simplificada de:
a)
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦𝑧 + 𝑥𝑦𝑧 + 𝑥𝑦𝑧
b)
c)
𝑅. 𝐴̅ + 𝐵
d)
𝑅. 𝑌 + 𝑍

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13. Encuentre la función booleana 𝑓: 𝐵 → 𝐵 en 𝑓. 𝑛. 𝑑. (forma normal disyuntiva) y 𝑓. 𝑛. 𝑐. (forma normal
conjuntiva) que generan las tablas de verdad:
x y z f g
0 0 0 0 1
0 0 1 0 0
0 1 0 0 1
0 1 1 1 0
1 0 0 1 1
1 0 1 0 0
1 1 0 0 1
1 1 1 1 0
x y z h j
0 0 0 1 1
0 0 1 1 0
0 1 0 1 1
0 1 1 0 1
1 0 0 1 1
1 0 1 1 0
1 1 0 0 1
1 1 1 0 0
14. Escriba expresiones booleanas para describir los circuitos de salidas múltiples:
a)
b)
c)
15. En una casa hay dos puertas, una trasera y una delantera. En ella se ha montado un sistema de
alarma, de modo de que cuando se abre cualquiera de las dos puertas la alarma se activa, escribe la
tabla de verdad y el circuito lógico.
16. Un sistema de alarma está constituido por cuatro detectores denominados A, B, C y D. El sistema
debe activarse cuando se activen 3 o 4 detectores. Si solo se activan 2 detectores es indiferente la
activación o no del sistema. Por último, el sistema no deberá activarse si se dispara un único detector
o ninguno. Por razones de seguridad el sistema se deberá activar si A=0, B=0, C=0 y D=1. Diseñar el
circuito con compuertas lógicas.
17. Se desea instalar un circuito digital con cuatro entradas y dos salidas. Una de las salidas toma el valor
lógico “1” solo cuando existe mayoría de entradas a “1”. La otra salida se activa solo si hay igual
número de entradas a”1” que a “0”
a).- Realizar la tabla de verdad
b).- Simplifique la función
c).- Represente la función con puertas lógicas