Logaritmos e Função Logarítmica

Formandos da Escola Profissional de Estaquinha
_Bùzi
em uma visita à Escola Agrária de
Gorongosa
Y|Ä|Ñx `tà{âááÉ _âÇtäÉ

Ficha Técnica: Matemática Real - 10ª Classe/ Logaritmo e Função logarítmica.
Autor: Filipe Mathusso Lunavo
Revisão dos Exercícios: Domingos Joaquim
Estaquinha, Búzi - Sofala/ Moçambique/ Setembro de 2014
Filipe Mathusso Lunavo Página 2
Logaritmo e Função Logarítmica

INTRODUÇÃO
Os logaritmos que hoje estudamos, a sua invenção e definição foram dada por
John Napier (1550-1617) e aperfeiçoado pelo inglês Henry Briggs (1561
1561-1630).
A sua origem é grega e significa a razão dos números
e “aritmo”, número. Em 1614 Neper publicou o seu trabalho sobre logaritmos
no livro “Descrição das Maravilhosas Regras dos Logaritmos” no qual expõe o
uso dos logaritmos.
– “logos” significa razão
Através dos logaritmos, pode-se transformar as operações de multiplicação
em soma, de divisão em subtração, entre outras
Contudo, pode-se dizer que o nome
para expoente, conforme veremos a seguir.
John Napier ( 1550-1617),
barão de Marchiston
(Escócia)
logaritmo é uma nova denominação
APLICAÇÕES DOS LOGARITMOS NO QU
transformações possíveis.
QUOTIDIANO
Os logaritmos possuem inúmeras úmeras aplicações no cotidiano.
Na Física é utilizado para medir a intensidade do som
Na Química utilizam as funções logarítmicas para calcular o pH
(potencial hidrogeniônico) de uma solução.
som;
Na computação, é utilizado o logaritmo na base 2 para representar
dígitos de informação (bits).
Na geologia, os logaritmos permitem medir a
amplitude (ou a “força”)
de algum abalo sísmico através da Escala Richter
Richter.
Na medicina para calcular as taxas de natalidade e mortalidade de
indivíduos de uma poulção (plantas e animais), assim como para
calcular a propagação de doenças em sistemas ipidemológicos.
ipidemo
Para não ter problemas na
resolução ou na percepção dos
Logaritmos, vamos lembrar alguns
casos de potências, como os
seguintes:
25 =
am ´
am :
a-2 =
1 -

1
2
2

 =



ou
 1
-
2




 a
4
1
 ´ 
1
 =  
2
´ 2 = 2 ´ 2 = 2 + = 2
30 =
a 0 o seu resultado é 1.
a1 =
125 =
- -
2 4
1

Vamos decompor o 125.
125
Henry Briggs (1561-
1630) - Inglês
25
5
1
RECORDE
2´ 2´ 2´ 2´ 2 = 32
an = am+n
an = am-n
2 1


2 ( 4) 6
2
2
2
2
2
- + - -






  ´ =
4 2 4 2 4 6
1 porque qualquer nº elevado
a ou a = a
53 porque:
Logo:
125 = 53
5
5
5

CONCEITO DE LOGARITMO
Dados os números reais b ( 0 ≠ 1), N (positivo), chama-se logaritmo do número N, na base b, ao número x que
é necessário elevar a b para se obter N, isto é, o logaritmo que satisfaz a relação bx = N, dizemos que x é o logaritmo de N
na base b. Isto é expresso simbolicamente da seguinte forma: logbN = x.
Onde: N- é o logaritmando ou antilogaritmo;
b- é a base do logaritmo e;
x- é o logaritmo.
Exemplos:
log 32 5 2 = porque 32 = 25 . Aqui podemos observar o seguinte: logbN = x 32-N; 2-b e 5-x e como
sabemos que 25 = 2´ 2´ 2´ 2´ 2 = 32
log 2 1 2 = porque 2 = 21
log 1 0 5 = porque 50 = 1
Nota 1: Quando a base do sistema de logaritmos é igual a 10 , usamos a expressão logaritmo decimal e na representação
simbólica escrevemos somente logN ao invés de log10N. Assim é que quando escrevemos logN = x , devemos concluir pelo
que foi exposto, que 10x = N.
a) log10=1 porque 101 = 10.
b) log100= 2 porque 102 = 100
Nota 2: Existe também um sistema de logaritmos chamado neperiano (em homenagem a John Napier - matemático
escocês do século XVI, inventor dos logaritmos), cuja base é o número irracional e = 2,7183... e indicamos este logaritmo
pelo símbolo ln. Assim, M M e log = ln . Este sistema de logaritmos, também conhecido como sistema de logaritmos
naturais, tem grande aplicação no estudo de diversos fenômenos da natureza.
a) lne =1 b) ln 4 log 4 e e =

CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO DE LOGARITMO
A definição dos logaritmos tem como consequências algumas condições a que os logaritmos devem sempre obedecer.
1ª Condição: log 1 = 0 b . Quando o logaritmando é igual a 1 a solução é sempre nula, pois de acordo com a fórmula bx =
N, qualquer número elevado a 0 tem como soulção 1.
Exemplos: * log 1 0 3 = * log 1 0
1 = * log 1 0 1000000 =
2
2ª Concição: log b = 1 b . Quando a o valor do logaritmando for igual ao valor da base, a solução será 1. Porque pela
fórmula bx = N, teremos b1 = b
1
1 = * log 7 1 7 = * log 32 1 32 =
Exemplos: * 1
3
log
3
b log = , então pela fórmula teremos bm = bm
3ª Condição: Se bm m
1
-
3
= =
 
= - 1  5 = * log 81 log 34 4
3 3 = = * 3
Exemplos: * log 53 3
4
3
log 64 log 4 log
1
4
1
4
4

4ª Condição: Se b a a b log = ou seja: b elevado ao logaritmo de a na base b é igual a a. Porque? Porque: b a a b log =
então ba a
b log =
4 4 = = *5log 25 log 525 25
Exemplos: * 4log 3 log 43 3
5 5 = =
5ª Condição: Se a c a c b b log = log Û = . Esta propriedade é muito utilizada na solução de exercícios envolvendo
equações onde aparecem logaritmos (equações logarítmicas).
Exemplos: * log log 5 5
a = Û a = * log 27 = log c Û c =
27 1 1
3 3 2
2
PARTICULARIDADES NO USO DE LOGARITMO
O uso dos logaritmos tem algumas restrições tais como:
1. Para que o logaritmo exista, é necessário que o logaritmando não seja negativo, isto é,
0.
Exemplo: log (- 25) = x 5 , pela definição de logaritmo, teremos: (- 25) = 5x , logo é impossível calcular o
logaritmo (valor de x), pois qualquer potência de base positiva o resultado é sempre positivo.

2. Para que o logaritmo exista, é necessário que a base seja diferente de 1, ou seja b ¹ 1.
Exemplo: log 4 = x vamos mostrar porque não é possível. Observa a tabela:
1 x 1 2 3
Vamos agora tomar os valores da tabela, substituindo no lugar de x, para melhor sustentarmos a nossa
explicação de porque não é possível achar o logaritmo.
Se x=1 pela fórmula teremos: 11 = 1 ¹ 4
Se x= 212 = 1´1 = 1 ¹ 4
Se x=3 13 = 1´1´1 = 1 ¹ 4
Logo é impossível calcular o valor de x nesta equação, porque qualquer potência de 1 é sempre igual a 1.
3. Para que o logaritmo exista, é necessário que a base não seja nula nem negativa ou seja 0 ≠ 1.
Exemplo: ( ) ( )x log 27 x 27 3 3 = ⇒ = - - , neste contesto é impossível calcular o valor de x, pois não nehuma
potência de base negativa (-3) é igual a 27.
Embora em alguns casos pode-se calcular, mas quando se trata de logaritmo, de acordo com a definição, não se
pode calcular ( veja a conclusão a seguir).
Ex 2: ( ) ( )x log 16 x 16 4 4 = ⇒ = - - Ex 3: ( ) ( )x log 216 x 216 6 6 = ⇒ = - -
Conclusão sobre as particularidades de uso de logaritmos:
Da definição de logaritmo, conclui-se que somente os números reais positivos possuem logaritmo.
PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS
1ª Propriedade:Logaritmo de um Produto
O logaritmo de um produto é igual a soma dos logaritmos dos fatores.
Simbolicamente: (m n) m n b b b log ´ = log + log
Exemplos:
 ´ = + = + =
Ex 1: ( )
4
2
log 9 81 log 9 log 81 log 3 log 3 log
1
3
1
3
2 ( 4) 2 4 6
- -
1
3

+  log
1
3
4
1
3
2
1
3
1
3
1
3
1
3
= - + - = - - = -





ou
1
6

 ´ = = =
-
( ) 6

6
= - 1 3
log 9 81 log 729 log 3 log
1
3
1
3
1
3
3

log (9 ´ 81) = log 9 + log 81 = log 3 2
+ log 34 = 2 + 4 =
6
Ex 2: 3 3 3 3 3
ou

log (9 81) log 729 3 3 ´ =
3 = =
2ª Propriedade: Logaritmo de um Quociente
O logaritmo de uma fração
numerador da fração e do denominador
Simbolicamente:
64


log 4 4 - = 

m
Ex 1: log 64 log
ordinária é igual a diferença entre os logaritmos do
denominador.
m n

4 4 = - = - = ou
 
Prova:
log 4 4 = = 
log 4 1
64


log 2 2 - = 
Ex 2: log 64 

log 
= log 16 = 2 2 64
4
81


log 3 3 - =  
 
EX 3: log 81
3



log = 3  log 81 - log
3 3 
31 = 81
Û = ´
3
2 = 2
2 3
16

64
16

4



81
3

 

Prova:
Filipe Mathusso Lunavo
9 9
3
3
3
b log 
log 36 6
m 16 log 4 log 42 3 2 1
4
3
 =
41 = Û 
4 4
64
16


2 2 = - = - = ou
log
4 log 2 log 22 6 2 4
2
6
64
 =
2 = Prova: 16
log
24 4

24 Û 4


log 3 = log (3 4
) - log 3 = log 3 2
-
log 3 3 3 3 3
3
4
( ) 4
2
3 = - = lo - = -
3 log 3 log 3 3 log 3
(1)
3
2
3 3
4
Û 3 = ´ Û =
3 3
3 3
3
n
b b log log - = 
Página 7
= 16
= 2 -1 = 1 ou
1
2
2
4 2
2
2
(2)
= - = =

3ª Propriedade: Logaritmo de uma Potência
O logaritmo da patência é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência.
Ou Quando um logaritmo estiver elevado a um expoente, na próxima passagem esse expoente
irá multiplicar o resultado desse logaritmo.
Simbolicamente: x m x b
Exemplos:
log m
= log
b = 5
= =
3 3 Ex 1: log 243 log 3 5log 3 5 3
3
3
-
( ) 1
Ex 2: 
3
2


 = -  = = =

= - 1 4
3
log
2
1
4
3
log 64 log 4 log 4 log
1
4
2
1
4
2
1
4
1
4
4


3
3
 -
1 Prova 4 2 (4 3
) 64
4
2

= = = 

2 = = ´ = Podemos comprovar que está certo pela fórmula de logaritmo 28 = 256 ,
Ex 3: log 16 2log 24 2 4 8
2
2
como nós sabemos que 162 = 256 .
4ª Propriedade: Mudança de Base
Se soubermos o logaritmo de N na base b e desejamos obter o logaritmo de N numa base a,
essa mudança de base, muito importante na solução de exercícios, poderá ser feita de acordo
com a fórmula : x x b b m m log = log ¸log
Exemplos:
4 2 2 2 = ¸ = ¸ = = Prova: 43 = 64 Û 64 = 64
Ex 1: log 64 log 64 log 4 log 2 log 22 6 : 2 3
2
6
36 6 6 6 = ¸ = ¸ = ¸ =
Ex 2: log 1296 log 1296 log 36 log 6 log 62 6 2 3
6
6

5ª Propriedade: a b loga b =
Exemplos:
log4 64 = = ´ Ex 1: 4 4log 43 4 3
6ª Propriedade:
7 = =
log 3 49 7
1 ¸ =
4
log
72
+ - = + - = 
- - -
log =
N a
a
b
=
b N
4
log
a N b
b
log 49
4
3
3
5
log Û x =
a
log =
Exemplos:
Ex 1:
3
Ex 2: log ( 27 81) log
1
3
3
3
9
6
3
2
3
2
(3) (2)


7 =
1
1
27 log 81 3
8 = -
1. Calcule o valor de:
a) log9
log 81 log 81 9 3 = ¸
b) 3log
c) log 0,25 2 2 =a Û
5
9 = = ou
log 9 log 3 log 32 4 2 2
3 3 = ¸ = - =
log 2 3
2
d) 5 125
125
=
12
N 2
3
3

2
1
3
log
log 81
3
log 27
2
1
3
3
3
1
3

- = - =
1
6
6
Exercícios Resolvidos
81 log 92 2
3
4
1 3
2 2 = - = -
2 2
1
2
2
1
4
2
25
100
2
2 a = Û a = Û a = Û a = -
1
25
Û x = Û x = Û x =
 5
1
25
5
5
125
5
5

Página 9
-3 -

3
1
3
log
4
1
3



-


Ûa = -2
1
2
1
 x
2 Û - 2
´ 5 = 5



1
2
Û -
x = Û x = - Û x
= - 2
2
5 5 2
log 3
9
3
log
9
3
3
3 = = =
log 3
e) 1
3
3
3
2
log 4
log 16
2
5 4 4
4 = = = =
f) 0,4
5
5
5
log 16
3
log 6
3
5 3 6
6 = = =
g) 0,6
5
5
log 6
h)
4
7




-
= - 4
= -
1 7
7
1
2
log
log 2
1
= = 2
=
7
log 16
1
2
7
7
log 16
4
1
2
4
2
i)
3
8
1
2 = = = = ´ =
4
3
2
3
2
4
log 2
4 4 2
4
4
log 8
4
log 8
3
2. Calcule o valor dos logaritmos
a) log 18 log 6 log 5 log 15 3 3 3 3 - - + log 18 log 15 log 6 log 5 3 3 3 3 ⇒ + - -
= ´ - ´ = ´
3 3 3 3 3 3 = ´ = = =
log (18 15) log 6 5 log 2
log 3 3 log 9 log 3 2
18 15
´
6 5
b) log 64 log 27 2 3 - para acharmos a solução desta expressão temos que achar em parte a solução de
cada logaritmo, isto é:
log 64 2 26 6
2 = a ⇒ a = ⇒ a =
= b ⇒ b = 3
⇒ b
=
log 27 3 3 3
- = - =
64 log 27 6 3 3
3
2 3
lo
c) log 16 log 32 2 4 -
2 = a⇒ a = ⇒ a =
log 16 2 24 4
5
2
4 = b ⇒ b = ⇒ b = ⇒ b =
log 32 4 25 22 25
3
2
- = - = 8 - 5
=
2 4 2
5
2
log 16 log 32 4
(1)
(2)

1 + -
d) log 8 log 27 2 log 36 3 6
2

 = Û = Û
-
a a
1 - = 
3
1
2
3
log 8 log 2 log
3
1
2
1
2
2

= b Û 3
= b Û b
=
log 27 log 3 3
( )
d 2 - 2
d d
3 3
- = Û = Û = -
2log 36 log 6 4
6 6
+ - = - + - = -
log 8 log 27 2log 36 3 3 4 4
3 6
1
2
e) log 18 + log 6 - log 12 = log (18 ´ 6) ¸ 12 = log 108 ¸ 12 = log 9 = log 32 =
2
3 3 3 3 3 3 3 f) log (log 125) 5
1 Vamos resolver em partes.
3
5 =a Û a = Ûa =
( ) 1
log 125 5 53 3
1

b b


 = 

 = Û  = = Û
-
b 
Û b
= - 1 3
1
3
3
1
3
log log 125 log 3
1
5 1
3
3



g)
(2 log 5)
log 2 + log 1+ 3 + 3 2 10
Vamos resolver em parte o valor de cada logaritmo
log 2 =
1 2 =
log 1 0
10
( 2 +
log 5 )
= 2 ´ log 5
= ´ =
log 2 log 1 3( ) 1 0 45 46
3 3 3 9 5 45
+
+ + 2 log 5
= + + =
3 3
2 10
3
h) ( )
4
18
2
3
2
6
4
1
2
= +
0 4
6
 ´
log 2 log
+
0 log 3
6
4
3
´
log 2 log 2
+
log 1 log 81
3 3
´
log 64 log 8
3
2
1
2
2
3
1
2
2
2 1
2
-
=


´ -

=



=
-
4
9
2
8

= ´ -
4 
= - = - 18
2
18

2

3. Calcule o valor de y.
Lembre-se que a c a c b b log = log Û =
a)
512
8
32 ´ 16
log y = log 32 + log 16 - log 8 ⇒ log y = log ⇒ log y
= log
4 4 4 4 4 4 4 4 8
log log 64 64 4 4 ⇒ y = y =
b) log log 27 log 27 log 10 2log 3 2 2 2 2 2 y = + + -
( )
= ´ - 2
⇒ = -
log log 27 10 log 3 log log 270 log 3
2
y y
2 2 2
2 2 2
⇒ = - ⇒ = ¸ ⇒ =
log y log 270 log 9 log y log 270 9 log y
log 30
2 2 2 2 2 2 2
30
⇒ y
=
c) log log 5 5 2 2 y = Û y =
d) log log 8 8 15 15 y = Û y =
e) log 1000 log lg 10 log 3 10
= y Û = y Û y =
1 1
3
3
1
3
3
1
3
3
f) log log 7 7 1000 1000 y = Û y =
g) lg y = lg 4Û y = 4 Lembre-se dos logaritmos de base 10.
h)
1
2
1

 = - Û = Û =
-
y - y - y y

3 3 3 Û = 2
log 8 3 2
3

1
2
1
= Û = Û 2
´
2 = 2
Û = Û = 1
i) log 3 3 3 2
9 9
y y y y y
2
2
j) log 216 = 3 Û (2 y )3 = 63 ⇒ (2 y )3 = 23 ´ 33 Û y = 3
2 y
k) lg y = lg 3 + lg 5Û lg y = lg 3´ 5Û lg y = lg15Û y = 15
l)
7
2

4 + = Û - = Û = + Û = 3
Û =  y - y y y y
2
3
2
2 2
3
2
lg 2
3
2
lg
(1)
(2)


m) lg(5y + 9) = lg y + lg2Ûlg(5y + 9) = lg 2y Û5y + 9 = 2y Û5y - 2y = -9
3
9
Û 3y = -9Û y = - Û y = -
3
log 3 2y- 1
= log 8y
3 n) 4
3
5
5
3
1
1
( ) ( ) y y
Û 3 - 1 = 4 Û - = Û y -
1 = y
Û - = 1
3 3
y y y y
3
4
1
3
1
3
1
2 8 2 2 4
2 3
3
24
4
Û y - y = Û y - y = Û - y = Û -y = ´ Û -y = /-1
5
12
5
4
12
4
12
5
12
4
12
9
12
4
12
1
3
3
4
1
3
(4) (3) (4)

Û = - 4 y
5
3
3
3
3
= Û y = Û y = ´ Û y 2 = 3
Û y = Û y = y
3
2 2
3
o) log 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2
2
2
5 5
( ) 1
5

p) log y = 5Û 2 = y Û 2 = y Û 22 = y Û 25 = y Û 32
= y  


 

2
2
4. Calcule:
1
lg 0,001 = a Û10a = Û a = -3 Û a = -
q) 10 1000 3
1000
r) lg10000 = a Û10a = 104 Û a = 4
1
lg = a Û a = -2 Û a = -
s) 10 100 2
100
5. Sendo log 3 3 a = - , log 4 3 b = e log 2 3 c = , determine:
a) (ab) 3 log Resolução : log log 3 4 1 3 3 a + b = - + =
ab
b) 3 2 log
c
3 3 3 a + b - c = - + - = - = -
Resolução: log log log 2 3 4 22 1 4 3
c) a b 3 log
+ = - + log
b
= - + 4
= - 6 + 4
= - 2
= - 3 3 log log 3 3
Resolução: 1
2
2
2
3
2
a b
6. Sabendo que log a = 5 b e log c = -3 b determine o valor de :
a) (ac) b log Resolução: log (ac) = log a + log c = 5 + (- 3) = 5 - 3 = 2 b b b

c

a


c
b log Resolução: 8 5 3 log log log - = - - = - = 
b) 


c a
b b b
a
c) log 3 ac b Resolução: ( )
2
3
+
= 5 + - 3
log 3 =
3
log log
= = ac a c
ac b b b
3
log
3
b
d) ( )4 log ac b Resolução: log ( )4 log 4 log 4 54 ( 3)4 (5 3)4 24 16 ac = a + c = + - = - = = b b b
7. Desenvolva, aplicando as propriedades dos logaritmos
a) (a2b)
log
2 Resolução: log (a 2
b) = log a 2
+ log b = 2log a + log
b 2 2
2 2 2


5
 6
5 4
log p
b) 

5
5


Resolução: p p p 5 5 5
log = 
+ 6
= - + log log 5 log 4 6log
5 5 5
6
4
log
4

c)
log
8
2


p p p
l = + +  l

= + + 
 
log 2 log 2 log log log 2 log
8 8 8 8 8 8
l
g
g
g

l
g
l
log 2 2 log 2 8 8 8 = ´p + ¸ = p + ´ = p +
g
l
g
2
log 2
1
2
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
y = ax a〉0
Considere a função , denominada função exponencial, onde a base a é um número positivo e diferente de 1 (,
e a ¹ 1
definida para todo x real.
Observe que nestas condições, ax é um número positivo, para todo x Є R, onde R é o conjunto dos números reais.Denotando
o conjunto dos números reais positivos por IR+
, poderemos escrever a função exponencial como segue:
f: R ® R+
* ; y = ax , 0 a ≠ 1.
Vamos determinar a função inversa da função y = ax , onde 0 a ≠ 1.
Permutando x por y, vem:
x = ay y = logax Portanto, a função logarítmica é então:
f: R+
* ® R ; y = logax , 0 a≠ 1 .Mostramos a seguir, os gráficos das funções exponencial ( y = ax ) e logarítmica ( y = logax ),
para os casos a 1 e 0 a ≠ 1. Observe que, sendo as funções, inversas, os seus gráficos são curvas simétricas em relação
à bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes, ou seja, simétricos em relação à reta y = x.
1 ( ) = log ; ( ) log ( 2) 6 f x = x - ; ( ) log (3 1)
Exemplos: f x x 4 ( ) = log ; g x x
2
1 f x = x +
3
Gráfico da função logarítmica
Vamos fazer o estudo da função f x x 3 ( ) = log construindo a tabela e respectivo gráfico.

Para facilitar a compreensão, vamos escrever uma função logarítmica na forma de função exponencial:
log x y y 3x 3 = Û =
Tabela da função y = 3x Tabela da função x 3 log
x y = 3x y
1
1
1
= x = - =  y 3 3
27
3

3 = 

-3 3
27
-2
1
1
= x = - =  
y 9

2 = 3
3 3

-1
1
1
= x = - =  
y 3

1 = 3
3 3

0 y = 3x = 30 = 1 1
1 y = 3x = 31 = 3 3
2 y = 3x = 32 = 9 9
3 y = 3x = 33 = 27 27
Gráfico da função logarítmica
1
y
1
9
2
1
3
1
-1 1 2 3
-1
-2
-3
x x 3 log y
1
27
1
1
log 3 3 3 3 33 3
x
= - 27 = = 3
= - 3 1
9
1
1
log 3 3 3 2 32 2
x
= - 9 = = 3
= - 3 1
3
1
1
log 3 3 3 1 31 1
x
= - 3 = = 3
= - 3 1 log log 1 0 3 3 x = = 0
3 log log 3 1 3 3 x = = 1
9 log log 9 log 32 2
3 3 3 x = = = 2
3 3 3 x = = = 3
27 log log 9 log 33 3
Observando o gráfico, concluímos que:
x
-3
-2
-1
Domínio: Df = IR+
Contradomínio: D´ f = IR
Zero da função: x = 1
A função é crescente
A curva da função não intercepta o eixo das
ordenadas.
A função é positiva, isto é:
f (x) 0; xÎ]1;+¥[
A função é negativa, isto é,
f (x) 0; xÎ]0;1[
Nota: Esta função a base é positiva e maior que 1.
Vejamos agora o gráfico de uma função logarítmica onde a base é maior que zero e menor que 1 ( 0 a 1).
1 ( ) = log . Passando para forma de função exponencial teremos:
Considere a função f x x
3
x

 =
1
y 

3
.

x x
3
x -
1 1

3
= = 


 =  =
-3 3 27
2
x -
1 2
 = 
1
x -
1 1
 = 
1 x
0
 = 
1 x
1
 = 
1
y 3
1 x
2
 = 
1
y 9
1 x
3
 = 
1
y 27
3
2
1

 =
1
y 
y
Tabelas
-2
-1
0
1
2
3
Gráfico

3
y
3
3


y
27

= = 
3 9
1
3
3


 =

y
9

= = 
3 3
1
3
3


 =

y
3
1
1
3
3

= 


 =

y
1
1
3
1
3
3

= 


 =

1
9
1
3
3

= 


 =

1
27
1
3
3

= 


 =

-2 -1 1 2 3 4
-1
-2
x
1 = log y
x y x
3
27
1 -
 y y
= 
3
«  1
3
3
3


 = 


1 -
9 2
 y y
= 
2
«  1
3
3
3


 = 


1 -
3 1
 y y
= 
1
«  1
3
3
3
 = 





1 = y « y =
1 log 1 0
3
1
3
1
1
1 = y « y =
3
log
3
1
9
y y


1
 = « 


 =

1
3
3
1
3
1
9
2
1
27
y y
1
  = « 

 =

1
3
3
1
3
1
27
3
A partir do gráfico, podemos constatar que:
Domínio: Df = IR+
Contradomínio: D´ f = IR
Zero de função: x = 1
A função é decrescente.
3
1
3



1
3



1
3




A curva da função de f não intercepta o eixo das
ordenadas.
-3
-2
-1
0
1
2
3
A função é positiva, isto é, f (x) 0; xÎ]0;1[
A função é negativa, isto é,
f (x) 0; xÎ]1;+¥[

As tabelas que construímos, nos levam a afirmar que uma função logarítmica tem como inversa a função exponencial,
e de acordo com as tabelas, com a 1ª função com qual trabalhamos, podemos esboçar os seguintes gráficos.
Vamos denominar a função y = 3x como f (x) = 3x a logarítmica mantemos x 3 log
Graficamente teremos
3
2
1
y
f ( x ) = 3 x
y = x
-2 -1 1 2 3 4
-1
-2
x
x 3 log
Pela observação dos gráficos, vemos que eles, apresentam uma simetria em relação à bissectriz do primeiro e
do terceiro quadrante y=x.
Portanto a função f (x) = 3x , é inversa da função x 3 log .
Ainda, se 0 a 1 teremos os seguintes gráficos:
Vamos denominar a função
x

 =
1
y 

3
como
x

 =
1
( ) a logarítmica mantemos x
x f 

3
1 log
3
y = (1/3)^x y
y = log(1/3,x)
y = x
4
3
2
1
-1 1 2
-1
x

Em suma, podemos resumir estes últimos dois exemplos da seguinte maneira:
O domínio da função exponencial é o conjunto imagem (contradomínio) da função logarítmica e o
domínio da função logarítmica é o conjunto imagem da função exponencial, isto é,
(Df = IR) = (D´g = IR+ ) e (Dg = IR) = (D´ f = IR+ ). Isto acontece pelo facto destas
funções serem inversas entre si.
As funções f (x) e g(x) são crescentes para a 0 .
As funções f (x) e g(x) são decrescentes para 0 a 1.
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE FUNÇÕES DO TIPO y (x b) a = log ±
Como já vimos como se adquirem os dados da tabela de uma função logarítmica nos exemplos anteriores, aqui vamos fazer
a demonstração de apenas dois casos.
Dadas as funções: f x x 2 ( ) = log , ( ) log ( 1) 2 g x = x + e ( ) log ( 1) 2 h x = x -
y = log(2,x+1) y
y = log(2,x-1)
y = log(2,x)
3
2
1
·
-3 -2 -1 1 2 3 4 5
·
-1
-2
-3
x
·
Como podemos ver, os gráficos das funções ( ) log ( 1) 2 g x = x + e ( ) log ( 1) 2 h x = x - , surgem através da
translação de b unidades para cima f x x 2 ( ) = log , se b for positivo e b unidades para baixo da função
f x x 2 ( ) = log se b for negativo.
Existem elementos comuns, comuns para todas as parábolas, hora vejamos:
As três parábolas são crescentes em todos os seus domínios;
Os seus domínios são iguais.

Os seus contradomínios também são iguais.
Diferenças:
Zero de função: Para a parábola da função ( ) log ( 1) 2 f x = x + , x=0
Para a parábola da função ( ) log ( 1) 2 g x = x - , x=2.
Como podemos notar no exemplo que acabamos de mostrar, a base do logaritmo é maior que 1, agora vamos trabalhar com
logaritmo cuja base é positiva, mas menor que 1.
1 ( ) = log , ( ) log ( 1)
Dadas as funções: f x x
y = log(1/2,x) y
y = log(1/2,x+1)
y = log(1/2,x-1)
3
2
1
2
1 g x = x + e ( ) log ( 1)
2
1 h x = x -
-3 -2 -1 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
x
2
A diferença que agora encontramos, é de que
todas as três funções são decrescentes,
diferentemente no exemplo anterior.
Vamos ainda seguir com outros exemplos. Mas queremos chamar atenção de que o valor do logaritmando nas funções que
seguem, não está entre parênteses, daí que a representação gráfica será diferente com a que está acima

Dadas as funções f x x 2 ( ) = log , g
Para a função

(
): log 2 2 x + =
Para a função (
): log 2 2 x - =
 x = - = x = - = x = x
2 = = 
2 x = = x = = x =
As funções

(
) (
) são obtidas através da função
negativas respectivamente.
Agora vamos construir o gráfico da seguinte função
( ) log 2 2 x = x + e ( ) log 2 2 h x = x -
Todas as funções são crescentes;
As funções são definidas para valores de x 0,
isto é, o domínio de Df ,Dg
As funções não intercepta o eixo das ordenadas,
porque não estão definidas para x = 0.
As funções interceptam o eixo das abcissas
quando y = 0 (zeros de função) sendo:

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