LIBRO: FÍSICA VOL. I MECÁNICA - MARCELO ALONSO & EDWARD FINN. CAPÍTULO 3 VECTORES.

1. PROBLEMAS
RESUELTOS DE
VECTORES
DINÁMICA
ALUMNO
BRICEÑO HUAMÁN RICARDO
UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA
Facultad de Ingeniería Civil.
Escuela Profesional de Ingeniería Civil.
Quinto Ciclo Académico.
DOCENTE
ING. CARLOS SILVA CASTILLO

2. FÍSICA VOL. I MECÁNICA – MARCELO ALONSO & EDWARD FINN
ALUMNO: RICARDO BRICEÑO HUAMÁN
CAPÍTULO 3. VECTORES
PROBLEMAS DE VECTORES
3.7. Dos vectores de 10 y 8 unidades de longitud, forman entre sí un ángulo de (a) 60°,
(b) 90°, (c) 120°. Encontrar la magnitud de la diferencia y el ángulo con respecto al
vector mayor.
Solución
Sea el Ángulo Beta = 𝛽, ángulo entre los vectores A y B.Y Ángulo Alfa = 𝛼, el
ángulo entre el vector mayor (A) y el vector Diferencia (D).
La magnitud del vector diferencia D, se define por La ley de cosenos:
𝐿𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜𝑠: | 𝑫| = |𝑩 − 𝑨| = √|𝑨|2 + |𝑩|2 − 2|𝑨||𝑩| cos 𝛽
Se conoce que |A| = 10 y |B| = 8, se reemplaza estos valores en la ecuación anterior.
| 𝑫| = √102 + 82 − 2(10)(8) cos 𝛽
Para el cálculo del valor del Ángulo Alfa = 𝛼, se define por La ley de senos:
𝐿𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑛𝑜𝑠:
|𝑩|
sin 𝛼
=
|𝑫|
sin 𝛽
Donde |B| = 8, entones el Ángulo Alfa = 𝛼,es:
𝛼 = sin−1
(8) sin 𝛽
|𝑫|
Casos particulares, para el Ángulo Beta = 𝛽:
(a) Cuando 𝛽 = 60°:
La magnitud del vector Diferencia (D), es:
| 𝑫| = √102 + 82 − 2(10)(8) cos 60°
| 𝑫| = 9.165 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠.

3. FÍSICA VOL. I MECÁNICA – MARCELO ALONSO & EDWARD FINN
ALUMNO: RICARDO BRICEÑO HUAMÁN
El Ángulo Alfa = 𝛼,es:
𝛼 = sin−1
(8) sin 60°
9.165
𝛼 = 49°6′
23.78′′
(b) Cuando 𝛽 = 90°:
La magnitud del vector Diferencia (D), es:
| 𝑫| = √102 + 82 − 2(10)(8) cos 90°
| 𝑫| = 12.806 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠.
El Ángulo Alfa = 𝛼,es:
𝛼 = sin−1
(8) sin 90°
12.806
𝛼 = 38°39′
35.31′′
(c) Cuando 𝛽 = 120°:
La magnitud del vector Diferencia (D), es:
| 𝑫| = √102 + 82 − 2(10)(8) cos 120°
| 𝑫| = 15.62 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠.
El Ángulo Alfa = 𝛼,es:
𝛼 = sin−1
(8) sin 120°
15.62
𝛼 = 26°19′
46.21′′

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ALUMNO: RICARDO BRICEÑO HUAMÁN
3.8. Encontrar las componentes rectangulares de un vector de 15 unidades de longitud
cuando éste forma un ángulo, con respecto al eje positivo de las X, de (a) 50°, (b) 130°,
(c) 230° y (d) 310°.
Solución
Sea el Ángulo Alfa = 𝛼, ángulo entre los vectores V y el eje X.
Las componentes rectangulares del vector V, de longitud 15 unidades, son:
𝑽 = (𝑽 𝑋; 𝑽 𝑌)
𝑽 = (| 𝑽| cos 𝛼 ; | 𝑽| sin 𝛼)
𝑽 = | 𝑽| cos 𝛼 𝒊 + |𝑽| sin 𝛼 𝒋
Siendo i y j, vectores unitarios en dirección del eje X y el eje Y, respectivamente.
𝑽 = (15) cos 𝛼 𝒊 + (15) sin 𝛼 𝒋
Casos particulares para el Ángulo Alfa = 𝛼:
(a) Cuando 𝛼 = 50°:
Las componentes rectangulares del vector V son:
𝑽 = (15) cos 50° 𝒊 + (15) sin 50° 𝒋
𝑽 = 9.642𝒊 + 11.491𝒋
(b) Cuando 𝛼 = 130°:
Las componentes rectangulares del vector V son:
𝑽 = (15) cos 130° 𝒊 + (15) sin 130° 𝒋
𝑽 = −9.642𝒊 + 11.491𝒋

5. FÍSICA VOL. I MECÁNICA – MARCELO ALONSO & EDWARD FINN
ALUMNO: RICARDO BRICEÑO HUAMÁN
(c) Cuando 𝛼 = 230°:
Las componentes rectangulares del vector V son:
𝑽 = (15) cos 230° 𝒊 + (15) sin 230° 𝒋
𝑽 = −9.642𝒊 − 11.491𝒋
(d) Cuando 𝛼 = 310°:
Las componentes rectangulares del vector V son:
𝑽 = (15) cos 310° 𝒊 + (15) sin 310° 𝒋
𝑽 = 9.642𝒊 − 11.491𝒋

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ALUMNO: RICARDO BRICEÑO HUAMÁN
3.9. Tres vectores ubicados en un plano, tienen 6, 5 y 4 unidades de longitud. El primero
y el segundo forman un ángulo de 50°, mientras que el segundo y tercero forman un
ángulo de 75°. Encontrar la magnitud del vector resultante y su dirección con respecto
al vector mayor.
Solución
Considerando la ubicación de los ejes X e Y, como se muestra en la figura, las
componentes rectangulares de los 3 vectores coplanares, son:
 Componentes rectangulares del vector A, con módulo de 6 unidades.
𝑨 = (𝑨 𝑋; 𝑨 𝑌)
𝑨 = (| 𝑨| cos 0° ; | 𝑨| sin 0°)
𝑨 = | 𝑨| 𝒊
𝑨 = 6𝒊
 Componentes rectangulares del vector B, con módulo de 5 unidades.
𝑩 = (𝑩 𝑋; 𝑩 𝑌)
𝑩 = (| 𝑩| cos 50° ; | 𝑩| sin 50°)
𝑩 = | 𝑩| cos 50° 𝒊 + | 𝑩| sin 50° 𝒋
𝑩 = (5) cos 50° 𝒊 + (5) sin 50° 𝒋
 Componentes rectangulares del vector C, con módulo de 4 unidades.
𝑪 = (𝑪 𝑋; 𝑪 𝑌)
𝑪 = (| 𝑪| cos 125° ; | 𝑪| sin 125°)
𝑪 = | 𝑪|cos 125° 𝒊 + | 𝑪| sin 125° 𝒋
𝑪 = (4) cos 125° 𝒊 + (4) sin 125° 𝒋
Para hallar el vector Resultante (R) de los vectores A, B y C, se prosigue con la suma
vectorial de los tres vectores A, B y C.
𝑹 = 𝑨 + 𝑩 + 𝑪

7. FÍSICA VOL. I MECÁNICA – MARCELO ALONSO & EDWARD FINN
ALUMNO: RICARDO BRICEÑO HUAMÁN
𝑹 = (6𝒊) + ((5) cos 50° 𝒊 + (5) sin 50° 𝒋) + ((4) cos 125° 𝒊 + (4) sin 125° 𝒋)
𝑹 = (6 + (5) cos 50° + (4) cos 125°) 𝒊 + ((5) sin 50° + (4) sin 125°)𝒋
𝑹 = 6.920𝒊 + 7.107𝒋
Donde la magnitud del vector Resultante R es:
|𝑹| = √6.9202 + 7.1072
| 𝑹| = 9.919 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
La dirección (𝜃) del vector Resultante R con respecto al vector mayor A, sabiendo que
el vector A es colineal con el eje X, es:
𝜃 = tan−1
|𝑹 𝑌|
|𝑹 𝑋|
𝜃 = tan−1
7.107
6.920
𝜃 = 45°45′
52.66′′