3. estatica fluidos

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL – FILIAL CUSCO

MECANICA DE FLUIDOS I

CAPITULO III:

ESTATICA DE FLUIDOS
Docente: GORKI F. ASCUE SALAS
Ingeniero Civil – Magister en Ciencias de la Geoinformación y Observación
de la Tierra mención Evaluación de Recursos Hídricos
Cusco, Setiembre - 2012

3.1 Introducción






La estática de fluidos estudia los gases y los líquidos
en equilibrio o reposo.
A diferencia de los líquidos, los gases tienen la
cualidad de comprimirse.
Por lo tanto, el estudio de ambos fluidos (líquidos y
gases) presentan algunas características
diferentes:



El estudio de los fluidos líquidos se llama hidrostática.
El estudio de los gases se llama aerostática.

3.1 Introducción






A partir de los conceptos de densidad y de presión
se obtiene la ecuación fundamental de la
hidrostática, de la cual surgen los principios de
Pascal y de Arquímedes.
La estática de fluidos se utiliza para calcular las
fuerzas que actúan sobre cuerpos flotantes o
sumergidos.
La estática de fluidos es utilizada como principio de
construcción de muchas obras de ingeniería, como
presas, túneles submarinos, entre otros.

3.2 Definición de presión




La propiedad
fundamental de un
fluido estático es la
presión, que es la
fuerza superficial que
ejerce un fluido sobre
las paredes del
recipiente que lo
contiene.
En cualquier punto del interior de un fluido existe
también una determinada presión.







En un fluido estático, la presión resulta
independiente de la orientación de cualquier
superficie interna sobre la que actúa.
La presión es la fuerza constante que actúa
perpendicularmente sobre una superficie plana.
La presión (P) representa la intensidad de la
fuerza (F) que se ejerce sobre cada unidad de
área de la superficie (A) considerada.


F

FN 
P  
A  m2 



Es decir: Cuanto mayor sea la fuerza que actúa
sobre una superficie dada, mayor será la presión y
cuanto menor sea la superficie para una fuerza
dada, mayor será la presión resultante.








Equivalencias:
1 Pa = 1 N/m2=10 dinas/cm2
1 bar = 105 Pa = 0.986923 atm
1 atm=760 torr = 1.01325 bar
1 torr = 1 mm Hg = 133,322 Pa
1 psi = 1 lbf/pulg2=6894.76 Pa



3.2.1 Presión en un punto de un fluido en reposo:
Se considera a una cuña triangular de fluido
ubicada dentro de una masa de fluido donde no
hay esfuerzos cortantes, las únicas fuerzas
externas que actúan sobre la cuña se deben a la
presión y al peso, y por la segunda Ley de Newton
(F = ma) se tienen:
y
sen 

 y  s.sen
s
x
cos  
 x  s.cos
s

F

 0  px yz  pn zs.sen  0

F

 0  p y xz  pn zs.cos   g

x

y

 Fz  0  pz

xy
xy
 pz
0
2
2

xyz
0
2



px yz  pn z s.sen
px y  pn y  px  pn
p y xz  pn z s.cos   g
p y x  pn x   g
p y  pn   g



xy
2

y
2

De estas ecuaciones, se deducen que:




xyz
2

px  pn

y
La presión no varía en la dirección
p y  pn   g
2
horizontal.
La presión varía en la dirección vertical por
acción de la gravedad proporcionalmente a
la densidad y a la diferencia de altura.





La cuña hidráulica tiende a cero, por lo tanto; se
puede despreciar y se tiene lo siguiente:
y
g
 0  p y  pn
2



La presión en un punto es igual en todas las
direcciones.

pz  px  py  pn  p

3.3 Distribución de presiones en un
fluido estático


3.3.1 Ecuación fundamental de la hidrostática:
Imaginar un volumen de fluido (aire) elemental en
la atmósfera, de superficie dA y alto dz, como se
ve en la figura:

 F  0  F1  F2  P  0
F1  p1.dA  pz .dA
F2  p2 .dA  pz  dz .dA
P  mg  dp  dm.g
pz .dA  pz  dz .dA  dm.g  0
( pz  pz  dz ).dA  dm.g

dp  pz  dz  pz
dm
 dm   .dV
dV
dV  dA.dz



dp.dA   .dA.dz.g
dp
dp    gdz 
  g
dz

3.3 Distribución de presiones en un
fluido estático


Esta ecuación es válida para describir la
distribución de presiones en un fluido sujeto a
las siguientes restricciones:

dp
  g
dz






Fluido en estado de equilibrio estático
La acción gravitatoria es la única fuerza másica
El eje z es vertical .

En resumen, un fluido esta en equilibrio estático:







Si la presión en todos los puntos de un plano
horizontal es la misma.
Si la presión varía sólo en la dirección vertical y no
depende de la forma del recipiente que lo contiene.
La presión aumenta con la profundidad.
La variación de la presión se debe la densidad del
fluido y la acción de la gravedad (peso del fluido).

3.4 Variación de la presión hidrostática
en líquidos


Si p0 es el valor de la
presión en el nivel z0
(que puede ser el nivel
del mar) y p el valor de la
presión a una altura z en
la atmósfera o una
profundidad z en el
océano, y si la densidad
es constante, se puede
integrar la ecuación
hidrostática y se obtiene:

 dp    g  dz
0

0

p  p0    g ( z  z0 )  p  p0   g ( z0  z )  h  z0  z
p  p0   gh

Principio de Pascal

en líquidos


Esta ecuación, es válida sólo cuando la densidad
es constante. , ni la forma de un recipiente ni la
cantidad de líquido que contiene influyen en la
presión que se ejerce sobre su fondo, tan sólo la
altura de líquido. Esto es lo que se conoce como
paradoja hidrostática.

en líquidos


PASCAL estableció que si se tiene un líquido en un
depósito completamente cerrado y en uno de sus
puntos se aplica una presión cualquiera, esa
presión se trasmite con igual valor a todos los
puntos del líquido.

en líquidos




Principio de Pascal:
La presión que se ejerce sobre un fluido se
trasmite por igual a todos sus puntos y a las
paredes del recipiente que lo contiene.

en líquidos


Prensa hidráulica: La aplicación más importante
del principio de Pascal es la prensa hidráulica.
P2  P
1
F2 F1

A2 A1
A2
F2  F1
A1



La ventaja que presentan los líquidos es que al
transmitir Presiones, pueden multiplicar las
Fuerzas aumentando el área sobre la cuál se
ejerce.

en líquidos


Ejercicio 1: Se desea levantar un automóvil de masa
igual a 1,200 Kg con una gata hidráulica, tal como se
muestra en la figura. ¿Qué fuerza se deberá aplicar en
el émbolo más pequeño, que tiene un área de 10 cm2
para levantarlo, sabiendo que el área del émbolo más
grande es de 200 cm2?.





Solución: F1

F2

A1 A2

El peso del automóvil es:
F2  mg Luego: F1  A1mg
A2



Reemplazando se tiene:
m

10cm2  1200 Kg   9.81 2 

s 

F1 
 588.6 N
2
200cm

en líquidos


Ejercicio 2: Determinar el peso W, que puede
sostenerse con una fuerza de 50 Kg aplicados en el
pistón que se muestra en la figura.
 Solución:
 Considerando el desnivel
entre el punto 1 y 2 P  P2
1
despreciable, se tiene:
 Por definición:
12
F
4F
P   A1 
P  2
1
1
A1
4
1
2
 1 
4W
 Luego: 4 F
22
W
4W
 2 W    F
2
P2   A2 
 P2  2
1 2
 2 
A
4

2

2



2

Sustituyendo se tiene: W   22cm   50 Kg   W  1675.40 Kg


3.8cm 


en líquidos




Ejercicio 3: Un dispositivo de exploración de las
profundidades del mar tiene una ventana circular de
0.10 m2. ¿Qué fuerza ejerce sobre ella las aguas de
mar, cuya densidad es 1030 Kg/m3, a una profundidad
de 5000 m?
Solución:

F  pA   ghA
F  (1030)(9.8)(5000)(0.1)
F  5.05 106 N  F  5.05MN

en líquidos








Ejercicios para intervención en clase:
1. El embolo grande de un elevador hidráulico tiene un
radio de 20 cm. ¿Qué fuerza debe aplicarse al embolo
pequeño de radio 2 cm para elevar un coche de masa
1500 Kg?
2. ¿Cuál es la masa total de la atmosfera de la Tierra?.
El radio de la Tierra es 6.37x106 m y la presión
atmosférica en la superficie es 1.013x105 N/m2.

3. Para levantar una plataforma de 10 Ton. se utiliza un
gato hidráulico. Si en el pistón actúa una presión de 12
Kg/cm2 y es transmitida por un aceite de densidad
relativa 0.810, ¿Qué diámetro se requiere?

3.5 Medición de la presión. Manometría


En ingeniería se suele medir la presión de dos
formas:






Refiriéndola a un nivel de presión nula (cero
absoluto o vacío perfecto), en este caso se llama
presión absoluta.
Usando la presión atmosférica local como referencia.
Esta forma se emplea en muchos instrumentos de
medida de tipo diferencial, la presión que arroja la
medición del fluido se denomina en términos
generales presión manométrica.
Según que la presión sea superior o inferior a la
atmosférica, se suele denominar :



Presión manométrica (Pman), si P > Patm
Presión de vacío (Pabs), si P<Patm




Una ecuación sencilla que relaciona los dos
sistemas de medición de la presión es:

Pabs  Pman  Patm



Por lo tanto:












Las presiones absolutas deben utilizarse en todos los
cálculos con gases.
Un vacío perfecto es la presión más baja posible y en
consecuencia, la presión absoluta siempre es
positiva.
Una presión manométrica por encima de la presión
atmosférica local siempre es positiva.
Una presión manométrica por debajo de la presión
atmosférica local es negativa y suele denominarse
vacío.
La magnitud de la presión atmosférica varía con la
ubicación y condiciones climáticas.
La presión barométrica es un indicador de la
variación continua de la presión atmosférica.



Presión atmosférica: Es la presión que el peso del aire
ejerce sobre la superficie terrestre y sobre cualquier
otra superficie que se encuentre en ella.



En 1643, Evangelista Torricelli,
llenó un tubo de vidrio, de 1 m de
longitud con mercurio (Hg) y
tapó el extremo abierto. Luego lo
dio vuelta en una cubeta que
también contenía Hg y observó;
que el Hg del tubo a 0°C
descendió hasta estabilizarse su
columna en 76 cm y cuya presión
es equivalente a 101.3 kPa.

Patm  PHg 

WHg
AHg



mHg g
AHg



VHg Hg g
AHg



AHg hHgHg g
AHg

Patm  PHg  Hg ghHg





Piezómetro: Consiste en un tubo vertical, abierto
en la parte superior y conectado al recipiente en
que se desea medir la presión.
Como A y 1 están al mismo nivel:

PA  P1


Por lo que:

PA  1h1





Manómetro simple: En tubo de U, el fluido
manométrico puede ser de mercurio (Hg),
tetracloruro de carbono (CCl4), aceite, agua, etc.
En la figura mostrada se cumple que:
PA  P1  P2  P3
P2  P1  1h1  P3  P0   manh2



Sustituyendo se tiene:

PA  manh2  1h1





Manómetros: Son
aparatos que sirven para
medir la presión de los
fluidos contenidos en
recipientes cerrados , hay
manómetros de líquidos
o metálicos (tubo en U o
de Bourdon).
Barómetros: Son
aparatos que miden la
presión atmosférica y
pueden ser barómetros
de mercurio y metálicos.



En la actualidad existen tanto manómetros como
barómetros digitales.



Ejercicio 4: En el tanque de la figura tenemos tres
líquidos insolubles. Calcular la presión absoluta y
relativa en el fondo y determinar la cota de los
líquidos en cada uno de los piezómetros colocados
como se indica, considerar que la presión
atmosférica es 0.95 atm.




Solución:
Las presiones relativas son:
P2  P   1  z1  z2    1  DR. agua
1
P3  P2   2  z2  z3    2  DR. agua
P4  P3   3  z3  z4    3   g



Sustituyendo se tienen:
P  0Kg / m2
1

P2  0   0.75 1000 18.20  15.50   P2  2025 Kg / m2
P3  2025  1.00 1000 15.50  12.50   P3  5025 Kg / m2
P4  5025  183.49  9.8112.50  10.00   P4  Pman  9525 Kg / m 2




Solución:
La presión absoluta en el fondo (punto 4) es:
Pabs  Pman  Patm
1atm  10330 Kg / m2  Patm  0.95(10330)  Patm  9813.5Kg / m2
Pabs  9525  9813.5  Pabs  19338.5Kg / m2



Las alturas y cotas de los piezómetros son:
P H  H 
H1 
H2 
H3 

P



 h  H  Cota

P2

 H1 

2025
 H1  2.70m  h1  2.70  15.50  h1  18.20m
750

P3

 H2 

5025
 H 2  5.03m  h2  5.03  12.50  h2  17.53m
1000

P4

 H3 

9525
 H 4  5.29m  h3  5.29  10.00  h3  15.29m
1800

1

2
3



Ejercicio 7: Dos recipientes cuyas superficies libres se
encuentran a una diferencia de altura (H), contienen el
mismo liquido de peso especifico (g) según se indica en
la figura. Hallar una expresión para calcular en función
de ga, A, gb, B.
 Solución:
P  P2  P  0
1
1
 En el manómetro :
Superior :
PX  P   H   X
1
PA  PX   A A
P2  PA   A   X


Inferior :
Pm  P   m
1
PB  Pm   B B
P2  PB   B   m   H

Simplificando:
 H   A A   A  0   B B   B   H  0

H

 BB  B
 A   BB
  A

A B








Tarea 2.1 Ejercicios de Aplicación de Presiones:
Resolver los siguientes ejercicios propuestos en los libros
de Streeter y Giles, de acuerdo al ultimo digito:
2.2.1 a 2.2.4 (Streeter, Pág. PDF 48) y 2.3.1 a 2.3.4
(Streeter, Pág. PDF 52),
46 al 58 (Giles, Paginas PDF 26 al 28).



Últimos Dígitos:
4 y 9: 2.2.1, 2.3.4, 46, 51 y 56.
5 y 0: 2.2.2, 2.3.3, 47, 52 y 57.
6 y 1: 2.2.3, 2.3.2, 48, 53 y 58.
7 y 2: 2.2.4, 2.3.1, 49, 54 y 46.
8 y 3: 2.2.1, 2.3.2, 50, 55 y 47.



Fecha limite de presentación: Examen Parcial.







2.6 Fuerzas Hidrostáticas sobre
Superficies Planas Sumergidas



Fuerza hidrostática sobre una superficie plana sumergida:
En la figura se
muestra un
placa plana
sumergida en
un líquido en
estado
estático, sobre
cuya cara
superior se
evalúa la
acción de la
presión
hidrostática
distribuida.





Debido a la presión variable que actúa sobre la placa, para
el análisis se considera como un elemento diferencial de
área (dA) ubicado a una profundidad (h) y a una distancia
(x) del eje Y. Al tratarse de un elemento diferencial, la
presión que actúa sobre el mismo puede considerarse
constante por consiguiente la fuerza sobre este elemento
es, dF  pdA integrando esta ecuación diferencial sobre el
área A se obtiene el valor de la fuerza resultante: F   pdA
A



Si la presión (p) a una altura (h) por debajo de la superficie
libres esta dada por p  p0  gh luego, se tiene:
F   (p0  gh)dA
A

F  p0 A  g hdA
A

h  x.sen

F  p0 A  g x.sendA
A

F  p0 A  g.sen xdA
A






Si

 xdA  x

cg

A

luego:

F  p0 A  g.sen.xcg A

A



Sustituyendo hcg  xcg.sen se tiene que:



F  p0 A  g.hcg A

Esta última expresión matemática, indica:







La fuerza debida a la acción de la presión uniforme que actúa
sobre la superficie libre, se transmite a través del líquido sin
variación.
La fuerza hidrostática propiamente dicha, debida a la acción de
la columna líquida que actúa sobre la superficie (presión
causada por la gravedad que se incrementa linealmente sobre
el líquido).

Finalmente, la ecuación es: F  (p0  g.hcg )A
Si el factor entre paréntesis representa la presión en el
baricentro de A, la fuerza hidrostática es: F  p A
cg






Esquemáticamente se tiene:









Punto de aplicación de la fuerza hidrostática (Centro de
presión)
El centro de presión es el punto sobre el área donde se
supone que actúa la fuerza resultante, en forma tal que
tiene el mismo efecto que la fuerza distribuida en toda el
área debido a la presión del fluido.

Teorema de Varignon: El momento de la resultante de un
sistema de fuerzas en torno a cualquier eje debe ser igual
a la suma de los momentos de las fuerzas aplicadas
alrededor el mismo eje.
Tomando momentos alrededor del eje Y (momentos en O
respecto del plano de la figura), se tiene F x  xdF
h

cp


A

h





Punto de aplicación de la fuerza hidrostática (Centro de
presión)
Si Fh  g.hcg A entonces dFh  g.h.dA y h  x.sen luego:
Fh xcp  g.hcg A.xcp   g(x.sen)x.dA g.hcg A.xcp  g.sen x 2dA
A







Despejando se tiene:

xcp 

sen 2
 x dA
hcg A A

A

El momento de inercia del área con respecto al eje, esta
hcg
dado por: I  x 2 dA
y
se tiene: x  Iyy
yy
xcg 

cp
x cg A
A
sen
Aplicando el teorema de Steiner de los ejes paralelos, el
momento de inercia a un eje centroidal paralelo al eje yy es:
2
Iyy
Iyy  A.x cg
2
x cp  x cg 
Iyy  Iyy  A.xcg  xcp 
A.x cg
xcg A






Ejemplo 1:
La compuerta que se muestra en la figura se articula en O. La
compuerta tiene 2 m de ancho normal al plano del dibujo.
Calcule la fuerza requerida en A para mantener la compuerta
cerrada.

Solución:
 Datos e incógnitas



Solución:



1. Fuerza hidrostática

Fh  pcg A  pcg  g.hcg  hcg  h1  h2
h2  (a / 2)sen  h2  (2 / 2)sen30
h2  (1)(0.5)  h2  0.50m
hcg  1  0.50  hcg  1.50m
A  ab  A  (2)(2)  A  4.00m2
pcg  (1000)(9.80)(1.5)
pcg  14700Pa
Fh  (14700)(4)  58,800N
Fh  58.8kN




Solución:
2. Momento (con referencia al punto O)

 Mo  0 Fh (a / 2  e)  F.a  0  F 
Iyy

Fh (a / 2  e)
a

hcg
ba3
e
 Iyy 
 x cg 
x cg A
12
sen
(2)(2)3
1.5
Iyy 
 1.33m4  x cg 
 3m
12
sen30
1.33
(58.8)(1  0.11)
e
 0.11m  F 
 32.67kN
(3)(4)
2



Ejemplo 2: Mott - Ejemplo 4.5 (Pág. 95)



Solución:



Ejemplo 3: Giles - Ejemplo 3 (Pág. 32).







Superficies Curvas Sumergidas
Fuerza hidrostática sobre una superficie curva sumergida :
La fuerza resultante de las fuerzas de presión sobre una
superficie curva se calcula separando las componentes
verticales y horizontales. De la figura: dF  p.dA
 Componentes horizontales:
 Multiplicar a ambos por un vector
unitario i. dF.i  p.dA.i
 Si
dF  dF.i  dA  dA.i




x



Entonces

x

Fx    p.dA x
x






Componente vertical:
Multiplicando por un vector unitario k. dF.k  p.dA.k
Si dFz  dF.k  dA z  dA.k  p  g(z  z0 ) entonces Fz    p.dA z
z

Fz  g  (z  z0 ).dA z  gVliq.sup.curva  Wliq.sup.curva
zo

z

Fz  Wliq.sup.curva



Ejemplo 1: Calcule la magnitud de las componentes
horizontal y vertical de la fuerza que el fluido ejerce sobre la
compuerta, luego calcule la fuerza resultante así como su
dirección. La superficie de interés es cilíndrica con una
longitud de 1.5 m.



Solución:
Componente
vertical (Fv): Peso
del volumen sobre
la superficie curva
Fv  g.H2O Vdesplazado
V  (A1  A 2 )b
A1  h1R
R2
A2  
4



Ejemplo 1:

(1.20)2
A1  (2.80)(1.20)  3.36m  A 2  
 1.13m2
4
V  (3.36  1.13)(1.50)  6.74m3  Fv  (1000)(9.80)(6.74)  66.052kN
2



Componente horizontal
(Fh): fuerza debida a la
presión fluida sobre la
superficie curva.

Fh  pcg A p  pcg  H2O ghcp
pcg  (1000)(9.80)(3.40)  33.32kN
Fh  (33.32)(1.50)(1.20)  59.976kN


Fuerza resultante:

Fr  (Fh )2  (Fv )2  (59.976)2  (66.052)2  Fr  89.219kN



Ejemplo 2: Mott - Ejemplo 4.8 (Pág. 106)








Tarea 2.2 Ejercicios de Aplicación de Fuerzas Hidrostáticas:
1. Resolver los siguientes ejercicios propuestos en los libros
de Streeter y Giles, de acuerdo al ultimo digito:
2.5.1 a 2.5.8 (Streeter, Pág. PDF 66) y 2.6.1 a 2.6.6
(Streeter, Pág. PDF 72),
20 al 44 (Giles, Paginas PDF 39 al 42).



Últimos Dígitos:
4: 2.5.1, 2.6.1, 20, 30 y 40.
6: 2.5.3, 2.6.3, 22, 32 y 42.
8: 2.5.5, 2.6.5, 24, 34 y 21.
0: 2.5.7, 2.6.1, 26, 36 y 23.
2: 2.5.1, 2.6.3, 28, 38 y 25.



Fecha limite de presentación: Examen Parcial.







5: 2.5.2, 2.6.2, 21, 31 y 41.
7: 2.5.4, 2.6.4, 23, 33 y 20.
9: 2.5.6, 2.6.6, 25, 35 y 22.
1: 2.5.8, 2.6.2, 27, 37 y 24.
3: 2.5.2, 2.6.4, 29, 39 y 26.

2.7 Flotación y Estabilidad






Empuje hidrostático:
Los cuerpos sólidos sumergidos en un líquido experimentan
un empuje hacia arriba debido a la presión del fluido que
actúa sobre sus superficies exteriores. Este fenómeno, que es
el fundamento de la flotación de los barcos, era conocido
desde la más remota antigüedad.
Principio de Arquímedes:
Todo cuerpo sumergido en el
interior de un líquido sufre un
empuje ascendente igual al peso
del líquido desalojado.

E  Wliqdes






Empuje hidrostático:
Situaciones posibles según la magnitud del peso
del cuerpo (W) con respecto al empuje (E):
 Si la fuerza de empuje (E) es menor que el peso
cue  liq
del cuerpo (W), el cuerpo se hunde hasta tocar
fondo. Ejm: piedra maciza en el agua.
 Si el empuje (E) es igual al peso del cuerpo (W)
liq  cue
esta en equilibrio y el cuerpo flota “entre aguas”
por debajo de la superficie liquida. Ejm:
submarinos.
 Si la fuerza de empuje (E) es mayor que el peso
del cuerpo (W), entonces “flota”, el cuerpo se
cue  liq
encuentra parcialmente sumergido. Ejm: los
barcos.
La fuerza de empuje depende de la densidad del E  liqgVliqdes
cuerpo y la del líquido donde este sumergido.
W   gV
cue

cuesum




Ejemplo:
Calcular el empuje que sufre una bola esférica
de 1 cm de radio, cuando se sumerge en:
a) Alcohol (ρ = 0.7 gr/cm3).
b) Agua (ρ = 1 gr/cm3).
c) Tetracloruro de carbono (ρ = 1.7 gr/cm3).






E  Wliqdes
Wliqdes  mliqdes g
mliqdes  Vliqdes liq

Solución:
Según el Principio de Arquímedes; “el empuje es Vcuesum  Vliqdes
igual al peso del liquido desalojado”. Ósea:
E  Vcuesum liqg
El volumen de una esfera es:
V

4 3
4
r  Vcue  (1)3  Vcue  4.19cm3  Vcue  4.19  106 m3
3
3



a)

ECH3OH  (4.19  106 m3 )(0.7  103 Kg / m3 )(9.81m / s2 )  Ealc  0.03N



b)

EH2O  (4.19  106 m3 )(1.0  103 Kg / m3 )(9.81m / s2 )  Ealc  0.04N



c)

ECCl4  (4.19  106 m3 )(1.7  103 Kg / m3 )(9.81m / s2 )  Ealc  0.07N





Resolver los ejercicios propuestos 5.1 a 5.62 del
libro de Mott (Pag. 147 PDF).
Nota: Cada alumno resolverá 5 ejercicios de
acuerdo al ultimo digito de su código.
 1: 5.1, 5.11, 5.21, 5.31, 5.41 y 5.51, 5.61 (Opc.)
 2: 5.2, 5.12, 5.22, 5.32, 5.42 y 5.52, 5.62 (Opc.)
 3: 5.3, 5.13, 5.23, 5.33, 5.43 y 5.53





9: 5.9, 5.19, 5.29, 5.39, 5.49 y 5.59
0: 5.10, 5.20, 5.30, 5.40, 5.50 y 5.60

Fecha limite de entrega: El día programado para
el Examen Final.

3. estatica fluidos

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