Atividade Avaliativa desafio de aprendizagem matemática

1. Universidade Anhanguera – Uniderp
Centro de Educação a Distância
Curso Superior Tecnologia em Gestão Pública
ATIVIDADE AVALIATIVA DESAFIO DE
APRENDIZAGEM
Disciplina: Matemática
Prof.Me. Pedro Hiane
São Luis-Ma
2011

2. Atividade Avaliativa Desafio de Aprendizagem
Disciplina: Matemática
Prof.Me. Pedro Hiane
Atividade Avaliativa: Desafio de
Aprendizagem apresentado ao Curso
Superior Tecnologia em Gestão Pública
da Universidade Anhanguera Uniderp,
como requisito para a avaliação da
Disciplina Matemática ata obtenção e
atribuição de nota da Atividade
Avaliativa.
São luis-Ma
2011

3. Etapa n° 1:
1° PASSO
Curso C.S.Tecnologia em Gestão
Publica
Período
Letivo
2011/2
Semestre 2º Sem Disciplina MATEMATICA
Nome Tutor
Presencial
Nome
Prof° Moises
Nome Professor
EAD
Pedro Hiane
Nome
Aluno(a)
Nome
Roosevelt F. Abrantes
RA Número
298764
Etapa n° 2:
2° PASSO
 Introdução:
Desde os tempos antigos, o homem buscou formas de representar a
realidade. A função de primeiro grau foi uma das primeiras representações
que fez com que o homem pudesse avançar até em construções de
pirâmides na época do Egito. Esse trabalho desenvolve conceitos a respeito
da função de primeiro grau na contabilidade. Também apresenta exemplos
práticos de como essa importante função ajuda até hoje o homem a
representar com maior exatidão a realidade na área contábil. A matemática
e a contabilidade são duas ciências que evoluíram desde a antiguidade.
Sempre caminharam juntas, paralelamente ao desenvolvimento econômico
e social. Esse desenvolvimento influenciou diretamente todas as atividades
relacionadas a cultura, ciência e educação .Sendo a contabilidade e a
matemática duas ciências essenciais ao desenvolvimento profissional, surge
a necessidade de identificar como a disciplina de matemática pode utilizar-
se da contabilidade na gestão de custos para compreensão de um conceito
básico matemático como função. Assim, o objetivo deste trabalho é
identificar uma aplicação da análise das funções de primeiro grau na
contabilidade.

4.  CONCEITOS
FUNÇÃO:
Função é uma relação. Se tivermos dois conjuntos, a relação entre
eles será uma função se todo elemento do primeiro conjunto estiver
relacionado (ligado) apenas com um elemento do segundo conjunto.
Com essa definição podemos dizer que função é um tipo de
dependência, um valor depende do outro, matematicamente podemos
dizer que função é uma relação de dois valores, por exemplo: f(x) =
y, sendo que x e y são valores, onde x é o domínio da função (a
função está dependendo dele) e y é um valor que depende do valor
de x sendo a imagem da função.
Um exemplo prático de função é: o valor que iremos pagar no final
do mês na conta de água e energia de nossas casas está em função
(está dependendo) de quanto iremos gastar de m3 de água e quantos
KW de energia foram consumidos durante o mês. Essa relação é uma
função.
FUNÇÃO DE 1º GRAU:
Consideremos x e y duas variáveis, sendo uma dependente da outra,
isto é, para cada valor atribuído a x corresponde um valor para y.
Definimos essa dependência como função, nesse caso, y está em
função de x. O conjunto de valores conferidos a x deve ser chamado
de domínio da função e os valores de y são a imagem da função.
Toda função é definida por uma lei de formação, no caso de uma
função do 1º grau a lei de formação será a seguinte: y = ax + b, onde
a e b são números reais e a ≠ 0.
Esse tipo de função deve ser dos Reais para os Reais.
A representação gráfica de uma função do 1º grau é uma reta.
Analisando a lei de formação y = ax + b, notamos a dependência

5. entre x e y, e identificamos dois números: a e b. Eles são os
coeficientes da função, o valor de a indica se a função é crescente ou
decrescente e o valor de b indica o ponto de intersecção da função
com o eixo y no plano cartesiano. Observe:
Função crescente Função decrescente
Função crescente: à medida que os valores de x aumentam os valores
correspondentes em y também aumentam.
Função decrescente: à medida que os valores de x aumentam, os
valores correspondentes de y diminuem.
Exemplos de funções do 1º grau
y = 6x + 4, a = 6 e b = 4
y = 5x – 9, a = 5 e b = –9
y = – 2x + 20, a = – 2 e b = 20
y = 3x, a = 3 e b = 0
y = – 6x – 1, a = – 6 e b = – 1
Raiz ou zero de uma função do 1º grau
Para determinar a raiz ou o zero de uma função do 1º grau é preciso
considerar
y = 0. De acordo com gráfico, no instante em que y assume valor
igual a zero, a reta intersecta o eixo x em um determinado ponto,
determinando a raiz ou o zero da função.
Exemplo:
Uma siderúrgica fabrica pistões para montadoras de motores
automotivos. O custo fixo mensal de R$ 950,00 inclui conta de

6. energia elétrica, de água, impostos, salários e etc. Existe também um
custo variável que depende da quantidade de pistões produzidos,
sendo a unidade R$ 41,00. Considerando que o valor de cada pistão
no mercado seja equivalente a R$ 120, 00, monte as Funções Custo,
Receita e Lucro. Calcule o valor do lucro líquido na venda de 1000
pistões e quantas peças, no mínimo, precisam ser vendidas para que
se tenha lucro.
Função Custo total mensal:
C(x) = 950 + 41x
Função Receita
R(x) = 120x
Função Lucro
L(x) = 120x – (950 + 41x)
Lucro líquido na produção de 1000 pistões
L(1000) = 120*1000 – (950 + 41 * 1000)
L(1000) = 120.000 – 950 + 41000
L(1000) = 120.000 – 41950
L(1000) = 78.050
O lucro líquido na produção de 1000 pistões será de R$ 78.050,00.
Para que se tenha lucro é preciso que a receita seja maior que o
custo.
R(x) > C(x)
120x > 950 + 41x
120x – 41x > 950
79x > 950
x > 950 / 79
x > 12
Para ter lucro é preciso vender acima de 12 peças.

7. FUNÇÃO DO 2º GRAU:
Uma função para ser do 2º grau precisa assumir algumas
características, pois ela deve ser dos reais para os reais, definida pela
fórmula f(x) = ax2 + bx + c, sendo que a, b e c são números reais
com a diferente de zero. Concluímos que a condição para que uma
função seja do 2º grau é que o valor de a, da forma geral, não pode
ser igual a zero.
Então, podemos dizer que a definição de função do 2º grau é: f: R→
R definida por f(x) = ax2 + bx + c, com a Є R* e b e c Є R.
Numa função do segundo grau, os valores de b e c podem ser iguais
a zero, quando isso ocorrer, a equação do segundo grau será
considerada incompleta.
Veja alguns exemplos de Função do 2º grau:
f(x) = 5x2 – 2x + 8; a = 5, b = – 2 e c = 8 (Completa)
f(x) = x2 – 2x; a = 1, b = – 2 e c = 0 (Incompleta)
f(x) = – x2; a = –1, b = 0 e c = 0 (Incompleta)
Toda função do 2º grau também terá domínio, imagem
contradomínio.
Exemplo 2
Um fabricante vende, mensalmente, x unidades de um determinado
artigo por R(x) = x² – x, sendo o custo da produção dado por C(x) =
2x² – 7x + 8. Quantas unidades devem ser vendidas mensalmente, de
modo que se obtenha o lucro máximo?
L(x) = R(x) – C(x)
L(x) = x² – x – (2x² – 7x + 8)

8. L(x) = x² – x – 2x² + 7x – 8
L(x) = – x² + 6x – 8
O número de unidades vendidas mensalmente para se obter o lucro
máximo será determinado por Xv.
[pic]
Para se obter o lucro máximo, basta que 3 unidades sejam vendidas.
FUNÇÃO EXPONENCIAL:
Dizemos que uma função é exponencial quando a variável se
encontra no expoente de um número real, sendo que esse número
precisa ser maior que zero e diferente de um. Podemos explicitar tal
condição usando a seguinte definição geral:
f: R→R tal que y = ax, sendo que a > 0 e a ≠ 1.
O gráfico de uma função exponencial é definido de acordo com o
valor da base a, observe os dois gráficos a seguir:
a > 0 0 < a < 1
[pic]
A função exponencial é caracterizada pelo crescimento e
decrescimento muito rápido, por isso é muito utilizada na
Matemática e em outras ciências correlacionadas com cálculos. Na
Matemática, serve para demonstrar o crescimento de um capital
aplicado a uma determinada taxa de juros compostos.
Exemplo
Uma pessoacoloca 3000 contos a prazo, à taxa de 20% ao ano e não
levanta dinheiro algum durante 10 anos. Quanto tem a receber
(capital acumulado) ao fim desse período?E ao fim de x anos?
Resolução:

9. milhares de contos
Ao fim de 1 ano 3 + 3x0,2 = 3 (1 + 0,2) = 3x1,2
Ao fim de 2 anos 3x1,2 + 3x1,2x0,2 = 3x1,2 (1 + 0,2) =
3x1,22
Ao fim de 3 anos 3x1,22 + 3x1,22x0,2 = 3x1,23
..................................................................................................
Ao fim de 10 anos 3x1,210 ≈ 18,575
Ao fim de x anos 3x1,2x
FUNÇÃO INVERSA:
O objetivo de uma função inversa é criar funções a partir de outras.
Uma função somente será inversa se for bijetora, isto é, os pares
ordenados da função f deverão pertencer à função inversa f –1 da
seguinte maneira: (x,y) Є f –1 (y,x) Є f.
Dado os conjuntos A = {–2,–1,0,1,2} e B = {3, 4, 5, 6, 7} e a função
A→B definida pela fórmula f(x) = x + 5, veja o diagrama dessa
função abaixo:
[pic]
Então: f = { (–2, 3) ; (–1, 4) ; (0, 5) ; (1, 6) ; (2, 7)}
Essa função é bijetora, pois cada elemento do domínio está ligado
com um elemento diferente no conjunto imagem. Assim, podemos
dizer que essa função, por ser bijetora, admite inversa.
A sua função inversa será indicada por f –1: B→A, e será preciso
realizar a troca entre x e y na função y = x + 5, dessa forma temos: x
= y + 5 → –y = –x + 5 → y = x – 5, portanto f –1(x) = x – 5.
Veja o diagrama abaixo:
[pic]
Então: f –1(x)= {(3, –2); (4, –1) ; (5, 0); (6, 1) ; (7, 2)}
O que é domínio na função f vira imagem na f –1(x)e vice e versa.
Exemplo 1

10. Dada a função f(x) = 3x -5, para determinarmos a sua inversa f –1(x)
precisamos fazer uma troca x e y na expressão y = 3x – 5. Assim
teremos x = 3y – 5, logo:
x = 3y – 5
–3y = –x –5 (multiplicar por –1)
3y = x + 5
y = (x + 5)/3
Portanto, a função f(x) = 3x -5 terá inversa igual a f –1(x) = (x +
5)/3.
FUNÇÃO LOGARÍTIMICA:
As funções na forma f(x) = log ax são consideradas logarítmicas,
com a > 0 e a ≠ 1, sendo f : R*+ → R. Exemplos:
f(x) = log2x
f(x) = log5(x – 2)
f(x) = log(a – 2)4
f(x) = log0,5x
O gráfico da função logarítmica é determinado de acordo com as
seguintes condições:
Crescente: base maior que 1.
Decrescente: base maior que zero e menor que 1.
Função crescente
[pic]
Função decrescente
[pic]
As funções logarítmicas envolvem em sua resolução, propriedades
destinadas ao estudo dos logaritmos. Portanto, o seu

11. desenvolvimento depende do conhecimento prévio dessas
propriedades.
Exemplo:
Na equação: Q = Q0 * e– r * t, Q representa a massa final da
substância, Q0, a massa inicial, r, a taxa de variação e t, o tempo em
anos. Note que nessa equação, a massa final está em função do
tempo t. Com base nessa equação, vamos determinar em quantos
anos 50 g de uma substância se reduz a 5 g, obedecendo a uma taxa
de variação de 8% ao ano.
[pic]
[pic]
O tempo para que ocorra a redução é de aproximadamente 28 anos e
9 meses.
Exemplo:
Um capital é aplicado em regime de juros compostos a uma taxa
mensal de 2% (2% a.m.). Depois de quanto tempo este capital estará
duplicado?
Solução:
Sabemos que S = P (1 + i)n . Quando o capital inicial estiver
duplicado, teremos S = 2P. Substituindo, vem:
2P = P(1+0,02)n [Obs: 0,02 = 2/100 = 2%]
Simplificando, fica:
2 = 1,02n , que é uma equação exponencial simples.
Teremos então:
n = log1,022 = log2 /log1,02 = 0,30103 / 0,00860 = 35
Nota: log2 = 0,30103 e log1,02 = 0,00860; estes valores podem ser
obtidos rapidamente em máquinas calculadoras científicas. Caso uma
questão assim caia no vestibular, o examinador teria de informar os
valores dos logaritmos necessários, ou então permitir o uso de
calculadora na prova, o que não é comum no Brasil.

12. Portanto, o capital estaria duplicado após 35 meses (observe que a
taxa de juros do problema é mensal), o que equivalente a 2 anos e 11
meses.
Resposta: 2 anos e 11 meses.
FUNÇÃO POTENCIA:
POLINOMIAL
Toda função na forma P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x +
a0, é considerada uma função polinomial, onde p(x) está em função
do valor de x. A cada valor atribuído a x existe um valor em y, pois
x: domínio da função e y: imagem.
O grau de um polinômio é expresso através do maior expoente
natural entre os monômios que o formam. Veja:
g(x) = 4x4 + 10x2 – 5x + 2: polinômio grau 4.
f(x) = -9x6 + 12x3 - 23x2 + 9x – 6: polinômio grau 6.
h(x) = -3x3 + 9x2 – 5x + 6: polinômio grau 3.
Em uma função polinomial, à medida que os valores de x são
atribuídos descobrimos os respectivos valores em y [p(x)],
construindo o par ordenado (x,y), usado nas representações gráficas
no plano cartesiano. Observe:
EXEMPLOS
Dada a função polinomial p(x) = 2x3 + 2x2 – 5x + 1. Determine os
pares ordenados quando:
x = 0
p(x) = 2x3 + 2x2 – 5x + 1
p(0) = 2*03 + 2*02 – 5*0 + 1
p(0) = 0 + 0 – 0 + 1
p(0) = 1
par ordenado (0,1)
x = 1
p(1) = 2*13 + 2*12 – 5*1 + 1
p(1) = 2 + 2 – 5 + 1

13. p(1) = 0
par ordenado (1,0)
x = 2
p(2) = 2*23 + 2*22 – 5*2 + 1
p(2) = 2*8 + 2*4 – 10 + 1
p(2) = 16 + 8 – 10 + 1
p(2) = 15
par ordenado (2,15)
Obtenção da Função Derivada
O objetivo é apresentar o significado de uma função derivada e como
ela se relaciona com a função que lhe deu origem. Ao mesmo tempo,
deseja-se mostrar, através de um caso particular, como foram
construídas as regras de derivação. Para isso, tomando como
exemplo uma função polinomial do tipo:
y = f(x) = a + b.x + c.x²
considere as várias funções obtidas a partir dela, desde a função
constante, y = a , até aquela representada pela função do 2ºgrau, e
suas derivadas.
A- Derivada da Função Constante
A função constante y = a tem por gráfico uma reta paralela à
abscissa.
[pic]
Exemplo: f’(ln|2x+1|) = 2/2x+1;
*Derivada da soma de duas funções:
f’(g(x)+h(x)) = f’(g(x)) + f’(h(x));
Exemplo: f’((2x) + (5x^2+5)) = 2 + 10x;
*Derivada do produto de uma constante por uma função:
f’(c.g(x)) = c.g’(x);
Exemplo: f’(2.(2x)) = 2.2 = 4;
*Função potência:
f’(x^n) = n.x^(n-1);
Funções Logarítmicas e Exponenciais

14. LOGARITMOS:
Lembre-se que, algebricamente, o logaritmo é um expoente. Mais
precisamente, se b > 0 e b [pic]1, então para valores positivos de x o
logaritmo na base b de x é denotado por
[pic]
e é definido como sendo aquele expoente ao qual b deve ser elevado
para produzir x. Por exemplo,
[pic]
Historicamente, os primeiros logaritmos a serem estudados foram os
de base 10 chamados de logaritmos comuns. Para tais logaritmos, é
usual suprimir referência explícita para a base e escrever log x e não
[pic]. Mais recentemente, os logaritmos de base dois desempenharam
importante papel em ciência computacional, uma vez que surgem
naturalmente em sistema numérico binário. Porém, os logaritmos
mais largamente usados nas aplicações são logaritmos naturais, os
quais tem uma base natural denotada pela letra e em homenagem ao
matemático suíço Leonard Euler, que primeiro sugeriu sua aplicação
aos logaritmos no artigo não-publicado, escrito em 1728. Esta
constante, cujo valor está em seis casas decimais, é
e[pic]2, 718282
surge como assíntota horizontal ao gráfico da equação
y = [pic]
Os valores de[pic]aproximam-se a e
|x |[pic] |[pic] |
|1 |2 |[pic]2,000000|
|10 |1,1 | 2,593742 |
|100 |1,01 | 2,704814 |
|1000 |1,001 | 2,716924 |
|10.000 |1,0001 | 2,718146 |
|100.000 |1,00001 | 2,718268 |
|1.000.000 |1,000001 | 2,718280 |
[pic]
O fato de que y = e, quando x[pic] e quando x[pic] é expresso pelos
limites
[pic] e [pic]

15. A função exponencial f (x) = [pic]é chamada de função exponencial
natural. Para simplificar a tipografia, esta função é, algumas vezes,
escrita como exp x. Assim, por exemplo, você pode ver a relação
[pic]expressa como
exp([pic]+[pic]) = exp([pic]) exp([pic])
Esta notação é também usada porrecursos computacionais, e é típico
acessar a função [pic]com alguma variação do comando EXP.
DERIVADA DE UMA CONSTANTE
Se c for um número real qualquer, então:
[pic]
DERIVADA DE UMA CONSTANTE VEZES UMA FUNÇÃO
Se for diferençável em x e c for um número real qualquer, então:
[pic]
DERIVADAS MAIS ALTAS
Se a derivada (f') de uma função (f) for ela mesma diferençável,
então a derivada de (f') será denotada por (f''), chamada de derivada
segunda de (f):
[pic]
Se pudermos repetir este processo, obteremos a derivada terceira de
f:
E assim por diante, na forma geral:
[pic]
 Desenvolvimento:
1) RESOLVA O PROBLEMA– DESAFIO
I - Um trator tem seu valor dado pela função V(x) =125.000 · 0,91x, onde x
representa o ano após a compra do trator e x = 0 o ano em que foi
comprado o trator.
a)Calcule o valor do trator após 1, 5 e 10 anos da compra.

16. V(1) = 125.000 x 0,91¹
V(1) = 113.750
V(5) = 125.000 x 0,915
V(5) = 125000 x 0,625
V(5) = 78.125
V(10) = 125,000 x 0,9110
V(10) = 125.000 x 0,39
V(10) = 48.750
b)Qual o valor do trator na data da compra? Qual o percentual de
depreciação do valor em um ano?
V(0) = 125.000 x 0,9110 = 125.000
125.000 = 100
(125.000 – 113.750) = x
125.000 = 100
1.1250 x
125.000x = 1125000
x = 1125000
125000
x = 9 %
c)Esboceo gráfico de V(x).
0
20.000
40.000
60.000
80.000
100.000
120.000
140.000
1 5 10

17. d)Após quanto tempo o valor do trator será $90.000,00?
125.000 x 0,91 = 90.000
0,91x = 90.000
125.000
0,91x = 0, 721
=> (91)x
x = 3, 48
x = aproximadamente 3 anos e 6 meses

18.  Conclusão:
Através do desenvolvimento deste trabalho pode-se concluir o
quanto se faz necessário às funções matemáticas e a contabilidade para um
bom relacionamento entre o homem e o estudo das ciências exatas,
mostramos a importância da função de primeiro grau nas ciências
contábeis. Com os exemplos acima descritos nota-se que a função de
primeiro grau não só é utilizada na contabilidade. Mas na vida diária,
usamos as funções e a contabilidade para obter precisão dos fatos para
tomada de decisões tanto na vida profissional como na vida pessoal.
Concluímos então que um estudante para torna-se um bom
profissional deve aplicar não só as funções de primeiro grau, mas todas as
funções matemáticas junto da contabilidade, Identificando soluções para os
desafios que por ventura virão com a profissão e também resolver
problemas e satisfazer os envolvidos nas diversas situações com habilidade
e a competência necessária.

19.  Referencias Bibliograficas:
Murolo, Afrânio Carlos – Matematica aplicada a administração,
economia e contabilidade / Afranio Carlos Murolo, Giacomo
Augusto Bonetto – São Paulo 2009.
http:// www.brasilescola.com/matematica
http:// www.mundoeducação.com.br/matemática
http://www.pucrs.br/famat/silveira/calculoa/m2/3tecnicas_1_consta.h
tm
http://www.somatematica.com.br/superior.php