Folleto vectores

ANALISIS VECTORIAL VECTORES EN DOS DIMENSIONES
0 VECTORES - WALTER PEREZ TERREL VECTORES - WALTER PEREZ TERREL 1
1. VECTOR. Se representa mediante un
segmento de recta orientado. En física
sirve para representar a las magnitudes
físicas vectoriales. Se representa por
cualquier letra del alfabeto con una
pequeña flecha en la parte superior.
2. ELEMENTOS DEL VECTOR: el
vector tiene dos elementos principales, el
módulo y la dirección.
2.1) MÓDULO: Indica el valor de la mag-
nitud vectorial. Geométricamente es el
tamaño del vector.
Notación del vector: ( );= =

A OP x y
donde A A=

representa al módulo del
vector.
El módulo del vector se determina
mediante el teorema de Pitágoras:
2 2
A x y= +
2.2) DIRECCIÓN: es la orientación que
tiene el vector respecto al sistema de
coordenadas cartesianas. En el plano de
define mediante el ángulo que forma el
vector con el eje “x” positivo.
El ángulo q se mide en sentido antihorario.
=q
y
Tan
x
Luego la medida del ángulo es:
 
=  
 
q
y
arc Tan
x
EJEMPLO 01: Se muestra un vector
P cuyo origen es (0; 0) y el extremo (3;
4). Determine el módulo y dirección del
vector P.
Resolución
Elmódulodelvectorsedeterminaaplicado
el teorema de Pitágoras.

2 2
3 4 5A = + =

Dirección. Cálculo del ángulo que forma
el vector con el eje x.

Utilizando calculadora: INV, TAN, (4/3) =
04
53
3
y
Tg
x
q q= = ⇒ =
EJEMPLO 02: Se tiene un vector cuyo
origen es (2; 3) y el extremo (8; 11). De-
termine el módulo y dirección del vector.
Resolución
Determinamos las componentes del vec-
tor, restando el punto extremo y el origen
del vector: ( ) ( ) ( )8 11 2 3 6 8x ; ; ;= − =

El módulo del vector se determina apli-
cado el teorema de Pitágoras.
2 2
6 8 10x = + =

Cálculo del ángulo que forma el vector con
el eje x.
Utilizando calculadora: INV, TAN, (4/3) =
08 4
53
6 3
y
Tg
x
q q= = = ⇒ =
Respuesta: módulo 10 y dirección 53º
respecto del eje x positivo.
CLASIFICACIÓN DE LOS
VECTORES: Se clasifican en vec-
tores colineales, paralelos, opuestos,
iguales, coplanares, concurrentes, etc.
3.1) VECTORES COLINEALES: Cuando
todos ellos se encuentran contenidos en
una misma línea recta o línea de acción.
3.2) VECTORES PARALELOS: Son
aquellos que tienen sus líneas de acción
respectivamente paralelos.
OPERACIONES CON VECTORES
1. ADICIÓN DE VECTORES PA-
RALELO Y COLINEALES: En este
caso todos los vectores están contenidos
en rectas paralelas o en la misma recta,
entonces la dirección de los vectores se
diferencian con el signo negativo (-) o el
signo positivo (+).
Los vectores son:
a

= +2
b

= -3
c

= +4
El vector resultante es:
R a b c= + +
  
= (+2) + (-3) + (+4) = +3
Entonces el rector resultante tiene módulo
3 y dirección horizontal hacia la derecha.
3.3) VECTORES OPUESTOS: Son aquel-
los dos vectores que tienen igual módulo
pero direcciones opuestos. La suma de dos
vectores opuestos es nula.
3.4) VECTORES IGUALES: Dos vectores
serán iguales cuando sus dos elementos
principales son iguales, es decir tiene igual
módulo e igual dirección.
3.5) VECTORES COPLANARES: Dos o
más vectores se denominan coplanares
cuando todos ellos se encuentran conte-
nidos en un mismo plano.
3.6) VECTORES CONCURRENTES: Dos
o más vectores se denominan concur-
rentes, cuando todos ellos tienen el mismo
punto de de aplicación o sus líneas de
acción se intersecan en un mismo punto.
EJEMPLOS:
1) Los vectores a y b son colineales, porque
están contenidos sobre una misma línea
recta o línea de acción (L1
).
2) Sabiendo que L1
y L2
son paralelos. Los
vectores a y c son paralelos porque están
contenidos es rectas que son paralelas
entre sí.
3) Los vectores e, f y g son concurrentes y
coplanares
2. PRODUCTO DE UN ESCALAR POR
UN VECTOR: La cantidad escalar es
todo número real, positivo o negativo,
entero o fracción. Cuando se multiplica
un escalar por un vector, el vector result-
ante es otro vector cuya dirección es el
mismo del vector original si la cantidad
escalar es positiva y tiene dilección opu-
esta si la cantidad escalar es negativa.
Observemos los siguientes vectores:
1) Los vectores a

y b

son opuestos:
a b= −

2) El vector c

es de tamaño doble que
a

y tienen igual dirección: 2c a=
 
3) El vector c

es de tamaño doble que b

y tienen direcciones opuestos: 2c b= −

En general dos vectores paralelos
o colineales son linealmente indepen-
dientes. .a K b

=
Si K>0, entonces a y b

tienen igual
dirección.
Si K<0, entonces a y b

tienen direcciones
opuestas. donde K pertenece a los números reales.
3. EXPRESIÓN DE UN VECTOR
COMO PAR ORDENADO: En el
L 1
L 2
a b
c d
e
f
g
1a b
c
1a b
c

plano cartesiano los vectores tienen
dos componentes, entonces un vec-
tor se puede expresar como un par
ordenado donde el origen del vector se
encuentra en el origen de coordenadas.
EJEMPLO: Se muestra tres vec-
tores en un plano cartesiano. Deter-
mine el módulo del vector resultante.
RESOLUCIÓN
Expresamos cada vector como par orde-
nado:
(3;2)a =

( 2;3)b = −

( 1; 3)c = − −

Ahora determinamos el rector resultante:
(0;2)R a b c= + + =
  
Entonces el módulo del vector resultante
es: 2
4. MÉTODO DEL PARALELOGRA-
MO (para adicionar sólo dos vectores)
Si dos vectores A y B tienen el mismo
origen, por el extremo de A se traza una
paralela al vector B, y a la vez por el ex-
tremo de B se traza una paralela al vector
A. El modulo del vector suma o resultante

1
2
Cosq =
Utilizando calculadora: INV, COS, (1/2) =
Resolviendo tenemos: 60q= °
5. CASOS PARTICULARES
1) RESULTANTE MÁXIMA: La resultante
dedosvectoresesmáximacuandoforman
entre si un ángulo nulo, por consiguiente
tienen igual dirección.
2) RESULTANTE MÍNIMA: La resultante
de dos vectores es mínima cuando for-
man entre si un ángulo igual a 180°, por
consiguiente tienen direcciones opuestas.
3) VECTORES ORTOGONALES: Si
los vectores forman entre si un án-
gulo recta, la resultante se obtiene
aplicando el teorema de Pitágoras.
se obtiene trazando la diagonal del paralel-
ogramo desde el origen de los vectores.
R A B= +
 
2 2 2
2 cos= + + qR A B AB
R: es el módulo del vector resultante.
A y B: módulo o valor de los vectores
sumandos.
0q: es la medida del ángulo entre los vec-
tores A y B.
EJEMPLO: ¿Qué ángulo deben formar
dos fuerzas de módulos 30 N y 50 N
para que actúen sobre un cuerpo como
una sola fuerza de módulo igual a 70 N?
RESOLUCIÓN
Aplicamos el método del paralelogramo:
2 2 2
2 . .R A B A B Cosq= + +

2 2 2
(70) (30) (50) 2(30).(50).Cosq= + +
EJEMPLO: La resultante de dos vec-
tores de modulo constante, varia al hacer
girar uno de ellos. El mínimo módulo de la
resultante es 2 y el máximo 14. Determine
el módulo de la resultante cuando los
vectores forman ángulo recto.
RESOLUCIÓN
La resultante mínima es:
A – B = 2 ……(1)
La resultante máxima es:
A + B = 14 …….(2)
Resolviendo las ecuaciones (1) y (2)
tenemos:
A = 8 y B = 6
Cuando forman ángulo recto, la resultante
se obtiene aplicando el teorema de Pitágo-
ras: R2
= A2
+ B2
Reemplazando tenemos: R = 10
6. DIFERENCIADEDOSVECTORES
El vector diferencia D indica al vec-
tor minuendo A. El módulo se ob-
tiene aplicando la ley de Cosenos.
B D A+ =
 
D A B= −
 
2 2 2
2 cosD A B AB q= + −
2 2
2 . .= + − qD A B A B Cos
1
a
b
c
1
x
y
A
B
R
q
30
50
70
q
Figura 4.2
B A
R (max) = A + B
B A
R (min) = A - B
B
A
R2
= A2
+ B2
R

OBSERVACIONES:
1. Si el ángulo θ es obtuso entonces el
módulo de la suma es menor que el
módulo de la diferencia.
2. Si el ángulo θ = 90°, entonces el módulo
de la diferencia es igual al módulo de la
suma.
3. El módulo de la resultante es máxima
cuando forman entre si un ángulo nulo
(0°).
4. El módulo de la resultante es mínima
cuando forman entre si un ángulo de 180°.
EJEMPLO 01: Se muestra un paralelo-
gramo. Expresar el vector x

en fusión
de los vectores A y B.
RESOLUCIÓN
La diagonal del paralelogramo representa
a la resultante de sumar los vectores A y
B.
Reemplazando (1) en (2): 3R c=
 
El módulo del vector resultante es: R =
6 cm.
EJEMPLOS 03: Se muestra un conjunto de
vectores. Sabiendo que AB = BC = CD =
DE y el módulo del vector c

es 1,0 cm,
determine el módulo del vector resultante.
RESOLUCIÓN
Construimos el paralelogramo. La re-
sultante de cada par de vectores es la
diagonal del paralelogramo.
Nos piden: R a b c d e= + + + +
    
Ordenando convenientemente:
( ) ( )R a e b d c= + + + +
    
….. (1)
Pero se observa que:
( ) ( ) 2a e b d c+ = + =
   
… ......(2)
Reemplazando (2) en (1): 5R c=
 
El módulo de la resultante es:
R = 5 cm.
6. MÉTODO DEL POLÍGONO. Suma
de “n” vectores.
Consiste en construir un polígono con los
vectores sumandos. Es necesario ordenar
los vectores uno continuación del otro
uniendo, uniendo el extremo del primero
con el origen del segundo, el extremo del
segundo con el origen del tercero, así
sucesivamente hasta el último vector.
Ejemplos:
1) Resultante de cinco vectores:
= + + + +
    
R a b c d e
2) Resultante de cuatro vectores:
La diagonal representa la resultante de los
vectores: 2X A B= +
 
Despejando tenemos que:
2
A B
X
+
=
 

EJEMPLOS 02: Se muestra un conjunto
de vectores. Sabiendo que AB = BC y el
módulo del vector c

es 2 cm, determine
el módulo del vector resultante.
RESOLUCIÓN
Completamos el paralelogramo, donde OB
es la mitad del paralelogramo.
Observamos que:
2a b c+ =
 
…………. (1)
Nos piden: R a b c= + +
  
Ordenando convenientemente:
( )R a b c= + +
  
………….. (2

= + + +
   
R a b c d
3) Resultante de tres vectores:

= + +
  
R a b c
4) Resultante de dos vectores:

= +
 
R a b
EJEMPLOS01:Semuestraunconjuntode
vectores. Determinar el vector resultante.
RESOLUCIÓN
Nos piden: R a b c d e= + + + +
    
Agrupamos convenientemente:
( ) ( )R a b c d e= + + + +
    
…...... (1)
Resolución
Ordenamos los vectores formando un
nuevo polígono cuyo módulo es nulo.
( ) ( ) 0a c b d
   
+ − + + − =
Ordenando tenemos que:
a b c d+ = +
  
… (1)
Nos piden la resultante de:
R a b c d= + + +
   
… (2)
Reemplazando (1) en (2): 2( )R a b= +
 
Aplicado el teorema de Pitágoras ten-
emos:
2 2
10+ = + ⇒ + =
  
a b a b a b
Respuesta: 2. 20= + =
 
R a b
1. RESULTANTE NULA Y LA LEY DE SE-
NOS
Si la resultante tres vectores coplanares
y concurrentes es nula, entonces con
dichos vectores se forma un triángulo. El
módulo de cada vector es directamente
proporcional al seno del ángulo opuesto.
Se construye el polígono cerrado (trián-
gulo)
Pero de figura sabemos que:
( ) ( )a b c d e+ = + =
   
………….. (2)
Reemplazando (2) en (1): 3R e=
 
POLÍGONO CERRADO Y ORDE-
NADO.
Si el polígono formado es ordenado y
cerrado, entonces el módulo del vector
resultante en nulo. El orden de los vectores
puede ser en sentido horario o antihorario.
0a b c d e f
     
+ + + + + =
Es importante señalar la UNIÓN de la
CABEZA de un vector con la COLA del
siguiente vector.
EJEMPLOS 01: Se muestra un conjunto de
vectores. Sabiendo que los vectores a y b
son perpendiculares, a = 6 cm y b = 8 cm,
determine el módulo del vector resultante.
Los vectores F1
, F2
y F3
se encuentran
contenidos en un plano.
1 2 3 0= + + =
   
R F F F
Aplicamos la ley de Senos al triángulo:
31 2
= =
a b q
FF F
Sen Sen Sen
Casos especiales:
a) Si los tres ángulos son iguales
120a b q= = = °, entonces el módulo de
los tres vectores también serán iguales:
F1
= F2
= F3
.
b) Si dos de los ángulos son iguales (trián-
gulo equilátero) entonces dos de los
vectores tendrán el mismo módulo.
EJEMPLO 01: Se muestra tres vectores
coplanares y concurrentes de módulos
igualesqueformanentresiángulosiguales.
F1
F2
F3
F1
F2
F3
F1
F2
F3
q
b
a

Resolución
Conlostresvectoresseformauntriángulo
equilátero. Por consiguiente el módulo del
vector resultante es cero: R = 0.
EJEMPLO 02: Se muestra tres vectores
coplanares y concurrentes que forman
entre si ángulos iguales.
Resolución
Aplicamos la propiedad asociativa de
los vectores. Con los tres vectores de
módulo 10 unidades forman un triángulo
equilátero, por consiguiente el módulo
del vector resultante en nulo. Entonces
quedandosvectoresdemódulos3y5uni-
dades que forman entre si forman 120°.
El módulo de la resultante es
2 2
2 cosR a b ab q= + +
3) El vector resultante se determina
aplicando el teorema de Pitágoras.
2 2
x yR R R= +
4) La dirección del vector resultante re-
specto del eje X se determina mediante
la razón tangente:
=φ
Ry
Tan
Rx
CASOS ESPECIALES:
1) Si la resultante de los vectores se encuen-
tra en el eje “x”, entonces la componente
en el eje “y” es nula.
0eje yV =∑

2) Si la resultante de los vectores
se encuentra en el eje “y”, entonces
la componente en el eje “x” es nula.

0eje xV =∑
reemplazando obtenemos:

2 2
3 5 2.3.5cos120R= + + °
19R = = 4,36
7. MÉTODO DE LA DESCOMPO-
SICIÓN RECTANGULAR:
En el plano cartesiano cualquier vector
tiene dos componentes rectangulares.
Ax
: Componente de A en el eje X.
Ay
: Componente de A en el eje Y.
De donde deducimos que:
xA A.Cos= q
yA A.Sen= q
Para determinar la resultante de un
sistema de vectores por este mé-
todo, se sigue los siguientes pasos:
1) Cada vector se descompone rectan-
gularmente, respecto de un sistema de
ejes coordenados arbitrariamente elegido.
2) Se determina la resultante en cada eje
cartesiano.
Rx
: Resultante en el eje X.
Ry
: Resultante en el eje Y.
EJEMPLO 01: En la figura mostrada, de-
terminar el valor de A para que el vector
resultante de los tres vectores indicados
esté sobre el eje “x”.
Resolución
Se descompone cada uno de los vectores
(figura 8.5), respecto del eje cartesiano.
De la condición del problema, la re-
sultante en el eje vertical es nula.
3. 60 2. 45 10 0A Sen A Sen°+ °− =

3
10 0
2
A
A+ − =
Resolviendo tenemos: A = 4
120°
120°
10 10
10
120°
120°
10 13
15
120°
120°
10 10
10
120°
3
5
+
R X
Y
0
R
X
Y
0

8 MÉTODO DE LA DESCOMPO-
SICIÓN POLIGONAL: En general
un vector de puede descomponer en dos
o más vectores, formando siempre un
polígono cerrado.
EJEMPLO: La figura muestra un trape-
cio de vértices A, B, C y D. Sabiendo
que M es punto medio del segmento
AD, donde AB = 4 m y DC = 7 m, de-
termine el módulo del vector resultante.
Resolución
Descomponemos poligonalmente los vec-
tores MB y MC
 
. Las componentes
MA y MD
 
representan vectores
opuestos, es decir se cancelan entre sí.
Laresultanteseobtieneadicionandolosvec-
toresparalelosdeigualsentido AB

y DC

.
R AB DC= +
 
lado la unidad de medida, determine el
vector resultante.
RESOLUCIÓN
Descomponemos cada uno de los vec-
tores en función de los vectores unitarios
cartesianos:
ˆ ˆ3 1a i j= +

ˆ ˆ2 1b i j=− +

ˆ ˆ2 2c i j=− −

ˆ ˆ2 1d i j=+ −

Calculamos el vector resultante:
R a b c d= + + +
   
Respuesta: ˆ ˆR 1i 1j= −

8. VECTORES UNITARIOS CARTE-
SIANOS EN EL ESPACIO
En el espacio tridimensional el vector tiene
tres componentes.
ˆˆ ˆ( ; ; )x y z x y za a a a a i a j a k= = + +

EJEMPLO 01: Se tiene un vector
ˆˆ ˆ3 12 4a i j k

= + + .Determineelmódulo
del vector.
Resolución
Si graficamos el vector obtenemos un
paralelepípedo, entonces el modulo del
vector es igual al tamaño de la diagonal.

( )
22 2
3 12 4 9 144 16a

= + + = + +
169a

=

13a

=
Respuesta: el módulo del vector es 13.

= − − . Determine el
módulo del vector.
Resolución
paralelepípedo, entonces el modulo del

( ) ( ) ( )
2 2 2
12 3 4 144 9 16a

= + − + − = + +
R

= 4 + 7 = 11
Respuesta: el módulo de la resultante es
11
9. VECTORES UNITARIOS CARTE-
SIANOS EN EL PLANO.
Son aquellos vectores que tienen como
módulo la unidad de medida y las direc-
ciones coinciden con los ejes cartesianos.
Los vectores cartesianos son:
ˆi : tiene dirección del eje X positivo.
ˆ−i : tiene dirección del eje X negativo.
ˆj : tiene dirección del eje Y positivo
ˆ− j : tiene dirección del eje Y negativo
El módulo es igual a la unidad de medida:
ˆ ˆ ˆ ˆ 1=− = =− =i i j j
Representación de un vector en función de
vectores unitarios:
ˆ ˆ( ; )= = +

x y x ya a a a i a j
EJEMPLO: Se muestra un conjunto de
vectores. Si cada cuadrado tiene como
M
A B
CD
M
A B
CD
3i-2i
1j1j
-2i 2i
-1j
-2j

169a

=

13a

=
EJEMPLO 03: Se muestra un cubo de
arista 1 cm. Determine el módulo del
vector resultante.
Resolución
Hacemos la descomposición de cada
vector respecto del sistema de ejes car-
tesianos.
Eje X: x = 1
Eje Y: y = 1 + 1 = 2
Eje Z: z = -1
Determinamos el módulo del vector resul-
Determinamos el módulo del vector result-
ante con la siguiente fórmula:

2 2 2
R x y z= + +
Reemplazando en la fórmula tenemos:
R =4
8. VECTOR UNITARIO DIREC-
CIONAL. Cada vector tiene su vector
unitario. Entonces se puede obtener un
vector unitario en una dirección determi-
nada, relacionado dos o más vectores.
EJEMPLO 01: Determine el vector unitario
del vector: ˆ ˆ6 8A i j= −

Resolución
ˆ ˆ6 8
ˆ
10
−
= =


A i j
u
A

A 6 8ˆ ˆˆu i j
10 10A
   
= = −   
   


ˆ ˆ0,6 0,8u i j= −

EJEMPLO 02: Se muestra un cuadrado de
vérticesA,B,CyD;ademásuncuartodecir-
cunferencia con centro en D. Determine el
vector x

enfuncióndelosvectores a

y b

.
Resolución
Consideremos un cuadrado de lado igual
a la unidad de medida, por consiguiente
medida de la diagonal del cuadrado es:
2 unidades
Observamos que el vector unitario ˆu del
vector x

es el mismo que del vector
( a b+

).
El vector unitario es: ˆ
2
a b
u
+
=

El vector x

es igual al producto del
módulo del vector x

por su correspondi-
ente vector unitario.
ˆx x u=
 
, entonces tenemos que el
tamaño del vector x

es igual al radio del
cuadrante cuya medida es la unidad.
Finalmente tenemos:
2
a b
x
+
=


EXPRESIÓN DE UN VECTOR
EN FUNCIÓN DE OTROS: para
expresar un vector en función de otros
es necesario construir polígonos cer-
rados y aplicar a estos las propiedades
del método del polígono para adicionar
dos o más vectores. También se conoce
como “combinación lineal de vectores”
EJEMPLO 01: En la figura expresar el vec-
tor x

en función de los vectores a

y b

.
tante con la siguiente fórmula:

2 2 2
R x y z= + +
Reemplazando en la fórmula tenemos:
R = 6
EJEMPLO 04: Se muestra un cubo de
arista 1,0 cm (figura 11.4). Determine el
módulo del vector resultante.
Resolución
Hacemos la descomposición de cada
vector respecto del sistema de ejes car-
tesianos. Los vectores en la cara superior
del cubo se cancelan, solo quedan com-
ponentes en el eje “z”.
Eje X: x = 0
Eje Y: y = 0
Eje Z: z = -4
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y

Resolución
Agregamos al grafico dos vectores cuyos
módulos están en relación de 1 a 2.

En el triángulo OJH: x a p= +
  

Despejando: x a p− =
  
….(1)
En el triángulo OHK:
2x p b+ =
  …(2)
Reemplazando (1) en (2):
2
3
a b
x
+
=


EJEMPLO 02: Si =
BC a
CD b
expresar el
vector AC

en función de los vectores
AB y AD
 
.
Demostrar que:
bAB aAD
AC
a b
+
=
+
 

RESOLUCIÓN
Expresión de un vector en función de
otros. Combinación Lineal de vectores.
El módulo representa el tamaño o valor
de la cantidad vectorial. La dirección
representa la orientación del vector
respecto del sistema coordenado car-
tesiano u otro sistema coordenado.
2. VECTORES UNITARIOS CAR-
TESIANOS EN EL ESPACIO.
El vector unitario es aquel que tiene
como módulo o tamaño la unidad de
medida. Los vectores cartesianos son:
î : tiene dirección del eje X positivo.
î− : tiene dirección del eje X negativo.
ˆj : tiene dirección del eje Y positivo
ˆj− : tiene dirección del eje Y negativo
kˆ : tiene dirección del eje Z positivo.
kˆ− : tiene dirección del eje Z negativo.
El módulo de cada vector uni-
tario es igual a la unidad de medida:
1ˆˆˆ === kji
Los tres vectores unitarios son mu-
t u a m e n t e p e r p e n d i c u l a r e s :
kji ˆˆˆ ⊥⊥
AC .AB .AD= a +b
Segmentos Proporcionales:

AC AB AD AC
a b
− −
=
b.AC b.AB a.AD a.AC− = −
( )a b .AC b.AB a.AD+ = +

b.AB a.AD
AC
a b
+
=
+
Respuesta:
b a
AC .AB .AD
a b a b
   
= +   
+ +   
VECTORES EN TRES
DIMENSIONES
1. VECTOR. Se representa mediante un
segmento de recta orientado. En física
sirve para representar a las magnitudes
físicas vectoriales. Se representa por
cualquier letra del alfabeto con una
pequeña flecha en la parte superior. Todo
vector tiene dos elementos fundamentales:
el modulo y la dirección.
En el espacio tridimensional el vec-
tor a

tiene tres componentes:
x y z x y z
ˆ ˆ â (a ;a ;a ) a i a j a k= = + +


= + + . Determine el
módulo del vector.
Resolución
paralelepípedo, entonces el módulo del

( )
22 2
3 12 4 9 144 16a

= + + = + +

13a

=
3. VECTOR UNITARIO DIRECCI-
ONAL. Cada vector tiene su respectivo
vector unitario. El vector unitario es pa-
ralelo a su respetivo vector de origen.

uaa
a
a
u ˆ.ˆ =⇒=
A B C D
a b
X
Y
Z
VECTORES UNITARIOS
j
i
k
X
Y
Z
COMPONENTES DEL VECTOR
ay
ax
az

En general se puede obtener un vector
unitario en una dirección determinada,
relacionado dos o más vectores.
EJEMPLO 02: Determine el vector uni-
tario del vector: ˆ ˆ Â 3 i 4 j 12k= + +

Resolución
El vector unitario se define como:

ˆ ˆ Â 3 i 4 j 12k
û
13A
+ +
= =


El vector unitario es:

3 4 12
û i j k
13 13 13
= + +
4. COSENOS DIRECTORES. Son
las componentes del vector unitario
en el sistema coordenado cartesiano.
Enelsistemacartesianotridimensionalvec-
tor a

tienetrescomponentesrectangulares:
ˆˆ ˆ( ; ; )= = + +

x y z x y za a a a a i a j a k
Designamos con qba y, los ángulos
que el vector a

hace con los ejes carte-
sianos X, Y y Z, respectivamente.
Te n e m o s t r e s c o m p o n e n t e s :
aCosaax .= ,

bCosaay .= ,
qCosaaz .= …(1)

Cálculo del módulo del vector:

2222
xyx aaaa ++= …(2)
donde πq ≤≤0
Debemos enfatizar que A B•
 
es
un número real, (positivo, nega-
tivo o nulo), y no un vector.
Dado los vectores:

1 2 3A a .i a .j a .k= + +


1 2 3B b .i b .j b .k= + +

Definición de producto escalar:

1 1 2 2 3 3A B a .b a .b a .b• = + +
 
PROPIEDADES
Se cumple la propiedad conmutativa:
A B B A• = •
   

Propiedad Distributiva:
( )A B C A B A C• + = • + •
      
Vectores paralelos:
i i j j k k 1• = • = • =
Vectores ortogonales:
i j j k i k 0• = • = • =

( ) ( ) ( )
22 2
1 2 3A A a a a• = + +
 

( ) ( ) ( )
22 2
1 2 3B B b b b•= + +
 
Cuadrado del módulo:
2
A A A• =
  
Si A B 0• =
 
y ninguno de los vectores
es nulo, ambos son mutuamente perpen-
diculares.
EJEMPLO 04: Los vectores bya

forman
entre si un ángulo de 120°. Sabiendo que
43 == bya

. Calcular: ba

•
RESOLUCIÓN
De la definición:

a b a . b .Cos
   
q• =

( ) ( ) 0
a b 3 4 Cos120 6
 
• = ⋅ ⋅ =−
EJEMPLO 05: ¿Para qué valores de
“m” los vectores ˆ ˆ â m.i 3 j 2k

= − + y
ˆ ˆ ˆb 1i 2 j m.k

= + − son perpendiculares
entre sí?
RESOLUCIÓN
De la definición:
1 2 3
ˆ ˆ â a .i a .j a .k

= + +
1 2 3
ˆ ˆ ˆb b .i b .j b .k

= + +
1 1 2 2 3 3a b a .b a .b a .b
 
•= + +
De la condición: Si a b 0
 
• = y nin-
guno de los vectores es nulo, ambos
son mutuamente perpendiculares.
Entonces:
reemplazando (1) en (2) tene-mos:

( ) ( ) ( ) 1
222
=++ qba CosCosCos
Entonces el vector unitario de a

es:
( )qba CosCosCosu ;;ˆ =
EJEMPLO 03: Calcular los cosenos direc-
toresdelvector ˆ ˆ Â 12 i 15 j 16k= − −

.
RESOLUCIÓN
Cálculo del módulo del vector:
( ) ( ) ( )
2 2 2
12 15 16= + − + −

A

144 225 256 25= + + =

A
Definición de vector unitario:

A i j k
u
A
ˆ ˆ ˆ12 15 16
ˆ
25
− −
= =


A
u i j k
A
ˆ ˆ ˆˆ 0,48 0,6 0,64= = − −



( )qba CosCosCosu ;;ˆ =
Comparando tenemos que:
Cos 0,48a = , Cos 0,6b = − ,
Cos 0,64q = −
5. PRODUCTOESCALAR.Dadolosvectores
A y B
 
, su producto escalar o interno
se representa por A B•
 
, y se define
como el producto de sus módulos por el
coseno del ánguloq que forman, esto es:
A B A . B .Cos B . A .Cosq q•= =
     
,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m . 1 3 . 2 2 . m 0+ − + − =
Resolviendo: m 6= −
6. PRODUCTO VECTORIAL. Dado
los vectores A y B
 
, su producto vecto-
rial o externo se representa por otro vector
C

, que se denota como C A B= ×
  
. Su módulo se define como el pro-
ducto de sus módulos por el seno del
ánguloq que forman entre sí, esto es:
A B A . B .Senq× =
   
, donde
πq ≤≤0
Debemos enfatizar que C

es perpen-
dicular al plano formado por los vectores
A y B
 
.
Regla de la mano Derecha: los dedos
giran desde la dirección del vectorAhacia
la dirección del vector B y el dedo pulgar
coincide con el vector C. En la figura el
ángulo q gira en el sentido desdeAhacia
B.
PROPIEDADES
I. Si A B 0× =
  
, entonces los vectores
tienen la misma dirección o son paralelos.
II. Anti conmutativo:
EJEMPLO 06: Los vectores bya

for-
man entre si un ángulo de 30°. Sabiendo
que 56 == bya

. Calcular: ba

×
RESOLUCIÓN
De la definición:
a b a . b .Sen
   
q× =
0
a b 6 5 Sen30 15
 
× = ⋅ ⋅ =
EJEMPLO 07: Dado los vectores
ˆ ˆ Â 3 i 1j 2k= − −

y ˆ ˆ ˆB 1i 2 j 1k= + −

determinar las componentes vectoriales
de: A B×
 
RESOLUCIÓN
Deladefinicióndelproductovectorialentre
dos vectores:

1 2 3
1 2 3
ˆ ˆ î j k
A B a a a
b b b
 
 
 
× = 
 
 
ˆ ˆ î j k
A B 3 1 2
1 2 1
 
 
 
× = − − 
 − 

1 2 3 2 3 1ˆ ˆ Â B i j k
2 1 1 1 1 2
  − − − −     
×= − +     − −     

A B i j kˆ ˆ ˆ5 1 7× = + +
 
EJEMPLO 08: Se conocen los vértices
de un triángulo:
A B B A× =− ×
   
III. Propiedad Distributiva:
( )A B C A B A C× + = × + ×
      
IV. Vectores paralelos:
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ î i j j k k 0

× = × = × =
V. Vectores ortogonales:
ˆ ˆ î j k× = , ˆ ˆ ˆj k i× =, ˆ ˆ ˆk i j× =
VI. Dado los vectores:
1 2 3
ˆ ˆ Â a .i a .j a .k

= + +
1 2 3
ˆ ˆ ˆB b .i b .j b .k

= + +
entonces se cumple que:

1 2 3
1 2 3
ˆ ˆ î j k
A B a a a
b b b
 
 
 
× = 
 
 
El área del paralelogramo formado por los
vectores concurrentes A y B
 
es:
Area del paralelogramo A B= ×
 

El área de la región triangular formado por
los vectores A y B
 
es:

A B
Area del triangulo
2
×
=
 
A (0; 0; 0), B (3; 0; 0) y C (0; 4; 0),
calcular el área de la región definida por
el triángulo de vértices A, B y C.
RESOLUCIÓN
Sean los vectores AB y AC
 
donde

( ) ( )AB 3;0;0 y AC 0;4;0
 
= =
1 2 3
1 2 3
i j k
AB AC a a a
b b b
 
 
 × = 
  

i j k
AB AC 3 0 0
0 4 0
 
 
 × =
 
  

0 0 3 0 3 0ˆ ˆ ÂB AC i j k
4 0 0 0 0 4
       
× = − +     
     

ÂB AC 12 k
 
× =
El valor o módulo es:

AB AC 12
 
× =

AB AC 12
Area del triangulo 6
2 2
 
×
= = =
Respuesta: el área de la región tri-
angular es 6 unidades cuadradas.
de un triángulo:
A (2; -1; 2), B (1; 2; -1) y C (3; 2; 1),
determinar las componentes vectoriales
de: AB BC×
 
A
B
q
ÁREA DEL PARALELOGRAMO

RESOLUCIÓN
Determinamos las componentes de cada
vector:

( ) ( )AB 1;3; 3 y BC 2;0;2
 
=− − =

ˆ ˆ î j k
AB BC 1 3 3
2 0 2
 
 
 
× =− − 
 
 

3 3 1 3 1 3ˆ ˆ ÂB BC i j k
0 2 2 2 2 0
  − − − −     
×= − +     
     
ˆ ˆ ÂB BC 6 i 4 j 6 k
 
× = − −
7. TRIPLE PRODUCTO ESCALAR.
Por medio del productos escalar y vecto-
rial de tres vectores
A , B y C
  
se forma: ( )A B C• ×
  

( )
1 2 3
1 2 3
1 2 3
A A A
A B C B B B
C C C
• × =
  
PROPIEDADES:
I. El producto triple escalar es un número
real:
EJEMPLO 10: Se dan los vectores

ˆ ˆ â 1i 1j 3k

= − + ,
ˆ ˆ ˆb 2i 2 j 1k

=− + + y

ˆ ˆ ˆc 3i 2 j 5k

= − +
Determinar: ( )a b c× •
  
RESOLUCIÓN
Deladefinicióndelproductovectorialentre
dos vectores:

1 2 3
1 2 3
ˆ ˆ î j k
a b a a a
b b b
 
 
 
× = 
 
 
ˆ ˆ î j k
a b 1 1 3
2 2 1
 
 
 
×= − 
 − 

1 3 1 3 1 1ˆ ˆ â b i j k
2 1 2 1 2 2
  − −     
×= − +     − −     

a b i j kˆ ˆ ˆ7 7 0× =− − +

ˆ ˆ ˆc 3i 2 j 5k

= − +
Cálculo de del producto escalar:
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )a b c 7 3 7 2 0 5
  
× • = − + − − +
Respuesta: ( )a b c 7
  
× • =−
8. TRIPLE PRODUCTO. Por medio
de productos vectoriales de tres vectores
A , B y C
  
se pueden formar productos
como:
( )A B C número real• × =
  
II. ( ) ( ) ( )A B C B C A C A B
        
• × = • × = • ×
III. El valor del “triple producto escalar”
representa el volumen de un paralel-
epípedo de aristas A , B y C
  
.
A (4; 0; 0), B (0; 5; 0), C (0; 0; 3) y D (0; 0; 0)
Calcular el volumen del sólido de vértices
A, B, C y D.
RESOLUCIÓN
Sean los vectores:
( ) ( ) ( )DA 4;0;0 , DB 0;5;0 , DC 0;0;3
  
= = =
El valor del “triple producto escalar” repre-
senta el volumen de un paralelepípedo de
aristas DA , DB y DC
  
.

( )
1 2 3
1 2 3
1 2 3
A A A
DA DB DC B B B
C C C
  
• × =

( )
4 0 0
DA DB DC 0 5 0
0 0 3
  
• × =
( )
5 0 0 0 0 5
DA DB DC 4 0 0
0 3 0 3 0 0
        
• × = − +     
     
( )DA DB DC 60
  
• × =
Respuesta: el volumen del solido es 60
unidades cúbicas.
( )A B C× ×
  
, ( )A B C× ×
  
o

( )C B A× ×
  
,
en todos estos casos el resultado es otro
vector.
PROPIEDADES:
I. No se puede asociar:
( ) ( )A B C A B C× × ≠ × ×
     
II. ( ) ( ) ( )A B C A C B A B C× × = • − •
        
III. ( ) ( ) ( )A B C A C B B C A× × = • − •
        
EJEMPLO 11: Sean los vectores
( ) ( ) ( )A 4; 0; 0 , B 0; 5; 0 , C 0;1; 3
  
= = = ,
determine ( )A B C
  
× × y

( )A B C
  
× ×
¿se obtiene el mismo resultado?
RESOLUCIÓN
Primer caso: ( )A B C
  
× ×
i j k
B C 0 5 0
0 1 3
 
 
 × =
 
  

5 0 0 0 0 5ˆ ˆ î j k
1 3 0 3 0 1
     
= − +     
     
ˆ ˆ ˆ15 i 0 j 0 k= + +
A
B
C
VOLUMEN DEL PARALELEPÍPEDO

Cálculo de
( ) ( ) ( )A B C 4;0;0 15;0;0
  
× ×= ×

( )
i j k
A B C 4 0 0
15 0 0
 
 
 × × =
 
  

( ) ˆ ˆ Â B C 0 i 0 j 0 k 0
  
× × = + + =
Segundo caso: ( )A B C
  
× ×

i j k
A B 4 0 0
0 5 0
 
 
 × =
 
  

0 0 4 0 4 0ˆ ˆ î j k
5 0 0 0 0 5
     
= − +     
     

ˆ ˆ ˆ0 i 0 j 20 k= + +
Cálculo de

( ) ( ) ( )A B C 0;0;20 0;1;3
 
× ×= ×

( )
i j k
A B C 0 0 20
0 1 3
  
 
 × × =
 
  
( ) ˆ ˆ ˆ Â B C 20 i 0 j 0 k 20 i
  
× × =− + + =−
Es importante hacer notar que:

( ) ( )A B C A B C× × ≠ × ×
     
9. PROYECCIÓN DE UN VECTOR.
La proyección del vector A

sobre el

1 2
ˆ ˆ î j k
F F 2 3 1
1 2 3
 
 
× = − 
 − 

( )1 2
ˆ ˆ ˆF F 7 i 5 j 1 k 7; 5; 1
 
× =− − − =− − −
la condición:
( )m 1 i 2 j 7k 10• + − =

la condición:
( ) ( )q 7; 5; 1 1; 2; 7 10− − − • − =
7q 10q 7q 10− − + =
Resolviendo la ecuación tenemos que:
q 1= −
( )( )1 2
ˆ ˆ ˆm 1 F F 7 i 5 j 1 k
  
=− × = + +
R e s p u e s t a : ˆ ˆ ˆm 7 i 5 j 1 k

= + +
x
ˆProyec m 7 i

= ,
y
ˆProyec m 5 j

= ,
z
ˆProyec m 1 k

=
EJEMPLO 12: ¿Para qué valores de a
y b los vectores
ˆ ˆ â 2 i 3 j k

b=− + + y
ˆ ˆ ˆb i 6 j 2 k

a= − + son colineales?
RESOLUCIÓN
Si a

y b

sus componentes en los ejes
cartesianos serán proporcionales:

1 1 1
2 2 2
x y z
K
x y z
= = =
Reemplazando tenemos que:
2 3
K
6 2
b
a
−
= = =
−
Resolviendo se tiene que:
4a = y 1b = −
PROBLEMAS RESUELTOS
DE VECTORES
1. En la figura,AB = BC = CD = DE = EF = FG
= GH = HI, además, PE = 1 cm. Determine
A) 3 B) 5 C) 7
D) 9 E) ninguna anterior
RESOLUCION
Aplicando el método del paralelogramo:
PA PI PB PH PC PG PD PF 2.PE+ = + = + = + =
Nos piden la resultante del conjunto de
los vectores:
( ) ( ) ( ) ( )R PA PI PB PH PC PG PD PF PE= + + + + + + + +

( ) ( ) ( ) ( )R 2.PE 2.PE 2.PE 2.PE PE 9.PE= + + + + =

( )R 9. PE 9. 1 9 cm= = =

Respuesta: el valor de la resultante es 9
cm.
2. En la figura, AB = BC = CD = DE = EF =
FG, además, PD = 1 cm. Determine el
vector B

, es otro vector paralelo al vec-
tor B que se denota del siguiente modo:
B
A B B
Proyec A .
B B
 •
=  
 
 

  

 
Al módulo de la proyección del vector
A sobre el vector se le denomina Com-
ponente del vector A sobre el vector B.

B
A B
Comp A
B
•
=
 



( )B B
B
Proyec A Comp A.
B
= 

 


( ) BB B
ˆProyec A Comp A. u= 
 
EJEMPLO 11: Determina las compo-
nentes rectangulares del vector m

, sabi-
endo que es perpendicular a los vectores
1F 2i 3j 1k= − +

y 2F 1 i 2j 3k= − +

además satisface a la condición:
( )m 1 i 2 j 7k 10• + − =

RESOLUCIÓN
Sea ( )1 2m q F F
  
= × pero
P
A B C D E F G H I
Para el problema 01

módulo del vector resultante.
A) 3 B) 5 C) 7
P
A B C D E F G
RESOLUCIÓN
PA PG PB PF PC PE 2.PD+ = + = + =
los vectores:
( ) ( ) ( )R PA PG PB PF PC PE PD= + + + + + +

( ) ( ) ( )R 2.PD 2.PD 2.PD PD 7.PD= + + + =


( )R 7. PD 7. 1 7 cm= = =

Respuesta: el valor de la resultante es
7 cm.
3. En la figura,AB = BC = CD = DE, además,
PC=1cm. Determineel módulo del vector
resultante.
A) 3 B) 5 C) 7

PA PH 49 7+ = =
Propiedad geométrica del paralelogramo:
PA PH PB PG PC PF PD PE+ = + = + = +
PA PH PB PG PC PF PD PE 7+ = + = + = + =
La resultante de los vectores es:
( ) ( ) ( ) ( )R PA PH PB PG PC PF PD PE= + + + + + + +

( )R 4. PA PH= +

R 4. PA PH 4.(7) 28= + = =

Respuesta: el valor de la resultante del
conjunto de vectores es 28 cm.
5. En la figura, AB = BC = CD = DE = EF,
además,PA= 4yPF=5, Tan(P) 24= ≠
Determine el módulo del vector resultante.
A) 7 B) 14 C) 21
RESOLUCIÓN

2 2 2
PA PF PA PF 2. PA . PF .CosP+ = + +
1
Tan(P) 24 CosP
5
= ⇒ =
RESOLUCIÓN
PA PE PB PD 2.PC+ = + =
los vectores:
( ) ( )R PA PE PB PD PC= + + + +
( ) ( )R 2.PC 2.PC PC 5.PC= + + =
( )R 5. PC 5. 1 5 cm= = =

Respuesta: el valor de la resultante es 7
cm.
4. Enlafigura,AB=BC=CD=DE=EF=FG=
GH,además,PA=4yPH=5, Tan(P) 24=
A) 7 B) 14 C) 21
RESOLUCIÓN

2 2 2
PA PH PA PH 2. PA . PH .CosP+ = + +

1
Tan(P) 24 CosP
5
= ⇒ =
( ) ( )2 2 2 1
PA PH 4 5 2. 4 . 5 . 49
5
 
+ = + + = 
 

( ) ( )2 2 2 1
PA PF 4 5 2. 4 . 5 . 49
5
 
+ = + + = 
 
PA PF 49 7+ = =
PA PF PB PE PC PD+ = + = +
PA PF PB PE PC PD 7+ = + = + =
( ) ( ) ( )R PA PF PB PE PC PD= + + + + +

( )R 3. PA PF= +

R 3. PA PF 3.(7) 21= + = =

Respuesta: el valor de la resul-tante del
conjunto de vectores es 21 cm
6. En la figura,AB = BC = CD, además, PA=
5 y PD = 4, 24)( =PTan Determine
A) 7 B) 14 C) 21
RESOLUCIÓN

2 2 2
PA PD PA PD 2. PA . PD .CosP+ = + +
1
Tan(P) 24 CosP
5
= ⇒ =
P
A B C D E
P
A B C D E F G H
Para el problema 04
P
A B C D E F
P
A B C D

( ) ( )2 2 2 1
PA PD 4 5 2. 4 . 5 . 49
5
 
+ = + + = 
 
PA PD 49 7+ = =
PA PD PB PC+ = +
PA PD PB PC 7+ = + =
( ) ( )R PA PD PB PC= + + +

( )R 2. PA PD= +

R 2. PA PD 2.(7) 14= + = =

Respuesta: el valor de la resultante del
conjunto de vectores es 14 cm
7. Determine el módulo del vector resultante,
si el cubo tiene arista de largo 1 cm
A) 1 cm B) 2 cm C) 3 cm
D) 4 cm E) ninguna anterior

RESOLUCIÓN
Expresamos cada vector en función de
vectores unitarios cartesianos. Descom-
ponemos el vector diagonal en los ejes
cartesianos x, y, z.
AC CD AE ED AD+ = + =
La medida del segmento AD es el doble
del lado BC, AD 6 m=
Cálculo del vector resultante: método del
polígono.
( ) ( )R AC CD AE ED= + + +

( ) ( )R AD AD 2.AD= + =

R 2. AD 2.(6) 12= = =

Respuesta: El valor del vector resultante
es 12 unidades.
9. Se muestra un hexágono ABCDEF de
lado 3 cm. Determine el módulo del vector
resultante.
A) 6 cm B) 3 cm C) 12 cm
D) 9 cm E) ninguno anterior
RESOLUCIÓN
Los vectores se pueden trasladar con-
servando su dirección y módulo.
kjia ˆ.0ˆ.0ˆ.1 ++=

kjib ˆ.0ˆ.1ˆ.0 ++=

kjic ˆ.1ˆ.1ˆ.1 −+=

Sumando eje por eje tenemos:
kjir ˆ.1ˆ.2ˆ.2 −+=

3)1()2()2( 222
=−++=r

es 3 cm.
8. SemuestraunhexágonoABCDEFdelado3
cm.Determineelmódulodelvectorresultante.
A) 6 cm B) 3 cm C) 12 cm
D) 9 cm E) ninguno anterior
RESOLUCIÓN
Los vectores se pueden trasladar con-
servando su dirección y módulo.
AC CD AE ED AD+ = + =
La medida del segmento AD es el doble
del lado BC, AD = 6m
Cálculo del vector resultante: método del
polígono.
( ) ( )R AC CD AE ED AD= + + + +

( ) ( )R AD AD AD 3.AD= + + =

R 3. AD 3.(6) 18== = =

es 18 unidades.
10. Se muestra un conjunto de vectores.
A) 10 B) 6 C) 11
RESOLUCIÓN
Aplicamos el método del polígono
para adicionar dos o más vectores:
Para el problema 07
A
B C
D
E
F
Para el problema 08
A
B C
D
E
F
Resolución problema 08
A
B C
D
E
F
Para el problema 09
A
B C
D
E
F
1 m 1 m 1 m 1 m
Para el problema 10

ˆ ˆ ˆ ˆR 1.i 2.i 3.i 4.i= + + +

ˆR 10.i=

es 10 m.
11. Se muestra un conjunto de vectores.
A) 10 B) 6 C) 11
RESOLUCIÓN
Aplicamos el método del polígono para
adicionar dos o más vectores:

iiiR ˆ.3ˆ.2ˆ.1 ++=

iR ˆ.6=

es 6 m.
RESOLUCIÓN
eihgfdcbaR

++++++++=
( ) eihgfdcbaR

++++++++=
Identificamos el polígono ce-rrado:
( ) 0

=+++++++ ihgfdcba
eR

=
es e

14. Se muestra un conjunto de vectores. De-
A) 10 B) 6 C) 11
RESOLUCIÓN
Aplicamos el método del polígono para
adicionar dos o más vectores:
iiiiiR ˆ.5ˆ.4ˆ.3ˆ.2ˆ.1 ++++=

ˆR 15.i=

12. Se muestra un conjunto de vectores. De-
A) 10 B) 6 C) 11
RESOLUCIÓN
iiR ˆ.2ˆ.1 +=

iR ˆ.3=

es 3 m.
13.Se muestra un conjunto de vec-
tores. Determine el vector resultante.
A) 0 B) e C) 2e
D) e + f E) ninguna anterior
es 15.
15 Se muestra un conjunto de vectores.
A) 10 B) 6 C) 11

RESOLUCIÓN
iiiR ˆ.5ˆ.3ˆ.1 ++=

iR ˆ.9=

es 9.
16.Se muestra un conjunto de vectores. De-
A) 10 B) 6 C) 11
1 m 1 m 1 m 1 m
1 m 1 m 1 m
Para el problema 11
1 m 1 m 1 m
1 m 1 m
Para el problema 12
1 m 1 m
a
b
c
d
e
f
g
hi
Para el problema 13
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 m 1
m
1
m
1
m
1
m
1 m 1
m
1
m
1
m
1
m

RESOLUCION
iiiR ˆ.5ˆ.3ˆ.1 ++=

iR ˆ.9=

es 9.
17.Se muestra un conjunto de vectores. De-
A) 10 B) 6 C) 11
AM AB AC AM
p p
− −
=

AM AB AC AM− = −

AB AC
AM
2
+
=
El baricentro G divide al segmento AM en
dos partes proporcional de 2 a 1.

AG GM
2 1
= Es decir

2
AG .AM
3
 
= 
 

AB AC
AG
3
+
=
Respuesta:

1 1
AG AB AC
3 3
   
= +   
   
19.Dado los vectores a = 5 y b = 6, determinar
el módulo del vector: a b−

A) 5 B) 6 C) 11
RESOLUCIÓN
Aplicamoselmétododelparalelogramo.Los
vectores forman entre si un ángulo de 53°.
RESOLUCIÓN
( ) iiiiR ˆ.5ˆ.4ˆ.3ˆ.1 +++−=

ˆR 11.i=

es 11.
18.Se muestra un conjunto de vectores. Expre-
sar el vectorAG en función de los vectores
AB y AC. Donde G es el baricentro del
triángulo de vértices A, B y C.
RESOLUCIÓN
Expresión de un vector en función de otros.
Combinación Lineal de vectores.
AM .AB .AC= a +b
Nos piden determinar el valor de la difer-
encia de vectores: baD

−=
°−+= 53...2222
CosbabaD
( )( ) 





−+=
5
3
.6.5.265 222
D
5=D
Respuesta: El valor del vector del vector
diferencia es 5.
20.Dado los vectores a = 20 y b = 7, determi-
nar el módulo del vector: a b−

A) 10 B) 15 C) 20
RESOLUCIÓN
Aplicamoselmétododelparalelogramo.Los
vectores forman entre si un ángulo de 37°.
Nos piden determinar el valor de la difer-
encia de vectores: baD

−=

2 2 2
D a b 2.a.b.Cos37= + − °
( ) ( ) ( )22 2 4
D 20 7 2. 20 . 7 .
5
 
= + −  
 
1 1 1 1 1
1 m 1
m
1
m
1
m
1
m
1
m
1
m
1
m
1
m
1
mPara el problema 17
1 m 1
m
1
m
1
m
1
m
A
B C
G
p p
M
a
b
73°
20°
O1 O2
a
b
53°
O
a
b
47°
10°
O1 O2
Para el problema 20

5=D
diferencia es 5.
21.Determinar el módulo de la resultante
de los vectores sabiendo que: c = 3 y f
= 4. Los vectores fyc

son perpen-
diculares.
A) 10 B) 15 C) 20
RESOLUCIÓN
Aplicamos el método del polígono. Si el
polígono es cerrado y ordenado, la result-
ante es nula.

( ) ( ) 0

=−+++−++ fedcba

fcedba

+=+++
( ) ( ) ( ) 0

=−+−++−+ edcba
edbca

++=+
Cálculo del vector resultante:
edcbaR

++++=
( ) ( ) ( )cacaedbR

+=++++= .2
Calculo de:
( )( ) 5143.8.5.285 22
=°++=+ Cosca

R 2. a c 2.(5) 10= + = =
  
resultante es 10.
23.Determinar el módulo del vector resultante
de los vectores que se muestran en la
figura, si a = 15, b = 9, c = 12 y el ángulo
entre b y c es 90°.
A) 36 B) 38 C) 40
D) 30 E) 0
RESOLUCION
Aplicamos el método del polígono.
fedcba

++==+
fedcbaR

+++++=
( ) ( ) cfedcbaR

.3=+++++=
cR

.3=
Aplicando el teorema de Pitágoras:
( ) ( )2 22 2
c a b 15 12 9= − = − =
Reemplazando:

27)9.(3.3 === cR

27
resultante es 27.
24.Expresar el vector AC

en función de los
vectores AB y AD
 
A)
2 3
5
AB AD+
 
B)
3 2
5
AB AD+
 
C)
3 5
8
AB AD+
 
D)
5 7
12
AB AD+
 
E) N.A.
RESOLUCIÓN
AC .AB .AD=a +b

AC AB AD AC
3 2
− −
=
fedcbaR

+++++=
( ) ( ) ( )fcfcedbaR

+=+++++= .2
Calculo de:
542 22
=+=+ fc

R 2. c f 2.(5) 10= + = =
 
resultante es 10.
22.Determinar el módulo del vector resultante,
sabiendo que: a = 5 y c = 8.
A) 10 B) 15 C) 20

RESOLUCIÓN
Aplicamos el método del polígono. Si el
polígono es cerrado y ordenado, la result-
ante es nula.
a
b
37°
O
a
b
c
d
e
f
Para el problema 21
90°
a
b
-c
d
e
-f
90°
a
b
c
d
e
37°
a
-b
c
-d
-e
37°
a
b
c
d
e
f
Para el problema 23
A B C D
3 2

2.AC 2.AB 3.AD 3.AC− = −
5.AC 2.AB 3.AD= +

2.AB 3.AD
AC
5
+
=

Respuesta:
2 3
AC .AB .AD
5 5
   
= +   
   
25. Expresar el vector AC

en fun-
ción de los vectores AB y AD
 
.
A)
2 3
5
AB AD+
 
B)
3 2
5
AB AD+
 
C)
3 5
8
AB AD+
 
D)
5 7
12
AB AD+
 
E) N.A.
RESOLUCIÓN
Expresióndeunvectorenfuncióndeotros:
ADABAC .. ba +=
S e g m e n t o s P r o p o r c i o n a l e s :
32
ACADABAC −
=
−
ACADABAC .2.2.3.3 −=−
ADABAC .2.3.5 +=
5
.2.3 ADAB
AC
+
=
Respuesta: ADABAC .
5
2
.
5
3






+





=
C)
3 5
8
+
 
AB AD
D)
5 7
12
+
 
AB AD
E) N.A.
RESOLUCIÓN
AC .AB .AD= a +b

AC AB AD AC
7 5
− −
=
5.AC 5.AB 7.AD 7.AC− = −
12.AC 5.AB 7.AD= +

5.AB 7.AD
AC
12
+
=
Respuesta:
5 7
AC .AB .AD
12 12
   
= +   
   

en función de los
vectores AB y AD
 
.
A)
2 3
5
AB AD+
 
B)
3 2
5
AB AD+
 
C)
3 5
8
AB AD+
 
D)
5 7
12
AB AD+
 
E) N.A.
RESOLUCIÓN
AC .AB .AD= a +b

AC AB AD AC
2 3
− −
=
3.AC 3.AB 2.AD 2.AC− = −
5.AC 3.AB 2.AD= +

3.AB 2.AD
AC
5
+
=
Respuesta:
3 2
AC .AB .AD
5 5
   
= +   
   

en función de los
vectores AB y AD
 
.

en función de los
vectores AB y AD
 
.
A)
2 3
5
AB AD+
 
B)
3 2
5
AB AD+
 
C)
3 5
8
AB AD+
 
D)
5 7
12
AB AD+
 
E) N.A.
RESOLUCIÓN
Expresión de un vector en función de otros:
AC .AB .AD= a +b

AC AB AD AC
5 3
− −
=
3.AC 3.AB 5.AD 5.AC− = −
8.AC 3.AB 5.AD= +

3.AB 5.AD
AC
8
+
=

Respuesta:
3 5
AC .AB .AD
8 8
   
= +   
   

en función de los
vectores
 
AB y AD .
A)
2 3
5
+
 
AB AD
B)
3 2
5
+
 
AB AD
A B C D
5 3
Para el problema 26
A B C D
7 5
Para el problema 27
A
B C D
2 3
Para el problema 28
A
B C D
p p
Para el problema 29

RESOLUCIÓN
AC .AB .AD= a +b

AC AB AD AC
p p
− −
=
AC AB AD AC− = −
2.AC AB AD= +

AB AD
AC
2
+
=
Respuesta:
1 1
AC .AB .AD
2 2
   
= +   
   

en función de los
vectores AB y AD
 
.
RESOLUCIÓN
AC .AB .AD= a +b

AC AB AD AC
7 5
− −
=
5.AC 5.AB 7.AD 7.AC− = −
32.Se muestra un triángulo de vértices A, B y
C, donde G es el baricentro del triángulo.
Expresar el vector GP

en función de los
vectores AB y AC
 
.
RESOLUCIÓN
GP .AB .AC= a + b
Propiedad del baricentro:
AB AC
AG
3
+
=

( ) ( )AG GP AB AC AG GP
1 3
+ − − +
=
3.AG 3.GP 3.AB AC AG GP+ − = − −
AB AC
4. 4.GP 3.AB AC
3
+ 
+ = + 
 

( ) ( )
4 4
. AB . AC 4.GP 3.AB AC
3 3
+ + = +

5.AB AC
GP
12
−
=
Respuesta:
5 1
GP .AB .AC
12 12
   
= −   
   

en función de los
vectores AB y AC
 
.
RESOLUCIÓN
GP .AB .AC= a +b
12.AC 5.AB 7.AD= +
5.AB 7.AD
AC
12
+
=
Respuesta:
5 7
AC .AB .AD
12 12
   
= +   
   

en función de los
vectores AB y AD
 
.
RESOLUCIÓN
AC .AB .AD= a +b

AC AB AD AC
5 3
− −
=
3.AC 3.AB 5.AD 5.AC− = −
8.AC 3.AB 5.AD= +
3.AB 5.AD
AC
8
+
=
Respuesta:
3 5
AC .AB .AD
8 8
   
= +   
   
A
B C D
7 5
Para el problema 30
A
B C D
5 3
Para el problema 31
A
B CP
G
1 3
Para el problema 32
A
B CP
G
1 2
M
1
A
B CP
G
1 1
Para el problema 33
A
B CP
G
1 1

AP AB AC AP
1 1
− −
=
AP AB AC AP− = −
AB AC
AP
2
+
=
El baricentro G divide al segmento AP
en dos partes proporcional de 2 a 1.

AG GP
2 1
= Es decir
1
GP .AP
3
 
=  
 

AB AC
GP
6
+
=
Respuesta:
1 1
GP AB AC
6 6
   
= +   
   
37.Se muestra un triángulo de vértices
A, B y C, donde G es el baricentro del
triángulo. Expresar el vector GP

en
función de los vectores AB y AC
 
.
RESOLUCIÓN
GP . AB .AC= a +b
RESOLUCIÓN
GP .AB .AC= a +b
Propiedaddelbaricentro:
AB AC
AG
3
+
=

1 2
+ − − +
=
2.AG 2.GP 2.AB AC AG GP+ − = − −

3.AG 3.GP AC 2.AB+ = +
AB AC
3. 3.GP AC 2.AB
3
+ 
+ = + 
 
( ) ( )AB AC 3.GP AC 2.AB+ + = +

AB
GP
3
=
Respuesta: ( )
1
GP .AB 0 .AC
3
 
= + 
 
36.Se muestra un triángulo de vértices
A, B y C, donde G es el baricentro del
triángulo. Expresar el vector GP

en
función de los vectores AB y AC
 
.
A)
3
AB

B)
3
AB AC+
 

C)
6
AB AC+
 
D)
2
6
AB AC−
 

E) Ninguna anterior
RESOLUCIÓN
GP .AB .AC= a +b
Propiedad del baricentro:
AB AC
AG
3
+
=

3 1
+ − − +
=
AG GP AB 3.AC 3.AG 3.GP+ − = − −
4.AG 4. GP 3.AC AB+ = +
AB AC
4. 4.GP 3.AC AB
3
+ 
+ = + 
 

( ) ( )
4 4
. AB . AC 4.GP 3.AC AB
3 3
+ + = +

7.AB 5.AC
GP
12
+
=
Respuesta:
7 5
GP .AB .AC
12 12
   
= +   
   

en función de los
vectores AB y AC
 
.
A
B CP
G
3 1
Para el problema 34
A
B CP
G
3 1
Para el problema 34
A
B CP
G
1 2
A
B CP
G
1 2
A
B CP
G
1 2
A
B CP
G
1 2

Propiedaddelbaricentro:
AB AC
AG
3
+
=

1 2
+ − − +
=
2.AG 2.GP 2.AB AC AG GP+ − = − −
3.AG 3.GP AC 2.AB+ = +
AB AC
3. 3.GP AC 2.AB
3
+ 
+ = + 
 
( ) ( )AB AC 3.GP AC 2.AB+ + = +

AB
GP
3
=
Respuesta: ( )
1
GP .AB 0 .AC
3
 
= + 
 
37.Se muestra un triángulo de vérticesA, B y
Expresar el vector AG

en función de los
vectores AB y AC
 
.
A)
3
AB

B)
3
AB AC+
 

C)
6
AB AC+
 
D)
2
6
AB AC−
 

E) Ninguna anterior
A)
3
AB

B)
3
AB AC+
 

C)
6
AB AC+
 
D)
2
6
AB AC−
 

E) Ninguna anterior
RESOLUCIÓN
AM .AB .AC= a +b

AM AB AC AM
p p
− −
=
AB AC
AM
2
+
=
El baricentro G divide al segmento AM
en dos partes proporcional de 2 a 1.

AG GM
2 1
= Es decir
1
GM .AM
3
 
= 
 

AB AC
GM
6
+
=

Respuesta:
1 1
GM AB AC
6 6
   
= +   
   
Expresar el vector GM

en función de
los vectores AB y AC
 
.
A)
3
AB

B)
3
AB AC+
 

C)
6
AB AC+
 
D)
2
6
AB AC−
 

E) Ninguna anterior
RESOLUCIÓN
GM .AB .AC= a +b
El baricentro G divide al segmento CM en
RESOLUCIÓN
AM .AB .AC= a +b

AM AB AC AM
p p
− −
=
AB AC
AM
2
+
=
El baricentro G divide al segmento AM en

AG GM
2 1
= Es decir
2
AG .AM
3
 
=  
 

AB AC
AG
3
+
=
Respuesta:
1 1
AG AB AC
3 3
   
= +   
   

en función de los
vectores AB y AC
 
.
A
B
C
G
A
B
C
G
M
p
p
A
B
C
G
M
A
B
C
G
M
A
B
C
G
M
M

CG GM
2 1
= Es decir ( )CG 2 .GM=

Propiedad del baricentro demostrado
anteriormente:
AB AC
AG
3
+
=

Método del polígono cerrado:
AC CG AG+ =
AB AC
AC 2.GM
3
+
+ =
3.AC 6.GM AB AC+ = +
6.GM AB 2.AC= −

AB 2.AC
GM
6
−
=
Respuesta:
1 1
GM AB AC
6 3
   
= −   
   
40. Se muestra un triángulo de vérticesA, B y
Expresar el vector MG en función de los
vectores AB y AC
 
.
A)
3
AB

B)
3
AB AC+
 

C)
6
AB AC+
 
D)
2
6
AB AC−
 

E) Ninguna anterior
Demostrar que:
bAB aAD
AC
a b
+
=
+
 

RESOLUCIÓN
AC .AB .AD= a +b

AC AB AD AC
a b
− −
=

b.AC b.AB a.AD a.AC− = −
( )a b .AC b.AB a.AD+ = +

b.AB a.AD
AC
a b
+
=
+
Respuesta:
b a
AC .AB .AD
a b a b
   
= +   
+ +   
42.En el sistema vectorial mostrado, deter-
mine el valor de la siguiente operación:
( ) ( )a b c d
  
− • + ¿Qué ángulo forman
( )a b

− y ( )c d

+ ?
RESOLUCIÓN
Los vectores son:
ˆ â 3 i 2 j

= + , ˆ ˆb 1 i 2 j

=− + ,
ˆ ˆc 2 i 2 j

=− − , ˆ ˆd 2 i 2 j

= −
Cálculo de:
( ) â b 4 i 0 j

− = + y( ) ˆc d 0 i 4 j

+ = −
Piden:
( ) ( ) ( ) ( )a b c d 4; 0 0; 4 0
  
− • + = • − =
Respuesta: ( )a b

− y ( )c d

+ forman
un ángulo recto.
43.En el sistema vectorial mostrado, deter-
mine el valor de la siguiente operación:
( ) ( )a b a c
  
− • + ¿Qué ángulo forman
( )a b

− y ( )a c
 
+ ?
RESOLUCIÓN
Los vectores son: ˆ â 3 i 2 j

=− + ,
RESOLUCIÓN
MG .AB .AC= a +b
El baricentro G divide al segmento AP en

AG GP
2 1
= Es decir ( )GB 2 .MG=
Propiedad del baricentro demostrado
anteriormente:
AB AC
AG
3
+
=

Método del polígono cerrado:
AG GB AB+ =
AB AC
2.MG AB
3
+ 
+ = 
 

AB AC 6.MG 3.AB+ + =
6.MG 2.AB AC= −

2.AB AC
MG
6
−
=
Respuesta:
1 1
MG AB AC
3 6
   
= −   
   

41.Si
BC a
CD b
= expresar el vector AC

en
función de los vectores AB y AD
 
.
A
B
C
GM
M
A
B
C
G
M
P
A
B C D

ˆ ˆb 4 i 2 j

= + , ˆ ˆc 3 i 1 j

= −
Cálculo de: ( ) ˆ â b 7 i 0 j

− =− +
y ( ) ˆ â c 0 i 1 j
 
+ = +
Piden:
( ) ( ) ( ) ( )a b a c 7; 0 0; 1 0
  
− • + =− • =

Respuesta: ( )a b

− y ( )a c
 
+ forman
un ángulo recto.
44. Se muestra un conjunto de vectores. Sabi-
endo que A m.B n.C
 
= + , donde m y n
sonnúmerosreales.Determine ( )m n+
RESOLUCIÓN
Los vectores son:
ˆ Â 2 i 1 j

= + , ˆ ˆB 0 i 1 j

= + ,
ˆ ˆC 1 i 1 j

=− +
Reemplazamos en la relación:
A m.B n.C
 
= + , entonces
( ) ( ) ( )2; 1 m. 0; 1 n. 1; 1= + −
( ) ( )2; 1 n; m n=− + comparandolas
coordenadas cartesianas tenemos que:
n 2= − y 1 m n= +
resolviendo m 3=
Respuesta: ( )m n 1+ =
PROBLEMAS PROPUESTOS

en función de
los vectores AB y AC
 
.
A)
3
AB

B)
3
AB AC+
 

C)
6
AB AC+
 
D)
2
6
AB AC−
 

E) Ninguna anterior
Expresar el vector MG

en función de los
vectores AB y AC
 
.
A)
3
AB

B)
3
AB AC+
 

C)
6
AB AC+
 
D)
2
6
AB AC−
 

E) Ninguna anterior
45. Verificar que los cuatro puntos
( )A 3; 1; 2− , ( )B 1; 2; 1− ,
( )C 1; 1; 3− −
y ( )D 3; 5; 3− son los vértices de un
trapecio.
RESOLUCIÓN
Para formar vectores a partir de dos puntos
en el espacio:
( )2 1 1 2 1 2AB x x ;y y ;z z

= − − −
entonces:
( )AB 2; 3; 3

=− − ,
( )BC 2; 1; 2

= − − − ,
( )CD 4; 6; 6

= − ,
( )DA 0; 4; 1

= −
Comparandolascoordenadasdelosvectores
( )AB 2; 3; 3

=− −
y ( )CD 4; 6; 6

= −

1
K
2
= − entonces AB K.CD
 
=
Entonces AB

y CD

son paralelos,
por consiguiente ABCD es un trapecio.
C, donde G es el baricentro. Determinar
el vector resultante.
A) 0

B) AG

C) BG

D) CG

E) ninguna anterior
A) 0

B) AG

C) BG


D) CG

E) ninguna anterior
50. Se muestra un triángulo de vértices A, B
y C, donde G es el baricentro. Determinar
A
B
C
G
Para el problema 42
A
B
C
G
Para el problema 43
A
B
C
G
Para el problema 44
A
B
C
G
Para el problema 45
A
B
C
G
Para el problema 46

A) 0

B) AG

C) BG


D) CG

E) ninguna anterior
51. Se muestra un triángulo de vértices A, B
y C, donde G es el baricentro. Determinar
A) 0

B) AG

C) BG


D) CG

E)ningunaanterior
A) 0

B) AG

C) BG


D) CG

E)ningunaanterior

C)
2
PA PC
PB
+
=
 


D)
2 3
5
PA PC
PB
−
=
 


E) N.A.
55. Semuestrauncubodearista1,0metroylos
puntosA,ByCestáncontenidosenlamis-
ma línea recta. Si
2
3
AB
BC
= , determine
el vector PB

, en función de PA y PC
 
.
A)
3 2
5
PA PC
PB
+
=
 

B)
2 3
5
PA PC
PB
+
=
 

C)
2
PA PC
PB
+
=
 


D)
2 3
5
PA PC
PB
−
=
 

E) N.A.
56. Se muestra un cubo de arista 1,0 metro
y los puntos A, B y C están contenidos
en la misma línea recta. Si
2
3
AB
BC
= ,
determine el vector PB

, en función de
PA y PC
 
.

57. Se muestra un cubo de arista 1,0 metro
2
3
AB
BC
= ,

, en función de
PA y PC
 
.
A) 0

B) AG

C) BG


D) CG

E)ningunaanterior
54.Se muestra un cubo de arista 1,0 metro
2
3
AB
BC
= ,

, en función de
PA y PC
 
.
A)
3 2
5
PA PC
PB
+
=
 


B)
2 3
5
PA PC
PB
+
=
 

A
B
C
G
Para el problema 47
X
Y
Z
O
A
B
C
P
X
Y
Z
O
A
B
C
P
X
Y
Z
O
A
B
C
P
X
Y
Z
O
A
B
C
P
X
Y
Z
O
A
B
C
P
X
Y
Z
O
A
B
C
P

58. Se muestra un culo de arista 1,0 metro y
los puntosA, B y C están contenidos en la
misma línea recta. Si AB = BC, determine
el vector PB

.
59. Se muestra un cubo de arista 1,0 metro y
los puntos A, B y C están contenidos en
la misma línea recta.
Si
2
3
AB
BC
= , determine el vector PB

.
VECTORES EN TRES DIMENSIONES
PROBLEMA 1.
Se muestra un cubo de lado 5,0 unidades
limitado por un sistema cartesiano tridi-
Definición del vector unitario:

A
ˆ ˆ Â 5i 5j 5k 3 3 3ˆ ˆ ˆû i j k
3 3 35 3A


− − +
== =− − +

A
3 3 3ˆ ˆ ˆû i j k
3 3 3
=− − +
PROBLEMA 2.
Se muestra un paralelepípedo rec-
tangular limitado por un sistema car-
tesiano tridimensional. El módulo del
vector F

es 94,4 newtons. Determinar:
[ ]1 El vector unitario del vector F

[ ]2 La expresión del vector F

en función
de los vectores unitarios cartesianos.
RESOLUCIÓN
[ ]1 Determinamos los puntos A y Q,
A(0;0;3) y Q(4;8;0) definimos el
vector,
( )AQ Q A 4;8; 3 4i 8 j 3k

= − = − = + −
AQ 4i 8 j 3k AQ 89 9,44
 
= + − ⇒ = =
Cálculo del vector unitario, colineal con los
vectores, AQ y F
 
mensional. Determinar el vector unitario
del vector A


RESOLUCIÓN
1) Determinamos los puntos F y D, sabi-
endo que 5 0a b c ,= = = . Tenemos
que F(5;5;0) y D(0;0;5)
Definición del vector,
A FD D F ( 5; 5;5)
 
= = − = − −

ˆ ˆ Â 5i 5 j 5k A 5 3
 
=− − + ⇒ =
F
AQ F 4i 8 j 3k
û
89AQ F
 
 
+ −
= = =
[ ]2 Cualquier vector se puede expresar
en función de su módulo y su respectivo
vector unitario.
( )F
4i 8 j 3k
ˆF F .u 94,4 .
89
  + − 
= =  
 

4i 8 j 3k
F 94,4. 40i 80 j 30k
9,44
 + − 
= = + − 
 
ˆ ˆ ˆF 40i 80 j 30k

= + −
PROBLEMA 3.
Semuestrauncubodelado 2 0, unidades
mensional. Sabiendo que el módulo de
los vectores son 60

A newtons= y
30

B newtons= . Determine:
a) El vector unitario del vector A

b) El vector unitario del vector B

c) Determinar los vectores A

y B

X
Y
Z
O
A
B
C
P
X
Y
Z
O
A
B
C
P

RESOLUCIÓN
1) Determinamos los puntos C y F, sabi-
endo que 2 0a b c ,= = = . Tenemos
que C(0;2;2) y F(2;2;0)
El vector unitario del vector A

es
el mismo del vector CF

, donde
CF F C (2;0; 2)

= − = −

CF 2i 0 j 2k

= + −
A
CF A
û
CF A
= =

 

2 0 2 2 2
0
2 22 2
A
i j k
û i j k
+ −
= = + −
Cálculo del vector:

( )
2 2
60 0
2 2
 
A
Â A .u . i j k
 
= = + −  
 
30 2 30 2

A i k= −
2) Determinamos los puntos D y F, sabi-
endo que 2 0a b c ,= = = .
Tenemos que D(0;0;2) y F(2;2;0)
RESOLUCIÓN
(1) Determinamos los puntos D y F, sabi-
endo que a 8m; b 6m; c 5m= = = .
El vector unitario del vector A

es el
mismo del vector DF

, donde
DF F D (6;8; 5)

= − = −
DF 6i 8 j 5k

= + −
Cálculo del módulo,
( )
22 2
DF 6 8 5 5 5 11,18

= + + − = =
A
DF A
û
DF A

 = =

A
6i 8 j 5k
û
5 5
+ −
=

( )A
6i 8 j 5k
Â A .u 2,5 5 .
5 5
+ − 
= =  
 
 
A 3i 4 j 2,5k

= + −
El vector unitario del vector B

es el mismo
del vector FD

, dond
FD D F ( 2; 2;2)

= − = − −
FD 2i 2 j 2k

=− − +
B
FD B
û
FD B
= =
 
 

B
2i 2 j 2k 3 3 3
û i j k
3 3 32 3
− − +
= =− − +

( )B
3 3 3
ˆB B .u 30 . i j k
3 3 3
 
= = − − +  
 
 
B 10 3i 10 3 j 10 3 k=− − +

PROBLEMA 4.
Se muestra un paralelepípedo rectangular
limitado porun sistema cartesiano tridimen-
sional. Sabiendo que
2 5 5

A , metros=
Determine:


c) La proyección del vector A

sobre los
ejes cartesianos.
(2) Determinamos los puntos A y F, sabi-
endo que: a 8m; b 6m; c 5m= = = .
Tenemos que A(6;0;5) y F(6;8;0)

es el
mismo del vector AF

, donde
AF F A (0;8; 5)

= − = −
AF 0i 8 j 5k

= + − y el módulo es,
( )
22 2
AF 0 8 5 89 9,4

= + + − = =
B
AF B
û
AF B
 
 = =

B
ˆ ˆ ˆ0i 8 j 5k ˆ ˆû 0,85 j 0,53k
89
+ −
= = −
B
ˆ ˆû 0,85 j 0,53k= −
PROBLEMA 5.
Semuestrauncubodelado 2 0, unidades
mensional. Sabiendo que el módulo de
los vectores son 30A newtons=

y
60B newtons=

. Determine:



c) Determinar los vectores A

y B

RESOLUCIÓN
1) Determinamos los puntos C y F, sabi-
endo que 2 0a b c ,= = =
Tenemos que C(0;2;2) y F(2;2;0)
El vector unitario del veCtor A

es el
mismo del vector FC

, donde
FC C F ( 2;0;2) 2i 0 j 2k

= − =− =− + +
FC 2i 0 j 2k

=− + +

A
FC A
û
FC A

 = =
A
2i 0 j 2k 2 2
û i 0 j k
2 22 2
− + +
= =− + +

( )A
2 2
Â A .u 30 . i 0 j k
2 2
   
= = − + +  
 
A 15 2 i 15 2 k

=− +
RESOLUCIÓN
[ ]1 Construimos el polígono cerrado y
ordenado:
( ) ( ) ( )A B C D E 0
    
+ − + + − + − =
Si el polígono formado por los vec-
tores es cerrado y ordenado, en-
tonces el vector resultante es nulo.
A C B D E
    
+ = + +
Donde, ˆ ˆ Â 12i 9 j y C 12 i
 
=− + =

( ) ( ) ˆB D E A C 12i 9j 12i 9 j
   
+ + = + =− + + =
[ ]2 Cálculo del vector resultante:
R A B C D E
    
= + + + +
( ) ( ) ( )R A C B D E 2 A C
      
= + + + + = +
( ) ( )ˆ ˆR 2 A C 2 9 j 18 j
 
= + = =

[ ]3 Cálculo del producto escalar: A C
 
•
ˆ ˆ ˆ Â 12i 9 j y C 12 i 0 j
 
=− + = +
( ) ( ) ( ) ( )A C 12 . 12 9 . 0 144
 
• =− + =−
A C 144
 
• =−
Además sabemos que:
A 15 y C 12
 
= =
2) Determinamos los puntos D y F, sabi-
endo que 2 0a b c ,= = = .

es
el mismo del vector DF

, donde
DF F D (2;2; 2)

= − = −

DF 2i 2 j 2k

= + −
B
DF B
û
DF B
 
 = =

B
2i 2 j 2k 3 3 3
û i j k
3 3 32 3
+ −
= = + −

( )B
3 3 3
ˆB B .u 60 . i j k
3 3 3
   
= = + −  
 
B 20 3i 20 3 j 20 3 k

= + −
PROBLEMA 6.
Se muestra un polígono vectorial cerrado,
donde, Â 15 y C 12i
 
= = además
sabemos que,
3
Sen
5
q = Determine:
a) B D E
  
+ +
b) A B C D E
   
+ + + +
c) A C
 
•
Definición del producto escalar:
A C A . C .Cos
   
•= φ
( ) ( )144 15 . 12 .Cos−= φ
12
Cos 143
15
φ = − ⇒ φ = °
PROBLEMA 7.
Se muestra un cubo de lado b 2,0=
mensional. Determinar:
[ ]1 La expresión de los vectores
A, B y C
 
en función de los vectores
unitarios cartesianos.
[ ]2 El ángulo entre los vectores A y B
 
(aplicando producto escalar).
[ ]3 Un vector unitario perpendicular al
plano formado por los vectores A y B
 
RESOLUCIÓN
[ ]1 Determinamos los puntos O y B,
sabiendo que 2 0a b c ,= = = . Ten-
emos que O(0;0;0) y B(2;2;2)
Expresión del vector
( )A OB B O 2;2;2 2i 2 j 2k

= = − = = + +

[ ]2 Determinamos los puntos O y F,
sabiendo que 2 0a b c ,= = = .
Tenemos que O(0;0;0) y B(2;2;0)
( )B OF F O 2;2;0 2i 2 j 0k

= = − = = + +
[ ]3 Determinamos los puntos D y E,
Tenemos que D(0;0;2) y E(2;0;0)
( )C DE E D 2;0; 2 2i 0 j 2k

= = − = − = + −

[ ]4 Determinamos:
A 2i 2 j 2k A 4 3
 
= + + ⇒ =
y B 2i 2 j 0k B 2 2
 
= + + ⇒ =
Cálculo del producto escalar:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A B 2 . 2 2 . 2 2 . 0 8
 
•= + + =
A C 8
 
• =
Definición del producto escalar:
A C A . C .Cos
   
•= φ
( ) ( ) 2
8 2 3 . 2 2 .Cos Cos
6
= φ ⇒ φ=

2
Cos 35,3
6
φ= ⇒ φ= °
[ ]5 Cálculo del producto vectorial:

i j k
A C W 2 2 2
2 2 0
  
 
 × = =  
  

2 2 2 2 2 2
W i. j k. 4i 4 j 0k
2 0 2 0 2 2
      
= − + =− + +     
     

Tenemos que A(2;0;2) y C(0;2;2)

( )A AC C A 2;2;0= = − =−
 
ˆ ˆ Â 2i 2 j 0k A 2 2=− + + ⇒ =
 
Calculo del vector unitario,
A
ˆ ˆ Â 2i 2 j 0k 2 2ˆ ˆû i j
2 22 2A
− + +
== =− +



[ ]2 Determinamos los puntos B y O,
Tenemos que B(2;2;2) y O(0;0;0)
( ) ˆ ˆ ˆB BO O B 2; 2; 2 2i 2 j 2k= = − =− − − =− − −
 
ˆ ˆ ˆB 2i 2 j 2k B 2 3=− − − ⇒ =
 
Calculo del vector unitario,

B
ˆ ˆ ˆB 2i 2 j 2k 3 3 3ˆ ˆ ˆû i j k
3 3 32 3B
− − −
== =− − −



[ ]3 Determinamos el producto escalar de
los vectores,

( )( ) ( )( ) ( )( )A B 2 2 2 2 0 2 0• = − − + − + − =
 
De la definición del producto escalar
sabemos que,
A B A . B .Cos•= q
  

( ) ( )0 2 2 . 2 3 .Cos Cos 0= q ⇒ q=
90 A Bq= ° ⇒ ⊥
 
PROBLEMA 9.
Se muestra un paralelepípedo de lado
a 3, b 12 y c 4= = = limitadoporunsis-
temacartesianotridimensional.Determinar:
a) La expresión de cada vector en función
de sus componentes cartesianas.
b) A B C D E F+ + + + +
    
C) 2A B 3C 2D 3E F− + − + −
    
RESOLUCIÓN
[ ]1 Determinamos los vectores sabiendo
que a 3, b 12 y c 4= = = :
( ) Â 3;0;0 3i= =

( ) ˆB 0;12;0 12 j= =

( ) ˆC 0;0;4 4k= =

( ) ˆ ˆD 3;12;0 3i 12 j= = +

( ) Ê 0;0;4 4k= =

W 4i 4 j 0k W 4 2
 
=− + + ⇒ =
[ ]6 Determinamos el vector unitario,
perpendicular a los vectores A y B
 
W
W 4i 4 j 2 2
û i j
2 2W 4 2


− +
== =− +
W
2 2ˆ ˆû i j
2 2
=− +
PROBLEMA 8.
Se muestra un cubo de lado b 2,0=
mensional. Determinar:
a) Los vectores A y B
 
en función de sus
componentes cartesianas.
b) El vector unitario de los vectores
A y B
 
c) A B•
 
d) El ángulo que forman los vectores
A y B
 
RESOLUCIÓN
[ ]1 Determinamos los puntos A y C,

( ) ˆ ˆ ˆF 3;12;4 3i 12 j 4k= = + +

[ ]2 Determinamos el vector resultante,
( )R A B C D E F 9;36;12= + + + + + =
     
ˆ ˆ ˆR 9i 36 j 12k= + +


[ ]3 Cálculo del módulo del vector
resultante,
( ) ( ) ( )
2 2 2
R 9 36 12 39= + + =


R
ˆ ˆ ˆR 9i 36 j 12k
û
39R
+ +
= =


Cálculo del vector unitario,

R
13 13 13
     
= + +     
     

[ ]4 Combinación lineal de vectores,
( )( ) ( ) ˆ2A 2 3;0;0 6;0;0 6i= = =

( )( ) ( ) ˆB 1 0;12;0 0; 12;0 12 j− =− = − =−

( ) ( ) ˆ3C 3 0;0;4 0;0;12 12k= = =

( )( ) ( ) ˆ ˆ2D 2 3;12;0 6; 24;0 6i 24 j− = − = − − =− −

( )( ) ( ) ˆ3E 3 0;0;4 0;0;12 12k= = =

( )( ) ( ) ˆ ˆ ˆF 1 3;12;4 3; 12; 4 3i 12 j 4k− = − = − − − =− − −


( )S 2A B 3C 2D 3E F 3; 48;20= − + − + − = − −
     
ˆ ˆ ˆS 3i 48 j 20k=− − +

PROBLEMA 10.
Se muestra un sólido limitado por un siste-
ma cartesiano tridimensional. Determinar:
a) La expresión de cada vector en función
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )A B C D E 8 4 6 3 8 4 82+ + • += + − − + =
   
( ) ( )A B C D E+ + • +
   

[ ]3 Determinamos el producto vectorial,
( )A B C 8i 6 j 8k+ + = − +
 
( )D E 4i 3 j 4k+ = − +
 
( ) ( )W A B C D E= + + × +
    

ˆ ˆ î j k
W 8 6 8
4 3 4
 
 
= − 
 − 


6 8 8 8 8 6ˆ ˆ ˆW i j k
3 4 4 4 4 3
− −     
= − +     − −     

ˆ ˆ ˆW 0i 0 j 0k 0= + + =

Conclusión: ( ) ( )A B C y D E+ + +
   
son paralelos.
PROBLEMA 11.
Se muestra un cubo de lado 2,0 limitado
por un sistema cartesiano tridimensional.
Determinar:
a) Los vectores a , b y c
 
en función de
sus componentes cartesianas.
b) a b b c a c• + • + •
    
c) El ángulo que forman los vectores
a y b

d) El ángulo que forman los vectores
b y c
 
e) El ángulo que forman los vectores
a y c
 
RESOLUCIÓN
[ ]1 Determinamos los vectores:
( ) ˆ ˆ â 2;2;0 2i 2 j 0k=− =− + +

( ) ˆ ˆ ˆb 2;0;2 2i 0 j 2k= = + +


( ) ˆ ˆ ˆc 2;2;0 2i 2 j 0k= = + +


[ ]2 Calculamos el producto escalar,
a b 4• =−

b c 4• =+
 
a c 0• =
 

( ) ( ) ( )a b b c a c 4 4 0 0• + • + • = − + + =
    
[ ]3 Calculamos el módulo de los vec-
tores,

ˆ ˆ â 2i 2 j 0k a 2 2=− + + ⇒ =
 
ˆ ˆ ˆb 2i 0 j 2k b 2 2= + + ⇒ =
 

ˆ ˆ ˆc 2i 2 j 0k c 2 2= + + ⇒ =
 
[ ]4 Calculo del ángulo entre los vectores
a y b

; a b a . b .Cos•= a
  
de sus componentes cartesianas.
b) A B C D E+ + + +
   
c) ( ) ( )A B C D E+ + • +
   

d) ( ) ( )A B C D E+ + × +
   
RESOLUCIÓN
[ ]1 Determinamos los vectores sabiendo:
( ) ˆ ˆ Â 4; 3;0 4i 3 j 0k= − = − +

( ) ˆ ˆ ˆB 0;0;4 0i 0 j 4k= = + +


( ) ˆ ˆ ˆC 4; 3;4 4i 3 j 4k= − = − +


( ) ˆ ˆ ˆD 4;0;0 4i 0 j 0k= = + +

( ) ˆ ˆ Ê 0; 3;4 0i 3 j 4k= − = − +


[ ]2 Determinamos el vector resultante,
( )R A B C D E 12; 9;12= + + + + = −
    
ˆ ˆ ˆR 12i 9 j 12k= − +


[ ]3 Determinamos el producto escalar,
( ) ( )A B C 8; 6;8 8i 6 j 8k+ + = − = − +
 
( ) ( )D E 4; 3;4 4i 3 j 4k+ = − = − +
 

( ) ( ) 1
4 2 2 . 2 2 .Cos Cos
2
− = a ⇒ a = −
120a= °
b y c
 
; b c b . c .Cos•= b
  
( ) ( ) 1
4 2 2 . 2 2 .Cos Cos
2
= b ⇒ b = +
60b= °

a y c
 
;

a c a . c .Cos•= δ
   
( ) ( )0 2 2 . 2 2 .Cos Cos 0= δ ⇒ δ=
90δ= °
PRODUCTO ESCALAR Y
PRODUCTO VECTORIAL
1. Calcular el módulo del vector:
ˆ ˆ Â 6i 3 j 2k= + −

RESOLUCIÓN
Módulo del vector en 3D:
222
zyxA ++=


( ) 7236
222
=−++=A

Respuesta: A 7=

2. Calcular el módulo del vector:

ˆ ˆ ˆW 4i 3 j 12k= − +

7. Determinar el punto N, con que coincide el
extremodelvector ˆ ˆ Â 4 i 3 j 2k=− + +

sabiendo que el origen coincide con el
punto M de coordenadas ( )1;2; 3− .
RESOLUCIÓN
Definición de un vector:
N M MN N M A= + ⇒ = +
 

( )2;3;4ˆ2ˆ3ˆ4 −=++−= kjiA

( ) ( ) ( )1;5;32;3;43;2;1 −−=⇒−+−= NN
8. Determinar el punto P, con que coincide el
extremo del vector ˆ ˆ ˆC 4 i 3 j 5k= − +

sabiendo que el origen coincide con el
punto Q de coordenadas ( )3;1;2 − .
9. Se dan los vectores ˆ ˆ Â 4 i 2 j 6k= − +

y ˆ ˆB 2 i 4 j=− +

. Determinar la proyec-
ción del vector A B
2
 +
 
 
 
sobre los ejes
coordenados cartesianos.
RESOLUCIÓN
( )6;2;4ˆ6ˆ2ˆ4 −=+−= kjiA

( )0;4;2ˆ0ˆ4ˆ2 +−=++−= kjiB

Adición de vectores:
( )6;2;2ˆ6ˆ2ˆ2 =++=+ kjiBA


ˆ ˆ Â B 2i 2 j 6k 2 2 6
V ; ;
2 2 2 2 2
+ + +  
= = =  
 
 

( )
A B ˆ ˆ ˆV 1i 1j 3k 1;1;3
2
+
= = + + =
 


Proyección del vector V

en el eje x: ˆ1i

en el eje y: ˆ1j

en el eje z: ˆ3k
10.Dado el módulo de vector 2=A

y
los ángulos que forman con los ejes
coordenados cartesianos x, y, z re-
spectivamente a = 45°, b = 60° y q
= 120°. Determinar la proyección del
vector A

sobre los ejes coordenados.
RESOLUCIÓN
Definición de un vector y los cosenos
directores:
);;.( qba CosCosCosAA

=
)120;60;45.(2 °°°= CosCosCosA

2(Cos 45°, Cos 60°, Cos 120°)






−=
2
1
;
2
1
;
2
2
.2A


( )1;1;2 −=A


kjiA ˆ1ˆ1ˆ2 −+=

Proyeccióndel vector A

enel ejex: ˆ2 i
Proyección del vector A

en el eje y: ˆ1j

en el eje z: ˆ1k−
11. Dado el módulo de vector 10=A

10° y los
ángulos que forman con los ejes coorde-
nados cartesianos x, y, z respectivamente

90=a 90°, 
150=b y 
60=q 60°. Determi-
nar la proyección del vector A

sobre los
ejes coordenados.
RESOLUCIÓN
Definición de un vector y los cosenos
directores
3. Calcular el vector unitario del vector
ˆ ˆ ˆT 4i 3 j 12k=− + +

RESOLUCIÓN
Módulo del vector en 3D:

( ) ( ) ( )
2 2 2
T 4 3 12 13= − + + =

T 13=

Definición del vector unitario:
T
ˆ ˆ ˆT 4i 3 j 12k
û
13T
− +
= =


Respuesta: T
13 13 13
= − +
4. Calcular el vector unitario del vector
ˆ ˆ â 6 i 2 j 3k= − −

5. Dado los puntos ( )A 3; 1; 2= − y
( )B 1; 2; 1= − determinar los vec-
tores: AB

y BA

respectivamente.
RESOLUCIÓN
( )ˆ ˆ ÂB B A 4i 3 j 1k 4;3; 1=− =− + − =− −


( )ˆ ˆ ˆBA A B 4i 3 j 1k 4; 3;1= − =+ − + = −

Conclusión:
AB BA son vectores opuestos= −
 
son vectores opuestos
6. Dado los puntos
P = (-3; 2; 1) y Q = (1; -2; -1)
determinarlosvectores: PQ

y QP

respec-
tivamente.

A A .(Cos ;Cos ;Cos )= a b q
 
)60;150;90.(10 °°°= CosCosCosA

10 (Cos 90°; Cos 150°; Cos 60°)






−=
2
1
;
2
3
;0.10A


( )5;35;0 +−=A


kjiA ˆ5ˆ35ˆ0 +−=


en el eje x: ˆ0i
Proyeccióndelvector A

enelejey: ˆ5 3 j−

en el eje z: ˆ5k
12. Calcular los cosenos directores del vector
kjiA 161512 −−=

.12i - 15j - 16k
RESOLUCIÓN
Definición de un vector unitario:
( ) ( ) ( )
2 2 2
ˆ ˆ Â 12i 15 j 16k A 12 15 16 25= − − ⇒ = + − + − =
 
A 25=

A
ˆ ˆ Â 12i 15 j 16k
û
25A
− −
= =



A
12 15 16ˆ ˆ ˆû i j k
25 25 25
= − −
A
12 15 16ˆ ˆ ˆû i j k
25 25 25
     
= + − + −     
     

( ) ( ) ( )A
ˆ ˆ ˆû Cos i Cos j Cos k= a + b + q
Identificamos a los cosenos directores:

12
Cos 61,315
25
a= ⇒ a= °
RESOLUCIÓN
Definición de los cosenos directores:
( ) ( ) ( )
2 2 2
Cos Cos Cos 1a + b + q =

( ) ( ) ( )
2 2 2
Cos45 Cos135 Cos60 1° + ° + ° =

2 2 2
2 2 1
1
2 2 2
     
+ − + =             

1 1 1
1
2 2 4
+ + ≠
Respuesta: El vector no existe.
15. ¿Puede formar un vector con los ejes
coordenados los ángulos siguientes 
45=a
45°, 
60=b 60° y 
120=q ?
RESOLUCIÓN
( ) ( ) ( )
2 2 2
( ) ( ) ( )
2 2 2
Cos45 Cos60 Cos120 1° + ° + ° =

2 2 2
2 1 1
1
2 2 2
     
+ + − =           

1 1 1
1
2 4 4
+ + =
Respuesta: El vector si existe.
16.¿Puede formar un vector con los ejes
coordenados los ángulos siguientes

90=a 9 0 ° ,

150=b y

60=q 6 0 ° ?
RESOLUCIÓN
( ) ( ) ( )
2 2 2
( ) ( ) ( )
2 2 2
Cos90 Cos150 Cos60 1° + ° + ° =

( )
2 2
2 3 1
0 1
2 2
   
+ + =       
3 1
0 1
4 4
+ + =
Respuesta: El vector si existe.
17. Un vector forma con los ejes OX, y OZ los
ángulos

120=a y

45=q 45°respectiva-
mente, ¿qué ángulo forma el vector con el
eje OY?
RESOLUCIÓN
( ) ( ) ( )
2 2 2
( ) ( ) ( )
2 2 2
Cos120 Cos Cos45 1° + b + ° =
( )
22
21 2
Cos 1
2 2
  
− + b + =       
( )
21 1
Cos 1
4 2
+ b + =
( )
2 1 1
Cos Cos
4 2
b = ⇒ b = ±
Respuesta: 60 y 120b= ° b= °
18. Un vector forma con los ejes OX, y OY los
ángulos

45=a 45°y

135=b respectiva-
mente, ¿qué ángulo forma el vector con el
eje OZ?

RESOLUCIÓN
15
Cos 126,87
25
−
b= ⇒ b= °

16
Cos 129,792
25
−
q= ⇒ q= °
13.Calcular los cosenos directores del vector
ˆ ˆ ˆP 3i 4 j 12k

= − − .
RESOLUCIÓN
Definición de un vector unitario:
( ) ( ) ( )
2 2 2
ˆ ˆ ˆP 3i 4j 12k P 3 4 12 13= − − ⇒ = + − + − =
 
P 13=

P
ˆ ˆ ˆP 3i 4 j 12k
û
13P
− −
= =



P
13 13 13
= − −
P
13 13 13
     
= + − + −     
     

( ) ( ) ( )P
ˆ ˆ ˆû Cos i Cos j Cos k= a + b + q
Identificamos a los cosenos directores:

3
Cos 76,658
13
a= ⇒ a= °

4
Cos 107,92
13
−
b= ⇒ b= °

12
Cos 157,38
13
−
q= ⇒ q= °
14. ¿Puede formar un vector con los ejes
coordenados los ángulos siguiente

45=a 45° , 
135=b y 
60=q 60°?

( ) ( ) ( )
2 2 2
( ) ( ) ( )
2 2 2
Cos45 Cos135 Cos 1° + ° + q =
( )
2 2
22 2
Cos 1
2 2
   
+ − + q =      
   

( )
21 1
Cos 1
2 2
+ + q =

( )
2
Cos 0 Cos 0q = ⇒ q=
Respuesta: 90q= °
19.Un vector forma con los ejes OY, y OZ los
ángulos

150=b y

60=q 60° respec-
tivamente, ¿qué ángulo forma el vector
con el eje OX?
RESOLUCIÓN
( ) ( ) ( )
2 2 2
( ) ( ) ( )
2 2 2
Cos Cos150 Cos60 1a + ° + ° =
( )
2 2
2 3 1
Cos 1
2 2
   
a + − + =       

( )
2 3 1
Cos 1
4 4
a + + =
( )
2
Cos 0 Cos 0a = ⇒ a=
Respuesta: 90a= °
20. Determinar las coordenadas del punto
M, si su radio vector forma con los ejes
coordenados ángulos iguales y su módulo
es igual a 3 unidades.
1
ˆ ˆ ˆ ˆH a i b j H bi a j
  ⊥
= + ⇒ =− +
2
ˆ ˆ ˆ ˆH a i b j H bi a j
  ⊥
= + ⇒ = −
1
ˆ ˆ ˆ ˆG 4i 3 j G 3i 4 j
  ⊥
=− + ⇒ =− −
2
ˆ ˆ ˆ ˆG 4i 3 j G 3i 4 j
  ⊥
=− + ⇒ = +
22. Determinar el vector perpendicular al vec-
tor ˆ Ê 6i 8 j

= +
RESOLUCIÓN
Regla práctica para determinar el vector
ortogonal:

1
ˆ ˆ ˆ Ê 6i 8 j E 8i 6 j
  ⊥
= + ⇒ =− +
2
ˆ ˆ ˆ Ê 6i 8 j E 8i 6 j
  ⊥
= + ⇒ = −
23. Se tiene un cuadrado de vértices A, B C y
D;yárea25unidadescuadradas.Siconoc-
emos el vértice ( )A 10;20 y el lado A B
es paralelo al vector ˆ ˆV 3i 4 j= +

. De-
terminarlaposicióndelosvérticesB,CyD.
RESOLUCIÓN
(1). Si el área del cuadrado es 25 uni-
dades cuadráticas, entonces cada lado
mide 5 unidades lineales. El vector
ˆ ˆV 3i 4 j= +

es paralelo al lado AB y
tienen el mismo módulo. AB V 5= =
 
entonces ˆ ÂB V 3i 4 j= = +
 
(2). Cálculo del punto B:
( ) ( ) ( )B A AB 10;20 3;4 13;24= + = + =

ortogonal:
AB BC⊥
 
entonces ˆ ˆBC 4i 3 j=− +

(3). Cálculo del punto C:
( ) ( ) ( )C B BC 13;24 4;3 9;27= + = + − =

ortogonal:
BC CD⊥
 
entonces ˆ ˆCD 3i 4 j=− −

(4). Cálculo del punto D:
( ) ( ) ( )D C CD 9;27 3; 4 6;23= + = + − − =

24. Se tiene un cuadrado de vértices A, B C
y D; y área 100 unidades cuadradas. Si
conocemos el vértice A (20; 10) y el lado
AB es paralelo al vector ji 34 + . Deter-
minar la posición de los vértices B, C y D.
RESOLUCIÓN
(1). Si el área del cuadrado es 100 uni-
dades cuadráticas, entonces cada lado
¿Qué ángulo forma el radio vector con los
ejes coordenados cartesianos?
RESOLUCIÓN
( ) ( ) ( )
2 2 2
( ) ( ) ( )
2 2 2
Cos Cos Cos 1a + a + a =
( ) ( )
2 2 1
3 Cos 1 Cos
3
a = ⇒ a =
( )
1
Cos
3
a =±
( )
1
Cos 54,74
3
a = + ⇒ a = °
( )
1
Cos 125,26
3
a = − ⇒ a = °
El vector unitario es,
( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆû Cos i Cos j Cos k= a + a + a

3 3 3
     
= + +          
     
Definición del radio vector, OM R=
 

( )ˆR R .u R . Cos ;Cos ;Cos= = a a a
  
( )3 3 3
R 3. ; ; 3; 3; 3
3 3 3
 
= =  
 

Respuesta: Las coordenadas del punto M
es, ( )R 3; 3; 3=

21.Calcular el vector ortogonal del vector
G 4i 3j=− +

RESOLUCIÓN
ortogonal:

mide 10 unidades lineales.
Elvector ˆ ˆV 4i 3 j= +

esparaleloallado
AB y tienen el módulo a razón de 1 a 2.
Es decir, AB 10 y V 5= =
 
enton-
ces
( )ˆ ˆ ˆ ÂB 2V 2 4i 3 j 8i 6 j= = + = +
 
(2). Cálculo del punto B:
( ) ( ) ( )B A AB 20;10 8;6 28;16= + = + =

ortogonal:
AB BC⊥
 
entonces ˆ ˆBC 6i 8 j=− +

(3). Cálculo del punto C:
( ) ( ) ( )C B BC 28;16 6;8 22;24= + = + − =

ortogonal:
BC CD⊥
 
entonces ˆ ˆCD 8i 6 j=− −

(4). Cálculo del punto D:
( ) ( ) ( )D C CD 22;24 8; 6 14;18= + = + − − =

25. Si los módulos de los vectores P

y Q

son
18 y 14 unidades y sus cosenos directores
con los ejes X, Y y Z son
2 1 2
; ;
3 3 3
− 
 
 
y
6 3 2
; ;
7 7 7
 
 
 
respectivamente.Determinar
el resultado de:
P Q
2
+
 
RESOLUCIÓN
(1). Expresamos el vector P

en función
de su vector unitario.

( )P
2 1 2
ˆP P .u 18 . ; ;
3 3 3
− 
= =  
 
 
( ) ˆ ˆ ˆQ 8;6; 24 8i 6 j 24k= − = + −

(3). Producto escalar de vectores:

( )( ) ( )( ) ( )( )P Q 10 8 5 6 10 24 130• = + + − =−
 
( )( ) ( )( ) ( )( )P Q 10 8 5 6 10 24 130• = + + − =−
 
Respuesta: P Q 130• =−
 
27. Dado 13=A

13, 19=B

19 y 24=+ BA

24
Calcular: BA

−
RESOLUCIÓN
(1). Método del paralelogramo:

2 2 2
A B A B 2. A . B .Cos+ = + + q
    
.. (1)

2 2 2
A B A B 2. A . B .Cos− = + − q
    
.. (2)

(2). Adicionando ambas ecuaciones ten-
emos que,

2 2 2 2
A B A B 2. A 2. B+ + − = +
    
( ) ( ) ( )
22 2 2
24 A B 2. 13 2. 19+ −= +
 
Respuesta: A B 22− =
 
28. Sabiendo que los vectores ByA

forman
entre si un ángulo de 120° y además
3=A

, 5=B

Determinar: BA

−
RESOLUCIÓN
Método del paralelogramo:

2 2 2
A B A B 2. A . B .Cos− = + − q
    
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
A B 3 5 2. 3 . 5 .Cos120− = + − °
 
Respuesta: A B− =
 
7
29. ¿Para qué valores de “p” y “q” los
v e c t o r e s ˆ ˆ Â 2i 3 j pk=− + +

y
ˆ ˆ ˆB qi 6 j 2k= − +

son colineales?
RESOLUCIÓN
Dos vectores son colineales si sus compo-
nentes son directamente proporcionales.
2 3 p
cosn tan te
q 6 2
−
= = =
−
Resolviendo tenemos que:

2 3
q 4
q 6
−
= ⇒ =
−

3 p
p 1
6 2
= ⇒ =−
−
Respuesta: Son colineales para,
q 4 y p 1= = −
30.¿Para qué valores de “r” y “s” los
v e c t o r e s ˆ ˆ Â r i 12 j 3k= + +

y
ˆ ˆ ˆB 8i s j 2k= + +

son paralelos?

RESOLUCIÓN
Dos vectores son paralelos si sus compo-
r 12 3
cosn tan te
8 s 2
= = =
12 3
s 8
s 2
= ⇒ =
( ) ˆ ˆ ˆP 12; 6;12 12i 6 j 12k= − = − +

(2). Expresamos el vector Q

en función
( )Q
6 3 2
ˆQ Q .u 14 . ; ;
7 7 7
 
= =  
 

( ) ˆ ˆ ˆQ 12;6;4 12i 6 j 4k= = + +

(3). Adición de vectores:

( ) ( ) ˆ ˆ ˆP Q 24;0;16 24i 0 j 16k
 
+ = = + +
La semisuma es;

P Q 24 0 16 ˆ ˆ ˆ; ; 12i 0 j 8k
2 2 2 2
+  
= = + + 
 
 
26. Si los módulos de los vectores P

y Q

son
15 y 26 unidades y sus cosenos directores
con los ejes X, Y y Z son
2 1 2
; ;
3 3 3
− 
 
 
y
4 3 12
; ;
13 13 13
− 
 
 
respectivamente.
Determinar el resultado de: P Q•
 

RESOLUCIÓN
(1). Expresamos el vector P

en función de
su vector unitario.

( )P
2 1 2
ˆP P .u 15 . ; ;
3 3 3
− 
= =  
 
 
( ) ˆ ˆ ˆP 10; 5;10 10i 5 j 10k= − = − +

(2). Expresamos el vector Q

en función
( )Q
4 3 12
ˆQ Q .u 26 . ; ;
13 13 13
− 
= =  
 



r 3
r 12
8 2
= ⇒ =
Respuesta: Son paralelos para,
r 12 y s 8= =
31.Los siguientes vectores ˆ ˆ ˆW 15i 12 j 9k

= − +
y ˆ ˆ ˆP 5i 4 j 3k

= + + ¿son colineales?
RESOLUCIÓN
Dos vectores son colineales si sus compo-
15 12 9
cosn tan te
5 4 3
−
= = =
3 3 3 cosn tan te≠ − ≠ ≠
Respuesta: Los vectores W y P
 
no son
colineales.
32. Los siguientes vectores ˆ ˆ Ê 15i 12 j 9k

= − +
y ˆ ˆ ˆT 5i 4j 3k

= − + ¿son paralelos?
RESOLUCIÓN
Dos vectores son paralelos si sus compo-
15 12 9
cosn tan te
5 4 3
−
= = =
−
3 3 3 cosn tan te= = =
Respuesta: Los vectores E y T
 
son
paralelos.
33. Se conocen los vértices de un cuadri-
látero: A (4; 9), B (9; 9), C (9; 6) y D (2;
6). ¿Es un trapecio?
RESOLUCIÓN
Combinación lineal de vectores:
A p q
  
a b= +

( ) ( ) ( )9;4 2; 3 1;2a b= − +
( ) ( ) ( )9;4 2 ; 3 1 ;2a a b b= − +
( ) ( )9;4 2 1 ; 3 2a b a b= + − +
Resolviendo el sistema de ecuaciones:
2 1 9a b+ =----(1)
3 2 4a b− + =----(2)
Multiplicando por (-2) a la ecuación (1):
4 2 18a b− − =− ---(3)
Adicionando las ecuaciones (2) y (3):
7 14 2a a− =− ⇒ =
Reemplazando en (1):
4 1 9 5b b+ = ⇒ =
Respuesta: A 2p 5q
  
= +
36. Dadolosvectoresenelplano ˆ ˆp 3i 2 j

= −
y ˆ ˆq 2i 1j

=− + .
Expresar el vector ˆ Â 7i 4 j

= − en
función de los vectores p y q
 
.
37. Dadolosvectoresenelplano ˆ ˆp 3i 2 j

= −
y ˆ ˆq 7i 4 j

= − . Expresar el vector
ˆ Â 2i 1j

=− + enfuncióndelosvectores
p y q
 
.
RESOLUCIÓN
Combinación lineal de vectores:
A p q
  
a b= +
El vector T

de módulo 75 tiene dirección
opuesta al vector ˆ ˆ â 16i 15 j 12k= − +

. Determinar las proyecciones del vector
T

en el sistema coordenado cartesiano.
RESOLUCIÓN
Determinamos el vector unitario del vector
a

:
( ) ( ) ( )
2 2 2
a 16 15 12 25= + − + =

A
ˆ ˆ â 16i 15 j 12k
û
a 25
− +
= =


El vector T

tiene dirección opuesta del
vector a

,

T A
ˆ ˆ ˆ16i 15 j 12k
ˆ û u
25
− + −
=− =
definición del vector T

,
T
ˆT T .u=
 
( )
ˆ ˆ ˆ16i 15 j 12k ˆ ˆ ˆT 75 48i 45 j 36k
25
 − + −
= =− + −  
 

ˆ ˆ ˆT 48i 45 j 36k=− + −

ProyeccióndelvectorT

enelejex: ˆ48i−
Proyección del vector T

en el eje y: ˆ45 j
ProyeccióndelvectorT

enelejez: ˆ36k−
35.Dado los vectores en el plano ˆ ˆp 2i 3 j

= −
y ˆ ˆq 1i 2 j

= + . Expresar el vector
ˆ Â 9i 4 j

= + en función de los vectores
p y q
 
.
( ) ( ) ( )2;1 3; 2 7; 4a b− = − + −
( ) ( ) ( )2;1 3 ; 2 7 ; 4a a b b− = − + −
( ) ( )2;1 3 7 ; 2 4a b a b− = + − −
Resolviendo el sistema de ecuaciones:
2 3 7a b− = + .......(1)
1 2 4a b=− − ........(2)
Multiplicando por (2) a la ecuación (1):
4 6 14a b− = + ......(3)
Multiplicando por (3) a la ecuación (2):
3 6 12a b=− − ......(4)
Adicionando las ecuaciones (3) y (4):
1
1 2
2
b b− = ⇒ =−
Reemplazando en (2):

1 1
1 2 4
2 2
a a
 
=− − − ⇒ = 
 
Respuesta:
1 1
A p q
2 2
  
= −
38. Dadolosvectoresenelplano p 7i 4j= −

y q 2i 1j=− +

.
Expresar el vector A 3i 2j= −

en fun-
ción de los vectores p y q
 
.
39. Se dan los vectores ˆ â 3i 1j

= − ,
ˆ ˆb 1i 2 j

= − y ˆ ˆc 1i 7 j=− +

.
Determinar la descomposición del vector
p a b c= + +
  
en base de los vectores
bya

.
RESOLUCIÓN
Cálculo del vector p a b c= + +
  

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