1. 321Álgebraytrigonometría
Introducción
En esta sección se continúa el estudio de los números complejos. Se estudia una
representación de ellos mediante un plano, llamado plano de Argand.
En este módulo se escriben números complejos en una forma alternativa. Esta forma
tiene la ventaja de que se simplifica mucho los cálculos para multiplicar y dividir
números complejos.
Objetivos
1. Establecer una correspondencia entre los números complejos y el plano cartesiano.
2. Representar el conjugado de un número complejo en el plano cartesiano.
3. Escribir números complejos en otra forma alternativa.
Preguntas básicas
1. ¿Qué es el plano de Argand?
2. ¿Cómo se representan números complejos en el plano de Argand?
3. ¿Qué es la forma polar de un número complejo?
4. ¿En qué consiste el argumento de un número complejo escrito en forma polar?
Contenido
29.1 Los números complejos y el plano de Argand
29.1.1 Introducción
29.1.2 Números complejos conjugados
29.2 Forma polar de los números complejos
29.2.1 Introducción
29.2.2 Argumento de D
Vea el módulo 29 del
programa de televisión
Álgebra y trigonometría
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AlgebraTrigonometria/
29
Plano de Argand. Forma polar de los
números complejos
Jean Robert Argand (1768-1822)
En1806aparecióuntrabajosuperior:Essaisurunemanière
de représenter les quantités imaginaires dans les
constructions géométriques. En este pequeño libro Argand
hizounarepresentacióngeométricamodernaparalaadición
y la multiplicación de números complejos, y mostró cómo
esta representación se podía aplicar para deducir algunos
teoremasentrigonometría,geometríaelementalyálgebra.
La manera en que se conoció el trabajo de Argand fue un
tantocomplicado.Pensóenviarunacopiadesutrabajoyse
la remitió a Francois Francais a pesar de que él no conocía
la identidad del autor.
Después de la muerte de Francois Francais en 1810, su
hermano Jacques Francais, trabajando en sus papeles,
encontróelpequeñolibrodeArgand.Enseptiembrede1813
Jacques Francais publicó un trabajo en el cual mostró una
representación geométrica de los números complejos con
aplicaciones interesantes, a partir de las ideas de Argand.
Dijo que su documento se basó en el trabajo de un
matemático desconocido e invitó a éste a hacerse conocer
él mismo. El artículo de Jacques Francais apareció en los
Annales de mathematiques y Argand respondió a Jacques
Francais reclamando el reconocimiento como autor,
presentandoligerasmodificacionesalaversiónoriginalcon
algunasaplicaciones.
Posteriormente, en el Gergonne´s Journal apareció una
vigorosadiscusiónentreJacquesFrancais,ArgandyServoir
en donde los dos primeros argumentaban la validez de la
representación geométrica de los números complejos,
mientras que Servois argumentaba que los números
complejosdebíanmanejarseusandoúnicamenteelálgebra.
2. 322
29.1 Los números complejos y el plano de Argand
29.1.1 Introducción
Si se hace una correspondencia uno a uno entre los números complejos de la forma
3. ,x yD y los puntos del plano cartesiano, a este plano se le llama plano comple-
jo o diagrama de Argand, en honor al matemático suizo Jean Argand (1768-1822),
quien en 1806 propuso esta representación para los números complejos. En este
diagrama, los ejes coordenados se llaman eje real y eje imaginario y el complejo (0, 0)
corresponde al origen de coordenadas.
En el diagrama deArgand, a cada número complejo
4. ,x y xi yjD se le asocia
un vector de posición que va desde el origen hasta el punto de coordenadas (x, y)
tal como se ilustra en la figura 29.1.
Figura 29.1. Representación del número complejo
5. ,x yD
Capítulo10:Losnúmeroscomplejos
Re( )D
Im( )D
( , )x yD
1 (1,0)
(0,1)i
29.1.2 Números complejos conjugados
Tal como se definió en una sección anterior, el conjugado de un número complejo
( , )x y x iyD , que se denota por ( , )x y x iyD , se puede representar en
un diagrama deArgand. Estos complejos D y D son simétricos respecto al eje real,
tal como lo ilustra la figura 29.2.
6. 323Álgebraytrigonometría
Figura 29.2. Representación de un número complejo y su conjugado
Módulo29:PlanodeArgand.Formapolardelosnúmeroscomplejos
Im( )D
Re( )D
x iyD
Escuche Historia de Argand en
su multimedia de Álgebra y
trigonometría
Hay que notar que:
7.
8.
9.
10. 2 2
, ,
.
x y x y
x iy x iy
x y
D D˜
También, si x iyD y a ibE con 0,E z se tiene que:
17. 324
Re( )D
Im( )D
( , )x y
T
cosD T
senD T
Figura 29.3. Representación polar de un número complejo
Si se denota por r la magnitud de ,D es decir r D , se tiene que:
cos sen
(cos sen ).
x iy r ir
r i
D T T
T T
29.2.2 Argumento de D
Se define el argumento de D y se denota por
18. arg D como cualquier ángulo T
medido en radianes y formado entre el eje real positivo y el vector de posición
asiciado con .D El valor principal de
30. Como x 0 e y 0, entonces R un ángulo del segundo cuadrante. Como tan
y
x
1 ¬ž ž žŸ ®
toma valores entre / y /S S 2 2 , se tiene que:
tan tan .
y
x
Q Q
R Q Q Q
¬ ¬ žž
31. žž ž ž Ÿ ® Ÿ ®
1 1 1 5
6 63
Por tanto,
cos sen .z i
Q Q ¬ž
32. ž žŸ ®
5 5
8
6 6
b. .i4 4
Solución
Procediendo como en el ejemplo anterior y teniendo en cuenta que R es un ángulo
del tercer cuadrante, se obtiene:
( ) ( ) , tan .r z
Q Q
R Q Q ¬ ž
33. ž žŸ ®
2 2 1 4 3
4 4 4 2
4 4 4
Por tanto,
cos sen .z i
Q Q ¬ ¬ ¬ž ž ž
34. ž ž ž ž ž ž ž Ÿ ® Ÿ ®Ÿ ®
3 3
4 2
4 4
c. 6i.
Solución
En este caso y . Por tanto,r
Q
R 6
2
cos sen .z i
Q Q ¬ž
35. ž žŸ ®
6
2 2
d. 2 + i.
Solución
En este ejemplo R es un ángulo del primer cuadrante. Entonces,
( ) ( ) , tan .r z R ¬ž
36. ž žŸ ®
2 2 1 1
2 1 5
2
Por tanto,
cos tan sen tan .z i
¬ ¯ ¯ ¬ ¬ ž ž ž¡ ° ¡ °
