Este documento presenta conceptos básicos de aritmética como razones, proporciones, sistemas numéricos, progresiones aritméticas y geométricas, y sumatoria y productoria. Explica que la aritmética se originó de los primeros intentos del hombre primitivo por contar animales y objetos, y que aunque parece sencilla, incluye conceptos difíciles de definir como el número. Finalmente, proporciona ejemplos para ilustrar conceptos como razones, proporciones, regla de tres y cálculo porcent

1. 20

2. 21Álgebraytrigonometría
Presentación
La aritmética viene de la más oscura lejanía. No hay luz para penetrar en ella y saber
a ciencia cierta cuándo el hombre comenzó a contar. Se sospecha que el hombre
primitivo pudo conocer cuántos animales poseía, haciendo corresponder a cada
animal una pequeña piedra. Si, un tiempo después, tenía más piedras que animales,
era porque había perdido algunos de ellos. Este primitivo concepto de cardinalidad
fue el origen del concepto de número como ente abstracto y dio comienzo al difícil
y prolongado parto de una de las ramas más antiguas de las matemáticas, como es
la aritmética, llamada después por Gauss la reina de las matemáticas.
En lo que respecta a la aritmética, en la actualidad el número es una conquista de la
escuela elemental. Allí se enseña la correspondencia entre dos conjuntos y la rela-
ción «tener el mismo cardinal», su transitividad y su reconocimiento como relación
de equivalencia. En esta etapa se evita el concepto de enumerar.
Se ha supuesto comúnmente que la aritmética es la rama más sencilla de las matemá-
ticas. El problema consiste en que las reglas fundamentales y las operaciones de
aritmética son extraordinariamente difíciles de definir. Así por ejemplo, el concepto
de número es un concepto holístico, pero aún más, problemas de aritmética, que
pueden ser expresados de tal modo que un niño pueda comprender su sentido, han
resistido durante siglos cualquier intento de resolución. Ejemplos de «sencillos»
problemas abiertos son la conjetura de Golbach y la existencia de números perfec-
tos impares.
El hombre de Vitrubio, de Leonardo da Vinci. Representación de la divina proporción.
1Elementosde
aritmética
Capítulo1
Módulo1
Razones y proporciones
Módulo2
Sistemas numéricos
Módulo3
Progresionesaritméticasygeométricas
Módulo4
Sumatoria y productoria
Ejercicios
Capítulo 1, módulos 1 al 4
Contenido breve

3. 22
De la teoría de números, Belldice: «Es el último gran continente salvaje de las
matemáticas. Se divide en innumerables regiones, bastante fecundas por sí mismas,
pero todas más o menos indiferentes al bienestar de las demás, y sin ningún vesti-
gio de un gobierno central e inteligente. Si algún joven Alejandro está suspirando
por conquistar un nuevo mundo, éste se extiende ante él. La aritmética no tiene aún
a su Descartes, por no decir su Newton».
La numeración posee un significado muy profundo, puesto que es la aplicación del
conjunto de los números en el conjunto de los objetos numerados y contribuye a
poner en «orden» los objetos que componen el conjunto. Antiguamente, se asocia-
ba a la numeración de objetos la intuición perceptiva en forma de representaciones,
como las fichas de dominó; pero una de las condiciones de la concepción del
número es precisamente su permanencia a través de la diversidad de formas espa-
ciales de los conjuntos a los que se aplica y, por tanto, esto puede entrañar el peligro
de retardar la adquisición de este invariante.
En este capítulo se presentan conceptos básicos de aritmética, como razones y
proporciones, conjuntos numéricos, progresiones aritméticas y geométricas y
sumatoria y productoria.

4. 23Álgebraytrigonometría
Razones y proporciones
Introducción
En este módulo se tratarán conceptos aritméticos íntimamente relacionados entre
sí, a saber: razones, proporciones y regla de tres.
En el medioevo, la regla de tres era una herramienta básica para el comercio de la
época y servía para determinar las proporciones de capital, tierras o cada tipo de
bienes que correspondía a cada persona. El concepto de regla de tres se explica
conociendo el concepto de proporción y, a su vez, éste tiene sentido cuando se
conoce el concepto de razón. Estos sencillos conceptos han permeado la civiliza-
ción humana, hasta el punto de que proporciones famosas se encuentran en los
más disímiles campos del saber humano, como son los casos de la proporción áurea
y el número .π
Objetivos
1. Desarrollar los conceptos de razón y proporción.
2. Desarrollar los conceptos de interés simple e interés compuesto.
3. Desarrollar el concepto de regla de tres.
Preguntas básicas
1. ¿Qué es una razón?
2. ¿Qué es una proporción?
3. ¿Qué es una regla de tres simple?
4. ¿Qué es una razón inversa?
Contenido
1.1Razón
1.1.1 Razones inversas
1.2 Proporciones
1.2.1 Extremos y medios de una proporción
1.2.2 Magnitudes directamente proporcionales
1.2.3 Magnitudes inversamente proporcionales
1.2.4 Regla de tres
1.3 Cálculo porcentual
Vea el módulo 1 del
programa de televisión
Álgebra y trigonometría
Visite el sitio
http://docencia.udea.edu.co/cen/
AlgebraTrigonometria/
1
Leonardo da Vinci (1452-1519)
Da Vinci es uno de los grandes artistas del Renacimiento y
esfamosonosólocomopintor,sinotambiéncomoescultor,
arquitecto, ingeniero y científico.

5. 24
1.1 Razón
Se llama razón de dos números enteros, al cociente de la división del primero por el
segundo. Por ejemplo: la razón de 15 a 5 es
15
3
5
= y la de 4 a 20 es
4 1
.
20 5
=
Los números que se comparan se llaman términos de la razón.
1.1.1 Razones inversas
Dos razones son inversas cuando los términos de una son los mismos de la otra,
pero dispuestos en orden inverso. Por ejemplo:
5 4
y
4 5
son razones inversas y
2 3
y
3 2
también lo son.
1.2 Proporciones
Se llama proporción la expresión de la igualdad de dos razones. Por ejemplo
15 20
,
3 4
= en que cada razón es igual a 5.
1.2.1 Extremos y medios de una proporción
Dada la proporción ,
a c
b d
= donde a, b, c, d son números enteros, a y d se llaman
extremos de la proporción y b y c se llaman medios de la proporción. Hay que hacer
notar que en toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los
medios. La proporción
a c
b d
= se puede escribir alternativamente de la forma si-
guiente: a : b :: c : d, y se lee: a es a b como c es a d.
1.2.2 Magnitudes directamente proporcionales
Dos magnitudes variables son directamente proporcionales cuando haciéndose
una de ellas 2, 3, 4... n veces mayor o menor, la otra se hace también 2 , 3, 4...n veces
mayor o menor. Ejemplos de ello son el salario de un obrero y la duración de su
trabajo, o el camino recorrido por un móvil que marcha siempre con igual velocidad,
y el tiempo.
1.2.3 Magnitudes inversamente proporcionales
Dos magnitudes variables son inversamente proporcionales cuando, haciéndose la
primera 2, 3, 4... n veces mayor o menor, la segunda se hace también 2, 3, 4... n veces
menor o mayor. Por ejemplo: el número de obreros y el tiempo que emplean en
Capítulo1:Elementosdearitmética

6. 25Álgebraytrigonometría
Módulo1:Razonesy proporciones
Escuche La divina
proporción en su
multimedia de Àlgebra y
trigonometría
ejecutar un trabajo dado, o la velocidad de un tren y el tiempo empleado para
recorrer un espacio dado.
1.2.4 Regla de tres
Se llama regla de tres un problema en que, dados los valores correspondientes de
varias magnitudes directa o inversamente proporcionales, se trata de buscar una de
ellas, cuando se conocen todas las demás.
Es decir, la regla de tres es una operación por medio de la cual se busca el cuarto
término de una proporción, de la cual se conocen los otros tres.
Ejemplo1
Un ciclista recorre 150 km en 5 horas. ¿Cuántos recorrerá en 7 horas?
Solución
Ya que las horas y los kilómetros son magnitudes directamente proporcionales,
tenemos la proporción
150 5 150 7
, o sea 210 km.
7 5
x
x
×
= = =
Ejemplo2
Si 12 obreros se tardan 30 días en acabar una obra, ¿cuántos obreros se necesitarán
para acabar la misma obra en 24 días?
Solución
Ya que los obreros y los días son magnitudes inversamente proporcionales, tene-
mos la siguiente proporción:
12 24 12 30
, o sea 15 obreros.
30 24
x
x
×
= = =
Ejemplo3
Para hacer 180 m de una obra, 15 obreros han trabajado 12 días, a razón de 10 horas
por día. ¿Cuántos días de 8 horas necesitarán 32 obreros para hacer 600 m de la
misma obra?
Solución
a. Consideremos primero solamente los obreros, y llamemos 1x los días que
necesitarán los 32 obreros para hacer el trabajo, en el supuesto de que
las demás magnitudes queden fijas. O sea:
15 obreros 12 días
32 obreros 1x
Ya que los obreros y los días son magnitudes inversamente proporcionales,
se tiene:
1
1
15 12 15
; días.
32 12 32
x
x
×
= =

7. 26
Capítulo1:Elementosdearitmética
Escuche Razones famosas del
número pi en su multimedia de
Àlgebra y trigonometría
b. Conocido el número de días 1x que necesitan 32 obreros para hacer 180 m de
una obra, trabajando 10 horas diarias, consideremos el número de días que
se demorarían haciendo la misma obra, trabajando 8 horas diarias. Sea 2x el
número de días de 8 horas, entonces
10 horas 1x días
8 horas 2x
Ya que las razones son inversas, se tendrá que:
2
1
10
8
x
x
=
2 1 2
10 12 15 10
; por tanto
8 32 8
x x x
×
= × = × días.
c. Por fin, si comparamos los días con la cantidad de trabajo, y sabiendo que 32
obreros hacen 180 m de obra en 2x días de ocho horas, se pregunta en
cuántos días de 8 horas esos 32 obreros harán 600 m de la obra. O sea:
2x 180m
x 600m
Ya que las razones son directas, se tendrá:
2 180
600
x
x
=
2
600
días.
180
x x= ×
O sea que
12 15 10 600
días
32 8 180
x
× × ×
=
× ×
y por tanto 23x = días más
7
16
de día.
Ejemplo4
Una partícula con velocidad constante recorre 1.200 m en 80 segundos. Determine:
a. Qué distancia recorrerá en media hora.
b. Qué tiempo tardará en recorrer 1.500 m.
Solución
a. 1.200m 80 seg
x 1.800 seg
Ya que las magnitudes son directamente proporcionales, se tiene que:

8. 27Álgebraytrigonometría
Módulo1:Razonesy proporciones
1.200 80
,
1.800x
= 1.200 1.800
m,
80
x
×
= o sea x = 27.000 m.
b. 80 seg 1.200 m
x 1.500m
Ya que las magnitudes son directamente proporcionales, se tiene que:
80 1.200 80 1.500
, seg; o sea = 100 seg.
1.500 1.200
x x
x
×
= =
Ejemplo5
Un grupo de 8 obreros, los cuales trabajan todos con la misma eficiencia, ejecuta
una cierta obra trabajando durante 20 días. ¿En cuánto tiempo podrían ejecutar la
misma obra dos de los obreros del grupo?
Solución
20 días 8 obreros
x 2 obreros
Ya que las magnitudes son inversamente proporcionales, se tiene:
20 2
8x
= ,
20 8
días,
2
x
×
= o sea x = 80 días.
Ejemplo6
Un grupo formado por 9 hombres que trabajan todos con igual eficiencia ejecuta
una obra trabajando durante 28 días a razón de 6 horas diarias. Determine cuántos
días hubieran tenido que trabajar 7 hombres del mismo grupo para realizar la misma
obra, trabajando a razón de 8 horas diarias. ¿En cuánto tiempo podrían ejecutar la
misma obra dos de los obreros del grupo?
Solución
a. Consideremos primero solamente los obreros, y llamemos 1x los días que
necesitan los 7 hombres para hacer el trabajo, en el supuesto de que las
demás magnitudes queden fijas. O sea:
9 hombres 28 días
7 hombres 1x días
Ya que los obreros y los días son magnitudes inversamente proporcionales,
se tiene:
1
1
9 9 28
; días.
7 28 7
x
x
×
= =
b. Conocido el número de días 1x que necesitan 7 hombres para hacer la obra
trabajando 6 horasdiarias,consideremoselnúmerodedías que se demorarían
haciendo la misma obra, trabajando 8 horas diarias. Sea 2x el número de días

9. 28
Capítulo1:Elementosdearitmética
Escuche Da Vinci en su
multimedia de Àlgebra y
trigonometría
que necesitarían:
6 horas 1x días
8 horas 2x días
Ya que las razones son inversas, se tendrá:
2
1
6
8
x
x
= ; 1
2
6
.
8
x
x
×
=
O sea
2
6 9 28
27
8 7
x
×
= × = días.
1.3 Cálculo porcentual
Las definiciones, fórmulas y métodos de trabajo que son necesarios para la com-
prensión de los ejercicios que se presentan a continuación son una aplicación
específica del concepto de regla de tres.
En problemas de cálculo porcentual, si llamamos p el porcentaje, B el valor de ese
porcentaje, C el valor base sobre el que se calcula el porcentaje, se tendrá que:
100 p
C B
Como estas magnitudes son directamente proporcionales, se tendrá que:
100
.
p
C B
=
Ejemplo7
Halle el 12% de 8.000 pesos.
Solución
Si llamamos p al porcentaje, C al capital y B al valor de ese porcentaje, se tendrá:
100 p
C B
Las magnitudes son directamente proporcionales. En nuestro caso, p = 12,
C = 8.000. Se trata de hallar B.
100 C
; .
100
p p
B
C B
×
= =
O sea que
12 8.000
960 pesos.
100
B
×
= =

10. 29Álgebraytrigonometría
Ejemplo8
Halle de qué número es 48 el 8%.
Solución
En este caso p = 8, B = 48. Se trata de hallar C.
100 100
;
100 48
600.
8
p B
C
C B p
×
= =
×
= =
Ejemplo9
Halle qué porcentaje es 51 de 170.
Solución
Los datos son B = 51 y C = 170. En este caso la incógnita es p.
100 51
30%.
170
p
×
= =
Ejemplo10
Halle de qué número es 408 el 70% más.
Solución
El 70% más de un número es el 170% de éste. Entonces, en este caso, tenemos que
B = 408 y p = 170.
100 100 408
240.
170 170
B
C
× ×
= = =
El número pedido es 240.
Ejemplo11
Halle de qué número es 546 el 9% menos.
Solución
El problema equivale a preguntar de qué número es 546 el 91%. Por tanto, p = 91%,
B = 546 y la incógnita es C.
100 100 546
600,
91
B
C
p
× ×
= = = que es el número pedido.
Módulo1:Razonesy proporciones

11. 30
Ejemplo12
Se han mezclado 40 g de alcohol con cierta cantidad de agua, de tal modo que el
alcohol utilizado representa el 20% de la mezcla resultante. Calcule la cantidad de
agua que contiene la mezcla.
Solución
Tomemos como valor base la cantidad total de gramos de alcohol y agua que forman
la mezcla, cantidad que designamos por C. Como la cantidad de alcohol es de 40 g,
que representa el 20% de la mezcla, tenemos que p = 20 y B = 40.
Las tres magnitudes p, B y C están ligadas por la fórmula ,
100
B C
p
= donde en este
caso C es la cantidad total de mezcla.
100 100 40
200
20
B
C
p
× ×
= = = g.
Sabemos que la mezcla solamente contiene alcohol y agua; como hay 40 g de alco-
hol, los gramos de agua serán 200 – 40 = 160.
Ejemplo13
Se dispone de dos tipos de acero: el tipo A, que contiene 5% de níquel, y el tipo B,
que contiene 40%. Se desea saber qué cantidad de cada tipo será necesario emplear
para obtener 70 toneladas de un nuevo tipo de acero que contenga el 30% de níquel.
Solución
Sea x la cantidad de toneladas necesarias del tipo A. Entonces serán necesarias
70 x− toneladas del tipo B.
La cantidad de níquel aportada por las x toneladas del tipo A es
5
100
x× .
La cantidad de níquel aportada por las 70 x− toneladas del tipo B es ( )
40
70 .
100
x× −
Por tanto, ( )
5 40 30
70 70,
100 100 100
x x× + × − = ×
5 2800 40 2.100,
35 700, 20 toneladas.
x x
x x
+ − =
= =
En consecuencia, serán necesarias 20 toneladas del tipo A y 50 toneladas del tipo B.
Capítulo1:Elementosdearitmética

12. 31Álgebraytrigonometría
Ejemplo14
Entre dos locales A y B hay almacenados un total de 2.000 sacos de azúcar. Si del
local A se transporta el 20% al local B, entonces en los dos locales habrá el mismo
número de sacos. ¿Cuántos sacos había en cada local?
Solución
Sea x el número de sacos en el local A.
Sea 2.000 – x el número de sacos que había en el local B.
Entonces:
20 20
2.000 ,
100 100
2
2 2.000,
5
1.250.
x x x x
x x
x
− = − +
− =
=
Por lo tanto había 1.250 sacos en el local A y 750 en el local B.
Módulo1:Razonesy proporciones