1. Математика. 9 класс Вариант 1 - 1 Математика. 9 класс Вариант 1 - 2
Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом Критерии оценивания выполнения задания Баллы
Доказательство верное 3
19 Решите уравнение x 4 = ( x − 20) 2 . Доказательство содержит неточности 2
Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям 0
Максимальный балл 3
Ответ: −5; 4 .
Решение.
21 Постройте график функции
1) x 2 = x − 20 . Тогда получается квадратное уравнение x 2 − x + 20 = 0 ,
⎧1,5 x + 3,если x < 0,
которое не имеет решений. ⎪
y = ⎨−2 x + 3,если0 ≤ x < 1,
2) x 2 = − ( x − 20 ) . Тогда получается квадратное уравнение x 2 + x − 20 = 0 .
⎪
Корни: 4 и −5 . ⎩ x,если x ≥ 1
Критерии оценивания выполнения задания Баллы и определите, при каких значениях с прямая y = c имеет с графиком ровно
Правильно выполнены преобразования, получен верный ответ 2 две общие точки.
Решение доведено до конца, но допущена ошибка или описка
вычислительного характера (например, при вычитании), с её 1 Ответ: См. график; с=1 и с=3.
учётом дальнейшие шаги выполнены верно y
Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям 0 3 y=3
Максимальный балл 2
y=1
20 На сторонах AC и AB треугольника ABC отмечены соответственно точки
B1 и C1 . Известно, что AB1 = 3см , B1C = 17 см , AC1 = 5см , C1B = 7 см .
–2 0 1 x
Докажите, что треугольники ABC и AB1C1 подобны.
C
Решение. График функции состоит из трех участков прямых. Построим их.
График имеет ровно две общие точки с прямой y = c при c = 1 или c = 3 .
Критерии оценивания выполнения задания Баллы
B1 График построен правильно, оба значения параметра указаны верно 3
График построен правильно, верно указано только одно значение
A C1 B
параметра; или: допущена неточность при построении графика, но 2
оба значения параметра указаны верно
Доказательство. Рассмотрим отношения сторон треугольников ABC и Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям 0
AB1C1 , прилежащих к общему углу A : Максимальный балл 3
AB 5 + 7 12 AC 3 + 17 20
= = = 4, = = = 4.
AB1 3 3 AC1 5 5
AB AC
Отсюда = .
AB1 AC1
Следовательно, две стороны треугольника ABC пропорциональны
соответствующим сторонам треугольника AB1C1 , а угол A между ними
общий. Значит, треугольники ABC и AB1C1 подобны.

2. Математика. 9 класс Вариант 1 - 3 Математика. 9 класс Вариант 1 - 4
22 Смешав 50%-ый и 30%-ый растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, 23 Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в
получили 28%-ый раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 отношении 3: 2, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если
кг 40%-го раствора той же кислоты, то получили бы 36%-ый раствор длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна
кислоты. Сколько килограммов 50%-го раствора использовали для получения 12 см.
смеси?
Ответ: 30 см.
Ответ: 10 кг. Решение. Пусть в треугольнике ABC биссектриса BE делится точкой
Решение. Пусть было использовано x кг 50%-го раствора и y кг 30%-го пересечения биссектрис (точкой O ) в отношении 3: 2 считая от вершины B .
B
раствора. Тогда масса кислоты в 50%-м растворе равна 0,5x кг, а в 30%-м
растворе масса кислоты равна 0,3y кг. Общая масса раствора после
смешивания равна x + y + 10 кг.
O
Масса кислоты в новом растворе равна 0,5 x + 0,3 y кг. По условию
получаем равенство A E C
0,5 x + 0,3 y = 0, 28 ( x + y + 10 ) . Так как биссектриса угла треугольника делит противолежащую этому углу
В 10 кг 40%-го раствора содержится 4 кг кислоты. Поэтому из второго AB BC
сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, то = .
условия задачи получаем: AE EC
0,5 x + 0,3 y + 4 = 0,36 ( x + y + 10 ) . AB BO 3
Но в силу той же теоремы для треугольника ABE , получим = = .
Вычитая из второго уравнения первое почленно, находим: AE OE 2
4 = 0,08 ( x + y + 10 ) , 3 3
Значит, AB = AE и BC = EC .
откуда x + y = 40 . Пользуясь этим равенством, из первого уравнения 2 2
получаем: Искомый периметр равен
0,5 x + 0,3(40 − x) = 0, 28 ⋅ 50 , откуда x = 10 . 3 3 3
AC + AE + EC = AC + AC = 2,5 AC = 30 см.
2 2 2
Критерии оценивания выполнения задания Баллы
Правильно составлено уравнение, получен верный ответ 4 Критерии оценивания выполнения задания Баллы
Правильно составлено уравнение, но при его решении допущена Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен
3 4
вычислительная ошибка, с её учётом решение доведено до ответа верный ответ
Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям 0 Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но не
3
Максимальный балл 4 даны объяснения или допущена одна вычислительная ошибка
Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям 0
Максимальный балл 4