1. Cálculo de Límites - Límites indeterminados Prof. Viviana Lloret http://aulamatic.blogspot.com

2. Límites indeterminados Casos de indeterminación: 0/0, ∞/ ∞, ∞ - ∞, 1 ∞ Calcular : Como al reemplazar en dicha expresión x por 2 se obtiene 0/0, lo que haremos será, utilizando la Regla de Ruffini, dividir el polinomio que figura en el numerador por el polinomio que figura en el denominador. Con lo cual nos quedará: Hemos logrado salvar la indetermina- ción !!!

3. Seguimos con la indeterminación del tipo 0/0, pero en este caso con radicales: Calcular: Como al reemplazar , en dicha expresión, x por 5 se obtiene 0/0, lo que haremos será utilizar la siguiente propiedad: (a + b).(a - b) = a 2 - b2 Es decir: multiplicaremos numerador y denominador por Al multiplicar llegaremos a la siguiente expresión: En ella simplificamos, en el numerador: exponente con raíz y en el denominador: aplicamos “Diferencia de cuadrados” a x2- 25

4. Seguimos con la indeterminación del tipo 0/0, pero en este caso con radicales: Nos quedará: Resolviendo el numerador nos quedará: Hemos logrado, nuevamente, salvar la indetermina- ción !!! Por último simplificamos, y reemplazamos x por 5:

5. Seguimos con la indeterminación del tipo 0/0, pero en este caso con funciones trigonométricas: Calcular Como al reemplazar , en dicha expresión, x por 0 se obtiene 0/0, para salvar la indeterminación será necesario utilizar la siguiente propiedad: Propiedad En dicha propiedad observamos que: el argumento del seno debe ser igual al valor que figura en el denominador, para lo cual multiplicaremos numerador y denominador por 5 Acomodando de manera conveniente, llegamos a la siguiente expresión:

6. Seguimos con la indeterminación del tipo 0/0, pero en este caso con funciones trigonométricas: Aplicando la propiedad anteriormente mencionada, llegamos a: Hemos logrado, nuevamente, salvar la indetermina- ción !!! =1

7. Pasamos ahora a la indeterminación del tipo ∞/ ∞ Recordar: Calcular: Al reemplazar x por ∞ nos queda ∞/ ∞, por tal motivo trataremos que nos quede x dividiendo, así de ese modo dicho término tenderá a 0. Observen que extraemos como factor común la x con mayor exponente

8. Pasamos ahora a la indeterminación del tipo ∞/ ∞ Simplificamos: Al aplicar dicho límite, todos los términos en donde figure x en el denominador tenderán a 0, por tal motivo los eliminamos, con lo cual llegamos al siguiente resultado. Hemos logrado, una vez más, salvar la indetermina- ción !!!

9. Pasamos ahora a la indeterminación del tipo ∞ - ∞ Calcular En este caso procedemos de igual modo que en el caso anterior, extraemos factor común x con el máximo exponente con el que figura tanto en el numerador , como en el denominador. En el numerador extraemos x2 y en el denominador x3.

10. Pasamos ahora a la indeterminación del tipo ∞ - ∞ Simplificando: Al aplicar dicho límite los términos en los cuales figura x en el denominador tenderán a 0, con lo cual los eliminamos, quedándonos: Hemos logrado, una vez más, salvar la indeterminación !!!

11. Pasamos ahora a la indeterminación del tipo 1∞ Recordar: Calcular: Lo primero que debemos hacer es lograr que nos quede similar a la expresión encerrada en la nube, para ello distribuiremos el denominador a cada término. Simplificando y aplicando la propiedad Potencia de otra potencia, nos queda:

12. Pasamos ahora a la indeterminación del tipo 1∞ Aplicando la siguiente propiedad y dicho límite: e2 e