Capacitacion docente 2017 tercer seminario

1. CAPACITACION DOCENTE
ONEM 2017
Prof. Erick Vásquez Llanos
E-mail: viterick@gmail.com

2. Ejemplo 1º: Empezaremos con un breve ejemplo para
describir esta técnica. Un domingo por la mañana lo mandan
a comprar 10 piezas de pan a la tienda de Don Lalo. Don Lalo
vende francés, de piso, semas e integral. Si Don Lalo tiene al
menos 10 piezas de cada una, de cuántas maneras puede
comprar las quince piezas que le encargaron? Imagine que
usted compra 4 francés, 1 de piso, 5 semas y ningún
integral, gràficamente lo podemos representar como
−−−−|−|−−−−−|

3. es decir, la cantidad de líneas antes de la primera barrita simboliza el
número de francés que compró, la cantidad de líneas entre la primera y
la segunda barrita simboliza el número de piso que compró, la cantidad
de líneas entre la segunda y la tercera barrita simboliza el número de
semitas que compró y finalmente la cantidad de líneas después de la
tercera barrita simboliza el número de integrales que compró
Si usted no compra francés, compra 4 de piso, no compra
semas y compra 6 integrales, podemos representar la compra
como
|−−−−||−−−−−−

4. Ejemplo 2º: En una heladería hay helados de fresa, limón y
mango ¿Cuántas órdenes de 4 paletas existen? (Suponiendo
que la paletearía tiene al menos 4 paletas de cada sabor)
Necesitamos dos separadores para hacer dicho reparto, por
ejemplo 1 de fresa, 2 de limón y 1 de mango
Luego resolver el problema equivale a ubicar 2 separadores de 6
lugares posible: C(4 + 3 - 1 ; 3 - 1 ) = C(6; 2) = 15

6. En nuestra ejemplo Nº 01 tenemos n = 10; k = 3 , por lo tanto
C(10; 3) = 120
En nuestra ejemplo Nº 02 tenemos n = 4; k = 3 , por lo tanto
C(6; 2) = 15

7. El principio del palomar, también llamado principio de
Dirichlet o principio de las casillas, establece que
si n palomas se distribuyen en m palomares, y si n > m,
entonces al menos habrá un palomar con más de una
paloma.
Aquí n = 10 y m = 9.

8. EJERCICIOS EXPLICATIVOS
Ejemplo 1º: Usted pasea con su hermano menor que
ha llorado todo el día. Saliendo de una tienda ven una
máquina (como la de la figura) de dulces y para que
deje de llorar usted decide comprarle un dulce.
En la máquina hay dulces de 7 colores diferentes, pero su hermanito
no dejará de llorar si usted no se come un dulce del mismo color.
Cuántos dulces tendrá que sacar para que su hermanito deje de llorar?
Por el principio del palomar, los 7 colores representan los palomares y
8 dulces representan las palomas, por lo tanto es suficiente sacar 8
dulces.

9. Ejemplo 2º: Sea un cuadrado de diagonal 3 en el que marcamos al azar
10 puntos. Demostrar que siempre tenemos al menos dos puntos que
están a distancia no mayor que 1.
Dividimos el cuadrado en 9 cuadraditos de diagonal 1 (incluyendo sus
bordes):
Por el principio del palomar, los 9 cuadraditos representan los
palomares y 10 puntos representan las palomas, por lo tanto al menos
dos puntos estarán en un cuadrado de diagonal 1, luego su distancia no
será mayor que 1.

10. EJERCICIOS
1. Entre tres personas, ¿hay al menos dos del mismo sexo?
Solución: Si, pues por el Principio del Palomar tenemos n = 3; m = 2
2. Entre 13 personas, ¿hay al menos dos que nacieron el mismo mes?
Solución: Si, pues por el Principio del Palomar tenemos n = 13; m = 12
3. Nadie tiene más de 250.000 pelos en su cabeza. En Trujillo hay
300.000 habitantes. ¿Puede usted afirmar con certeza que hay dos
usuarios con el mismo número de pelos en su cabeza?
Solución: Si, pues por el Principio del Palomar tenemos n = 300.000;
m = 250.000

11. 5. Si del subconjunto de números naturales 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
extraemos 6 números, con seguridad habrá dos que suman 11.
Solución: Si, pues dado los 5 subconjuntos {1; 10}; {2; 9}; {3; 8; {4; 7};
{5; 6} y por el Principio del Palomar tenemos m = 5 (subconjuntos);
n = 6 números a elegir, luego al menso dos de ellos pertenecerán a ujn
mismo conjunto, es decir su suma será 11.
7. ¿Pueden las casillas de un tablero de 3 x 3 llenarse con números del
conjunto { -1, 0, 1}, de manera que la suma de los números en cada
renglón, en cada columna y en cada diagonal sean diferentes?
Solución: No, pues los valores posibles para dicha suma son: {-3; -2;
-1; 0; 1; 2; 3} hay m = 7 valores diferentes y entre filas, columnas y
diagonales hay en total n = 8, por tanto una suma se tiene que repetir.

12. 9. 61 personas están comparando sus móviles (cada persona tiene
exactamente un móvil). Hay móviles de 4 fabricantes distintos, y cada
fabricante produce 5 modelos distintos. Además, cada modelo puede
tener cámara y bluetooth, tener sólo bluetooth, o no tener ni bluetooth
ni cámara. ¿Podemos garantizar que hay dos móviles iguales?
Solución: Hay 4 posibilidades para fabricante, 5 para modelo, y 3 para
complementos, para un total de 60 posibles tipos distintos de móviles.
Si fuesen 60 móviles, pueden ser cada uno de un tipo, y no podemos
garantizar que hay dos iguales. Si hay 61 móviles, tiene que haber
necesariamente dos iguales, pues si fueran todos distintos, habría 61
tipos de móvil, pero sólo hay 60.

13. 10. Con los vértices de una cuadrícula de 6 x 9 se forman 24
triángulos. Muestre que hay dos triángulos que tienen un vértice
común.
Sugerencia: ¿Cuántos vértices hay en la cuadricula? ¿cuantos
vértices necesitan los 24 triangulitos?
Solución:

14. 11.. De entre cinco puntos del plano con coordenadas enteras hay dos
cuyo punto medio también tiene coordenadas enteros.
Solución:
Primero observemos que el punto medio ((a+c)/2 , (b+d)/2), de dos puntos
de coordenadas enteras (a,b) y (c,d), tendrá también coordenadas
enteras, si a y c son ambos pares o ambos impares; luego todos los
puntos de coordenadas enteras generarán cuatro clases que
representaremos así: (P, P), (P, I), (I, P), (I, I) (n = 4), por lo tanto al tomar
m = 5 puntos del plano, por el principio del Palomar al menos dos de
ellos tendrá un punto medio de coordenadas enteras.

15. El método de reducción al absurdo consiste
en lo siguiente: Queremos demostrar que la
proposición P es verdadera, para esto
asumimos que P es falsa, o equivalentemente
que No P es verdadera, si es que luego de
ciertas deducciones o luego de haber usado
algunos teoremas convenientemente llegamos
a una proposición de la forma “ Q y No Q” se
dirá que hemos llegado a una contradicción y
por lo tanto afirmar que No P es verdadera es
falso, luego, P necesariamente tiene que ser
verdadera.

16. Ejemplo 1º

17. Ejemplo 2º

18. 1. Pongo más de 100 monedas en 2 bolsas. Demostrar que al menos
una de las bolsas tiene más de 50 monedas.
Solución:
Supongamos que ambas bolsas tenemos menos de 50 monedas,
digamos a y b respectivamente; (a < 50; b < 50) luego entre las dos
tendrán a + b < 50 + 50 = 100 (→←: Contradicción )
Por lo tanto al menos una de las bolsas tiene más de 50 monedas
EJERCICIOS

19. 2. Se seleccionan 3 números enteros positivos que suman 19.
Demostrar que al menos uno de ellos es mayor o igual que 7.
3. Demuestre que si m y n son enteros tales que n + n2
+ n3
= m + m2
,
entonces n es par
Solución:
Supongamos que n es impar, luego n, n2
y n3
son impares, por tanto su
suma también. Luego m + m2
= m(1 + m) es impar →←:
Contradicción ), pues el producto de dos consecutivos siempre es par.
Luego n es par

20. 5. Pruebe que b2
+b+1 = a2
no tiene soluciones enteras positivas.
Solución:
Supongamos que si hay solución, a y b enteros luego
b2
+b+1 = (b + 1)2
– b = a2
entonces (b + 1)2
– a2
= b equivale a
(b + 1 + a) (b + 1 – a) = b > (b + a + b) (→←: Contradicción )
Luego dicha ecuación no tiene soluciones enteras positivas
6. Sea abcabc un número natural de seis dígitos, demuestre que
m no es un cuadrado perfecto.
Solución:

21. 7. Demostrar que no existen entero positivos x e y tales que x2
– y2
= 10.
Solución:
8. Hay 2014 números escritos alrededor de una circunferencia, uno
de ellos igual a 1, y los restantes 2013 iguales a 0. La única
operación permitida es elegir un número y modificar sus dos
vecinos, reemplazando 0 por 1 y 1 por 0. ¿Es posible llegar a
tener alrededor de la circunferencia todos los números iguales
a 1, usando varias veces la operación permitida?
Solución:

22. 10. Demuestre que no es posible cubrir un tablero de 6x6 con fichas de la forma
Solución

23. COLORACIONES
La estrategia de colorear consiste en asociar un color a cada
elemento de un conjunto. Puede parecer extraño que se
hable del color de objetos matemáticos abstractos, como los
números, pero esto no es más que una forma de hablar, que
corresponde al concepto matemático de partición de un
conjunto en subconjuntos disjuntos.
Cada bloque de la partición agrupa a los elementos
“pintados de un mismo color”. Sin embargo hablar de
colores es más sugestivo y propicia una visualización de los
problemas que muchas veces contribuye a solucionarlos

24. Ejemplo 1º
A una cuadrícula de 8 × 8 cuadritos se le retiran dos cuadritos de
esquinas opuestas. ¿Puede la cuadrícula ser cubierta con 31 dominós
(fichas de 2 × 1 cuadritos)?
Solución: La respuesta es no. Un artificio para resolverlo es pensar a
la cuadrícula coloreada como un tablero de ajedrez, esto es, los
cuadritos coloreados en forma alternada con dos colores: blanco y
negro

25. En el tablero completo (con 64 cuadritos), quedan coloreados 32 cuadritos de
color blanco y los otros 32 de color negro. Al retirar dos esquinas opuestas,
se están retirando dos cuadritos de un mismo color (en nuestro caso
blancos), quedando 32 de color negro y 30 de color blanco.
Por otro lado, un dominó cubre dos cuadritos: uno de cada color. Las
31 fichas de dominó que se tienen, solamente pueden cubrir 31
cuadritos de color negro, por lo que siempre faltará por cubrir un
cuadrito de dicho color. Esto muestra que es imposible cubrir la
cuadrícula como se pide.

26. En un salón de clase están sentados los alumnos formando un arreglo
rectangular de 5×7. La maestra que quiere hacer una dinámica, les pide a
todos los alumnos que intercambien de lugar con un compañero vecino,
moviéndose un lugar ya sea a la izquierda, a la derecha, adelante o atrás
de su lugar. Pepito, que sabe de matemáticas, le dice a la maestra que
esto es imposible ¿Tiene razón Pepito?
Ejemplo 2º
Solución: Sí, tiene razón. Una manera de
convencerse es tomar una cuadrícula de 5×7,
pensando que las casillas representan los lugares
donde están los alumnos. Al colorear las casillas
de blanco y negro como un tablero de ajedrez
como se muestra en el dibujo,
observamos lo siguiente: cuando un alumno se cambie de lugar, ocupará
un lugar de color diferente al que ocupaba. El que se encuentre en un lugar
de color blanco pasará a uno de color negro y viceversa. Pero sucede que
el tablero así coloreado, tiene 18 casillas de color negro y 17 de color
blanco, por lo que los alumnos que están en casillas de color negro no
podrán pasar todos a las casillas blancas

27. Ejemplo 3º
Un tablero 5x5 es cubierto con 8 fichas de la forma.
¿En cuantas posiciones distintas se puede ubicar la casilla in cubrir?
Solución: El tablero tiene 25 casillas y los 8 triminos cubren 24 casillas,
entonces queda una sin cubrir. Coloreamos el tablero de la manera
siguiente:
Cada trimino cubre a lo mas una casilla negra, por lo tanto una casilla se
quedara sin cubrir. Demostraremos que las 9 casillas negras pueden
quedarse sin cubrir

28. Caso 1
Caso 2
Caso 3

29. ¿Se puede llenar un tablero de 10 × 10 cuadritos con 25 tetrómino I?
Ejemplo 4º
Solución 01:
La clave está en colorear el tablero de la siguiente forma:
Cada ficha cubre 0 ó 2 cuadritos negros, luego las fichas (las 25)
cubren un número par de cuadritos negros, pero necesitamos cubrir
25. Luego no es posible cubrir el tablero como se pide.

30. Solución 02:
Una segunda forma es considerar la coloración siguiente.
En esta coloración el número de cuadritos
negros es menor al de cuadritos blancos y un
tetraminó I cubre dos de cada color, luego
nunca podrá cubrirse el tablero como se pide.
Solución 03:
Una tercera forma es considerar la coloración siguiente.
Cada tetrominó I solamente puede
cubrir un cuadro sombreado, por lo que
serían necesarias 26 de tales piezas y
solamente se dispone de 25.

31. EJERCICIOS
1. ¿Cuántas torres se pueden colocar como máximo en un tablero de 4
x 6 de tal modo que no haya una torre que amenace a otra?
Solución:

32. 2. ¿Cuántas reinas se pueden colocar como máximo en un tablero de 4 x
4 de tal modo que no haya una reina que amenace a otra?
Solución

33. 3. Mostrar cómo se puede colocar ocho alfiles en un tablero de 4 x 6 de
tal modo que no haya un alfil que amenace a otro.
Solución

34. 4. ¿Cuántos caballos se pueden colocar como máximo en un
tablero de 4 x 4 de tal modo que no haya un caballo que amenace
a otro?
Solución

35. 5. ¿Cuántas torres se pueden colocar como máximo en un tablero de 4
x 8 de tal modo que cada torre amenace a exactamente una de las otras
torres?
Solución

36. 6. Colocar seis reinas en un tablero de 4 x 4 de tal modo que cada reina
amenace a exactamente dos de las otras reinas.
Solución

37. 7. ¿Cuántos caballos del ajedrez se pueden colocar como máximo en
un tablero de 8 x 8 de tal modo que cada caballo amenace a
exactamente uno de los otros caballos

38. Solución

39. 10. En un tablero de ajedrez pero de 5x5 cuadros, se tiene un
caballo en el centro construye un esquema que recorra las 25
casillas sin repetir alguna
Solución