O documento descreve o Stomachion, um quebra-cabeça geométrico atribuído a Arquimedes, e o Teorema de Pick, que permite calcular a área de polígonos simples contando os pontos de fronteira e interiores. O documento apresenta exemplos de aplicação do Teorema de Pick para calcular áreas de vários polígonos.

2. ORGANIZAÇÃO Ludovina Morais de Oliveira

3. O Stomachion

4. A invenção de um dos mais antigos quebra-cabeças geométrico que se conhece é atribuída a Arquimedes,sábio grego que viveu em Siracusa, Sicília, no séc. III a.C. O Stomachion é constituído por um conjunto de 14 peças planas (originalmente em marfim) de várias formas poligonais com duas características fundamentais:

6. Este teorema foi descoberto pela primeira vez pelo matemático Georg Alexander Pick em 1899; O teorema de Pick só é válido para figuras simples, isto é para figuras em que os lados não se intersectem a não ser, eventualmente, nos vértices. O teorema é usado, por exemplo, na indústria florestal, para determinar a área de uma região em função do número de árvores (regularmente espaçadas).

7. O cálculo de áreas de polígonos nem sempre é uma tarefa fácil, pela variedade de formas que podem assumir. Não é fácil, por exemplo, calcular a área do polígono apresentado a seguir:

9. Este polígono é de fato complicado! No entanto, tem a particularidade de ter os seus vértices sobre um reticulado de pontos no plano, constituído por pontos de coordenadas inteiras. Muitas vezes recorremos a processos de dissecção do polígono ou de subtração de áreas. Todos estes processos envolvem a área como um conceito bidimensional. O novo método que apresentamos permite o cálculo da área pela simples contagem de pontos.

10. Introduzindo o Teorema de Pick

11. Usando o quadrado como unidade de medida, encontre a área das figuras da atividade 1: 1

12. Calcule a área das figuras,

13. 1 quadrado A=1 5 quadrados inteiros e ... A= ? 5 quadrados A= 5 16 quadrados 16 : 2 A= 8

14. Teorema de Pick Dado um polígono simples P, sejam f o número de pontos de fronteira, i o número de pontos interiores. Então a área A(P) desse polígono é dada pela expressão seguinte A(P) = f + i - 1

15. Calcule a área do exercício utilizando o Teorema de PicK A= f/2 + i – 1 f= 4 i =0 A= 2 - 1 A=1 f= 12 i =3 A= 6 +2 A=8 f= 12 i =3 A= 6 + 2 A=8 f= 10 i =1 A= 5+ 0 A=5

16. Atividade 2 F= 13 i = 1 A= 6,5 + 0 A= 6,5 F= 13 i = 3 A= 6,5 + 2 A= 8,5 F= 16 i = 8 A= 8 + 7 A= 15 A1= 6,5 A2= 8,5 A3=15

17. Atividade 3 F= 44 i =72 A= 22 + 71 A= 93

18. DESAFIO

20. f=125 i =212 A= 125/2 + 212 -1 A= 62,5 + 211 = 273,5

21. Fontes de pesquisa: http://matemateca.incubadora.fapesp.br/portal/matemateca/exposicao/pick/ http://cmup.fc.up.pt/cmup/pick/index.html http://www.mat.uc.pt/~jaimecs/matelem/stomachion.html