1. Fundamentos Matemáticos
Funciones
Ing. Ricardo Blacio

2. 3. Funciones y gráficas
II I
III IV
P(a,b)
a
b
O
y
x
Graficar una ecuación quiere decir
representar en un plano coordenado
todas los pares ordenados que hacen
que la relación se cumpla.
Existen formas de graficar una
ecuación marcando el mínimo
número de puntos, esto se consigue
aplicando ciertas propiedades.
 Intersecciones con los ejes.
 Simetrías.

3. Circunferencias:
Si la circunferencia tiene su centro en el origen del sistema,
la ecuación adopta la siguiente forma: x2 + y2 = r2
La forma de la ecuación de una circunferencia con centro en
el punto (h,k) esta dada de la siguiente
manera:(x−h)2+(y−k)2=r2
Ej. Encuentre el centro y radio de la circunferencia
/9
9
4
3
2
3
422
yxyx
0461299 22
yxyx
9
1
9
4
9
4
)
9
1
3
2
()
9
4
3
4
( 22
yyxx
9
1
)
3
1
()
3
2
( 22
yx
3
1
9
1
r
r)
3
1
,
3
2
(C
2
2
b

4. ¿Qué es una función?
Dominio Rango
f
x y
Una función es una relación en la que se agrega la restricción de que,
a cada elemento del dominio le corresponde uno y solo uno de los
elementos del rango.
El dominio de una función es el
conjunto numérico que contiene los
valores de la variable independiente
que hacen que la función dé como
resultado un número real.
El rango, codominio o contradominio
de una función es el conjunto
numérico que se forma de los
resultados de la función al aplicar los
valores del dominio.

5. Sea I un intervalo del dominio de una función
f:
f es creciente en I si f(x1) < f(x2) siempre
que x1 < x2 en el intervalo I.
f es decreciente en I si f(x1) > f(x2) siempre
que x1 < x2 en el intervalo I.
f es constante en I si f(x1) = f(x2) para toda
x1 y x2.
Función creciente, decreciente o constante

6. Encuentre el dominio y la imagen de f si: 2
)3(
1
)(
x
xf
Dominio: todos los reales excepto
cuando x = -3
Imagen: El intervalo abierto (0,+∞)
x y
0 1/9
1 1/16
2 1/25
-1 1/4
-2 1
-3 No existe
--- ---
Creciente : (-∞, -3)
Decreciente: (-3, +∞)
Dominio
Imagen

7. g(x), h(x) son polinomios; el dominio de F es el conjunto de todos los
números reales tales que h(x) 0. Las funciones racionales son
continuas para todo valor de x, con excepción de aquellos para los
que el denominador h(x) es cero.
Si el coeficiente se dice entonces que la función polinomial es de
grado n, el número se denomina coeficiente principal del polinomio.
Una función polinomial tiene la forma:
01
1
1 ....)( axaxaxaxf n
n
n
n
0na
na
Funciones polinomiales y racionales
0)(
)(
)(
)( xh
xh
xg
xf
En cambio una función racional se define en términos de
cocientes de polinomios. En general, una expresión R es una
función racional sí:

8. axoaxquemedidaaxf
óaxoaxquemedidaaxf
)(
)(
Asíntotas Las rectas fijas a las que se aproxima una
gráfica, se llaman asíntotas.
Asíntotas verticales
Se dice que una recta x a es una
asíntota vertical para la gráfica de
una función sí.
Teoremas:
1.- Sí m< n, el eje x (y = 0) es una asíntota horizontal.
2.- Sí m =n, la recta y=am/bn es una asíntota horizontal.
3.- Sí m > n, no hay asíntotas.
bxbxb
axaxa
n
n
m
m
xf
01
01
.......
.......
)(
Asíntotas horizontales
Sea R una función racional definida
como cociente de dos polinomios de
la forma:

9. 1. Encontrar las intersecciones con x, haciendo g(x) = 0.
2
2
16
3
)(
x
x
xf
3x2 = 0
2. Hallar la asíntota vertical resolviendo h(x)= 0.
16 – x2 = 0
3. Encontrar las intersecciones con y, obteniendo f(0),
trazamos la intersección (0,f(0)).
= 0
x = 0
– x2 = - 16 x2 = 16 x = ± 4
2
2
)0(16
)0(3
)0(f
Ej. Trace la gráfica de
)(
)(
)(
xh
xg
xf

10. 4. Aplicar teorema de asíntotas horizontales y=c.
2 = 2
La recta y=am/bn es la asíntota
horizontal
Teorema 2
5. Si existen asíntotas horizontales determinar si corta la
gráfica con f(x) = c.
2
2
16
3
)(
x
x
xf
y=3/-1 y= -3
3
16
3
2
2
x
x
f(x) = c
3x2 = - 48 + 3x2
0 = - 48 La gráfica no cruza la asíntota horizontal y = -3 porque
f(x) = - 3 no tiene solución real.

11. 11
6. Trazar la gráfica
x y
1 1/5
2 1
3 27/7
--- ---
Asíntota vertical
Asíntota horizontal
Intersección con x, y