Este documento presenta información sobre la prueba t de Student y el análisis de varianza. Explica las propiedades de la distribución t de Student, cómo se usa para construir intervalos de confianza y probar hipótesis, y cómo el análisis de varianza permite comparar tres o más medias mediante la prueba F. También cubre ejemplos numéricos de cómo aplicar estas pruebas estadísticas.

1. ESCUELA : NOMBRES ESTADÍSTICA II (Segundo Bimestre) FECHA : PSICOLOGÍA Dr. Gonzalo Morales ABRIL – AGOSTO 2008

2. Prueba t de student para una muestra

3. Distribución t de Student W.S. Gosset (principios del siglo XX). N  30 y  no se conoce. Además, al utilizar la distribución t, suponemos que la población es normal o aproximadamente normal.

4. Propiedades de la distribución t

6. Distribución t de Student -Es unimodal, con media en 0 -Es una familia de curvas, en función de los llamados “grados de libertad”. Es decir, hay una distribución t de Student con 1 gl, una distribución t de Student con 2 gl, etc. -A medida que aumentan los grados de libertad, la distribución tiende más y más a una distribución normal estandarizada.

7. Grados de libertad Es el número de valores que podemos elegir libre- mente en una muestra, y que nos permiten encontrar el valor de un parámetro. Por ejemplo, supongamos una muestra de dos datos cuyo promedio es 18. Es decir: (a+b)/2 = 18 Si a toma un valor de 10, entonces b ya no es libre de tomar cualquier valor, debe ser 26 para que (a+b)/2=18. Entonces, tenemos n-1 grados de libertad, si n es el tamaño de la muestra. Similarmente, una muestra de 23 datos nos daría 22 grados de libertad.

8. Tabla de la distribución t de Student La tabla t es más compacta y muestra áreas y valores de t sólo para algunos porcentajes (ver página 538 del texto básico). La tabla de la distribución t, no se concentra en la probabilidad de que el parámetro de la población que se está estimando se encuentre dentro del intervalo de confianza. En lugar de ello, mide la probabilidad de que este parámetro NO esté dentro de nuestro intervalo de confianza (mide la probabilidad de que esté fuera). En la tabla t debemos especificar los grados de libertad que se manejan.

10. Si de una población Normal con media  y desviación estándar  se extrae una muestra de tamaño n , entonces el estadístico: se distribuye como una t de Student con n -1 grados de libertad.

12. Soluci ó n t 0.99,11=3,106; El intervalo de confianza será: (5.4-3.106x4.1/3.46; 5.4+3.106x4.1/3.46) (5.4-3.7;5.4+3.7)=(1.7;9.1)

13. Prueba de hipotesis (varianza desconocida) Caso I Caso II Caso III H o :  =  0 H o :  =  0 H o :  =  H a :  <  0 H a :   0 Ha :  >  0 Prueba Estadística Si t cal < -t  entonces Si |t cal |> t  /2 entonces Si t cal >t  entonces se rechaza H o se rechaza H o se rechaza H o

14. Usando los datos del Ejemplo anterior, un cardiocirujano afirma que el tiempo de vida promedio de las personas sometidas a transplante de corazón es mayor que 4 años. ¿A qué conclusión se llegará después de hacer la prueba de hipótesis? Solución: La hipótesis nula es H0:  = 4 (el tiempo de vida promedio de todas las personas que se han sometido a transplante de corazón es de 4 años) y la hipótesis alterna es Ha:  > 4 (el tiempo de vida promedio es mayor que 4 años). Es menor que 3.106 por lo tanto no se rechaza la hipótesis nula y se concluye de que no hay evidencia de que el tiempo promedio de vida después del transplante haya aumentado de 4 años. Notar que el extremo inferior del intervalo de confianza de un solo lado al 99% es 1.575 mucho menor que 4.

15. Prueba t de Student para grupos correlacionados e independientes

20. Soluci ó n Solución: Sea  d que representa la media poblacional de las diferencias. Luego: H o :  d = 0 (La droga no tiene ningún efecto) H a :  d > 0 (La droga tiene efecto, la presión antes de usar la droga era mayor que después de usarla).

22. Análisis de Varianza

24. = (18+15+12+09+14+16)/6=14 y los del colegio C un promedio de 17 = (20+20+18+13+19+18)/6=18 los del colegio B tienen una media de 14 Una primera aproximación para saberlo es obtener la media de cada colegio, fácilmente podemos ver que los estudiantes del colegio A tienen una media de 18, = (13+15+20+18+20+16)/6=17.

29. Pruebas no paramétricas  2

30. Distribución ji-cuadrado -Nunca adopta valores menores de 0 -Es asimétrica positiva -Es en realidad una familia de curvas, en función de los llamados “grados de libertad”. Es decir, hay una distribución chi-cuadrado con 1 gl, una distribución chi-cuadrado con 2 gl, etc. (Nota: Los grados de libertad son siempre números positivos.) -A medida que aumentan los grados de libertad, la distribución se hace más y más simétrica.

34. Sin interés político Con interés Político Buen estudiante 100 20 120 Mal estudiante 20 60 80 120 80 200

35. Sin interés político Con interés Político Buen estudiante 100 (72) 20 (48) 120 Mal estudiante 20 (48) 60 (32) 80 120 80 200

37. Gracias por su atención CONSULTAS, COMENTARIOS Y SUGERENCIAS A gfmorales@utpl.edu.ec