1. INSTITUTO TECNOLOGICO DE TIJUANA
INGENIERIA CIVIL
ALGEBRA LINEAL
PROYECTO FINAL
ALUMNA: VICTORIA EUGENIA SILVA ZAZUETA
NO. DE CONTROL: 11210906
MAESTRA: DRA. MARISELA CASTILLO LOPEZ
TIJUANA B.C A 31 DE MAYO DE 2012

2. INTRODUCCION
Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a
toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales en
este trabajo desarrollaremos las condiciones que son necesarias para
que estas se cumplan.

3. Transformaciones lineales
Definicion: Una transformación lineal es un conjunto de operaciones que se
realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.
Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda
aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales y se cumplan
las siguientes condiciones:
Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo campo K, y T una función de V
en W. T es una transformación lineal si para cada par de vectores de u y v
pertenecientes a V y para cada escalar k perteneciente a K, se satisface que:
1.-
2.- donde K es un escalar
Son aplicaciones lineales los operadores usados en la formulación matemática
de la mecánica cuántica. Para detalles específicos sobre estos, ver el artículo
Operador (mecánica cuántica).
Propiedades de las transformaciones lineales
1.
Transformación Lineal Singular y No Singular
Sean y espacios vectoriales sobre el mismo campo y una
transformación lineal de en . Entonces, es no singular si:
X
En caso contrario es singular.
Teorema fundamental de las transformaciones lineales
Sea B = {v1,v2,v3,...vn} base de V y C = {w1, w2, w3,...wn n} un conjunto de
vectores de W no necesariamente distintos, entonces existe una única
transformación lineal Para todo

4. Clasificación de las transformaciones lineales
1. Monomorfismo: Si es inyectiva, o sea si el único elemento del
núcleo es el vector nulo.
2. Epimorfismo: Si es sobreyectiva (exhaustiva).
3. Isomorfismo: Si es biyectiva (inyectiva y exhaustiva).
4. Endomorfismo: Si o sea si el dominio es igual al codominio (el
espacio vectorial de salida y el de llegada son el mismo).
5. Automorfismo: Si es endomorfismo e isomorfismo a la vez.
Definición 1 Sean espacios vectoriales, y sea . Diremos que
es:
1. Una transformación lineal (o morfismo ) si dados , ,
2. Un Monomorfismo si es un morfismo inyectivo.
3. Un epimorfismo si es un morfismo sobreyectivo.
4. Un isomorfismo si es un morfismo biyectivo.
Además llamaremos ( para abreviar) al espacio de morfismos de
, donde es la función constante cero, esto es:
Y la suma y producto escalar en se definen así:
1. Si , entonces es la transformación dada por
.
2. Si , , entonces es la transformación dada por.

5. Nucleo e imagen de una transformacion lineal
Si es lineal, se define el núcleo y la imagen de T de la siguiente
manera:
Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el
conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector
nulo del codominio.
El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio del dominio:
1. dado que T(0V) = 0W
2. Dados
3. Dados
Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo. Nulidad(T) = dim(Nu(T))
O sea que la imagen de una transformación lineal está formada por el
conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos
algún vector del dominio.
La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del codominio.
El rango de una transformación lineal es la dimensión de la imagen.
rg(T) = dim(Im(T))

6. Matriz asociada a una transformacion lineal
Definición. Sea V un espacio vectorial . Una base ordenada de V es una
base de V en la cual se ha establecido un orden.
Así, por ejemplo, la base ordenada de es distinta de la
base ordenada , ya que aunque como conjuntos son iguales,
tienen ordenados sus elementos de manera diferente.
Definición. Sea V un espacio vectorial y sea
base ordenada de V. Si , definimos el vector
de coordenadas de x, respecto a como:
siempre que se cumpla que:
En palabras, el vector de coordenadas de x es la n-ada que se forma con los
coeficientes de los vectores de la base, al escribir a x como combinación
lineal de ésta.
Ejemplo.
Sea y sea . Es
fácil verificar que es una base ordenada de V. Dado
, para calcular su vector de

7. coordenadas respecto a la base dada, debemos escribir a como
combinación lineal de esta base. Planteamos entonces:
lo que nos lleva a la solución:
Por lo tanto, concluimos que el vector de coordenadas de ,
respecto a la base es:
Supongamos ahora que tenemos y
bases ordenadas de V y W,
respectivamente, y sea una transformación lineal.
Para cada , podemos calcular el vector de coordenadas de
respecto a la base e ir formando una matriz, con estos
vectores coordenadas como columnas, es decir, si
,
entonces se forma la matriz:

8. Definición. La matriz asociada a la transformación lineal T , respecto a las
bases ordenadas y , es la matriz descrita arriba. Cuando
y se escribe simplemente .
Ejemplo.
Sea dada por
la derivada de f; y sean y las bases canónicas de y
(ordenadas en la forma estándar) , respectivamente.
Tenemos los siguientes datos:
Con todo esto, concluimos que la matriz asociada a T respecto a las bases
y , es:

9. En realidad, cuando calculamos la matriz asociada a una transformación, en
realidad, podemos calcular toda la transformación. Este es el significado del
siguiente:
TEOREMA. Sea una transformación lineal y sean
y bases ordenadas de V y W, respectivamente. Entonces
se cumple que:
Demostración. Supongamos que y
, y sea , de tal forma que,
Esto significa entonces que
.
Ahora supongamos que,
Esto significa entonces que
, . De la
antepenúltima igualdad, tenemos que,

10. De aquí se desprende que,
Por otro lado, haciendo el producto de matrices, vemos que,
Corolario. Sean transformaciones lineales y
sean y bases ordenadas de V y W, respectivamente, tales que
. Entonces .
Demostración. Sea , entonces

11. Y esto claramente implica que , y esto
, es decir, .
Antes de proceder a estudiar todas las propiedades de la asociación de una
matriz a una transformación lineal, definimos el siguiente espacio vectorial
T es lineal
con las operaciones usuales:
, si
y .
, si ,
y .
No es muy difícil verificar que efectivamente es un espacio
vectorial sobre , con las operaciones definidas. En el caso especial cuando
, simplemente se escribe .
Con esta notación, vemos que la asociación matricial anterior, tiene como
dominio al espacio y contradominio al espacio
. Así, tenemos definida una función:
tal que:

12. Nótese que en realidad depende de las bases ordenadas que se elegen,
es decir, para cada par de bases ordenadas de V y W, respectivamente,
tenemos una función .
TEOREMA. es lineal.
Demostración. Sean y
. Entonces:
,
,
Por lo tanto, si , entonces:
Lo que implica que:
De este modo, la correspondencia que hemos definido no es cualquier función,
sino que precisamente cae en nuestros terrenos de estudio: las

13. transformaciones lineales entre espacios vectoriales!. Enseguida veremos qué
propiedades tan interesantes tiene esta asociación.
Para empezar, recordemos que hay una forma de componer funciones. Esto
obviamente se puede reflejar a las transformaciones lineales, como sigue:
Definición. Si y , el producto ó
la composición se define como:
,
Proposición. Si T y U son lineales, entonces UT es lineal.
Demostración. Sean y . Entonces:
Asimismo recordemos que las matrices también tienen definido un producto.
Esto nos sugiere el siguiente resultado:
TEOREMA. Sean , y
sean y bases ordenadas de V, W y Z, respectivamente.
Entonces:

14. Demostración. Supongamos que ,
y . Entonces:
,
,
Por lo tanto, tenemos que :
Usando la notación sigma, esto último se abrevia como sigue:
De esta forma, la matriz asociada a UT queda como sigue:
Fácilmente se verifica que esto corresponde al producto:

15. Por lo tanto, .
En segundo lugar, recordemos que cierto tipo de funciones tiene lo que
llamamos su función inversa, y asimismo, algunas matrices tienen definida su
matriz inversa. No es difícil adivinar que nuestra transformación lineal
también preserva esta propiedad.
Definición. Sea , decimos que T es invertible si
tal que:
Observaciones.
1. De la misma definición, se desprende que
, que es otra forma de ver la inversa de una función.
2. Es un hecho bien conocido de álgebra básica, que una función tiene inversa si
y solo si es biyectiva.
3. También es un hecho bien conocido de álgebra básica, que cuando existe la
función U, es única, se acostumbra denotar como y se le
llama, la función inversa de T.
4. Nótese que no se pide que sea lineal. Esto obviamente no es ningún
descuido, ya que de hecho tenemos la siguiente:

16. Proposición. es una transformación lineal.
Demostración. Sean y . Entonces:
Por lo tanto,
Lo que implica que,
lo cual es lo que queríamos demostrar.
Pasemos a un resultado más interesante.
TEOREMA. Sea y sean y bases ordenadas
de V y W respectivamente. Entonces T es invertible si y solo si es
invertible. Además, en este caso se tiene que:
Demostración. “ ” Supongamos que T es invertible, y probemos primero
que . En efecto, si
entonces sabemos que genera a .
Por otro lado, como T es inyectiva entonces también es
linealmente independiente. Así, es una base de W, lo que prueba la
afirmación.

17. Por lo tanto, es una matriz cuadrada de y además,
Esto demuestra que es invertible y además, que
.
“ ” Ahora supongamos que es invertible. Para
comenzar, podemos decir entonces que es una matriz cuadrada,
digamos de y además, existe la matriz inversa tal que
y .
Supongamos que esta matriz inversa contiene la siguiente información:
Definimos entonces los siguientes elementos de V:
Por lo tanto, existe una única transformación lineal tal
que , y donde suponemos
que .

18. Por la misma construcción de U, es obvio que , de
donde,
Ya que también,
se concluye que . Análogamente se ve que
, y de aquí que T es invertible y además, .
Finalmente, ya que , esto significa que
, que es lo que queríamos probar.

19. Ejemplos de transformaciones lineales (reflexión, dilatación, contracción,
rotación)
(Rotación por un ángulo )
Sea un ángulo medido en radianes. Queremos averiguar cual es la
transformación T de en que gira cada vector un ángulo , para
obtener un vector . En una gráfica, vemos la situación como sigue:
Si usamos las funciones trigonométricas, tenemos que:
Distribuyendo y usando el hecho de que y tenemos
que:
Por lo tanto, ya descubrimos cómo debe estar definida la transformación
tal que .
Esta transformación se llama la rotación por un ángulo y es lineal, ya que:

20. Reflexión sobre el eje x)
En este caso, queremos averiguar como está definida la transformación T de en
que cada vector lo refleja sobre el eje x, para obtener un vector . En
una gráfica, vemos la situación como sigue:
En este caso, la situación es más sencilla ya que claramente tenemos dos triángulos
rectángulos que son congruentes, de donde T queda definida como sigue:

21. Esta transformación se llama la reflexión sobre el eje x, y es lineal, ya que:
Proyección ortogonal sobre el eje x)
En este caso, queremos averiguar como está definida la transformación T de en
que a cada vector lo proyecta perpendicularmente sobre el eje x, para
obtener un vector . En una gráfica, vemos la situación como sigue:
También este caso es sencillo, pues es obvio que T queda definida como
sigue:
Esta transformación se llama la proyección sobre el eje x, y es lineal, ya que:

22. Este último ejemplo tiene más fondo desde el punto de vista de Álgebra Lineal.
Consideremos el siguiente subespacio de :
Vemos que éste no es sino el eje x (sobre quien se efectuó la proyección). Ahora bien,
tiene un complemento directo, a saber,
De tal forma que cada vector se escribe en forma única como suma de un
vector de más un vector de como sigue:
Notamos que la proyección sobre el eje x, manda a sobre , el cual es
precisamente el término correspondiente a en la descomposición anterior!
Todo esto nos induce a definir proyecciones sobre subespacios en general como sigue:
Definición. Sea V un espacio vectorial y sea un subespacio tal que existe el
complemento directo de en V, es decir tal que , de tal forma que cada
vector se escribe en forma única como:
Con y . Definimos entonces la proyección sobre , como aquella
transformación tal que .
Lo primero que observamos es que esta transformación es lineal, ya que si ,
con y , entonces con
y . Por lo tanto, de acuerdo a la definición de T, tenemos que:
En segundo lugar, vemos que esta definición, incluye como caso especial a la de la
proyección sobre el eje x. Sin embargo, vemos que no es suficiente con especificar
sobre que subespacio queremos proyectar, sino también es necesario aclarar cual es
el complemento directo que se estará usando, ya que un mismo subespacio puede

23. tener distintos complementos directos. El mismo eje x, tiene el siguiente complemento
directo:
En efecto, es claro que es un subespacio de y . Además,
cada se escribe como . Todo esto demuestra que
. Usando esta descomposición y la definición de proyección, tendremos que
en este caso, la transformación queda dada como sigue:
Así pues, por cada complemento directo que tengamos a la mano, podemos definir
una proyección asociada a dicha descomposición.
Ejemplo contracción
Una contracción es una transformación que decrece distancias. Bajo una contracción,
cualquier par de puntos es enviado a otro par a distancia estrictamente menor que la
original.
k 0
Sea V= (2 4) encontrara la contracción horizontal A cuando K=1/2
0 1
1/ 2 0
VA 2 4 1 4
0 1
Haciendo la grafica el punto disminuye en el eje horizontal.
Ejemplo dilatación o expansión
Una dilatación es una transformación que incrementa distancias.
1 0
Sea V= (2 4) encontrara la expansión vertical A cuando K=2
0 k

24. 1 0
VA 2 4 2 8
0 2
Expansión horizontal (k71) o contracción (0<k<1)
Expansión vertical (k71) o contracción (0<k<1)

25. Fuentes
http://www.mitecnologico.com/Main/DefinicionTransformacionLineal
mate.dm.uba.ar/~jeronimo/algebra_lineal/Capitulo3.pdf
es.wikipedia.org/wiki/Aplicación_lineal
www.scribd.com/doc/6783250/Transformaciones-lineales