Calculo negocios unidadiv_verano2011

ESCUELA DE ECONOMÍA Y NEGOCIOS
UNIVERSIDAD ANÁHUAC CANCÚN

Unidad 5. Funciones de Varias
Variables
Derivadas Parciales. Aplicaciones
En economía, a partir de las demandas, p y q, de
dos artículos se dice que:

• Son sustitutos (competitivos) si el decremento en
la demanda de uno produce un incremento en la
demanda del otro. Ejemplo: Café y té.

•Son complementarios si un decremento en la
demanda de uno produce un decremento en la
demanda del otro. Ejemplo: automóviles y
neumáticos.
Cálculo Diferencial e Integral Universidad Anáhuac

Variables
En Cálculo Multivariado, dadas dos funciones de
demanda, x=f(p,q) y y=f(p,q), de los artículos A y B,

• A y B son sustitutos (competitivos) si
f g
0 y 0
q p
• A y B son complementarios si
f g
0 y 0
q p

Variables
Ejemplo: Supongamos que la demanda diaria de la
mantequilla y de la margarina, están dadas por

3q
x f p, q 2
1 p
2p
y g p, q
1 q
Donde p y q son los precios en USD/lb, x e y se
miden en mdd. Determina si estos dos artículos son
sustitutos, complementarios o ninguno.

Variables
Ejercicio: La revista Home Entertainment determinó
que las demandas de videocaseteras y
videocasetes vírgenes son
2
x f p, q 10000 10 p 0.2q

2
y g p, q 5000 0.8 p 20 q
Donde p y q son los precios en USD, x e y se miden
en unidades semanales. Determina si estos dos
artículos son sustitutos, complementarios o
ninguno.de los dos

Variables
Ejercicio: La revista Home Entertainment revisó las
demandas de videocaseteras y videocasetes
vírgenes y se modificaron a
0.5 q
x f p, q 10000 10 p e

y g p, q 50000 4000 q 10 p
Donde p y q son los precios en USD, x e y se miden
en unidades semanales. Determina si estos dos
artículos son sustitutos, complementarios o
ninguno.de los dos

Variables
Derivadas Parciales. Optimización (Máx/Mín)
Pasos para encontrar extremos relativos
1) Encontrar los puntos críticos de f(x,y), (a,b)
2) Aplicar el criterio de la segunda derivada parcial
2
D x, y f xx f yy f xy

a) D(a,b)>0 y fxx(a,b)<0, es un máximo relativo
b) D(a,b)>0 y fxx(a,b)>0, es un mínimo relativo
c) D(a,b)<0, no hay máximo ni mínimo relativos
d) D(a,b)=0, no se puede concluir nada. Se
recomienda aplicar otra técnica para resolverlo.

Variables
Ejemplos: Para cada función, encuentra los puntos
críticos y, de ser posible, determina si se trata de un
mínimo o un máximo absoluto.

f x, y 2x2 y2 2 xy 5 x 3 y 1

3 3
f x, y x y xy

2 2
f x, y , z 2x xy y 100 z x y 100


Variables
Ejercicios: Para cada función, encuentra los
puntos críticos y, de ser posible, determina si se
trata de un mínimo o un máximo absoluto.

f x, y x2 y 2 5 x 4 y xy

3 3 2 2
f x, y 2x y 3x 1.5 y 12 x 90 y

2 2
f x, y , z 2x xy y 100 z x y 200


Variables

Ejemplo 1: Sea P una función de producción dada
por
2 3 2 3
P f l, k 0.54 l 0.02 l 1.89 k 0.09 k
Donde l y k son las cantidades de trabajo y capital,
respectivamente, y P representa la cantidad
producida.
Encuentra los niveles de l y k que maximicen P.


Variables
Ejemplo 2: Una empresa produce dos tipos de dulces, A y B, para
los cuales, los costos promedio de producción son,
respectivamente, constantes de $2 y $3 por libra. Las cantidades
qA y qB (en libras) de A y B que pueden venderse cada semana
están dadas por las funciones de demanda conjunta
qA 400 pB pA
qB 400 9 p A 2 pB
Donde pA y pB son los precios de venta (en dólares por libra) de A
y B, respectivamente. Determinar los precios de venta que
maximizan las utilidades de la compañía, P.
Utilidad Libras Utilidad Libras
P= Por libra Vendidas + Por libra Vendidas
De A De A De A De A

Variables

Ejercicio 1: (Fijación de precios de productos que
compiten entre sí) La compañía occidental de dulces,
produce caramelos en dos tamaños a costos unitarios
de $0.10 y $0.20 cada uno. Las demandas semanales
x1 y x2 (en miles) para los dos tamaños están dadas por

x1 p2 p1 x2 60 p1 3 p2
Donde p1 y p2 denotan los precios en centavos de
los caramelos en los dos tamaños. Determina los
precios p1 y p2 que maximizarían las utilidades
semanales de la empresa

Variables
Derivadas Parciales. Optimización Restringidad (Máx/Mín)

Método de los Multiplicadores de Lagrange
En algunos casos, los problemas de optimización
presentan condiciones adicionales, g(x,y)=0, que
limitan a la función principal f(x,y).

Se deberá construir una nueva función F(x,y, )
dada por
F x, y, f x, y g x, y
La cual deberá optimizarse encontrando los puntos
críticos a partir de las soluciones de las ecuaciones
F F F
0; 0; 0
x y

Variables

Ejemplo 1: Encuentra los valores extremos de la
función f(x,y) = x2 + 2y2 que cumplan la condición x2
+ y2 = 1
R = Máx f(0, 1)=2; Mín f( 1,0)=1

Ejemplo 2: Encuentra los valores extremos de
f(x,y,z) = x + 3y + 5z, cuyas coordenadas también
deben cumplir la restricción x2 + y2 + z2 = 1
max f 1 35 , 3 35 , 5 35 35
max f 1 35 , 3 35 , 5 35 35

Variables
Derivadas Parciales. Optimización Restringida (Máx/Mín)

Ejercicios: Encuentra los valores extremos de la
función dada sujeta a la restricción que se indica

f x, y x2 4 y2 6; 2 x 8 y 20

2 2 2
f x, y , z x y z ; 2x y z 9

f x, y , z xyz; x y z 12;
x y z 0 xyz 0

Variables

Ejemplo 3: Los reglamentos de un servicio de
paquetería especifican que la medida de los lados
de la base de un paquete rectangular, incluyendo la
altura del mismo, deben ser 108 pulg. Encuentra las
dimensiones del paquete que cumpla las
condiciones y permita el mayor volumen posible.


Variables


Variables

1 2 3 2 1
P x, y x y xy 120x 100 y 5000
4 8 4


Fin de la unidad.


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