Dokumen tersebut membahas berbagai metode analisis kurva untuk memodelkan hubungan antara variabel-variabel, seperti regresi kuadrat terkecil linear dan non-linear, regresi polinomial, serta regresi linear dengan dua peubah. Metode-metode tersebut digunakan untuk memperkirakan nilai fungsi di antara titik-titik data yang diketahui.

1. KELOMPOK 6
Meschac Timothee Silalahi DBD 111 0113
Asri Frid Tri Yanda DBD 111 0033
Oktavianus Gunawan DBD 111 0048
Sylvester Saragih DBD 111 0105
Syaichu DBD 111 0011
Yuventus Firlan DBD 111 0026
Brita Natalius DBD 111 0043
Debby DBD 111 0114
Yudha Okta Prawira DBD 111 0089

2. ANALISIS KURVA
Dalam analisis data sering dilakukan suatu
pembuatan suatu kurva yang dapat mewakili
suatu rangkaian data dalam sistem kordinat x dan
y. interpolasi tidak sesuai dan mungkin
memberikan hasil-hasil yang tidak memuaskan
jika dipakai untuk meramalkan nilai-nilai antara.
Untuk kasus yang demikian, suatu strategi yang
sesuai adalah dengan pencocokan kurva.
Pencocokan kurva adalah pencarian suatu kurva
yang bisa menunjukkan kecenderungan (trend)
dari himpunan data.

3. PENCOCOKAN KURVA
Pendekatan yang digunakan untuk
melakukan Pencocokan Kurva antara lain
adalah :
1. Regresi Kuadrat Terkecil
a. Regresi Linear
b. Regresi Non-Linear
-Pelinearan Fungsi Ekponensial
-Pelinearan Fungsi Berpangkat
2. Regresi Polinom
3. Regresi Linear dengan Dua Peubah

4. Notasi Statistik
Analisis Regresi Kuadrat Terkecil menggunakan
teori notasi statistik. Untuk itu sebelum memahami
lebih lanjut kita akan mengingat kembali dasar
statistik.

5. Tahun Qi(debit)
(m3/dt)
Qi-Q (Qi-Q)2
1 1987 8,52 1,486 2,208
2 1988 3,33 -3,704 13,720
3 1989 7,85 0,816 0,666
4 1990 7,65 0,616 0,379
5 1991 10.91 3,876 15,023
6 1992 4,17 -2,864 8,202
7 1993 3,4 -3,634 13,206
8 1994 8 0,966 0,933
9 1995 13,4 6,366 40,526
10 1996 5,4 -1,634 2,670
11 1997 8,87 1,836 3,371
12 1998 4,73 -2,304 5,308
13 1999 7,4 0,366 0,134
14 2000 6,88 -0,154 0,024
15 2001 5 -2,034 4,137
∑Qi = 105,51 ∑(Qi-Q)2 = 110,508

6. a. RKT untuk Kurva Linear
Jika kurva hampiran dinyatakan sebagai garis lurus,
maka regresi tersebut adalah regresi linear, dengan
persamaan umum sebuah garis lurus adalah :
Dengan rumus mencari a :
Dengan rumus mencari b :
g(x) = a + bx
a = y – b x

7. RKT untuk Kurva Linear
Dengan rumus mencari nilai a dan b, dapat dimanfaatkan
untuk mendapatkan koefisien a dan b, sehingga fungsi g(x)
dapat diperoleh.
Sedangkan untuk mengetahui derajat kesesuaian dari
persamaan yang dicari, dapat dihitung melalui koefesien
korelasi yang berbentuk :
Dengan : r = koefesien korelasi
n n
Dt
2 = ∑ ( yi – y )2 D2 = ∑ ( yi – a - bxi )2
i=1 i=1
Jika r = 1, maka fungsi g(x) memiliki tingkat kesesuaian yang
tinggi dengan persamaan aslinya (f(x)). Atau r = 0 jika
sebaliknya

8. RKT Untuk Kurva Linear
contoh : tentukan persamaan garis yang mewakili data berikut :
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y 4 6 8 10 14 16 20 22 24 28
0
5
10
15
20
25
30
0 2 4 6 8 10 12
X
Y
No xi yi xi.yi Xi
2
1 1 4 4 1
2 2 6 12 4
3 3 8 24 9
4 4 10 40 15
5 5 14 70 25
6 6 16 96 36
7 7 20 140 49
8 8 22 176 64
9 9 24 216 81
10 10 28 280 100
∑ 55 152 1058 385

9. RKT Untuk Kurva Linear


10. RKT Untuk Kurva Linear
0
5
10
15
20
25
30
0 2 4 6 8 10 12
X
Y
Letak titik data dan nilai
Regresi Linear

11. RKT Untuk Kurva Non-Linear
Jika plotting data yang dilakukan memberikan gambaran bahwa
hubungan antar titik data tidak dapat diturunkan sebagai
persamaan linear maka perlu suatu usaha untuk melinearkan
hubungan tersebut.
Beberapa fungsi kurva non- linear dapat dilinearkan dengan
beberapa cara, yaitu dengan pelinearan fungsi ekponensial dan
pelinearan fungsi berpangkat.

12. RKT Untuk Kurva Non-Linear dengan
pelinearan fungsi ekponensial
1. Fungsi Eksponensial
y = a ebx dengan a1 dan b1 adalah konstanta
persamaan di atas dapat dilinierkan dengan
logaritma-natural spt berikut :
ln y = ln a + b x ln e
jika ln e = 1, maka ln y = ln a + b x
persamaan di atas berbentuk garis lurus dengan
kemiringan b, dan memotong sumbu ln y di ln a.

13. RKT Untuk Kurva Non-Linear dengan
pelinearan fungsi berpangkat
 Fungsi Berpangkat
fungsi berpangkat adalah contoh lain fungsi dengan
kurvanya yang non-linier.
y = a xb dengan a dan b adalah konstanta
me-linier-kan fungsi di atas juga dapat dilakukan
menggunakan persamaan logaritmik spt berikut :
log y = b log x + log a
persamaan di atas berbentuk garis lurus dengan
kemiringan b dan memotong sumbu log y di log a.

14. RKT Untuk Kurva Non-Linear
Contoh : Tentukan persamaan kurva lengkung yang diwakili serangkaian
data berikut :
x 1 2 3 4 5
y 0,5 1,7 3,4 5,7 8,4
Penyelesaian masalah di atas dilakukan melalui 2 fashion, transformasi
log dan ln.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 2 3 4 5 X
Y

15. RKT Untuk Kurva Non-Linear
Transformasi log (fungsi asli diamsusikan sebagai fungsi berpangkat)
Misal persamaan yang dicari adalah : y = axb
Persamaan tersebut dapat dilinierisasi melalui fungsi logaritmik sbb :
log y = log axb
atau dapat pula dinyatakan sebagai : log y = b log x + log a
Atau jika p = log y; A = log a; B = b; q = log x;
Maka persamaan log di atas dapat ditulis menjadi lebih sederhana :
p = Bq + A
No xi yi qi (= log xi) pi (= log yi) qi pi qi
2
1 1 0,5 0 - 0,301 0 0
2 2 1,7 0,3010 0,2304 0,0693 0,0906
3 3 3,4 0,4771 0,5315 0,2536 0,2276
4 4 5,7 0,6020 0,7559 0,4550 0,3624
5 5 8,4 0,6990 0,9243 0,6461 0,4886
∑ 19,7 2,0791 2,1411 1,4240 1,1692

16. RKT Untuk Kurva Non-Linear


17. RKT Untuk Kurva Non-Linear
Sekarang waktunya memilih. Mana di antara 2 pendekatan yang
memberikan akurasi lebih bagus. Caranya adalah dengan
menghitung koefisien korelasi (7) :
Dengan :
No xi yi
Transformasi log Transformasi ln
g(xi) D2 Dt
2 g(xi) D2 Dt
2
1 1 0,5 0,4984 0,000003 11,8336 0,6835 0,03367 11,8336
2 2 1,7 1,6848 0,000231 5,0176 1,3563 0,11813 5,0176
3 3 3,4 3,4354 0,00125 0,2916 2,6912 0,50240 0,2916
4 4 5,7 5,6953 0,000022 3,0976 5,3401 0,12953 3,0976
5 5 8,4 8,4296 0,000876 19,8916 10,5963 4,82373 19,8916
∑ 15 19,7 0,00238 40,132 5,60746 40,132

18. RKT Untuk Kurva Non-Linear
Dari tabel tersebut dapat dicari nilai r untuk
transformasi log :
Sedangkan untuk transformasi ln :
Dapat dilihat bahwa koefisien korelasi r untuk
transformasi log lebih mendekati nilai 1 dibanding
transformasi ln. Sehingga bisa disimpulkan bahwa
persamaan yang didapat dari transformasi log
memberikan pendekatan yang lebih baik.

19. RKT Untuk Kurva Non-Linear
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 2 3 4 5
Y
X

20. Regresi Polinomial
Persamaan garis lurus dapat didekati dg Metode Kuadrat Terkecil.
Sementara untuk kurva lengkung, pendekatan yang cukup logis adalah
melalui transformasi data aslinya ke bentuk lain yang sesuai.
Atau, untuk kurva lengkung dapat pula didekati dengan Regresi
Polynomial.
Persamaan polynomial orde-r mempunyai bentuk :
y = a0 + a1x + a2x2 + … + arxr
Jumlah kuadrat dari kesalahan adalah :
n
D2 = ∑ (yi – a0 – a1xi – a2xi
2 - … - arxi
r)2
i=1

21. 
n ∑xi ∑xi
2 … ∑xi
r a0 ∑yi
∑xi ∑xi
2 ∑xi
3 … ∑xi
r+1 a1 ∑xiyi
∑xi
2 ∑xi
3 ∑xi
4 … ∑xi
r+2 a2 = ∑xi
2yi
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
∑xi
r ∑xi
r+1 ∑xi
r+2 … ∑xi
r+r ar ∑xi
ryi

22. contoh : carilah persamaan kurva polynomial derajat dua yang mewakili data
berikut :
x 0 1 2 3 4 5
y 2,1 7,7 13,6 27,2 40,9 61,1
n ∑xi ∑xi
2 a0 ∑yi
∑xi ∑xi
2 ∑xi
3 a1 = ∑xiyi
∑xi
2 ∑xi
3 ∑xi
4 a2 ∑xi
2yi
Untuk polinom derajat dua, maka koefisien-koefisien regresi polinom
diperoleh dari sistem persamaan linear sebagai berikut:

23. n xi Yi xi
2 xi
3 xi
4 xiyi xi
2yi
1 0 2,1 0 0 0 0 0
2 1 7,7 1 1 1 7,7 7,7
3 2 13,6 4 8 16 27,2 54,4
4 3 27,2 9 27 81 81,6 244,8
5 4 40,9 16 64 256 163,6 654,4
6 5 61,1 25 75 625 305,5 1527,5
∑ 15 152,6 55 225 979 585,6 2488,8
Penyelesaian:
Dengan menggunakan data tabel, maka diperoleh :
6a0 + 15a1 + 55a2 = 152,6 a2 = 1,86071
15a0 + 55a2 + 225a3 = 585,6 a1 = 2,35929
55a0 + 225a2 + 979a3 = 2488,8 a0 = 2,47857
Jadi persamaan kurva yang dicari adalah :
y = 2,47857 + 2,35929 x + 1,86071 x2

24. Regresi Linear dengan Dua Peubah
Bentuk umum persamaan linear dengan dua peubah bebas
adalah : z = f(x,y) = c0 + c1.x + c2y
Simpangan kesalahan fungsi dengan data dinyatakan sebagai :
Eij = ( c0 + c1.xi + c2.yi)- f(xi,yi)
Jika ditetapkan fungsi simpangan S sebagai kuadrat simpangan
:
S = (c0 + c1xi + c2.yi – zi )2 + (c0 + c1.x1 + c2.y1-z1)2 + ..... + (c0 +
c1.xm + c2.ym – zm)2
m ∑xi ∑yi c0 ∑zi
∑xi ∑xi
2 ∑xiyi c1 = ∑xizi
∑yi ∑xiyi ∑yi
2 c2 ∑yizi

28. Kesimpulan
Untuk menghitung/menaksir nilai fungsi di antara titik-
titik data yang diketahui, selain dengan menggunakan
interpolasi dapat juga menggunakan metode Analisis
kurva yang terdiri dari Regresi Kuadrat Terkecil, RKT
Linear, RKT Non-Linear, Regresi Polinomial dan Regresi
Linear dengan Dua Peubah.
Analisis kurva dapat diterapkan dalam berbagai bidang
ilmu, diantaranya teknik pertambangan, teknik sipil,
teknik arsitektur dan teknik transportasi.