Phase Field

1

Modélisation des procédés et des microstructures

Modélisation en champ
de phase

Valentin Chapuis
12.12.2008

Laboratoire de simulation des matériaux - IMX-FSTI

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Plan
• Applications
• Champ de phase
– Définitions
– Modèle thermodynamique
• Modéliser la solidification
– Un modèle simple : métal pur
• Complexifications
– Anisotropie
– Alliages binaires AB
• Modèle géométrique
– Solidification d’un alliage binaire


3

Applications
• Solidification

• Transformations à l’état solide

• Coalescence et croissance de grains

• Propagation de fissures

• Dynamique des dislocations

• …


4

Champ de phase – définitions (I)
• « Modèle qui traite une interface
microscopiquement abrupte comme une
zone diffuse immergée dans la zone de
calcul », Beckermann and al., [2]

• « Méthode qui utilise des arguments
thermodynamiques et cinétiques pour
décrire l’évolution d’une microstructure
sans suivre l’interface », L.Q. Chen, [1]

5

Champ de phase – définitions (II)
• « Méthode qui utilise une variable de phase,
fonction du temps et de l’espace, pour décrire
l’état du matériau. Le comportement de cette
variable est gouvernée par une équation couplée
aux équations de conservations traditionnelles »,
W.J. Boettinger and al., [3]

• « Méthode qui décris une microstructure (i.e. les
domaines et les interfaces) comme un tout en
untilisant une ou plusieurs variables de champ »,
L.Q. Chen, [1]


6

Variable de phase Φ (I)
• Décrit localement l’état du matériau
(phase, paramètre d’ordre, orientation, …)
• Varie d’une manière rapide mais continue
sur les interfaces

Boettinger et al., [3] x

7

Variable de phase Φ (II)

Boettinger et al., [3]

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Modèle thermodynamique
• L’évolution d’une microstructure mène toujours à
une augmentation de l’entropie totale du
système S, donc à une diminution de l’énergie
libre totale F U TS, qui peut contenir
plusieurs contributions (interfaces, déformation
élastique, magnétisation, …)

• On cherche la valeur de Φ qui localement permet
de diminuer/minimiser l’énergie libre F, sous
l’action d’un champ externe appliqué
(température, champ électrique, contrainte,…)


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Energie libre totale
• Considérons le cas (simple) d’une variable de
champ unique évoluant sous l’effet des champs
de température et de concentration.

2 2 2 2
c
F f ( , c, T ) c
V
2 2

• f(Φ,c,T) = énergie libre locale
• ε = coefficient de gradient


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Fonction d’énergie libre locale (I)
• Le choix de f est arbitraire et dépend du phénomène à
modéliser, mais toujours une fonction contenant
plusieurs états d’équilibre séparés par une barrière
d’énergie
•Dynamique des dislocations :
f( ) f sin 2 ( )
•Décomposition d’une phase:
1 2 1 4
f( ) 4 f
2 4
•Croissance de grains :
1 2 1 4 2 2
f ( 1, 2 ,...) 4 f i i i j
2 i 4 i i j i


11

Fonction d’énergie libre locale (II)
• Solidification (0=solide, 1=liquide)
– Beaucoup de fonctions différentes, dépendantes du
type de solidification

– Souvent, deux contributions principales
• Fonction « double-well » g(Φ)  Différencie les phases
• Fonction d’interpolation p(Φ)  Effet d’un champ appliqué

f ( , v) W g ( ) p( ) G (v )
– Exemple: composé pur
2 2 15 2 3 1 5
f ( ,T ) 4 f (1 ) T Tm
8 3 5
G f (1, T ) f (0, T ) T Tm

12

Fonction d’énergie libre locale (III)
• Formes de la fonction double puits g(Φ) et de
la fonction d’interpolation p(Φ)

Boettinger et al., [3]

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Equations de champ de phase
• Situations non-stationnaires
– Si les coefficients de gradient sont constant

Allen-Cahn Cahn-Hilliard

p ( r , t) F ci ( r , t ) F
L pq M ij
t ( r , t) t c j ( r , t)
q

f 2 2 c f 2 2
M M c c(1 c) ( c c)
t t c


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Solidification d’un métal pur (I)

1. Définir la fonction d’énergie libre locale
Tm T Boettinger and al., [3]
f ( ,T ) W g( ) L p( )
Tm
2 2
g( ) (1 )
3 2
p( ) (6 15 10)

2. Introduire f dans l’équation de Allen-Cahn

2 2 2W 30M L 2
M 2
(1 )(1 2 ) (Tm T) (1 )2
t Tm


15

Solidification d’un métal pur (II)

L Tm T
G G L (T ) G S (T ) L T L
Tm Tm
-SL

GL(T)
G L (T ) S LT HL
GS(T)
G S (T ) SST HS

-SS
L
SL SS SF
Tm
HL HS HF L
T Tm


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Solidification d’un composé pur (III)
3. Lier les paramètres W, εΦ, MΦ aux paramètres
physiques

Tm
W 3 M 6
6 L

• δ = épaisseur de l’interface
• = énergie interfaciale solide-liquide
• L = chaleur latente de fusion
• μ = coefficient cinétique


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Anisotropie (I)
• Les énergies d’interface sont généralement
anisotropiques et cela peut avoir un effet
important sur la morphologie de croissance de
la structure considérée
• Le coefficient εΦ devient une fonction de
l’angle θ entre la normale à l’interface et l’axe
x (cas 2D), défini par: x

Φ=0

/ y n
tan( ) Φ=1
/ x
θ
y


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Anisotropie (II)
• L’énergie libre F devient alors
2 2
1 2 1 2
F f ( , c, T ) c c ( )
v
2 2

• Ce qui mène à une formulation plus complexe des
équations de Allen-Cahn et Cahn-Hilliard, puisque le
coefficient εΦ est maintenant fonction de la variable
de phase

Anisotropie cubique
lors de la solidification
de Ni pur. Chen, [1]


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Alliage binaire AB
• Construction de f(Φ,c,T)
1. Construire une fonction qui décris à la fois le
liquide et le solide du composé i
fi ( ,T ) (1 p( )) f i s (T ) p( )) f i l (T ) Wi g ( )

2. Construire la fonction qui représente une solution
(ici régulière  εAA ≠ εBB ≠ εAB) des composés en
présence
f ( , c, T ) (1 c) f A ( , T ) cf B ( , T ) RT (1 c) ln(1 c) c ln( c)
c(1 c) S (1 p( )) L p( )

AA BB
AB
2

20

Modèle géométrique (I)
• Considérons une variable de phase Φ(x,y,z,t).
L’interface est alors représenté par une
valeur constante de Φ (p. ex. 0.5).

• Sa normale est donnée par
n

• Et sa courbure

1 2
n


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Modèle géométrique (II)
• La description de l’interface liquide-solide est
donnée par l’équation de Gibbs-Thomson
– Alliage binaire, énergie de surface isotrope
vn k Tm mL c L T k T
Tm
SF L

• La vitesse normale à l’interface est donnée par
1
vn
t


22

Modèle géométrique (III)
• On substitue vn et κ pour obtenir

2
vn k k T
t

• Cette équation ne donne pas de solution
unique, il est nécessaire de spécifier un profil
type


23

Modèle géométrique (IV)
• En utilisant un potentiel en double puits pour la
dérivation du modèle, on définit la variation de
Φ dans la direction perpendiculaire à l’interface
n comme: 1

0.9

0.8

0.7

0.6
1 n
1 tanh 0.5

2 2 0.4

0.3

0.2

0.1

0
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
n
2


24

Modèle géométrique (IV)
• On obtient alors les relations suivantes
(1 )
n

2
(1 )(1 2 )
n2 2

• En substituant dans l’équation de phase

2 (1 )(1 2 ) (1 )
k 2 k T
t


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Modèle géométrique (V)
• L’équation de variation de la concentration est
obtenue par loi de mélange de la loi de Fick

c
(1 ) DS cS DL cL
t

• Les concentrations du liquide et du solide sont
exprimées en fonction de la concentration
nominale
c kc
cL cS
k (1 ) k (1 )


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Références
1) Phase-field models for microstructure
evolution, L.-Q. Chen, Annu. Rev. Mater. Res.
2002, 32, pp.113-140

2) Modeling Melt Convection in Phase-Field
Simulations of Solidification, C. Beckermann
and al., Journal of Computational Physics
1999, 154, pp.468-496

3) Phase-Field Simulation of Solidification,
W.J. Boettinger and al., Annu. Rev. Mater.
Res. 2002, 32, pp.163-194


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