hjkjkh

1. 1
Instituto de Mecánica Estructural
y Riesgo Sísmico
HORMIGÓN II
Unidad 7:
DISEÑO Y ANÁLISIS DE LOSAS
DE HORMIGÓN ARMADO UTILIZANDO
MÉTODOS PLÁSTICOS.
Profesor:
CARLOS RICARDO LLOPIZ.

2. 2
Contenido
7.1 INTRODUCCIÓN. TIPOS DE LOSAS
7.2 DIFERENTES MÉTODOS PARA EL ANÁLISIS Y DISEÑO DE LAS LOSAS
7.3. ANÁLISIS POR LA TEORÍA DE LA PLACA ELÁSTICA
7.3.1 HIPÓTESIS
7.3.2 ECUACIÓN DE EQUILIBRIO. DIFERENCIA ENTRE ELEMENTO VIGA
Y ELEMENTO LOSA
7.3.3 SOLUCIÓN POR EL MÉTODO ELÁSTICO
7.4 CÁLCULO DE LOSAS DE HORMIGÓN ARMADO UTILIZANDO LA TEORÍA PLÁSTICA
7.4.1 GENERALIDADES
7.4.2 NECESIDAD DE UN COMPORTAMIENTO DÚCTIL PARA LA
APLICACIÓN DE LOS MÉTODOS PLÁSTICOS
7.5 MÉTODO DE HILLERBORG
7.5.1 INTRODUCCIÓN
7.5.2 FUNDAMENTO DEL MÉTODO DE LAS FAJAS DE HILLERBORG
7.5.3 PROCESO DE DISEÑO
7.5.4 EJEMPLO DE APLICACIÓN DEL MÉTODO DE HILLERBORG
7.5.5 LÍNEAS DE DISCONTINUIDAD ORIGINADAS POR LAS ESQUINAS DE LAS
LOSAS
7.5.6 BANDAS DE ARMADURA. LÍNEAS DE DISCONTINUIDAD
ORIGINADAS POR LOS LADOS DE LA LOSA
7.5.7 EJEMPLO DE APLICACIÓN No
1
7.5.8 EJEMPLO DE APLICACIÓN No
2
7.5.9 BANDAS DE RESISTENCIA
7.6 MÉTODO DE LAS LÍNEAS DE ROTURA
7.6.1 INTRODUCCIÓN – FUNDAMENTOS
7.6.2 ARMADURA DE LA LOSA
7.6.3 DUCTILIDAD DE LAS SECCIONES DE LA LOSA
7.6.4 COMPORTAMIENTO REAL DE LA LOSA
7.6.5 FORMULACIÓN DE MECANISMOS DE COLAPSO. REGLAS PRÁCTICAS
7.6.6 MOMENTOS DE RESISTENCIA NOMINAL EN LAS LÍNEAS DE FLUENCIA
7.6.7 DETERMINACIÓN DE LA CARGA ÚLTIMA
7.6.8 RAZONES POR LAS QUE LA CARGA ÚLTIMA OBTENIDA POR LAS LÍNEAS
DE ROTURA EN LA PRÁCTICA NO RESULTA SOBRESTIMADA
7.6.9 ANÁLISIS POR EL PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES
7.6.9.1 FUNDAMENTOS
7.6.9.2 EVALUACIÓN DEL TRABAJO INTERNO
7.6.9.2.1 TRABAJO A LO LARGO DE LAS LÍNEAS DE FLUENCIA
7.6.9.2.2 EJEMPLO DE APLICACIÓN No
1
7.6.9.2.3 DISIPACIÓN DE ENERGÍA EN UNA ZONA RÍGIDA
7.6.9.2.4 EJEMPLO DE APLICACIÓN No
2
7.6.9.2.5 EJEMPLO DE APLICACIÓN No
3

3. 3
7.7 APLICACIONES PRÁCTICAS
7.7.1 DEFINICIÓN DE ACCIONES SOBRE LAS LOSAS
7.7.2 MÉTODOS DE ANÁLISIS
7.7.3 LOSAS EN UNA SOLA DIRECCIÓN. MÉTODOS APROXIMADOS
7.7.4 REDISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS
7.7.5 REQUERIMIENTOS DE RIGIDEZ
7.7.6 CALCULO DE DEFORMACIONES
7.7.6.1 INTRODUCCIÓN
7.7.6.2 DEFORMACIÓN DIFERIDA
7.7.6.3 VIGAS Y LOSAS EN UNA DIRECCIÓN
7.7.6.4 LOSAS EN DOS DIRECCIONES
7.7.6.4.1 LOSAS SIN VIGAS INTERIORES
7.6.4.2 LOSAS CON VIGAS INTERIORES
7.7.7 REQUISITOS DE ARMADURAS
7.8 FLEXIBILIDAD DE LOS DIAFRAGAMAS
4.8.1 GENERALIDADES
4.8.2 FUERZAS DE INERCIA DE LOS PISOS
4.8.3 DETERMINACIÓN DE LAS ACCIONES DE DIAFRAGMAS
7.9 REFERENCIAS
7.10 APENDICE A: Tablas del ACI-318
filename Emisión
1
Emisión
2
Emisión
3
Emisión
4
Emisión
5
Emisión
6
Emisión
7
Obs.
Losas.doc Mar
1987
Mar
1992
Feb
2001
Abr
2003
Set
2003
Mar
2004
Jun
2007
Páginas 53 53 53 34 47 104 77
Apénd.
C en
excel
filename Emisión
8
Emisión
9
Losas.doc Abril
2008
Octubre
2009
Páginas 78 71

4. 4
7.1 INTRODUCCIÓN. TIPOS DE LOSAS
Las losas son elementos estructurales planos cuyo espesor es pequeño
comparado con sus otras dimensiones, y que formando parte de los entrepisos,
tienen como función estructural el soporte directo de las cargas que actúan sobre
ellos, y la transmisión de las mismas hacia otros elementos estructurales como
vigas, columnas y tabiques.
El tipo de carga más común que deben soportar las losas son las cargas
verticales, provenientes de su peso propio y de elementos que forman parte de los
entrepisos designadas como cargas permanentes y cuya notación es D (Dead load)
y sobrecargas de uso como el peso de muebles, personas, etc. designadas como
cargas de uso o accidentales, con notación L (Live load). Sin embargo, en zonas de
alta sismicidad, como la que corresponde a la zona de Cuyo, las losas de hormigón
armado tienen una importante misión en cuanto se refiere a la transmisión de
acciones inerciales que se generan durante la ocurrencia de movimientos sísmicos.
En estos casos, las fuertes aceleraciones que se inducen en un edificio debido a los
movimientos de su base, generan fuerzas inerciales, tanto horizontales como
verticales, que los entrepisos deben absorber y ser capaces de transmitir a los
elementos con suficiente rigidez y resistencia lateral.
Las losas pueden clasificarse en general en dos categorías, de acuerdo al tipo de
apoyo:
(i) Losas apoyadas en vigas, ver Fig. 7.1(a)
(ii) Losas sin vigas (entrepisos sin vigas).
En el caso de losas sin vigas las cargas que ellas soportan son transmitidas a
columnas o tabiques, y se distinguen también dos casos, según que la columna
posea o no capitel. Las Figs. 7.1(b) y (c) ilustran este tipo de losas.
En casos de losas apoyadas sobre vigas, como se muestra en Fig. 7.1(a), las
cargas son transmitidas a vigas perimetrales del panel de losa. Dependiendo de la
relación Ly/Lx, las losas se pueden armar con armadura principal en una o dos
direcciones. Cuando la relación de luces es mayor que 2, en general se puede
considerar a la losa formada por un haz de fajas paralelas a la dirección de la menor
luz y de ancho unitario. Sin embargo, siempre es colocada una armadura de
repartición en dirección perpendicular a la armadura principal. En las fajas
adyacentes a las vigas de borde se debe tener en cuenta que aquella hipótesis
simplificadora ya no es válida y se debería proveer armadura adicional paralela a la
armadura de repartición para compensar los esfuerzos adicionales que allí se
generan. Sin embargo, la cantidad y forma de disposición de las barras de acero en
las losas será una función de la filosofía de diseño y análisis en sus diversos
métodos que más adelante se aplicará en detalle. Es decir entonces que existe otra
posible clasificación que es:
(i) Losas en dos direcciones.
(ii) Losas en una dirección.

5. 5
Fig. 7.1
Distintos tipos de losas.
De acuerdo a los materiales y procedimientos con que son construidas las losas,
éstas se clasifican en:
(i) losas tipos macizas o sólidas.
(ii) losas nervuradas.
(iii) losas tipos alivianadas con elementos prefabricados.
Las losas macizas son aquellas que en todo su espesor, generalmente
constante, están constituidas por hormigón con la adecuada cantidad de armadura
generalmente dispuesta en dos direcciones perpendiculares y que deben tomar los
esfuerzos de tracción generados por los momentos flectores, torsores y el corte.
Las losas tipo nervuradas, que son una especie de variante de la losa sólida,
están constituidas por nervios de hormigón armado en forma de sección T y
separados una distancia entre sí que deben satisfacer ciertos requerimientos para su

6. 6
eficacia en resistencia y rigidez. La Fig.7.1(d) indica un esquema de losa tipo
nervurada. El uso de este tipo de losa permite una considerable reducción del
volumen, y por lo tanto del peso propio de la estructura resistente de la losa, al
sustituir por vacío una considerable zona del hormigón que al estar en tracción no
colaboraría para la resistencia. Por el contrario, permite el uso de nervios de
profundidad considerable que pueden aumentar notablemente no sólo la resistencia
sino también la rigidez del entrepiso por lo que su uso es muy atractivo para cubrir
grandes luces. Note que la reducción de peso propio también implica reducción de
fuerzas inerciales que se pueden inducir durante un sismo. Las losas nervuradas se
pueden reforzar con armadura principal en una o dos direcciones, según la relación
de luces y especificaciones que se verán más adelante. La Fig. 7.2 muestra un caso
utilizado en nuestro medio en losas nervuradas de edificios. Muchas veces en lugar
de los elementos cerámicos se colocan elementos de poliestireno expandido, como
encofrado perdido, que resultan en una losa mucho más liviana y con muy buenas
características de aislación térmica. Esto también es usado en nuestro medio.
Fig. 7.2
Caso de Losa
nervurada donde
Se usan ladrillos
cerámicos como
separadores de
nervios.
Por último, es importante mencionar el tipo de losas más comúnmente utilizado
en nuestro medio para construcciones bajas y que son las losas tipo alivianadas con
elementos premoldeados. Podrían considerarse como un caso especial de las losas
nervaduras, pero es conveniente colocarlas como un tercer tipo pues existen
diferencias constructivas y de funcionamiento entre ellas. Por ejemplo, los nervios,
que son viguetas prefabricadas, corren en una sola dirección, teniendo como
elementos de relleno entre sí a elementos cerámicos huecos que se los considera
como estáticamente inactivos, pero que permiten la composición de una superficie
inferior plana sobre la cual puede aplicarse directamente el cielorraso. Además esos
elementos de relleno sirven como aislante. La Fig. 7.3(a) indica los componentes de
la losa alivianada prefabricada. Las viguetas, elementos (1) en la figura, son
generalmente de hormigón armado pretensado. El elemento (2) es generalmente un
cerámico, o de poliestireno expandido, que en nuestro medio tiene una altura
de12.50 cm o 16.50 cm en casos especiales. El elemento (3) es la capa de

7. 7
compresión, generalmente entre 3 a 5 cm de espesor, y que lleva una malla de
repartición de acero.
Tienen la ventaja de un rápido armado en obra con un sistema de
apuntalamiento similar al que se muestra en la Fig. 7.3(b), formando parte de un
sistema de piso como se ilustra en la Fig. 7.3(c). La Fig. 4.4 muestra detalles típicos
de apoyos en vigas de hormigón armado.
Fig. 4.3(a) Componentes de losas
prefabricadas alivianadas.
Fig. 7.3(b) Apuntalamiento en
losas alivianadas.
Fig. 7.3(c) Vista del sistema de
pisos teniendo como elemento
resistente la losa prefabricada.
Fig. 7.4 Detalles típicos de apoyos de losas prefabricadas en vigas.
7.2 DIFERENTES MÉTODOS PARA EL ANÁLISIS Y DISEÑO DE LAS
LOSAS
En general pueden distinguirse dos filosofías para el análisis y/o diseño de
sistemas de losas de hormigón armado:
1. Métodos basados en la teoría elástica.
2. Métodos basados en la teoría plástica o análisis límite.

8. 8
Existen además algunos métodos que usan fundamentos de ambas teorías.
Cualquiera sea el método elegido, las losas deben satisfacer las siguientes
condiciones:
(i) que bajo cargas de servicio, las deformaciones y fisuras deben
permanecer dentro de los límites aceptables.
(ii) que bajo estados de cargas excepcionales, posean una adecuada
ductilidad y coeficiente de seguridad elevado para evitar el colapso
de la misma. Es decir, cumplir requisitos de resistencia y ductilidad.
7.3 ANÁLISIS POR LA TEORÍA DE LA PLACA ELÁSTICA
7.3.1 HIPÓTESIS
La teoría clásica de análisis elástico se basa en las siguientes hipótesis:
a. la losa se comporta como formada de material isótropo, homogéneo y elástico
para estados de carga de servicio, y por lo tanto en ese rango es válida la ley
de Hooke
b. el espesor de la losa es suficientemente pequeño como para que se ignoren
las deformaciones por corte, pero a su vez ese espesor es suficiente como
para ofrecer resistencia a flexión (y no comportarse como una membrana), y
que las deformaciones en su plano sean despreciables
c. la flecha en un punto cualquiera de la placa es pequeña con respecto a su
espesor
La distribución de momentos y corte en las placas obtenidas a partir de esta
teoría elástica es tal que:
1. las condiciones de equilibrio son satisfechas en cada punto de la losa
2. se deben satisfacer las condiciones de contorno
3. las tensiones son proporcionales a las deformaciones, o en otras
palabras, los momentos flectores son proporcionales a las curvaturas
lo cual implica relación constitutiva seccional lineal
7.3.2 ECUACIÓN DE EQUILIBRIO. DIFERENCIA ENTRE ELEMENTO VIGA Y
ELEMENTO LOSA
Es importante reconocer el diferente comportamiento y mecanismo de
resistencia de un elemento plano como el caso de una viga de un elemento
tridimensional como es el caso de un elemento losa, cuando ambos están bajo la
acción de, por ejemplo, una carga uniformemente repartida q. La Fig. 7.5 muestra el
caso de un elemento de viga en equilibrio. De la Fig. 7.5(a) el equilibrio de cargas
verticales nos indica que:
0. =−−− dx
dx
dV
VdxqV
o sea:

9. 9
q
dx
dV
−= (7.1)
siendo V el corte sobre las caras del elemento viga. De la Fig. 7.5(b), del equilibrio
de momentos respecto al punto A, resulta:
02/.. =





+−





+++ dx
dx
dM
Mdxdx
dx
dV
VdxdxqM
y despreciando los términos diferenciales de orden superior
V
dx
dM
= (7.2)
o, para relacionar momento con cargas:
q
dx
Md
−=2
2
(7.3)
siendo las ecuaciones (7.1) y (7.3) las que definen las relaciones estáticas de un
elemento bidimensional sometido a flexión.
Figura 7.5. Equilibrio del elemento de viga
Diferente es el estado de equilibrio que se origina al analizar un elemento
placa, tridimensional, tal cual se muestra en Fig. 7.6. En ese caso la condición de
equilibrio de fuerzas verticales resulta en:
q
dy
dVy
dx
dVx
−=+ (7.4)
y del planteo de la ecuación de equilibrio de momentos según Fig. 7.6(b), se tiene:

10. 10
2
2
dx
Md x
+
dxdy
Md xy
2
2 + q
dy
Md y
−=2
2
(7.5)
Fig. 7.6. Equilibrio del elemento losa.
Se ven claramente ahora los distintos mecanismos de resistencia al comparar
las ecuaciones (7.1) con (7.4) y (7.3) con (7.5). En el caso de viga sólo tenemos un
momento M que es el que está en el plano de las cargas. Para el caso del elemento
placa tenemos más posibilidades, ya que son tres momentos de resistencia, dos de
flexión y uno de torsión.
Las ecuaciones vistas anteriormente no resuelven totalmente el problema,
pues el mismo se debe completar al establecer la compatibilidad de deformaciones y
las relaciones constitutivas.
Por compatibilidad de deformación:
ω
θ1
θ2
dx
elástica
q

11. 11
dx
dθ
===
longituddeunidad
Rotación
curvaturaφ
pero
Zdw ejesegúnntoesplazamie
dx
dw
θ ==
por lo tanto
ilidade compatibecuación d
dx
wd
2
2
=φ
y por relación constitutiva:
EI
q
EIdx
Md
dx
wd
o bien
EI
M
dx
wd
EI
M
===∴=
1
2
2
4
4
2
2
φ
De esta manera se llega a establecer la relación entre las flechas w(x,y), y la
carga q que actúa sobre el elemento. Para el caso de viga la ecuación es:
EI
q
dx
wd
=4
4
(7.6)
donde EI es el módulo de rigidez flexional de la viga, siendo
E = módulo de elasticidad del material (hormigón)
I = momento de inercia de la sección.
Para el caso del elemento losa, se obtiene la ecuación de Lagrange, que es
una ecuación diferencial parcial de cuarto orden, con dos variables independientes:
D
q
dy
wd
dydx
wd
dx
wd
=++ 4
4
22
4
4
4
2 (7.7)
donde
),( yxww = w es la flecha en un punto cualquiera de la losas de coordenadas (x,y), en
la dirección de la carga q.
D = rigidez a flexión de la placa = E. h3
/ 12 (1- ν)
h = espesor de la losa.
ν = módulo de Poisson.
7.3.3 SOLUCIÓN POR EL MÉTODO ELÁSTICO
El procedimiento general para solucionar el problema elástico de la viga o de la
losa es idéntico en ambos casos, y consiste en determinar la ecuación para la

12. 12
deformada de la viga o losa (ecuación de la elástica que define la flecha), y luego
por derivación de esa ecuación obtener los esfuerzos internos. La ecuación de la
elástica debe satisfacer la ecuación diferencial (7.6) para las vigas y (7.7) para las
losas, como así también las condiciones de contorno. Luego entonces los esfuerzos
internos quedan determinados a través de las siguientes ecuaciones:
a. Momentos de flectores:






+−= 2
2
2
2
dy
wd
ν
dx
wd
DM x (7.8.a.)






+−= 2
2
2
2
dx
wd
ν
dy
wd
DM y (7.8.b.)
b. Momentos de torsores:
( )ν.
dxdy
wd
DM xy −





−= 1
2
(7.9)
c. Esfuerzos de corte:






+=
dy
dM
dx
dM
V
xyx
x (7.10.a.)






+=
dx
dM
dy
dM
V
xyy
y (7.10.b.)
d. Reacciones:






−+= 2
3
3
3
2
dxdy
wd
ν)(
dx
wd
DRx (7.11.a.)






−+= 2
3
3
3
2
dydx
wd
ν)(
dy
wd
DRy (7.11.b.)
La solución de la ecuación de Lagrange, desafortunadamente no es sencilla, y
sólo se han encontrado soluciones para un número limitado de casos. Con los
métodos ortodoxos de integración se pudieron al principio resolver casos muy
particulares como los de losa rectangular simplemente apoyada o empotrada, placa
circular, algunos tipos de placas elípticas y triangulares, todos con carga
uniformemente repartida o cargas concentradas simétricamente.
Las primeras soluciones para la ecuación de Lagrange fueron encontradas
por Navier en 1820, quien usó las series dobles de Fourier para describir las
deformaciones y cargas de placas rectangulares simplemente apoyadas y con carga
arbitraria, ref. [2].
Una solución más general se obtiene por aplicación del método de Levy,
quien propuso un método exacto para el caso de una placa con dos lados opuestos

13. 13
simplemente apoyados y pudiendo los otros dos lados admitir condiciones de
contorno arbitrarias. Para este caso utilizó series simples de Fourier. También por el
método de Levy se pueden obtener soluciones aproximadas para el caso de placas
rectangulares muy largas con condiciones de borde arbitrarias en todos sus lados,
ref. [2]. Cuando se menciona la palabra método “exacto” hay que reconocer las
limitaciones que implica al tratarse de losas de hormigón armado, salvo que
estrictamente se hable del estado sin fisuración alguna.
La aplicación de los métodos energéticos para la solución de placas fue
desarrollado por Ritz, basado en el principio de que la energía total de una placa
deformada es mínima cuando existe equilibrio. Los métodos de Rayleigh, Galerkin y
Kantorovich están basados en aquel principio.
Otras soluciones en el rango elástico para placas han sido los obtenidos a
partir del método de las diferencias finitas y el método de los elementos finitos,
ref.[9]. Ambos son métodos aproximados derivados de la teoría elástica.
Por último es importante destacar el advenimiento de otros métodos
aproximados, los que simplificando el planteo matemático llevan a soluciones más
generales. Algunos de estos métodos, si bien tienen sus fundamentos en la teoría
elástica, tienen en cuenta en forma parcial el efecto de las deformaciones plásticas.
Uno de estos procedimientos es el de Marcus y otro de los más utilizados es el de
Siess-Newmark. Este último es un procedimiento que se puede comparar
directamente con el método de distribución de momentos de Cross utilizado en
vigas.
7.4 CÁLCULO DE LOSAS DE HORMIGÓN ARMADO UTILIZANDO LA
TEORÍA PLÁSTICA
7.4.1 GENERALIDADES
El análisis límite o del estado último reconoce que, debido a la plasticidad, es
posible que ocurra una redistribución de los momentos y los cortes más allá de los
límites dados por la teoría elástica antes de que se alcance la capacidad última de la
losa.
Esta redistribución de momentos es factible cuando la sección de hormigón
armado no está sobre armada. Una vez alcanzada la resistencia de fluencia, la
sección puede incrementar notablemente sus valores de curvatura con poca
variación con relación a la resistencia que corresponde al comienzo de plasticidad
de la armadura traccionada. De esta forma, el análisis límite permite evaluar la carga
última o máxima de la losa y la redistribución de momentos y cortes para esta carga,
suponiendo que las secciones de la losa son lo suficientemente dúctiles como para
permitir que ocurra la redistribución de esfuerzos internos.
Para determinar la carga última de un sistema de losas de hormigón armado
existen, de acuerdo a los teoremas de Prager, dos alternativas: un método basado
en el límite superior o un método apoyado en los teoremas del límite inferior.

14. 14
Los métodos basados en los teoremas del límite inferior dan como resultado
una carga última que o bien es la correcta o está por debajo de este valor; es decir,
la carga última nunca es sobre estimada: se está del lado de la seguridad. El método
más conocido en este grupo es el de las fajas de Hillerborg.
Los métodos basados en teoremas del límite superior, por el contrario, llevan
a una carga última que es o la correcta o una que supera este valor. A este grupo
corresponde el método basado en la teoría de las líneas de fluencia (a veces
llamadas líneas de rotura) de Johansen. En éste se postulan una serie de
mecanismos de colapso para el sistema de losas en estudio y de su análisis, aquel
que conduzca a la menor carga última se toma como el correcto o el más
aproximado. Si no fuera el valor correcto la solución sobre estimaría en cierto rango
la carga máxima que el sistema puede soportar.
Los trabajos de Prager y Hodge sobre análisis límite indican que la solución
exacta para placas no es siempre posible de obtener. En general la carga última o
de colapso estará comprendida entre estos dos límites, superior e inferior. Una
solución rigurosa de una placa en particular tenderá a que las cargas últimas
obtenidas por los dos procedimientos converjan, y de ocurrir este caso indicaría que
se ha encontrado la solución exacta. Sin embargo, en hormigón armado y en el
rango inelástico, hablar de exactitud no es apropiado. Cualquier solución, en la
práctica, sólo será aproximada.
Como se verá luego, el método de las fajas de Hillerborg es un método de
diseño, mientras que el de las líneas de fluencia es de análisis. La Fig. 7.7 indica en
forma esquemática el significado de los valores dados por los teoremas de Prager.
Fig. 7.7
Significado de los teoremas de Prager.
7.4.2 NECESIDAD DE UN COMPORTAMIENTO DÚCTIL PARA LA APLICACIÓN
DE LOS MÉTODOS PLÁSTICOS
La Fig. 7.8 ilustra la relación constitutiva de una sección de hormigón armado,
es decir el diagrama momento-curvaturas a través del factor de rigidez de flexión EI.

15. 15
Fig. 7.8 Diagrama Momento vs. Curvatura de una sección dúctil.
De acuerdo a la teoría elástica, los momentos son proporcionales a las
curvaturas de las secciones de la losa, y por lo tanto, sólo existe “una” distribución
de momentos elásticos para una capacidad de momento determinada. Sin embargo,
de acuerdo a la teoría plástica, cualquier número de distribución de momentos es
posible, dado que en rango inelástico los momentos no dependen de la curvatura.
Es por ello que si se selecciona una distribución de momentos que es
diferente a la que resultaría de la aplicación de la teoría elástica, debe ocurrir una
redistribución de momentos antes de que se alcance la carga última. Rigurosamente
hablando, aun en el diseño por la teoría elástica se requiere de alguna redistribución
de momentos a menos que en los momentos usados para diseño de la armadura se
haya tenido en cuenta la compleja distribución de rigideces que existen en una losa
una vez que el hormigón se ha fisurado en las zonas más solicitadas. Por lo tanto,
las soluciones que dan los análisis límites sólo pueden ser aplicados a losas de
hormigón armado con secciones razonablemente dúctiles. En la sección 4.6.8 de
este trabajo se dan algunos valores de ductilidad en función de la cuantía de las
losas.
La relación momento curvatura de la Fig. 7.8 es aproximadamente trilineal, en
la que las discontinuidades de la curva con el correspondiente cambio brusco de
pendiente y reducción de rigidez EI es debida a: (i) fisuración del hormigón en
tracción; (ii) primera fluencia del acero en tracción; y (iii) deformación última del
hormigón en compresión. El factor de ductilidad de curvaturas, para el caso de
material con comportamiento linealmente elástico-perfectamente plástico, LE-PP,
está dado por:
y
u
φ
φ
µφ =
De esta manera con sección de hormigón poco armada, las secciones de la
losa tendrán suficiente ductilidad. Es decir, el diagrama M-φ, tendrá un tramo casi
horizontal bastante amplio después de la primera fluencia del acero, lo que permitirá
la redistribución de momentos de las zonas más solicitadas hacia las que aún están
por debajo de momento de fluencia. Esto permite que con la plastificación casi total,
se pueda alcanzar la carga última supuesta.

16. 16
7.5 MÉTODO DE HILLERBORG
7.5.1 INTRODUCCIÓN
Hillerborg sugirió en el año 1956 un método para el análisis de las losas
referido como “teoría del equilibrio” y basado en el teorema del límite inferior. Este
método de diseño puede ser enunciado así: “Si es posible encontrar una distribución
de momentos que satisfaga las ecuaciones de equilibrio de la placa y sus
condiciones de borde para una carga externa dada, y siendo la placa capaz de
soportar dichos momentos, entonces la carga externa representará un límite inferior
a la real capacidad última de la placa”.
El objetivo fundamental de Hillerborg fue presentar un método de diseño
plástico que fuera simple y arrojara resultados del lado de la seguridad. La solución
así obtenida para la placa es tal que:
(i) son satisfechas las condiciones de equilibrio en todos los puntos de la placa.
(ii)la condición de resistencia a nivel de fluencia My no es excedida en ningún
punto de la placa, es decir:
( )[ ] ( )[ ]yqu yxMyxM ,, ≤
siendo el primer miembro el momento actuante en la placa en el punto (x,y) bajo la
carga de colapso qu, y el segundo miembro la resistencia de fluencia en ese punto.
(iii) son satisfechas además las condiciones de contorno de la placa.
Note que el método no habla explícitamente de:
a. condiciones de la losa para el estado de servicio
b. ductilidad de las secciones
pero ambas condiciones son importantes de verificar antes de que se adopte el
diseño definitivo.
7.5.2 FUNDAMENTO DEL MÉTODO DE LAS FAJAS DE HILLERBORG.
Ya se vio anteriormente y quedó expresado en la ecuación (7.5) que el
equilibrio de un elemento de placa queda expresado a través de la siguiente
ecuación:
2
2
dx
Md x
+
dxdy
Md xy
2
2 + q
dy
Md y
−=2
2
(7.12)
donde Mx y My son los momentos flectores por ancho unitario en las direcciones x e
y, mientras que Mxy es el momento torsor unitario y q la carga uniformemente
distribuida por unidad de área en el elemento (dx.dy).
De acuerdo a la teoría del límite inferior, cualquier combinación de Mx, My y
Mxy que satisfagan la ecuación (7.12) en todos los puntos de la losa y las
condiciones de contorno bajo la acción de la carga última qu, será una solución de
diseño válida siempre y cuando se provea la armadura capaz de soportar aquellos
momentos. Por lo tanto, la carga última puede ser arbitrariamente distribuida entre
cada uno de los tres términos de la ecuación de equilibrio antes escrita. Por ejemplo,

17. 17
q
dy
Md
dx
Md yx
−=+ 2
2
2
2
(7.12a)
es la variante más simple del método de Hillerborg y aparece cuando se impone que
Mxy=0, es decir que la carga sea totalmente soportada por flexión según las
direcciones x e y. Así entonces la losa se puede visualizar como compuesta de dos
sistemas de fajas independientes (la torsión ya no las conecta) y que corren en
dirección paralela a los ejes x e y. Esto es posible cuando no es condición
imprescindible movilizar los mecanismos de resistencia a torsión para que la losa
pueda resistir la acción externa, es decir, que si hay torsión la misma es por
compatibilidad (no por equilibrio). Este caso se designa como “Método Simple de las
Fajas”, para diferenciarlo de un trabajo posterior de Hillerborg que introduce el
“Método Avanzado de las Fajas” (1964), en el que se analizan casos más complejos
de losas con re-entrantes, orificios, soportes sobre columnas y otros que necesitan
considerar la torsión.
De esta manera, la Ecuac. (7.12a) se puede reemplazar por dos ecuaciones
independientes que representan la acción de las fajas sin interacción de torsión:
2
2
dx
Md x
= -γq (7.13a)
2
2
dy
Md y
= -(1-γ)q (7.13b)
donde γ es un factor de distribución de cargas, seleccionado por el diseñador y que
está comprendido entre:
0 ≤ γ ≤ 1
Si γ =1.0 implica que toda la carga es soportada por la flexión de las fajas en
la dirección x, y por el contrario, si γ= 0 toda la carga es tomada por flexión de la faja
paralela a y.
Una característica de este método, presente también en el método de las
líneas de fluencia, es que para la distribución de momentos entre las secciones de
flexión positiva y negativa, y entre las secciones que se apoyan en dos direcciones,
la decisión es dejada al diseñador. Esa libertad que el método provee al proyectista
puede ser peligrosa si al no ser adecuadamente utilizada puede conducir al diseño
de losas que, aunque satisfagan los requerimientos de resistencia, puede que no
cumplan con los requisitos de flecha y de fisuración máximas admisibles para el
estado de cargas de servicio. Este es un requisito de rigidez. Se entiende que las
secciones de la losa no deben sobre armarse para evitar la posibilidad de roturas
frágiles por falta de ductilidad. El hecho de asignar momentos con cierta libertad
debe entonces asegurar las condiciones de servicio. En 1972 el código inglés ya
recomendaba que cuando se utilizaba el método de las fajas la relación entre
momentos negativos y positivos debería estar comprendida entre 1.0 y 1.5.

18. 18
7.5.3. PROCESO DE DISEÑO
El proceso de diseño es bastante simple y puede ser resumido en los
siguientes pasos, los que se grafican en la Fig. 7.9:
1. considerar la losa como formada por una malla de tiras o fajas, paralelas a las
direcciones x e y,
2. dividir la losa en regiones o zonas de distribución de las cargas,
3. asignar valores de γ para cada región, y que no necesitan ser estrictamente 0 ó
1, sino intermedios
4. aplicar la carga sobre cada una de las fajas, y en correspondencia con los
coeficientes de distribución,
5. separar la faja de la losa y con las condiciones de borde reales y el estado de
cargas correspondientes, proceder a la
evaluación de los esfuerzos internos,
momentos y cortes, y las reacciones,
6. verificar que las deformaciones sean
similares para cualquier punto de
encuentro de dos fajas perpendiculares.
Si las deformaciones difieren demasiado
se debe cambiar el sistema de
distribución de cargas.
7. proveer la armadura adecuada para
soportar los esfuerzos computados.
Fig. 7.9
Etapas para aplicar el método de las fajas de
Hillerborg.
7.5.4 EJEMPLO DE APLICACIÓN DEL
MÉTODO DE HILLERBORG.
Se aplicará el método descrito para el
diseño de una losa cuadrada, simplemente
apoyada y que debe soportar una carga
uniformemente repartida por unidad de área
qu. De las varias soluciones posibles, se
presentan tres de muy simple desarrollo.
La primer solución puede obtenerse al
considerar un coeficiente de distribución γ=
0.50 constante para toda la superficie de la
placa, tal cual se muestra en la Fig. 7.10. Esto implica que la mitad de la carga es
asignada uniformemente a las fajas en cada dirección. El momento máximo es
(qu.l2
/16), y tiene un valor constante en las secciones de la mitad de la luz a través
de todo el ancho y largo de la losa.

19. 19
Fig. 7.10
Losa cuadrada
simplemente
apoyada. Caso
de γ= 0.5
La segunda solución se obtiene al dividir la losa en 3 regiones que
corresponden a la zona central, parte media de las fajas laterales y esquinas de la
losa, tal cual se ve en la Fig.7.11. Al asignar los valores de γ= 1.0, γ= 0.5 y γ= 0. 0,
quedan definidas 3 zonas. Note que en cada región la sumatoria de los coeficientes
de la repartición en la dirección x e y debe ser igual a 1.0, es decir que en cada
región la carga a distribuir es qu. En esta solución hay sólo dos tipos de fajas, la aa y
la bb. Ahora el máximo momento resulta ser (5/64 qu.l2
), y la distribución de máximos
momentos es ahora constante en la mitad del ancho y en la mitad del largo de la
placa, como muestra la figura.
Fig. 7.11.
Losa
cuadrada
simplemente
apoyada
variando γ
según fajas
paralelas.

20. 20
La tercera solución consiste en dividir la losa en regiones con líneas no
paralelas a los ejes x o y. En este caso se toman 2 diagonales, llamadas líneas de
discontinuidad, tal como lo muestra la Fig.7.12., quedando la losa fraccionada en 4
triángulos. En este caso se considera que cada región transmite la totalidad de su
carga al apoyo más cercano. El momento máximo es ahora [(1/8).qu.l2
] y la
distribución de los momentos máximos es una función parabólica a través de la luz l
de la losa.
Fig. 7.12
Losa cuadrada
apoyada con
distribución triangular
de cargas.
Una cuarta
variación posible,
cuya resolución se
deja como ejercicio
para el lector, se
podría haber
obtenido al proponer
una distribución de
cargas con
coeficientes γ
escalonados como
muestra la Fig. 7.13.
Fig. 7.13
Distinta configuración de valores
de γ para distribución de cargas
en una losa cuadrada
simplemente apoyada.
De las tres soluciones
resueltas, se puede observar
la variedad de distribución de
momentos. Todas satisfacen
las condiciones de equilibrio y
contorno. Para este caso de
losa simplemente apoyada el
uso de la estática fue
suficiente para la
determinación de los
esfuerzos que solicitan a la placa, a través de cada faja.
Es de interés observar el costo relativo que le corresponde a cada solución con
respecto a los requerimientos de acero para los tres casos aquí analizados. El área
de armadura es proporcional al momento por ancho unitario. Suponiendo que todas
las barras necesarias para los máximos momentos se prolonguen hasta los apoyos,

21. 21
y que se use la misma altura de losa, la cantidad de acero requerida en cada caso
será proporcional al área del diagrama de momentos máximos (Mx). Esas áreas
resultan:
(1/16. qu. l3
) (3/64.qu .l3
= 3
33.21
1
lqu ) (1/24.qu.l3
)
para las soluciones 1, 2 y 3 respectivamente. La relación entre esas áreas es,
entonces, 1.0, 0.75 y 0.67, e indican los costos relativos entre las soluciones.
La solución tres aparece como la más económica, pero esta conclusión puede
variar si las barras no se continúan en toda la longitud l, sino hasta donde sean
necesarias. Además, según la solución tres, las barras deberían colocarse a
distancias que variarían en forma continua, lo que no es nada práctico. Lo que
realmente se hace es colocar a lo largo y a lo ancho de la placa bandas con cierto
ancho práctico y con idéntica armadura, tal cual se verá en ejemplos más adelante.
7.5.5 LÍNEAS DE DISCONTINUIDAD ORIGINADAS POR LAS ESQUINAS DE LAS
LOSAS.
Las líneas de las losas que indican la distribución de cargas en forma diferente
se conocen como líneas de discontinuidad. Estrictamente, estas líneas de
discontinuidad pueden entrar a una esquina de losa con cualquier ángulo, pero éstos
son seleccionados sobre la base de que los momentos den una mayor economía de
armadura y que estén razonablemente de acuerdo con una distribución de
momentos elástica. Hillerborg sugirió las siguientes reglas:
1. donde se encuentren los lados simplemente apoyados, o dos empotrados, o
con iguales condiciones de borde, la línea de discontinuidad debe ser la
bisectriz del ángulo, según indica las Figs. 7.14(a) y 7.14 (b).
2. si un lado es simplemente apoyado y el otro es empotrado, la línea de
discontinuidad será como lo indica la Fig. 7.14(c).
Fig. 7.14 Posición de líneas de discontinuidad en las esquinas a 90o
. (a) ambos lados
simplemente apoyados, (b) ambos lados empotrados y (c) combinación.
Hillerborg comenta en sus trabajos que la distribución de cargas más económica
para el caso de una losa rectangular con todos sus lados simplemente apoyados
como el caso de la Fig.7.15 ocurre cuando el ángulo para el lado mayor es:
)/(tan 1
yx LL−
=θ para Lx ≥ Ly

22. 22
Fig. 7.15 Líneas de discontinuidad.
7.5.6 BANDAS DE ARMADURA. LÍNEAS DE DISCONTINUIDAD ORIGINADAS
POR LOS LADOS DE LA LOSA.
El problema que se presenta cuando la armadura es diseñada de acuerdo a
los momentos obtenidos del método de las fajas con líneas de discontinuidad
originadas por las esquinas de las losas es que sobre una gran porción de la losa, si
esta es rectangular, o cuadrada con condiciones de borde diferente en los lados que
se encuentran, se requerirá una variación continua del espaciamiento entre las
barras de acero. Esto es impracticable, y lo que Hillerborg sugiere es la colocación
de la armadura en forma uniforme en bandas de ancho razonable, y con un
momento de diseño para cada banda tomando como el momento máximo promedio
para las fajas que corresponden a esa banda.
Fig. 7.16 Líneas de
discontinuidad que arrojan
momentos uniformes en las
bandas.
Wood y Armer han
señalado que en lugar de
complicar los cálculos del
momento al usar regiones
triangulares o trapezoidales
que se originan por las
líneas de discontinuidad de
las esquinas de las losas,
es conveniente trazar aquellas líneas paralelas a los lados de la losa, con lo que no
es necesario tomar promedios de los momentos. La Fig.7.16 muestra el esquema
para este procedimiento. El ejemplo planteado en la Fig.7.13 es otro caso.
Como ejemplo de aplicación se muestra el caso de la losa rectangular
simplemente apoyada de la Fig.7.17. Para este caso es conveniente tomar cuatro
bandas con un ancho tal que franjas de borde sean ¼ de la luz menor de la losa (en

23. 23
este caso Ly/4). Por simple equilibrio de aplicación de la estática (ecuaciones de
equilibrio) los momentos en la fajas son resueltos.
Fig. 7.17 Momentos Flectores y reacciones de apoyos para una losa uniformemente
cargada con todos los lados simplemente apoyados.
Otro ejemplo es presentado en la Fig.7.18, donde la losa tiene dos lados
simplemente apoyados y dos empotrados.

24. 24
En este caso, las líneas de discontinuidad se ubican de tal forma de tener en
cuenta la mayor capacidad de tracción de cargas del lado fijo con respecto al simple
apoyo. Aparece entonces un coeficiente β que indica la extensión de las bandas.
Para este ejemplo, Hillerborg sugirió tomar a Ly/2 como ancho de la faja central en la
dirección x, y a (Lx-Ly /2) para el ancho de la franja central en la dirección y, como es
el caso de las franjas centrales de la losa central simplemente apoyada, según se
vio en la Fig. 7.17.
Fig. 7.18 Momentos flectores para una losa uniformemente cargada con dos lados
adyacentes empotrados y los otros dos simplemente apoyados.
Pese a que las bandas quedan como estructuras hiperestáticas, los
momentos pueden ser fácil y rápidamente calculados al tomar como referencia las
secciones donde el corte es nulo. Para el caso de banda en la dirección x, utilizando

25. 25
el esquema de la Fig.7.19, se obtienen momentos y reacciones. Para el caso de las
fajas centrales en la dirección y, utilizando como base los conocimientos de estática
aplicados en la Fig.4.20., y si se toma como distancia del apoyo derecho hasta el
punto de corte nulo = máximo momento a yL=β , entonces el esquema de la Fig.
7.21 servirá para el cálculo de los momentos y reacciones. El valor de β a
seleccionar dependerá de la relación entre el momento negativo y el positivo. Se ve
claramente en la Fig.7.18. que la relación vale:
R = M(-) / M(+) = (1-2 β ) / β 2
(7.14)
por lo que se tiene:
β 0.366 0.387 0.414
R 2.0 1.5 1.0
Los valores de β se toman normalmente entre 0.36 y 0.40. La técnica de
elegir anchos desiguales para las regiones externas, a los efectos de obtener una
zona con momento positivo constante, y a través de un valor de β que es una
función de la relación R que el diseñador desea, es sólo necesaria cuando las
condiciones de apoyo de cada extremo de la faja son diferentes. Si ambos extremos
son fijos o simplemente apoyados β = 0.50, tal cual se ve en la Fig.7.17. Además, la
relación entre el máximo momento negativo y el máximo positivo para el caso de
ambos extremos empotrados no es una función de β , sino una decisión del
diseñador.
Fig. 7.19. Resolución de una faja empotrada y apoyada sometida a carga discontinua qu.

26. 26
Fig. 7.20.
Solución de faja empotrada y apoyada
sometida a carga continua qu.
Fig. 7.21
“Una” solución plástica de viga empotrada y
apoyada bajo carga continua qu.
7.5.7 EJEMPLO DE APLICACIÓN No 1.
Dada la losa rectangular de 9mx6m según la Fig.7.22., con dos lados
simplemente apoyados y dos empotrados, sobrecarga de servicio uniformemente
repartida de 700 kgr/m2
, usar hormigón de f´c= 250 kgr/cm2
y acero de fy= 4200
kgr/cm2
. Diseñar el panel con la armadura necesaria. Verificar el corte.

27. 27
(c) Armadura Superior (d) Armadura Inferior
Fig. 7.22 Ejemplo No
1
Pasos a seguir:
1. Estimación de altura y peso propio:
Según el CIRSOC 2005, la altura mínima, para apoyos sobre vigas de cierta
rigidez, debe ser:
mm
f
l
h
y
n
90
936
1400
8.0
≥
+






+
≥
β
(7.15)
h = espesor de la losa.
nL = luz libre mayor de la losa.
yf = resistencia a fluencia de la armadura [MPa].
β = relación de esbeltez de la losa = luz mayor/luz menor.

28. 28
Para este caso:
Ln = 900 cm β = 9/6 = 1.5 hmin= 20cm
Se adopta h = 25 cm simplemente para seguir con el ejemplo tomado en ref[1], pues
se podría adoptar 200mm de altura total.
Entonces resulta la carga por peso propio igual a:
0.25m x 2400 kgr/m3
= 600 Kgr/m2
2. Calcular la carga última para el diseño:
Aplicando el criterio del ACI-318, (note que en versión 2005 los factores de
amyoracíon de cargas son 1.2 para D y 1.6 para L: se sigue ejemplo de versión
anterior) donde
qu = 1.4 x qu (D) + 1.7 qu (L)
qu = 1.4 x 600 + 1.7 x 700 = 2030 krg/m2
donde
qu(D)= carga de peso propio (muerta).
qu(L)= sobrecarga de servicio (accidental).
3. Calcular los momentos sobre las fajas:
Según Fig. 7.22(b). Para ello hay que definir el coeficiente β , el cual es una
función de R. Si se toma esa relación igual a 2, (note que la solución estática daría
R= 1.78 según Fig. 7.20), resulta β = 0.336. La Fig.7.22(b) ilustra los diagramas de
momentos, y los valores numéricos son dados en la tabla correspondiente a esa
figura.
4. Armadura de losas.
Es conveniente verificar primero el momento resistente que corresponde a la
cuantía mínima, que se define para control de tensiones de retracción y temperatura.
Si se toma como cuantía mínima 0.18% (ACI-318-2005) resulta:
cmcm
As
25.100
0018.0 min
min ==ρ
Asmin= 4.5 cm2
/m
utilizando barras de φ 10mm cada 18cm, la armadura es
As = [(100/18) + 1] x 0.79 cm2
= 5.17cm2
/m
y se utilizará el criterio del ACI-318 para determinar la resistencia a flexión, al usar el
diagrama de compresión de tensiones equivalentes de Whitney:

29. 29
Mu= φ As fy [d – 0.59
c
ys
bf
fA
`
]
Donde:
d = h – r = 25 – 3 =22cm
r = recubrimiento de la armadura
y para φ = 0.9 como coeficiente de reducción de resistencia, se tiene
(Mu min)resist. = 4394 kgrm/m
y es claro, entonces, que las únicas fajas que requieren armadura por sobre la
mínima son las que están en la banda central 1-1.
Para el momento negativo se adopta φ = 12mm cada 9 cm
A´s = 13.56cm2
/m ρ = 0.0054 = 0.54%
Mu = 11057 Kgrm/m > 9793 kgrm/m
Verificar si esta armadura no supera la máxima permitida por requerimientos
de ductilidad. Para zonas sísmicas el ACI-318 estipula que
bρρ 50.0≤ (7.16)
donde la cuantía balanceada es:
ys
s
y
c
b
fE
E
f
f
+
=
.003.0
003.0
.
1.'.85.0
ρ (7.17)
y en este caso resulta:
%4.2024.0 ==bρ y %54.0%2.15.0 >=bρ
Para calcular hasta donde debe extenderse la armadura superior del
momento negativo, un criterio es prolongarla hasta el punto donde el momento se
hace nulo y adicionar un tramo igual a h o a 12φ . En la Fig.7.22(c) se determina la
longitud de las barras negativas dentro de la placa (para el apoyo también se debe
prolongar). Para h= 25 cm y 12φ = 14.4 cm la longitud requerida es 1.61m + 0.25 m
=1.81 m adoptándose l(-) = 2.0m.
Para el momento positivo máximo, dado que es la mitad del M(-)max , se
puede adoptar φ 12 mm cada18cm, con lo que As = 6.78cm2
/m, y
Mu = 5718 kgrm/m > 4896 kgrm/m
5. Detalle de armadura.

30. 30
La Fig.7.22(d) indica el detalle de armado. Téngase en cuanta la armadura
mínima requerida por especificación de códigos.
6. Verificación al corte.
El Código ACI-318-2005 estipula que si el corte demanda o requerido, vu,
obtenido a partir del análisis estructural, cumple vu < φvc, no se necesita armadura
de corte, donde la tensión de corte requerida o demanda es:
vu = Vu / b.d
siendo vc el corte aportado por el hormigón solamente y viene dado por:
2
/40.825053.0'53.0 cmkgrfv cc ===
(note que esta expresión es idéntica a utilizar la de ´
17.0 cc fv = en MPa)
y afectado por el factor φ= 0.75 (ACI-318-2005), resulta φvc = 6.30 Kgr/cm2
, que es el
corte máximo que puede soportar el hormigón sin armadura de corte.
vu = (1 - β ) qu . Ly = 7722 kgr/m
y entonces resulta:
vu = 3.50 kgr/cm2
< 6.30 kgr/cm2
Esto normalmente ocurre en las losas de hormigón armado donde el esfuerzo
que controla es el de flexión, y no es necesario en la mayoría de los casos utilizar el
acero para soportar esfuerzos de corte, es decir el término vs que corresponde al
mecanismo de reticulado, como se verá en el capítulo de corte, no es movilizado.
7.5.8 EJEMPLO DE APLICACIÓN No
2.
Un panel interior rectangular de una losa continua posee una luz de 4m x 6m,
según Fig.7.23. Soporta una carga uniforme de servicio de L=700 kgr/m2
y la carga
D es sólo el peso propio de la losa. Usar f´c y fy como Ejemplo No
1. Para este caso
β =0.50.
1. Espesor de la losa.
para α = 1.5 α s = 1.0 l= 600cm
hmin = 13cm se adopta h = 14 cm d = 11cm
2. Carga última de diseño.
qu = 1.7 x 700 + 1.4 x 2400 x 0.15 = 1700 kgr/m2

31. 31
Fig. 7.23. Ejemplo No
2

32. 32
3. Determinación de los momentos de diseño para las fajas típicas.
En este punto el diseñador debe tomar una decisión con respecto a la relación
entre momento negativo máximo y momento positivo máximo. Se adopta una
relación de 1.5. De esta manera, los momentos de diseño se pueden determinar
obteniendo los momentos estáticos para cada faja y asignando 60% de este al
momento negativo y 40% al positivo.
faja 1-1
Mestát. = qu LY
2
/8 = 7650 kgr
faja 2-2
Para este caso el momento estático se obtiene al reconocer el esquema de
Fig. 7.23, del que resulta:
Mest. = q (L1)2
/2 , y en este caso es
q = qu/2 y L1 = Ly/4
Mest. = qu Ly
2
/64 = 956 kgrm
(note que para la faja 1-1 es q =qu y L1 = Ly/2).
faja 3-3
q = qu L1 = Ly / 4
Mest. = qu Ly
2
/32 = 1912 kgrm
faja 4-4
Los momentos son la mitad de los de la faja 3-3.
Una vez obtenidos los momentos estáticos, se le asigna el 60% para el momento
negativo y el 40% para el positivo, según se ve en la tabla de la Fig. 7.23.
4. Armaduras.
Para la cuantía mínima, 0.18%, Asmin = 2.52 cm2
/m
y adoptando φ 8mm cada 20 cm As = 2.51 cm2
/m
Mu = 1390 kgrm/m
La faja 1-1 requiere más armadura que la mínima. Con φ 8mm cada 7cm,
As=7.64cm2
/m, y corresponden las siguientes resistencias:
Mn = 3450 Kgrm/m, resistencia nominal.
Md = 0.90 x 3450 = 3105 kgrm/m > Mu = 3090 kgrm/m
Para la armadura negativa se adopta φ 10mm cada 7cm, con lo cual As = 12 cm2
/m
Mn = 5100 Kgrm/m, resistencia nominal.
Md = 0.90 x 5100 = 4590 kgrm/m = Mu = 4590 kgrm/m

33. 33
5. Detalle de armado.
Se muestra en Fig.7.23.
6. Verificación al corte.
Vu = qu Ly/2 = 3400 kgr/m
vu = 3400 /100 x 11 = 3.09 kgr/cm2
< Vd = 6.30 kgr/cm2
7.5.9 BANDAS DE RESISTENCIA.
El método de las fajas simples de Hillerborg no puede resolver el caso de losa
con aberturas, entrantes de esquinas y entrepisos sin vigas soportados por
columnas, sin el uso de franjas de mayor resistencia que ayuden a distribuir las
cargas a los soportes.
Una banda o franja de resistencia es una faja de ancho razonable que
contiene una concentración de armadura y por lo tanto actúa como una viga dentro
de la losa. Esa faja de losa puede tener profundidad mayor que el resto del panel si
fuera necesario.
El uso de las bandas de resistencia se puede apreciar en los casos
presentados en las Figs. 7.24, 7.25, 7.26 y 7.27 Como ejemplo de aplicación se
puede consultar a Ref. [1], pág. 242.
Fig. 7.24. Losas con carga
uniforme y re entrantes.
Fig. 7.25
Losas triangulares con carga uniforme
soportadas en dos lados.

34. 34
Fig. 7.26(a ) Losa con carga uniforme y con una columna como soporte (b) Losa con carga
uniforme y un lado libre de apoyo.
Fig. 7.27
Losa con carga uniforme,
apoyos simples y con
aberturas.
7.6 MÉTODO DE LAS LÍNEAS DE ROTURA.
7.6.1 INTRODUCCIÓN – FUNDAMENTOS.
El método para el análisis límite de losas de hormigón armado conocido como
teoría de las líneas de fluencia fue iniciado por Ingerslev (1923) y luego extendido
por Johansen (1943). A diferencia del método de Hillerborg, el método de las líneas
de rotura responde a la teoría del límite superior, por lo que teóricamente es un
método que tiende a sobreestimar la capacidad resistente de la losa. Esta carga
última de la losa es evaluada al postular un mecanismo de colapso que es
compatible con las condiciones del borde.
El mecanismo de rotura queda “dibujado” al trazar sobre el panel las líneas de
articulación plástica o líneas de fluencia. La Fig. 7.28(a) muestra el resultado de un
ensayo sobre losa rectangular y la (b) indica un tipo de mecanismo de colapso para
un panel de losa cuadrada con apoyo simple. En esas líneas críticas se considera
que se han alcanzado los momentos de resistencia últimos de la sección. La carga
última es luego evaluada siguiendo el principio de los trabajos virtuales o las

35. 35
ecuaciones de equilibrio. Las regiones de la losa comprendidas entre las líneas
plásticas no son examinadas para asegurar que en ellas no se excede el límite de
resistencia, pero ello únicamente ocurriría si se utilizara un mecanismo de colapso
incorrecto. Por lo tanto, al utilizar este método, es necesario examinar “todos” los
mecanismos posibles por los que la losa puede fallar para asegurar que, mediante la
elección de la carga última menor entre todos los mecanismos, la capacidad de la
losa no fue sobre evaluada.
Fig. 7.28 (a) Distribución real fisuras para una losa rectangular simplemente apoyada
y sometida a carga uniforme, (b) Líneas de fluencia de una losa cuadrada apoyada y con
carga uniforme.
Los mecanismos de colapso correctos para los casos más comunes son
bastante conocidos (se han realizado numerosos ensayos al respecto) y por lo tanto
el diseñador no se ve confrontado con el problema de dilucidar si existen otros
posibles modos de falla como alternativas a los propuestos.
Debe quedar muy claro que la teoría de las líneas de fluencia supone un
modo de falla por flexión, esto es, que la losa tiene suficiente resistencia al corte
como para prevenir una falla por corte.
En definitiva el método del límite superior postula un mecanismo de colapso para
la losa a carga última tal que:
(i) los momentos de las articulaciones plásticas no son mayores que el
momento resistente último de la sección.
(ii) el mecanismo de colapso es compatible con las condiciones de contorno
de la losa.
7.6.2 ARMADURA DE LA LOSA.
La teoría de las líneas de fluencia es aplicable a losas que son armadas en
forma uniforme (note la diferencia sustancial respecto del método de Hillerborg).
Esto significa que el área seccional de acero por ancho unitario se asume como
constante a través de la losa, pero puede ser diferente para la armadura en cada
dirección y diferente para la armadura superior e inferior. Para tales losas el
momento resistente último por ancho unitario tendrá un valor constante a lo largo de
cualquier línea recta en el plano de la losa. Generalmente la armadura es colocada
en dos direcciones perpendiculares.

36. 36
En cuanto a distancia entre las barras de acero, el código ACI-318-2005, y el
CIRSOC-201-2005, establecen que en zonas críticas la armadura principal no debe
exceder 2 veces el espesor de la losa h. En cuanto a cuantía, la mínima está dada
por la expresión 0.756/fy[MPa]= 0.18% para el acero de fy= 420MPa=4200 kgr/cm2
, y
en este caso la separación máxima debe ser menor de 5 veces la altura de la losa y
no superar 450 mm. Para la cuantía máxima, se impone el límite que c/d≤0.0286, ver
luego. Esto es para tener seguridad de que es posible la redistribución de esfuerzos.
7.6.3 DUCTILIDAD DE LAS SECCIONES DE LA LOSA.
Tal como se mencionó en la sección 7.4.2, es necesario que las secciones
sean lo suficientemente dúctiles como para permitir que ocurra la rotación plástica
en las zonas críticas mientras que la articulación plástica se va extendiendo a las
otras zonas de la losa. Ello posibilitará la significativa redistribución de momentos
que es necesaria para que la losa pueda desarrollar el mecanismo de colapso
propuesto, es decir que se alcance la plastificación casi total de la losa. Sólo en ese
caso es posible evaluar la capacidad a partir de la contribución de todas las líneas
que han fluido.
Uno de los parámetros más influyentes en la capacidad de absorción y de
disipación de energía que tendrá la sección es la cuantía de armadura de tracción.
La Fig. 7.36 muestra una sección de losa de hormigón armado que será analizada
para dos tipos de acero, fy = 2400 kgr/cm2
y fy = 4200 kgr/cm2
(aceros tipo I y tipo III
en nuestro medio), tomando diferentes cuantías para ver su influencia en el valor de
la ductilidad de curvaturas.
La siguiente tabla resume los resultados de ese análisis:
Tabla 7.1 Momentos y Ductilidades para diferentes cuantías de acero y diferentes
calidades de acero.
fy = 240 Mpa = 2400 kgr/cm2
Momentos (tcm)
ρ % Mcrk My Mu µ φ ε s(%)
0.3 36 46 49 38 5.5
0.5 36 75 80 21 3.1
1 37 145 152 9 1.4
1.5 39 212 216 5 0.8
2 40 277 271 4 0.5
fy = 420 Mpa = 4200 kgr/cm2
Momentos (tcm)
ρ % Mcrk My Mu µ φ ε s(%)
0.2 36 57 59 18 4.4
0.3 36 85 88 11 2.8
0.5 36 137 140 6 1.5
1 38 266 254 3 0.6

37. 37
Estos valores fueron calculados mediante el programa de análisis de secciones
de hormigón armado sometido a flexocompresión MOCURDU (MOment –
CURvature – DUctility), Ref. [10], según los lineamientos propuestos por Park y
Paulay, Ref. [5].
La nueva norma ACI-318-2005, ref.[13] y el CIRSOC-2005, ref.[14], exigen
que para usar un coeficiente de reducción de capacidad igual a 0.90, es decir que
corresponda a flexión, la deformación del acero en la zona traccionada debe se
mayor del 0.50%. Sin embargo, el requerimiento de la norma ACI-318-1999, ref.[15]
que exigía para redistribución ρmáx<0.50 ρb, ha sido reemplazado en la versión 2005
por las imposición de que la deformación en el acero en la fibra más traccionada
debe superar el 0.75 %, es decir que la relación c/d<0.286.
7.6.4 COMPORTAMIENTO REAL DE LA LOSA.
Considérese una losa de hormigón armado que es cargada progresivamente
hasta alcanzar la falla, tal cual se ve en la Fig. 7.29. A cargas muy bajas, y antes de
la fisuración del hormigón, la distribución de momentos corresponde a la teoría
elástica. Después dela fisuración la configuración de momentos cambia debido a la
disminución de rigidez flexional en las secciones fisuradas.
Fig. 7.29. Progresión de las líneas de fluencia para una losa rectangular simplemente
apoyada con carga uniforme.
Cargando aún más la losa, se produce en algún instante, la fluencia del acero
en tracción en la sección de máximo momento de la losa. Ahora la placa debe
sobrellevar un gran aumento en la curvatura (ver Fig. 7.8) en las secciones que
fluyen, con el momento permaneciendo prácticamente constante e igual al valor del
momento nominal de resistencia.
Un aumento de cargas producirá una gran redistribución de momentos, y las
líneas de intensa fisuración a través de las cuales fluye el acero en tracción
(conocidas como líneas de fluencia) se propagan desde punto de comienzo de
fluencia, Fig. 7.29(a), hasta que esas líneas se forman en suficiente número y
extensión como para dividir la losa en segmentos o regiones que se comportarán
como cuerpos rígidos al momento del colapso, Fig. 7.29(c). Una vez alcanzado este
estado, la losa ya no es capaz de resistir mayor carga.

38. 38
7.6.5 FORMULACIÓN DE LOS MECANISMOS DE COLAPSO. REGLAS
PRÁCTICAS.
Una vez que el mecanismo de colapso se ha desarrollado, las deformaciones
plásticas a lo largo de las líneas de fluencia son mucho mayores que las
deformaciones elásticas de los segmentos o zonas de losas entre esas líneas, y por
lo tanto en teoría es razonable suponer que las zonas de losa entre líneas de rotura
son y se conservan planas. Esto significa, en otras palabras, que el modelo
matemático para representar la ley constitutiva es de sección rígidamente elástica-
perfectamente plástica, RE-PP, tal como lo muestra la Fig.7.30. En consecuencia,
las deformaciones elásticas son ignoradas. Sólo interesa llegar a formar la rótula
plástica, y de allí en más se considera que la sección tiene la ductilidad requerida.
Fig. 7.30
Relación M-φ idealizada como RE-PP
Las reglas prácticas básicas que pueden enunciarse como generales para la
formulación de un correcto mecanismo, y que pueden verificarse según la Fig. 7.31,
son las siguientes:
1. Las líneas de fluencia (ab, bc, etc) son rectas y siempre terminan en los
contornos de la losa o en otra línea de rotura.
2. La losa queda dividida en forma completa por las líneas de articulación
plástica en zonas rígidas (1, 2, 3 y 4) que permanecen como planos rígidos
(planos inclinados). Por lo tanto cada zona rígida debe tener un eje de
rotación.
3. Los ejes de rotación de las zonas rígidas generalmente yacen a lo largo de
las líneas de apoyo. Si es simplemente apoyado, la articulación de apoyo es
el eje. Si es empotrado, se formará una línea de articulación plástica que
servirá como eje de rotación. Si el apoyo se realiza sobre columnas, el eje de
rotación debe pasar por sobre el eje de las columnas.
4. Por compatibilidad de deformaciones, una línea de rotura debe pasar a través
de la intersección de los ejes de rotación de las dos zonas rígidas que esa
línea de fluencia divide (caso de la línea ab que divide 1 y 3 y se encuentra
con el punto de intersección de e1e1 y e3e3).
De esta manera, en forma simple se pueden formular los mecanismos de colapso
de losas que se muestran en la Fig. 7.32.

39. 39
Fig. 7.31Líneas de fluencia. Zonas rígidas. Ejes de rotación.
Fig. 7.32
Ejemplos de configuraciones
de líneas de fluencia para
losas con carga uniforme.

40. 40
7.6.6 MOMENTOS DE RESISTENCIA NOMINAL EN LAS LÍNEAS DE FLUENCIA.
Para una línea de fluencia que ocurre perpendicular a la dirección de las
armaduras, para el estado límite esquematizado en la Fig. 7.33, el momento
resistente nominal está dado por la expresión, ref. [5], por:






−=
c
ys
ysn
bf
fA
dfAM
`
59.0 (7.19)
(a) porción de losa (b)sección transversal (c) deformaciones (d) tensiones
Fig. 7.33 Hipótesis para evaluación de la resistencia nominal a flexión.
Para el diseño se debe usar, ACI-318-2005, un coeficiente de reducción de
capacidad φ = 0.9, en el caso que la deformación máxima de tracción, εs, supere el
valor de 0.5% (para redistribuciónεs ≥ 0.75%). Para el caso común de losa armada
en ambas direcciones x e y, los momentos por unidad de ancho Mnx y Mny serán, en
general, diferentes, porque las áreas de acero Asx y Asy, y las profundidades
efectivas, dx y dy, serán diferentes en ambas direcciones. Además, con frecuencia es
necesario determinar el momento resistente nominal por unidad de ancho a lo largo
de una línea de fluencia que está con un ángulo diferente a 90º con respecto a los
ejes x e y (caso de las líneas ab en la Fig. 7.31). Para este caso general, tal como se
demostrará a continuación, existirán, además de momentos flectores, momentos
torsores a lo largo de las líneas plásticas. Para obtener ese momento flector Mn y
torsor Mnt se puede aplicar el criterio de fluencia de Johansen. Este criterio supone
que:
1. la línea de fluencia real puede ser remplazada por una línea tipo escalón, es
decir discontinua, de pasos paralelos a x e y, tal como se ve en la Fig. 7.34.
2. los momentos torsores que actúan en esos escalones según x e y son nulos
(notar que en Fig. 7.34 no existen torsores en los escalones ac y bc ).
3. la resistencia de la sección no se ve influenciada por la posibilidad de que las
barras de acero se doblen en la fisura, tal cual se ve en la Fig. 7.34, o por
condición de flexión biaxial en la zona de compresión del hormigón.
4. el acero que cruza la línea de rotura en ambas direcciones está en fluencia.

41. 41
Los ensayos sobre losas han demostrado que este criterio es bastante
exacto.
De acuerdo a la Fig.7.34, los componentes Mnx y Mny que contribuyen al
momento de resistencia nominal de flexión Mn y al momento de resistencia nominal
a torsión Mnt, pueden encontrarse al considerar el equilibrio de un pequeño elemento
triangular tomado de la línea de fluencia. Tomando momentos respecto al lado ab, el
momento último de resistencia, por ancho unitario que actúa perpendicular a la línea
de fluencia es:
αα senbcMacMabM nynxn ..cos... +=
αα 22
.cos. senMMM nynxn += (7.20)
y tomando momento con respecto a un eje perpendicular al lado ab, el momento
torsor por ancho unitario a lo largo de la línea de articulación es:
αααααα cos....cos..cos..... senabMsenabMbcMsenacMabM nynxnynxunt −=−=
( ) αα cos..senMMM uyuxunt −= (7.21)
Si fuera Mnx = Mny, resulta:
Mn = Mnx = Mny
Mnt = 0 (7.22)
y para este caso la losa dice “isotrópica”, pues Asx = Asy y los momentos resistentes
últimos son iguales para “todas” las direcciones. En este caso, es evidente que no
hace falta calcular el momento que actúa perpendicular a la línea de rotura, ya que
sólo basta calcular uno de los momentos con respecto a la dirección de las
armaduras.
Fig. 7.34(a)
Criterio de fluencia para losas de
hormigón armado. Elemento de losa con
un campo de momentos aplicados y
líneas de fluencia.

42. 42
Fig. 7.34 (b)
Línea de fluencia con ángulo arbitrario
y armadura ortogonal, y equilibrio de
un elemento de losa pequeño en la
línea de fluencia
Cuando uyux MM ≠ , es
evidente que el momento último de
resistencia depende de la
inclinación de la línea de fluencia, y
que existe, además, momento
torsor. En este caso la losa se
llama “ortotrópica”.
7.6.7 DETERMINACIÓN DE LA CARGA ÚLTIMA.
El primer paso para la solución de una losa por el método de las líneas de
fluencia consiste en, de acuerdo a las reglas prácticas ya enunciadas, postular los
mecanismos de colapso. En general, los modelos o configuraciones de líneas
plásticas tendrán dimensiones incógnitas que permiten ubicar correctamente las
líneas de rotura y, además, podrá existir más de una familia de líneas de articulación
(varios mecanismos de colapso) para una losa en particular. El diseñador deberá
asegurar que todos los modos posibles de falla son explorados, pues el correcto es
el que da la menor carga última y, entonces, si un modelo de rotura no se postuló, la
carga última así calculada podría resultar sobrevaluada (método inseguro).
La carga última puede ser calculada de dos maneras diferentes:
(i) utilizando el principio de los trabajos
virtuales.
(ii) aplicando las ecuaciones de equilibrio.
Cada método tiene sus ventajas sobre el otro,
dependiendo del caso particular a analizar.
Fig. 7.35
Curvas tensión-deformación del acero.
(a) Modelo LE-PP que exige el código para flexión.
(b) Modelo LE-LP que tiene en cuenta de alguna manera
cierto endurecimiento de post fluencia.
(c) Modelo más real.

43. 43
7.6.8 RAZONES POR LAS QUE LA CARGA ÚLTIMA OBTENIDA POR LAS
LÍNEAS DE ROTURA EN LA PRÁCTICA NO RESULTA SOBRESTIMADA.
El método de las líneas de fluencia, como ya se mencionó, está basado en la
teoría del límite superior. Teóricamente entonces, se constituye en un método
inseguro. Sin embargo, hay dos razones, entre otras, que hacen que en la práctica
la carga última esté del lado de la seguridad:
1. La relación momento-curvatura adoptada para el diseño se idealiza a un
comportamiento rígidamente elástico-perfectamente plástico. Sin embargo, el
diagrama real es otro, en el cual la resistencia última de la sección de
hormigón armado es mayor si se tiene en cuenta el efecto del endurecimiento
del acero después de la fluencia. La Fig. 7.35 indica este aspecto.
2. No se consideran los efectos de acción de membrana de la placa, como así
también la contribución de los momentos torsores.
Fig. 7.36 Estados de deformación y tensión para (a) fluencia, (b) resistencia nominal.
La Fig. 7.36 muestra las suposiciones usuales para evaluar los momentos
para estado de fluencia y de rotura en flexión. Cuando el hormigón en compresión
alcanza el valor de 0.003 la deformación del acero puede ser muchas veces mayor,
por lo cual la tensión y contribución al momento de rotura puede ser bastante mayor
que la postulada por los códigos con su modelo sin endurecimiento.
7.6.9 ANÁLISIS POR EL PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES.
7.6.9.1 Fundamentos.
Supongamos que un cuerpo rígido se encuentra en equilibrio bajo la acción
de un sistema se fuerzas. Si a ese cuerpo se le da un desplazamiento virtual
(pequeño y compatible con las condiciones de vínculo), la suma del trabajo realizado
por las fuerzas será nulo, pues la resultante de las fuerzas es cero. Para analizar
una losa por el método del trabajo virtual, se debe postular un mecanismo de
colapso con las líneas de fluencia. Los segmentos o elementos de placa en que la
losa queda dividida, pueden ser considerados como cuerpos rígidos porque las
deformaciones de la losa cuando su flecha aumenta sólo se producen en las líneas
plásticas. Los segmentos de losa están en equilibrio bajo la acción de las cargas

44. 44
externas y los momentos flectores, torsores y el corte a lo largo de las líneas de
rotura. A un punto convenientemente elegido de la losa se le induce un
desplazamiento δ en la dirección de la carga. Los desplazamientos resultantes de
todos los puntos de la losa, δ (x,y), y la rotación de los segmentos de losa con
respecto a las líneas de articulación plástica se pueden obtener en función deδ y de
las dimensiones de los elementos de placa. Existirá trabajo realizado por las cargas
exteriores, We, en cada uno de los elementos de placa, y trabajo de los esfuerzos
internos a lo largo de las líneas de fluencia, Wi. Así, entonces:
We = Wi (7.23)
Las reacciones en los apoyos no contribuyen al trabajo pues no sufren
desplazamiento. Además, el trabajo realizado por los esfuerzos internos en las
líneas de rotura es sólo debida a los momentos flectores, porque las acciones a
cada lado de las rótulas plásticas son iguales y opuestas, tal cual se ve en la Fig.
7.37, y para cualquier desplazamiento de las placas rígidas no hay movimiento
relativo de los lados de las líneas de rotura en correspondencia con las fuerzas de
torsión o de corte. Sin embargo, sí existe una rotación relativa en la dirección de Mun,
tal como se ve en la Fig. 7.37(b). Por lo tanto, el trabajo no es sólo de flexión.
Fig. 7.37 (a) Acciones en una
línea de fluencia, (b) rotación
relativa de los cuerpos rígidos
en la dirección de Mn.
7.6.9.2 Evaluación del trabajo interno.
El trabajo interno se puede obtener por tres caminos diferentes:
(i) trabajo a lo largo de las líneas de fluencia.
(ii) trabajo realizado en cada región rígida.
(iii) método de las fuerzas nodales.
A continuación se verán los dos primeros métodos con sus correspondientes
ejemplos de aplicación:
7.6.9.2.1 Trabajo a lo largo de las líneas de fluencia.
Para el caso de trabajo a lo largo de las líneas de fluencia, se debe encontrar
el valor de Mn. La Fig. 7.38. muestra una línea de rótula plástica que divide dos
regiones cuyos ejes de rotación son e1e1 y e2e2. En esa figura se demuestra que:
Wi = mn (θ 1.L.cosφ 1 + θ 2.L.cosφ 2) (7.24)

45. 45
mn = momento nominal por ancho unitario y por unidad de longitud de línea de
rotura.
θ 1 = rotación de la región 1.
θ 2 = rotación de la región 2.
L.cosφ 1 = proyección de la línea de rotura al eje de rotación de la zona 1.
L.cosφ 2 = proyección de la línea de rotura al eje e2e2.
Fig. 7.38 Trabajo a lo largo de una línea de fluencia.
7.6.9.2.2 Ejemplo de aplicación No
1.
Tómese el caso de una losa cuadrada simplemente apoyada, bajo carga
uniforme qu, según Fig. 7.39. La losa está armada isotrópicamente, por lo que Mn =
Mx = My.
Considerando la línea AB, separe las regiones 1 y 2, y el trabajo interno a lo
largo de esa línea vale:
L/..21 δθ = , si 0.1=δ L/21 =θ
2/LXoYBsobreEjesproyLineaA =
[ ] nni mLLLLmABW 2)2/)(/2()2/)(/2()( =+=
nii mABWTW 8)(.4)( ==

46. 46
Fig. 7.39
Ejemplo de aplicación No
1
de líneas de fluencia.
Para el trabajo externo se toma cada sector de placa rígida por separado con
la carga que actúa sobre cada región (y no el total de la losa).
12/.3/1..2/..2/1)1( 2
LqqLLW uue ==
y por simetría
3/.)1(.4)( 2
LqWTW uee ==
La ecuación de trabajo dice que:
We = Wi 8mn 3/. 2
Lqu=
2
/.24 Lmq nu =
Note que el método de las líneas de rotura es un método de análisis y no de
diseño directo. Al evaluar la carga qu se puede evaluar el coeficiente de seguridad
que se tiene al comparar con la carga que la losa soportará en la realidad.
7.6.9.2.3 Disipación de energía en una zona rígida.
Dado que para la mayoría de las losas rectangulares el acero es colocado
paralelo a sus lados y en las direcciones x e y, y, dado que los momentos nominales
Mnx y Mny son conocidos, es conveniente separar los componentes del trabajo
interno según x e y. Además, se extenderá el concepto para expresar la energía de
disipación para una zona rígida limitada por las líneas de fluencia y su eje de
rotación.

47. 47
Fig. 7.40
Línea de fluencia
inclinada con respecto
a la dirección de las
armaduras.
Supóngase la
línea de rotura de la
Fig. 7.40, la cual
sobrelleva una
rotación nθ , y
sometida a un
momento Mn por unidad de longitud (y por ancho unitario). El trabajo interno a lo
largo de esa línea de fluencia es:
ααθααθθααθ senLsenMLMLsenMMLMLW onyonxonyxonnoi .cos.cos.)cos()( 22
+=+==
y finalmente:
oyuyoxuxi XMYMLoW ....)( θθ += (7.25)
Note que el primer término representa las proyecciones del momento, de la rotación
y de la línea de fluencia “sobre el eje de Mx”, es decir sobre el eje y. El segundo
término lo es para las proyecciones sobre el eje de My, es decir sobre el eje x.
Se aplicará este concepto para encontrar el trabajo interno en una zona rígida
como la que muestra la Fig. 7.41. Considerando a la línea de fluencia como ABC
que rodea esa región 1, y siendo θ la rotación de la región, entonces, por aplicación
de la ecuación (7.25), se tiene:
yxuxxuyyuxi LLMLMLMW )./.(.0... 1 δθ =+=
ya que el vector que representa la rotación de la región no tiene proyección sobre el
eje de Mny (eje de x).
Fig. 7.41
Región o zona rígida.
Acciones. Deformaciones.
Armaduras y momentos
nominales resistentes.
1.0
A
θ1

48. 48
Para calcular el trabajo interno no es recomendable mezclar los dos métodos aquí
implicados: o se utiliza la ecuación (7.24) o la expresión (7.25).
7.6.9.2.4 Ejemplo de aplicación No
2.
Tómese el caso de la losa rectangular simplemente apoyada,
ortotrópicamente armada, según Fig. 7.42. Carga uniforme qu.
a) para calcular el trabajo interno se utiliza el concepto de trabajo en zonas
rígidas. En este caso la armadura no es la misma para ambas direcciones,
sino que nynx MM ≠ por lo que es necesario hacer su diferenciación. Note que
la armadura que es paralela al eje x es la que produce el momento resistente
Mnx, y la proyección de la representación vectorial de ese momento es sobre
el eje y; por eso el eje y es el eje de Mnx y también de xθ . A la armadura
paralela al eje y le corresponde Mny que tiene proyección vectorial sobre el eje
x, al igual que yθ . Es conveniente trabajar con la siguiente tabla:
Fig. 4.42. Ejemplo No. 2 de Líneas de Fluencia.
componente de
rotación
componente de trabajozona
xθ yθ Mnx. xθ .Yo Mny. yθ .Xo
AED 1/ Lδ 0 ynx LLM )./.( 1δ 0
ABEF 0 yL/.2 δ 0 xyny LLM )./2.( δ
BCF 1/ Lδ o ynx LLM )./.( 1δ 0
DEFC 0 yL/.2 δ 0 xyny LLM )./2.( δ
Mny
Mnx

49. 49
Es conveniente suponer que el desplazamiento virtual 0.1=δ , por lo que el
trabajo interno total es:
yxnyynxi LLMLLMW /..4/.2 1 +=
b. trabajo externo.
Se evalúa para cada zona rígida por separado:
11 ...6/13/1).2/.(.)4()1( LLqLLqWW yuyuee ===
Dividiendo el trapecio en 2 triángulos y 1 rectángulo central:






−+==
2
1
.
2
).2(
3
1
.
2
1
.
2
..2.)3()2( 11
y
x
y
uee
L
LL
L
LqWW
)2/..()4/..()6/..( 11 LLqLLqLLq yuyxuyu −+=
y el trabajo externo total es:
)2.3(
6
.
1LL
Lq
W x
yu
e −=
c. ecuación de trabajo:
We = Wi
y finalmente:








−








+
=
yy
x
y
y
x
ny
y
nx
u
L
L
L
L
L
L
L
M
L
L
M
q
12
1
23
212
(7.26)
Todas las cantidades de la ecuación (7.26) son conocidas, excepto L1 que es
un parámetro de la configuración de las líneas de fluencia que hay que determinar.
Como este método está basado en la teoría del límite superior, se debe buscar el
valor de L1 para el cual el valor de la carga qu resulta mínima. Para ello se aplica el
principio de la carga mínima que expresa:
0
1
=
dL
dqu
para obtener el mínimo. (7.27)
Para resolver la derivada de la carga es conveniente colocar:
2
1
`.`.
v
vuvu
v
u
d
dL
dqu −
=





= (7.28)

50. 50
y para este caso es:
( )2
1/1.12` LLMu yux −=
yLv 2' −=
finalmente, reemplazando en la ecuación (7.28) y ordenando los términos se llega a:
0
4
31
2
1
=−








+








ny
nx
yx
y
ny
nx
y M
M
L
L
L
L
M
M
L
L
de donde:










−








+








=
ny
nx
x
y
ny
nx
ny
nx
x
y
y M
M
L
L
M
M
M
M
L
L
L
L
2/12
1
3.
2
1
remplazando la ecuación (7.26):
2
2/12/12
2
3
.24
















−














+
=
ny
nx
x
y
x
y
ny
nx
y
ny
u
M
M
L
L
L
L
M
M
L
M
q
Note que si la losa es isotrópica la solución se simplifica al colocar Mnx = Mny.
7.6.9.2.5 Ejemplo de aplicación No
3.
Tómese la losa cuadrada, con dos lados simplemente apoyados, un lado
empotrado y el otro libre. Carga uniforme. Armadura isotrópica. Ver Fig. 7.43.
Fig. 7.43 Ejemplo No
3 de análisis por líneas de fluencia.

51. 51
En este caso Mnx = Mny = Mn para momento positivo.
Mny = M’n para momento negativo.
a. trabajo interno:
Nuevamente conviene trabajar con el concepto de trabajo en zona rígida, y se
puede hacer la siguiente tabla resumen:
componente de rotación componente de trabajoRegión
xθ yθ positivo negativo
ADEF 1θ 0 Mn. 1θ .L 0
BCEF 1θ 0 Mn. 1θ .L 0
AFB 0 3θ Mn. 3θ .L M´n. 3θ .L
y haciendo la sumatoria, y colocando ( )31 θθ f= , queda:












++=
n
n
ni
M
M
L
L
LMW
`
1
.2
2
1
1θ (7.29)
b. trabajo externo:
( )
3262
1
242
2 1
3
1
1111
LL
Lq
L
L
LL
LL
L
q uu θθθ +



+−
por lo que:






−=
L
L
LWe
113
.
3
1
1
4
θ
(7.30)
c. ecuación de trabajo:
igualando (7.29) y (7.30)






−












++
=
L
L
L
M
M
L
L
M
q
n
n
n
u
12
1
3
1
1
`
1
2
24
(7.31)
y, nuevamente falta determinar el valor de L1 para el cual qu se hace mínima. Para
ello se puede plantear, como el caso anterior:
0
1
=
dL
dqu

52. 52
La expresión que se obtendría de aquí sería un poco complicada de manejar
matemáticamente, por lo que una solución expeditiva para resolver el problema es
hacerlo numéricamente. Para ello se coloca la siguiente igualdad:






−












++
=
L
L
M
M
L
L
M
Lq n
n
n
u
1
1
2
3
1
1
`
1
2
24
haciendo 1LL =α , y adoptando una relación para M´n y Mn, por ejemplo que M´n= Mn,
resulta:
3/1
2
1
2.4
. 2
α
α
−






+
=
n
u
M
Lq
Se quiere obtener el valor de α para el cual el primer miembro es mínimo.
Entonces resulta:
α 0.1 0.2 0.7 0.8 0.9 1.0
qu.L2
/Mn 49.65 30.0 17.9 17.7 17.8 18.0
y se ve que para α = 0.8 ocurre el mínimo buscado. Ese valor se remplaza en la
ecuación (7.31) y así se obtendrá el valor mínimo de qu para este estado de cargas.
7.7.1 REDISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS
Las condiciones que se imponen son:
(i) Los momentos no se deben haber obtenidos de métodos aproximados.
(ii) Sólo es posible cuando εt ≥ 0.0075 = 0.75 % en la sección donde se vaya
a disminuir el momento.
(iii) Se deben recalcular los momentos en tramo para mantener el equilibrio
después de la redistribución.
(iv) MR = χ ME donde χ= 1000 εt ≤ 0.20 = 20 %
En sus comentarios, la norma aclara que los estudios demuestran que la
fisuración y las flechas en losas y vigas diseñadas con momentos redistribuidos bajo
cargas de servicio no son significativamente mayores que los que se obtendrían si
los elementos fueran diseñados con los resultados directos de la teoría elástica.
7.7.2 REQUERIMIENTOS DE RIGIDEZ.
Tanto para vigas y losas en una dirección por un lado como para losas cruzadas
por otro, la norma acepta dos formas de satisfacer los requisitos de rigidez:

53. 53
(i) adoptando alturas mínimas, es decir limitando la esbeltez de la pieza, vía
tablas o fórmulas empíricas, o bien
(ii) evaluando numéricamente las flechas y verificar que no excedan los
límites permisibles que se dan en tablas.
Como módulo de elasticidad del hormigón se puede tomar la expresión:
MPafE cc 215004700 ´
==
en este caso (note que la versión anterior CIRSOC 201-1982, para este hormigón, le
asignaría 30000 MPa, es decir casi un 40 % mayor), cuya interpretación gráfica se
ve en Fig. 7.44.
Fig. 7.44. Interpretación Gráfica del
Módulo de Elasticidad del Hormigón.
Como ya se expresó entes,
salvo un estudio más detallado, la
nueva norma exige que se calcule el
módulo de rigidez a flexión, (EI),
tomando como valor de y para el
Momento de Inercia un valor
designado como Inercia Efectiva, y
que se evalúa mediante esta
expresión:
gcr
a
cr
g
a
cr
e II
M
M
I
M
M
I ≤














−+





=
33
1
donde:
Ma= momento actuante máximo para carga de servicio en el momento que se evalúa
la flecha. En la sección 9.5.2.4 la norma establece que en elementos continuos se
puede adoptar Ie promedio para sección a M+
y M-
(secciones críticas).
Mcr= momento para el estado límite de fisuración, que se puede evaluar mediante:
t
gr
cr
y
If
M =
fr = módulo de ruptura o resistencia del hormigón a flexión por tracción, y se calcula
como se vio en la sección II.3.1.7 del capítulo II.
Ig = momento de inercia de la sección bruta de hormigón 12/3
hbw
yt = distancia del baricentro de la sección de hormigón (sin armadura) a la fibra
extrema traccionada.

54. 54
La Fig. 7.45 muestra parte de la notación involucrada. La Fig. 4.46 muestra la
interpretación gráfica del los momentos de inercia sin fisurar, fisurado y efectivo en el
diagrama M-deformación. La Fig. 4.47 indica el concepto de sección transformada.
Fig. 7.45.
Nomenclatura en la sección transversal
a Flexión.
Fig. 7.46.
Interpretación de los momentos de inercia para
sección fisurada.
Fig. 7.47.
Sección de Hormigón
Armado Fisurada
Transformada.
7.7.3 CALCULO DE LAS DEFORMACIONES
7.7.3.1 Introducción
La predicción de las deformaciones en elementos de hormigón armado es
dificultosa. Secciones con armadura no simétrica conducen a deformaciones por
contracción del hormigón que se deben sumar a las deformaciones debidas a cargas
verticales. Además la fluencia lenta del hormigón lleva a un aumento de las
deformaciones para cargas permanentes de servicio. Las deformaciones debidas a
contracción y fluencia a su vez son funciones de la temperatura, humedad,

55. 55
condiciones de curado, edad del hormigón, etc. La disminución de la rigidez de
flexión debido a la fisuración del hormigón tiene también un efecto importante. Con
el método que se explicita a continuación, se estima que el cálculo de deformaciones
puede tener un error del ± 20%, lo cual es suficientemente aceptable para la mayoría
de los casos prácticos.
El control de deformaciones ante cargas gravitatorias para elementos de
hormigón armado está asociado con las cargas de servicio. Cuando deban
considerarse también deformaciones que aparecen por el transcurso del tiempo,
solamente la carga permanente y aquella porción de carga accidental que actúa en
forma permanente deben afectarse a deformaciones diferidas. El tipo de ocupación o
uso determinará qué porción de la carga accidental debe considerarse. Por ejemplo,
en el caso de edificios de departamentos tal vez sólo el 20% o 25 % de la carga
accidental deba tomarse como carga sostenida. En un edificio destinado a depósito,
tal vez el 80% o 100 % de carga accidental deba considerarse como participante en
contribuir a deformaciones diferidas.
7.7.3.2 Deformación diferida
La deformación de elementos de hormigón armado se incrementa con el
tiempo. Las deformaciones adicionales a la instantánea son causadas por la
contracción y flexión del hormigón. La deformación diferida debe tenerse en cuenta
pues en ciertas circunstancias puede alcanzar valores de 2 a 3 veces el que
corresponde a deformación instantánea.
La contracción del hormigón en secciones no armadas simétricamente causa
una distribución no uniforme de deformaciones en la sección la cual resulta en una
curvatura de contracción. La curvatura es mayor en elementos de hormigón con
armadura simple, debido a que la contracción del hormigón no es impedida en la
zona de compresión. En miembros a flexión la armadura mayor está en la zona de
tracción. Por lo tanto la curvatura de contracción tendrá el mismo signo que las
curvaturas provocadas por cargas transversales (gravitatorias, por ejemplo).
Además, esas tensiones de tracción inducidas por contracción más las inducidas por
cargas incrementa la fisuración del hormigón en tracción. La deformación lenta del
hormigón resulta además en un acortamiento de la parte comprimida, por lo tanto
causa una curvatura adicional.
Es evidente que las deformaciones adicionales debidas a contracción y
fluencia se pueden reducir en forma substancial con la presencia de armadura de
compresión. En el caso de igual armadura superior e inferior, la curvatura por
contracción sería nula. La armadura de compresión también reduce la deformación
de fluencia debido a que mientras las deformaciones de compresión aumentan con
el tiempo, parte de las tensiones de compresión inducidas son gradualmente
transferidas al acero. Además del contenido y distribución de acero, las
deformaciones del hormigón con el tiempo dependen de condiciones de humedad,
temperaturas, curado, edad del hormigón, relación tensión a resistencia, y otros
factores más.

56. 56
La norma NZS:3101 da esta expresión :
kcp = [2 - 1.2(A´s/As)] ≥ 0.6 (7.43)
como factor por el cual hay que multiplicar la deformación instantánea para obtener
la deformación “adicional”, es decir :
δt = δi + kcp . δi (7.44)
donde :
δt = deformación total
δi = deformación instantánea
kcp = coeficiente de deformación adicional
El ACI-318-2005 da una expresión con más penalidad sobre las
deformaciones diferidas, ya que propone:
´
501 ρ
ξ
λ
+
=
ξ= factor que depende del tiempo al cual se considera la deformación, e igual a 2
para 5 años o más.
ρ´= cuantía de armadura de compresión. Esta debe tomarse en la mitad de la luz
para tramos simples y continuos, y en el punto de apoyo para voladizos.
Note que para A´s= 0, ρ´=0, y ambas expresiones coinciden en que Kcp= 2.
7.7.3.3 Vigas y losas en una dirección.
La Fig.7.48 muestra las relaciones que se deben cumplir de (h/l) altura total de
losa vs. luz de cálculo de las losas en una dirección, para el caso en que dichos
elementos NO soporten elementos susceptibles de dañarse por grandes
deformaciones. En el Apéndice, pág. 25, está la tabla 9.5.(a) que da el CIRSOC.
En realidad la expresión a cumplir es que:
( )700/40.0 yb fhh +=
Fig. 7.48. Relación de esbelteces para distintas condiciones de apoyo en losas macizas (no
nervuradas) apoyadas en una dirección si no soportan elementos frágiles. Ver tabla 9.5(a)
en Apéndice A, pág. 30.

57. 57
para hormigón densidad normal, y donde h es la altura total de la losa, hb la altura
básica y fy la tensión de fluencia del acero. Se ve que para el acero ADN-420 el
factor de corrección es 1.0.
Si se deseara adoptar una altura menor o bien el elemento soportara en forma
directa elementos susceptibles de dañarse por grandes flechas, entonces se debe
evaluar la flecha:
(i) método elástico pero en condición de sección fisurada, con Ie.
(ii) para flecha diferida, considerar la parte de carga accidental que se puede
considerar como permanente.
(iii) el p-C101-2002 dice en la sección 4.5 que para la sobrecarga se debe
considerar la distribución que para el efecto que se estudia provoque la
situación más desfavorable.
(iv) agregar cualquier efecto de carga concentrada si correspondiera.
Note que si el elemento debe soportar elementos susceptibles de dañarse, la
condición es que f ≤ l/480, pero si no hay tales elementos, debe ser f ≤ l/240. Ver
tabla 9.5(b) en Apéndice A, pág. 84. En este caso l es la luz de cálculo.
En el apéndice C se puede ver la aplicación de verificación de condiciones de
rigidez a las losas del edificio de siete pisos que ha sido tomado como ejemplo.
7.7.7.4 Losas en dos direcciones.
El p-C-201, sección 9.5.3 establece que para el caso de losas que se puedan
definir como rectangulares y en las que la relación de luz mayor a menor, medida a
ejes de apoyos, sea igual o menor que 2.0, se deben distinguir los casos que se
muestran en la Fig. 10. A los efectos de satisfacer los requerimientos de rigidez, tal
cual se expresó, se deben:
(i) Adoptar tablas o fórmulas , o bien
(ii) Evaluar flechas y verificar contra valores admisibles.
7.7.7.4.1 Losas sin vigas interiores.
Para el caso de losas SIN vigas interiores, distingue entre los casos de las Figs.
7.1(b) y (c), y los espesores mínimos para el caso de acero ADN-420 se resumen en
la Fig. 7.49.
De todas maneras, para losas sin ábacos la altura mínima debe ser 120 mm,
mientras que si tiene ábacos, se puede reducir a 100 mm.
La Fig. 7.50(a) y (b) muestran las condiciones a cumplir por los ábacos y
capiteles en el caso de losas sin vigas. El ábaco, sección 13.3.7.1, se debe
prolongar en cada dirección a partir del eje de apoyo, una distancia mayor de (l/6),
l=luz, medida de centros de apoyos en esa dirección. El espesor del ábaco por
debajo de la losa debe ser cómo mínimo ¼ del espesor total de la losa.

58. 58
Fig. 7.49. Espesores para el caso de Losas sin Vigas.
Fig. 7.50(a). Definición de Ábaco y Capitel
para el caso de losas sin vigas.
Fig. 7.50.(b) Detalle de los requisitos de los ábacos.

59. 59
Sin embargo, el CIRSOC 201-2005 en la sección 9.5.3.4 y el NZS en la
sección 3.3.2.2 establecen que estos espesores mínimos de tablas se pueden
reducir si se calculan las flechas según indica el reglamento y se comparan con los
requerimientos dados en la tabla 9.5(b), pág 84.
7.7.7.4.2 Losas en dos direcciones con vigas interiores
Para el caso de losas con vigas en todos sus lados, el espesor mínimo debe
ser obtenido según se cumpla alguno de los siguientes tres casos:
a) Para αm ≤ 0.2 se trata como caso de losa sin vigas.
b) Para 0.2 < αm ≤ 2.0 se aplica esta expresión:
( )2.0536
1400
8.0
−+






+
≥
m
y
n
f
l
h
αβ
pero nunca debe ser menor de 120 mm
c) αm > 2.0
β936
1400
8.0
+






+
≥
y
n
f
l
h
pero nunca menor de 90 mm, y donde:
β = relación de luz libre mayor a luz libre menor.
αm = promedio de los coeficientes α evaluados para cada viga, con la expresión:
scs
bcb
IE
IE
.
.
=α
donde b es por “beam”, viga y s por “slab”, es decir losa. Para evaluar el momento
de Inercia de la viga, Ib, con respecto a su eje baricéntrico, se adopta la sección que
se ilustra en la Fig. 7.51. En la Fig. 7.52 se incluye de nuevo la sección de viga a
tomar, y se indica el ancho de losa a considerar para calcular Is. No se debe
confundir estas secciones con anchos efectivos de tracción o compresión para
evaluar la resistencia de las vigas L y T. Is es el momento de inercia de la franja de
losa limitada lateralmente por los ejes de los paneles de losa adyacente (si los
hubiera) a cada lado de la viga.

60. 60
Fig. 7.51. Sección Efectiva de Viga para Evaluar Ib.
Fig. 7.52. Secciones de Viga y
Losa para evaluar Ib e Is.
En la Fig. 7.53 se
muestra un gráfico que
permite calcular
rápidamente los momentos
de inercia de secciones L y
T.
Fig. 7.53
Coeficientes f para el cálculo de los
Momentos de inercia de secciones
L y T en condición no fisuradas.
En el Apéndice A, se da también una tabla de
ref.[14] que permite calcular los momentos de
inercia brutos y fisurados.

61. 61
7.7.5 PROCEDIMIENTOS DE DISEÑO PARA LOSAS EN DOS DIRECCIONES.
7.7.5.1 Introducción
En la sección 13.5.1 del ACI-318-05 se establece que las losas se pueden
diseñar por cualquier procedimiento que satisfaga las condiciones de equilibrio y
compatibilidad, cumpliendo con las condiciones de Resistencia para cargas
mayoradas y de Rigidez para cargas de servicio.
El CIRSOC 201-2005 en sus comentarios C.13.5.1 establece entonces, y más
claro aún lo hace el NZS:3101:1995 en la sección 14.3.2, que se pueden utilizar:
(i) Métodos basados en la Teoría Elástica: ya sea soluciones del continuo o
métodos de elementos finitos, por ejemplo usando programas como
SAP2000 o SAFE.
(ii) Métodos basados en la Teoría Plástica, como el método de las Líneas de
Fluencia de Johansen o el método de la Franjas o Tiras (strip method) de
Hillerborg. En ambos casos se exige que la cuantía máxima no supere el
valor de 0.40 ρb, por condiciones de redistribución.
(iii) Método de los Coeficientes de Momentos.
(iv) Método de Diseño Directo.
(v) Método del Pórtico Equivalente.
Los métodos basados en la teoría Plástica se desarrollaron con cierto nivel de
detalle en las secciones precedentes.
Los métodos de diseño directo y del Pórtico equivalente se pueden consultar
directamente en la norma. Para aplicar el método Directo se deben cumplir una serie
de requerimientos y los pasos a seguir son: (i) Determinar el momento isostático
mayorado para cada dirección, (wu l2
/8); (ii) Distribuir el momento isostático en cada
dirección en Momentos Positivos y Negativos según condiciones de contorno y (iii)
Distribuir los Momentos Positivos y Negativos entre franjas de columnas y franjas
intermedias, que claramente define la norma.
Uno de los métodos más utilizados consiste en aplicar tablas para el diseño, y
en particular las aceptadas por los códigos de Nueva Zelanda y el CP-110 de
Inglaterra.
Estas normas especifican que los momentos en las losas se pueden calcular
sea por métodos elásticos o plásticos, o simplificados con el uso de tablas como el
que se da a continuación.
7.7.5.2 Requisitos de armaduras.
• Sección 13.3.1 establece que la As ≥ Areq. según los momentos obtenidos en
las secciones críticas, pero nunca menor que la Amin., que se dispone según
indica la Fig. 7.54.
• Sección 7.12, la Amin. por efectos de contracción, fluencia lenta y temperatura,
debe ser tal que:

62. 62
ρ ≥ 0.0018 x 420 / fy
ρ ≥ 0.0014
• Separación máxima tal que:
s ≤ 3 h
s ≤ 300 mm
Fig. 7.54. Cantidad y Ubicación de la cuantía mínima en Losas.
7.8 FLEXIBILIDAD DE LOS DIAFRAGMAS.
7.8.1GENERALIDADES.
Para la mayoría de los edificios, las deformaciones de piso asociadas con
acciones de diafragma son insignificantes. Sin embargo, cuando tabiques
estructurales resisten la mayor parte de las fuerzas de inercia inducidas por el sismo
en edificios largos y angostos, tal vez sea necesario considerar los efectos de las
deformaciones en el plano de las losas sobre la distribución de las demandas sobre
los pórticos y los tabiques, como así también revisar la condición de placa
infinitamente rígida en su plano.
Fig. 7.55. Posibles disposiciones de elementos verticales sismorresistentes

63. 63
La Fig. 7.55(a) muestra plantas de un edificio con tres posiciones diferentes para
un par de tabiques estructurales idénticos. Se supone que la contribución de los dos
tabiques a la fuerza horizontal de resistencia total es la misma para cada uno de los
tres casos. En líneas discontinuas se muestran en forma aproximada las
deformaciones asociadas para cada caso. Se aprecia que las deformaciones del
diagrama en el caso de Fig. 7.55(a) serían mucho menores que en los otros dos
casos. A los efectos de decidir si tales deformaciones son significativas, se deberían
considerar los siguientes aspectos:
1. Si se considera la respuesta elástica, la asignación de fuerzas laterales a algunos
pórticos, casos de Fig. 7.55(b) y (c), serán claramente subestimados si se
considera a los diafragmas como infinitamente rígidos. Las deformaciones de
piso en su plano bajo fuerzas horizontales distribuidas actuando sobre ese nivel
en estudio, las cuales están basadas en aproximaciones simples, deberán ser
comparadas con los desplazamientos relativos de pisos obtenidos a partir de
análisis elásticos convencionales. Tal comparación indicará entonces la
importancia relativa de la flexibilidad del diafragma. De acuerdo al comité de
sismología del SEAOC [1988-Requerimientos de Fuerzas Laterales
Recomendadas], un diafragma debería ser considerado flexible cuando la
deformación horizontal máxima de la placa supera en más de dos veces el valor
promedio del desplazamiento relativo del piso en estudio. En la Norma
Antisísmica para la Provincia de Mendoza, CCSR-Mza-87, se da un criterio
similar en concepto, aunque distinto en valores.
2. En estructuras dúctiles sometidas a fuertes terremotos se espera que se
induzcan desplazamientos laterales inelásticos significativos. Mientras más
grande sean las deformaciones plásticas, menos importantes son los
desplazamientos elásticos diferenciales entre los pórticos y los tabiques que
resultarían de las deformaciones del diafragma.
La Fig. 7.56 muestra las diferentes maneras de deformarse de los sistemas en
forma individual.
Fig. 7.56.
Configuraciones de
deformaciones de
pórticos y tabiques a
acciones horizontales.

64. 64
Tal cual muestra la Fig.7.57, la contribución de los tabiques a la resistencia
lateral en sistemas combinados disminuye con la distancia medida desde la base.
En consecuencia, de acuerdo a los resultados de los análisis elásticos estáticos, en
los niveles superiores de las fuerzas horizontales están más uniformemente
distribuidas entre tabiques y pórticos. Esto sugeriría una gran reducción de las
acciones de corte y flexión en el plano de los diafragmas. Sin embargo, análisis
dinámicos han demostrado que contrariamente a la predicción de análisis elástico,
se pueden desarrollar fuerzas significativas de corte en los tabiques, las cuales son
una buena medida de la acción de diafragma.
Estas observaciones enfatizan la necesidad de prestar atención al rol vital que le
caben a los sistemas de pisos, actuando como diafragmas. En particular, es
importante que se suministre una armadura horizontal continua y adecuada en los
bordes de los diafragmas de hormigón a efectos de asegurar que, tal cual la Fig.
7.65 indica, ellos puedan actuar como vigas con una amplia resistencia a flexión.
Fig. 7.57. Configuración de momentos y esfuerzos de corte en pórticos y tabiques en
edificios en altura por modelado teniendo en cuenta la compatibilidad de desplazamientos.
Es importante destacar lo expresado en la ref.[ 28] donde aclara que en general,
los diafragmas cumplen la condición de ser rígidos en su plano, a menos que tengan
formas muy irregulares o con aberturas importantes para patios o circulaciones. El
buen comportamiento de los diafragmas es vital una eficiente interacción entre todos
los elementos sismo resistentes. Si en el caso de estructuras prefabricadas no se
tiene muy en cuenta la transmisión de esfuerzos o se utiliza una capa de compresión
(como se la llama aunque muchas zonas estarán traccionadas) muy delgada que se
llena in situ y refuerza con armadura nominal mínima, puede ocurrir que su
comportamiento no sea esperado. Habrá que verificar los esfuerzos de corte en las
zonas de transferencia a los elementos verticales como los tabiques.

65. 65
FUERZAS DE INERCIA DE LOS PISOS.
Es necesario determinar la fuerza total del piso asociada a la máxima aceleración
de la masa del nivel en estudio. En el caso de análisis dinámicos elásticos esta es
una operación de rutina. Sin embargo, para el caso de sistemas inelásticos, esto es
donde se espera desarrollo de ductilidad, se debe hacer alguna estimación de las
máximas fuerzas horizontales que se corresponden con el desarrollo de sobre
resistencia en las zonas que se plastifiquen en pórticos y tabiques. Para ello es
necesario aplicar los conceptos de diseño por capacidad.
DETERMINACIÓN DE LAS ACCIONES DE DIAFRAGMA.
Una vez que se han estimado las fuerzas generadas en el diafragma para un
determinado nivel, se deberían determinar los esfuerzos internos como cortes y
momentos flectores. Estos van a depender de la rigidez y localización de los
componentes o elementos verticales de que se dispongan. Estas acciones
raramente son críticas cuando solamente son pórticos los que controlan la respuesta
del sistema. Sin embargo, como se dijo anteriormente, en sistemas duales donde los
pórticos y los tabiques que contribuyen a la resistencia tengan marcadas diferencias
en las características de desplazamientos de los pisos, las acciones de diafragma
que resultan de masas idénticas a las que corresponden a sistemas de pórticos
solamente, pueden resultar significativamente mayores.
Fig. 7.58 Acciones de Diafragma en un sistema pórtico-tabique de un ejemplo de 12 pisos.
La Fig.7.58 (a) muestra la disposición en planta de los elementos estructurales
presentados ya en la Fig. 7.55(a), utilizado por Paulay y Priestley, ref.[20 ], para
indicar las acciones, en particular los momentos flectores a los cuales el diafragma
es sometido en varios niveles. La Fig. 7.59(a) indica las fuerzas de diseño utilizadas
en cada nivel. El análisis elástico predice una distribución de las fuerzas entre
tabiques y pórticos como indica 7.59(b). De este diagrama se pueden obtener las
fuerzas de diseño por nivel y por separado para los tabiques, 7.59(c), y pórticos,
7.59(d). Se puede apreciar que en la zona central de altura del edificio los tabiques y
los pórticos se combinan en fase para resistir las fuerzas de inercia. Sin embargo, en