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- 1. 第17回コンピュータビジョン勉強会@関東 第６章 大規模確率場と確率的画像処理の深化と展開 第5節：情報統計力学と統計的性能評価 @ukyoda
- 2. 担当範囲 • ６章大規模確率場と確率的画像処理の深化と展開 １．はじめに ２．画像生成モデルと大規模確率場 ３．ノイズ生成モデルとベイズ推定 ４．確率伝搬法 ４．１期構造のグラフに対する確率伝搬法 ４．２閉路を含むグラフに対する確率伝搬法 ４．３確率伝搬法による画像処理アルゴリズム ５．情報統計力学と統計的性能評価 ５．１連続確率場の場合 ５．２リさん確率場の場合 ６．統計的機械学習理論を用いた確率的画像処理 ７．おわりに
- 3. 担当範囲 • ６章大規模確率場と確率的画像処理の深化と展開 １．はじめに ２．画像生成モデルと大規模確率場 ３．ノイズ生成モデルとベイズ推定 ４．確率伝搬法 ４．１期構造のグラフに対する確率伝搬法 ４．２閉路を含むグラフに対する確率伝搬法 ４．３確率伝搬法による画像処理アルゴリズム ５．情報統計力学と統計的性能評価 ５．１連続確率場の場合 ここ ５．２リさん確率場の場合 ６．統計的機械学習理論を用いた確率的画像処理 ７．おわりに
- 4. もくじ • 自己紹介 • ベイズ推定による画像処理システム • ベイズ推定による画像処理システムの性能評価 • 標本平均による性能評価 • 解析的に性能を評価 – 連続確率場の場合 – 離散確率場の場合 • 推定した画像の評価結果
- 5. まずは自己紹介
- 6. 自己紹介 名前： 片山 智洋＜Twitter： @ukyoda＞ 出身：山口県（去年までは福岡にいました。） 職業：システムエンジニア 研究者様向けのシステム開発 →研究者様からのご依頼を受けて， 実験システムやサービスを開発しています．
- 7. それでは本題
- 8. ベイズ推定による画像処理システム ノイズが含まれた画像から元の画像を推定するシステム ＋白色雑音 通信経路 原画像 ノイズ画像 ベイズ推定 推定結果 ノイズ画像 http://www.ika-musume.com/
- 9. ベイズ推定による画像処理システム ノイズが含まれた画像から元の画像を推定するシステム ＋白色雑音 通信経路 推定が本当に正しくできているか評価が必要 原画像 ノイズ画像 ベイズ推定 推定結果 ノイズ画像 http://www.ika-musume.com/
- 10. ベイズ推定による画像処理システムの性能評価 推定結果の誤差が小さい ほど推定結果がよい 原画像 推定結果 より多くのサンプルで実施しても 変わらず推定結果が良ければ 高性能であるといえる
- 11. 標本平均による推定 • まずはじめに考えられる方法 • １つの画像から沢山のサンプルを生成してそれぞれ推 定を行い、MSE（平均自乗誤差）の標本平均を算出 • 標本平均が小さいほど性能が高い １ MSEの 平均を計算 ベイズ推定で画像を生成 加法的白色ガウスノイズ ２ N
- 12. 標本平均の式 ベイズ推定で画像を生成 加法的白色ガウスノイズ 原画像と推定結果の平均自乗誤差の標本平均 N 1 NV n 1 n x h( y , σ , α )
- 13. 標本平均の式 1 h( y 1 , σ , α) y ベイズ推定で画像を生成 加法的白色ガウスノイズ 2 h( y 2 , σ , α) y x x N h( y n , σ , α) y 原画像と推定結果の平均自乗誤差の標本平均 N 1 NV n 1 n x h( y , σ , α )
- 14. 本当に標本平均でいいのか？ • 標本平均による評価では、システムの性能評価が 信頼できるかは疑問が残る – パラメータが変化するとまた別の標本平均の計算が必要 • 本当に信頼できる評価をするには試行回数を増や す必要がある。 そんな評価で大丈夫か？ 大丈夫だ、問題ない。 http://elshaddai.jp/
- 15. 本当に標本平均でいいのか？ • 標本平均による評価では、システムの性能評価が 信頼できるかは疑問が残る – パラメータが変化するとまた別の標本平均の計算が必要 試行回数を増やさずのはめんどくさい • 本当に信頼できる評価をするには試行回数を増や す必要がある。 そんな評価で大丈夫か？ 大丈夫だ、問題ない。 解析的に評価できたら試行回数を増やさなく ても詳細な評価が可能 http://elshaddai.jp/
- 16. 解析的にシステムの性能を評価する方法 • 下記の式でシステムの性能を解析的に評価できる。 • この式は物理学のランダム平均に対応 • 近年、確率的情報処理システムに対する情報統計 力学の立場からの研究が進められている[10,11,14] D( |σ x) x h( y,σα 2 α , , ) Pr{Y y | X x,σ dy1dy2 dy V }
- 17. 連続確率場の場合 • 確率変数が（ ， ）ガウシアングラフィカルモ デルの場合、下記のような多次元ガウス分布になる 1 Pr( X z | Y yσα , ) 2πV det(C ) 1 1 T 1 exp α x I αC y C x I αC y （79） 2 4 i j 1 i j i|I | j i | C | j 1 {i, j} (80) ε 0 (otherwise) 0 (otherwise)
- 18. 連続確率場の場合 • 行列Cについて 4 i j 画像中で隣接している 画素が-1，自分自身は4 i | C | j 1 {i, j} ε 0 (otherwise) １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １ 4 -1 -1 ２ -1 4 -1 -1 １ ２ ３ ３ -1 4 -1 ４ -1 4 -1 -1 ４ ５ ６ ５ -1 -1 4 -1 -1 ６ -1 -1 4 -1 ７ ８ ９ ７ -1 4 -1 ８ -1 -1 4 -1 ９ -1 4
- 19. 連続確率場の場合 • 式(79)より、ガウシアングラフィカルモデルの画素iの 平均ベクトルは EX | Y y,σα , z Pr{X x | Y yσα dx1dx2 dxV , } （81） I ασ C 2 1 y • 式(79)の事後確率に対して、上記の式を原画像の 推定結果とすると統計的性能は下記のようになる D( |σ x ) α , 1 2 Trσ I ασ C V 2 2 1 1 （82） 1 T 2 4 2 2 x ασ C I ασ C 2 x V
- 20. 連続確率場の場合 • ガウシアングラフィカルモデルに確率伝搬法を適用 すると平均ベクトルは式（81）同じ結果が得られる • つまり、式（83）の統計的性能と式（78）の統計的性 能は同値である
- 21. 離散確率場の場合 • 確率変数が{0,1,・・・Q-1}のQ値を取る離散確率変数 の場合には厳密に評価することが難しい • 確率伝搬法により近似的に計算する
- 22. 推定した画像の評価結果
- 23. 推定した画像の評価結果 標本平均と 解析的に求めた結果がほぼ一致
- 24. おわりに • 本節ではベイズ推定による画像処理システムの 性能を評価する方法を説明 • システムの性能を評価するには自乗誤差の標本 平均を使用する • 情報統計力学の統計的性能を求めることで、より 詳細な性能評価が解析的に可能 – 連続確率場の場合は、ガウシアングラフィカルモデル の平均ベクトルを使って統計的性能評価を算出 – 離散確率場の場合は確率伝搬法で近似的に算出
- 25. 参考文献 [10]西森秀稔:スピングラス理論と情報統計力学（新物理学選書）， 岩波書店，1999． [11]H.Nishimori:Statistical Physics of of Spin Glasses and Information Processing, -An Introduction, Oxford University Press, 2001． [14]M.Mezard and A.Montanari. Information, Physics, and Computation, Oxford University Press, 2001． [15]S. Kataoka, M. Yasuda and K.Tanaka. Statistical Performance analysis in probabilistic image processing,Journal of the Physical Society of Japan, Vol. 79, No. 2, Article No. 025001, 20110． [16]K.Tanaka, S. Kataoka, M.Yasuda. Statistical performance analysis by loopy belief propagation in Baysian image modeling, Jounal of Physics: Conference Series, 2010, to appear.