1. 2
Indépendance
1. Probabilités conditionnelles
1.1 Introduction
Un joueur lance successivement deux dés non
pipés. On a bien sûr
   1,1 , 1, 2  ,...,  6,5  ,  6,6  
et Card     36. Tous les événements élémen-
taires de  sont équiprobables. Il est donc
naturel de travailler sur   T  p  où p est la
probabilité uniforme sur  . On considère
l’événement A  ‘‘la somme des points est
supérieure ou égale à 10’’, alors
A    4,6  ,  5,5 ,  5,6  ,  6, 4  ,  6,5  ,  6,6  .
Il est claire que
1

2. Card  A 6 1
p  A   
Card    36 6
On considère maintenant les événements
Bi  ‘‘le résultat du premier dé est égale à i ’’
avec i  1, 2,...,6 . Par exemple
B5    5,1 ,  5, 2  ,  5,3 ,  5, 4  ,  5,5  ,  5,6  
Si B1 est réalisé, alors A est irréalisable car la
somme des points ne peut pas excéder 7. On
dira que la ‘‘probabilité conditionnelle de A
sachant B1 ’’ notée p  A B1  est nulle.
Si B5 est réalisé, alors pour atteindre 10 il faut
que le deuxième dé amène un 5 ou un 6 : la
probabilité conditionnelle de A sachant B5 est
donc égale à p  A B5   2 / 6  1/ 3.
Remarquons que A  B5    5,5 ,  5,6  ,
p  A  B5   2 / 36  1/18 et p  B5   6 / 36 .
On trouve ainsi
2

3. p  A  B5  2 / 36
p  A B5     1/ 3.
p  B5  6 / 36
On peut constater que cette formule est
valable pour Bi avec i  1, 2,...,6 . On a donc
amené à la définition suivante.
1.2 Définitions
Définition 01 : Soit   T  p  un espace de
probabilité. Soit A et B deux événements
aléatoires avec p  B   0 . On appelle proba-
bilité conditionnelle de A sachant B, le
nombre réel
p  A  B
p  A B 
p  B
Si p  B   0 alors la probabilité conditionnelle
n’est pas définie.
Exemple 01 : Une pièce de monnaie est
lancée deux fois. Si nous supposons que les 4
points de l’univers    FF , FP, PF , PP 
sont équiprobables, quelle est la probabilité
3

4. que les deux jets amènent ‘‘face’’ sachant que
le premier est déjà un ‘‘face’’ ?
Remarque :
Il s’agit bien d’une probabilité
(i). A T , p  A B   0
(ii). p  B  1
(iii). Si A1 , A2 ,..., An ,... est une famille d’évé-
nements aléatoires deux à deux incompatibles
alors
p  A1  A2  ... B   p  A1 B   p  A2 B  
1.3 Formules des probabilités composées
Théorème 01. (Formule des probabilités
composées)
Soit A et B deux événements, alors
 p  A  p  B A  si p  A   0

p  A  B    p  B  p  A B  si p  B   0
 0 sinon

4

5. Plus généralement, soit A1 , A2 ,..., An n événe-
ments aléatoires avec p  A1   0 . On a
p  A1   An   p  A1  p  A2 A1  p  An A1   An1 
Exemple 02 : Une urne contient 10 boules
dont 5 rouges, 3 bleues et 2 blanches. On tire
sans remise trois boules de l’urne. Calculer la
probabilité d’obtenir dans l’ordre une boule
rouge, une boule bleue et une boule blanche.
Preuve : Soit A  ‘‘la première boule est
rouge’’,
B  ‘‘la seconde boule est bleue’’ et
C  ‘‘la troisième boule est blanche’’.
D’après la question, on doit chercher
p  A  B  C  . En utilisant la formule des
probabilités composées, on obtient
p  A  B  C   p  A p  B A p  C A  B 
avec
5 1 3 1
p  A   , p  B A  
10 2 9 3
et
5

6. 2 1
p C A  B    .
8 4
Finalement, on a
1
p A B C 
24
1.4 Formules des probabilités totales
Définition 02 : Soit I  et  Ai iI une famille
d’événements aléatoires. On dit que  Ai iI
est une partition de  si
(i).   Ai et
iI
(ii). les événements  Ai iI sont deux à
deux incompatibles.
Théorème 02.
Soit  Ai iI une partition de  et B un
événement, on a alors
p  B    p  Ai  p  B Ai 
iI
1.5 Formules de Bayes
6

7. Théorème 03. (Formule de Bayes)
Soit  Ai iI une partition de  , B un
événement et j  I on a alors
p  Aj  p  B Aj 
p  Aj B  
 p A  pB A 
iI
i i
Exemple 03 : La proportion de pièces défectu-
euses dans un lot de pièces est 0,05. Le
contrôle de fabrication des pièces est tel que :
si la pièces est bonne, elle est acceptée avec
la probabilité 0,96 ; si la pièce est mauvaise,
elle est refusée avec la probabilité 0,98. On
choisit une pièce au hasard et on la contrôle.
Quelle est la probabilité : (i) qu’il y ait une
erreur de contrôle ? (ii) qu’une pièce acceptée
soit mauvaise ?
Exemple 04 : Une compagnie d’assurance
estime que les gens peuvent être répartis en
deux classes : ceux qui sont enclins au
accident et ceux qui ne le sont pas. Ses
statistiques montrent qu’un dans individu
7

8. enclin aux accidents a une probabilité de 0,4
d’en avoir un dans l’espace ; cette probabilité
tombe à 0,2 pour les gens à risque modéré.
On suppose que 30% de la population
appartient à la classe à haut risque.
(a). Quelle est la probabilité qu’un nouvel
assuré soit victime d’un accident durant
l’année qui suit la signature de son
contrat ?
(b). Un nouveau signataire a un accident dans
l’année qui suit la signature de son
contrat. Quelle est la probabilité qu’il
fasse partie de la classe à haut risque ?
2. Indépendance
Définition 03 : Soit   T  p  un espace de
probabilité. Soit A et B deux événements alé-
atoires. On dit que A et B sont indépendants
si
p  A  B   p  A p  B 
Propriétés
8

9. Soit   T  p  un espace de probabilité. Soit
A et B deux événements aléatoires
indépendants avec p  A  0 et p  B   0 .
Alors
(i). p  A B   p  A et p  B A  p  B  .
(ii). A et B , A et B , A et B sont également
indépendants.
Définition 04 : Soit   T  p  un espace de
probabilité. Pour n  2 , soient A1 , A2 ,..., An n
événements aléatoires.
(i) Ces événements sont deux à deux indé-
pendants si pour tout couple  i, j  avec
i  j on a
p  Ai  Aj   p  Ai  p  Aj 
(ii) Ces événements sont mutuellement
indépendants (ou indépendants dans
leur ensemble) si pour tout k  1, 2,..., n
et pour tout choix d’indices distincts
i1 ,..., ik , on a
p  Ai1   Aik   p  Ai1  ... p  Aik 
9