Εισαγωγή στην Παραβολή για τα Μαθηματικά κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου. Περιέχει στοιχεία σχετικά με την κατασκευή μιας παραβολής, βασικές ιδιότητες και την ανακλαστική ιδιότητα.

1. Παραβολή
•Περιγραφή
•Ορισμός
•Βασικοί τύποι
•Ιδιότητες

2. Παραβολή
1. Εισαγωγή
Ορισμός
Έστω μια ευθεία δ και ένα σημείο Ε (εκτός της δ). Ο γεωμετρικός
τόπος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από το Ε και την δ,
ονομάζεται παραβολή με διευθετούσα την δ και εστία το Ε.

3. Παραβολή
1. Εισαγωγή
Πώς μπορούμε να βρούμε τα σημεία της παραβολής;
δ
Ε

4. Παραβολή
2. Εξίσωση
Εξίσωση Παραβολής
Για διευκόλυνση, θα θεωρήσουμε ότι η ευθεία δ έχει εξίσωση
x=-p/2 και η εστία της παραβολής έχει συντεταγμένες (p/2,0).
Αυτό σημαίνει ότι η γραφική παράσταση της παραβολής θα
διέρχεται από την αρχή των αξόνων, αφού αυτή ισαπέχει από την δ
και το Ε.
δ
E

5. Παραβολή
2. Εξίσωση
Έστω Μ(x,y) ένα σημείο που ανήκει στην Παραβολή. Τότε θα ισχύει
η σχέση: d(M,E)=d(δ,M).
Διαδοχικά λοιπόν θα έχουμε:
p p 
x = − , E  ,0 
2 2 
p
2 x+
 p 2
d ( M , E ) = d (M , δ ) ⇔  x −  + y 2 = ⇔
 2 1 +0
2 2
2 2 2
 p p  p  p
 x −  + y = x + ⇔  x −  + y =  x +  ⇔ .... ⇔ y = 2 px
2 2 2
 2 2  2  2

6. Παραβολή
2. Εξίσωση
Με όμοιο τρόπο, αν θεωρήσουμε την διευθετούσα ως y=-p/2 και
την εστία Ε(0,p/2) μπορούμε να βρούμε ότι η εξίσωση της
παραβολής θα είναι x2=2py.
6
x2=2py
4
5
4 2
3 y2=2px
1 1 2 3 4 5
2
2
1
4
6 4 2 2 4 6
1 6

7. Παραβολή
3. Εφαπτομένη
Εξίσωση Εφαπτομένης Παραβολής
Η εξίσωση της εφαπτομένης μιας παραβολής στο σημείο της με
συντεταγμένες (x1,y1) δίνεται από τη σχέση:
Για την παραβολή y2=2px, yy1=p(x+x1)
Για την παραβολή x2=2py, xx1=p(y+y1)

8. Παραβολή
4. Ανακλαστική Ιδιότητα
Ανακλαστική Ιδιότητα Παραβολής
2
1
 0 .5 0 .5 1 .0 1 .5 2 .0
1
2