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20090924 姿勢推定と回転行列

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玉木徹: 「姿勢推定と回転行列」, 電子情報通信学会 スマートインフォメディアシステム研究会(SIS)信号処理研究会(SIP)オーディオビジュアル複合情報処理研究会(IPSJ-AVM), 電子情報通信学会技術報告 SIP2009-48, SIS2009-23, Vol.109, No.202, pp.59-64, 広島大学, 広島 (2009 09).

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20090924 姿勢推定と回転行列

  1. 1. 姿勢推定と回転行列 玉木徹(広島大学) スマートインフォメディアシステム研究会(SIS) 信号処理研究会(SIP) オーディオビジュアル複合情報処理研究会(IPSJ-AVM) 2009年 9月24日(木) 広島大学 東千田キャンパス
  2. 2. 3次元の剛体変換• 回転行列R • 並進ベクトルt – 3x3行列 – 3次元ベクトル – 直交行列 – 3次元の並進移動を表 – 行列式が+1 す – 3次元の回転を表す – Rとtを合わせて特殊 – 特殊直交群SO(3) ユークリッド群SE(3) 姿勢推定=Rとtを求める
  3. 3. 本日の姿勢推定• 対応の与えられた点集 • 回帰に基づく姿勢推定 合のマッチング問題 大石岳史,増田智仁,倉爪亮,池内克史,創建期奈良大仏及 び大仏殿のデジタル復元,日本バーチャルリアリティ学会論 文誌, Vol. 10, No. 3, pp.429-436, 2005.10.
  4. 4. 大仏の形状スキャン 大石岳史,増田智仁,倉爪亮,池内克史,創建期奈良大仏及び大仏殿のデ ジタル復元,日本バーチャルリアリティ学会論文誌, Vol. 10, No. 3, pp.429- 436, 2005.10.
  5. 5. 遺跡の電子アーカイブ http://www.cvl.iis.u-tokyo.ac.jp/research/bayon/
  6. 6. 遺跡の電子アーカイブ http://www.cvl.iis.u-tokyo.ac.jp/research/bayon/
  7. 7. ICP:対応が与えられていない 点集合同士のマッチング • Iterative Closest Point (ICP) (Cheng et. al, 1992) – 点集合マッチング手法 の代表的な手法 – その後多数の派生手法 が登場対応が与えられていない点集合 ? 点集合X 点集合Y 大石岳史,増田智仁,倉爪亮,池内克史,創建期奈良大仏及び大仏殿のデジタル復元,日本バー チャルリアリティ学会論文誌, Vol. 10, No. 3, pp.429-436, 2005.10.
  8. 8. ICP:対応が与えられていない 点集合同士のマッチング• ICPの基本アルゴリズム 対応が与えられていない点集合 – 1. 仮対応を与える ? • Xの各点にもっとも近いY の点を求める (closest point) – 2. パラメータを求める 点集合X 点集合Y • XをYに変換するパラメー タの推定 対応が与えられている点集合 点集合X 点集合Y
  9. 9. 対応の与えられた点集合の マッチング問題 対応が与えられている点集合 点集合X 点集合Y
  10. 10. 行列形式での定式化 Frobenius norm3xn R t 3x3 3xn 3x1 1xn
  11. 11. 並進tの計算重心位置の計算 点集合X 点集合Y 回転が与えられれば 並進も求められる
  12. 12. Rの推定問題への変形 重心位置を引くと: 点集合X’ 点集合Y’3xn 3x3
  13. 13. Lagrange乗数を用いた解法 [14] Umeyama, 1991 制約条件 最小化する項 直交行列 行列式が+1 6つの異なるLagrange乗数を Lagrange乗数 要素に持つ3x3対称行列
  14. 14. SVDを用いた解法 [10] Arun et. al, 1987 [11] Schönemman, 1966• Frobenius normと行列 • 目的関数の変形 のトレース(tr)• トレースの性質
  15. 15. SVDを用いた解法 [10] Arun et. al, 1987 [11] Schönemman, 1966• トレースの最大値 特異値分解 (Singular Value Decomposition, SVD) 直交行列 対角行列 Schwarzの不等式 最大値を与えるのは
  16. 16. Schwarzの不等式 回転行列• Schwarzの不等式 直交行列
  17. 17. SVDを用いた解法 [12] Kanatani, 1994 [14] Umeyama, 1991• 行列式+1の制約 • Polar decomposition V,Uは直交行列 行列式が±1 polar部分(行列式が1)
  18. 18. 車輪の再発明• Orthogonal Procrustes • Absolute Orientation Problem – 写真測量学・光学 – 心理学分野 (Photogrammetria, J. (Psychometrikaなど) Optical Soc. of America など)• Wahba’s Problem – 天文学分野 • Fitting corresponding point sets – コンピュータビジョン (IEEE PAMIなど)
  19. 19. Orthogonal Procrustes Problem Hurley et. al, 1962 [11] Schönemman, 1966Procrustes. "Now then, you fellows; I [3] Schönemman et. al, 1970mean to fit you all to my little bed!" [5] Akca, 2003Chorus. "Oh lor-r!!" Orthogonal Procrustes Extended Orthogonal Procrustes Generalized Orthogonal ProcrustesFile:The Modern Bed of Procustes - Punch cartoon - ProjectGutenberg eText 13961.pnghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:The_Modern_Bed_of_Procustes_-_Punch_cartoon_-_Project_Gutenberg_eText_13961.png
  20. 20. Wahba’s Problem Wahba, 1965 Prof. Grace Wahba [6] Shuster, 2006 (University of Wisconsin-Madison) [7] Markley, 1999 正の重みspacecraft座標系 基準座標系での方向 での方向 http://www.stat.wisc.edu/~wahba/public/jpg/jsm.05/noether.html Grace Wahba, “Problem 65–1: A Least Squares Estimate of Spacecraft Attitude,” SIAM Review, Vol. 7, No. 3, July 1965, p. 409.
  21. 21. Absolute Orientation [8] Thompson, 1958 [16] Horn, 1987 [9] Horn et. al, 1988 ‘ E. H. Thompson, "An exact linear solution of the problem of absolute orientation," Photogrammetria 15(4), 163–179 (1958).
  22. 22. Fitting corresponding point sets [10] Arun et. al, 1987 [14] Umeyama, 1991 [12] Kanatani, 1994 大石岳史,増田智仁,倉爪亮,池内克史,創建期奈良大仏及び大仏殿のデジタル復元,日本バー チャルリアリティ学会論文誌, Vol. 10, No. 3, pp.429-436, 2005.10.
  23. 23. 本日の姿勢推定• 対応の与えられた点集 • 回帰に基づく姿勢推定 合のマッチング問題 大石岳史,増田智仁,倉爪亮,池内克史,創建期奈良大仏及 び大仏殿のデジタル復元,日本バーチャルリアリティ学会論 文誌, Vol. 10, No. 3, pp.429-436, 2005.10.
  24. 24. 「今年のロボット」大賞2007 FANUC Robot M-430iA は、コンベア上を高速に流れてくる物品を 瞬時にピッキングする垂直多関節ロボットです。1台あたり毎分120 個の処理能力で24時間連続運転が可能です。iRVisionによるビ ジュアルトラッキング機能と組み合せて、コンベアでバラバラに供 給される物品も素早く整列し、箱詰めします。M-430iAのビジュアルトラッキングによる高速ハンドリング 「今年のロボット」大賞2007 大賞(経済産業大臣賞)受賞 - 2007年12月のニュース - ファナック:http://www.fanuc.co.jp/ja/news/2007/0712/0712_robotaward.html
  25. 25. ピッキング:ロボットビジョンの応用ロボットアーム カメラ 平面上の 形状認識 (商用化済み) 株式会社リンクス:産業別適用事例 http://www.linx.jp/applicate_example/halcon/index.html どうつかむのか? (姿勢推定が必要) ? ねじの山から 一本取り出す人間の作業 (3自由度の姿勢推定)
  26. 26. 回帰に基づく姿勢推定手法 学習 推定 x1 x2 xn学習画像 pパラメータ p1 p2  pn
  27. 27. 姿勢推定方法学習画像 最小化問題(一般)学習画像の姿勢パラメータ 簡単化(線形)例:1自由度の姿勢パラメータ 最小ノルム解 一般化逆行列
  28. 28. 1自由度の姿勢表現に必要な条件 画像は学習画像の線形和 0° 330° 340° 350° 10° 20° 30° 学習 推定角度 180° 330° 340° 350° 10° 20° 30° 姿勢表現に適さない:360°において不連続sin,cos sin(0°)‫‏‬ sin(340°)‫‏‬ sin(350°)‫‏‬ sin(10°)‫‏‬ sin(20°)‫‏‬ sin(30°)‫‏‬ cos(0°)‫‏‬ cos(340°)‫‏‬ cos(350°)‫‏‬ cos(10°)‫‏‬ cos(20°)‫‏‬ cos(30°)‫‏‬ 姿勢表現に適している:すべてにおいて連続
  29. 29. 3自由度の姿勢表現の比較 回転軸 固定角 オイラー角 単位四元数 回転行列 回転量連続性一対一 回転量を qと-qが同じ ジンバルロック 角度で表すと× 姿勢を表す が存在 (sin,cos)で表すと○
  30. 30. 姿勢推定方法(3自由度)学習画像 最小ノルム解学習画像の姿勢パラメータ 学習 一般化逆行列3自由度の姿勢パラメータ 推定 回転行列ではない! 回転行列Riの要素 問題
  31. 31. Rの推定値の直交化解くべき問題 前半の結果
  32. 32. 本日の姿勢推定• 対応の与えられた点集 • 回帰に基づく姿勢推定 合のマッチング問題 大石岳史,増田智仁,倉爪亮,池内克史,創建期奈良大仏及 び大仏殿のデジタル復元,日本バーチャルリアリティ学会論 文誌, Vol. 10, No. 3, pp.429-436, 2005.10.
  33. 33. 3次元の剛体変換• 回転行列R • 並進ベクトルt – 3x3行列 – 3次元ベクトル – 直交行列 – 3次元の並進移動を表 – 行列式が+1 す – 3次元の回転を表す – Rとtを合わせて特殊 – 特殊直交群SO(3) ユークリッド群SE(3) 姿勢推定=Rとtを求める
  34. 34. 姿勢推定と回転行列 玉木徹(広島大学) スマートインフォメディアシステム研究会(SIS) 信号処理研究会(SIP) オーディオビジュアル複合情報処理研究会(IPSJ-AVM) 2009年 9月24日(木) 広島大学 東千田キャンパス

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