Nhận viết luận văn Đại học , thạc sĩ - Zalo: 0917.193.864 Tham khảo bảng giá dịch vụ viết bài tại: vietbaocaothuctap.net Download luận văn thạc sĩ ngành toán ứng dụng với đề tài: Phương pháp hiệu chỉnh browder - tikhonov cho phương trình phi tuyến không chỉnh loại J - đơn điệu, cho các bạn làm luận văn tham khảo

1. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
VŨ XUÂN QUỲNH
PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH BROWDER -
TIKHONOV CHO PHƯƠNG TRÌNH PHI
TUYẾN KHÔNG CHỈNH LOẠI J - ĐƠN ĐIỆU
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội - 2015

2. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
VŨ XUÂN QUỲNH
PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH BROWDER -
TIKHONOV CHO PHƯƠNG TRÌNH PHI
TUYẾN KHÔNG CHỈNH LOẠI J - ĐƠN ĐIỆU
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60.46.01.12
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
GS. TS. Nguyễn Bường
Hà Nội - 2015

3. LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng
biết ơn chân thành và sâu sắc tới GS. TS Nguyễn Bường-Viện Công nghệ
thông tin-Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt nam, người đã tận
tình hướng dẫn, chỉ bảo tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy, cô giáo công tác tại trường
Đại học Khoa học Tự nhiên-Đại học Quốc gia Hà nội đã truyền đạt kiến
thức cho tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn tới lãnh đạo Viện Công nghệ thông
tin, các bạn đồng nghiệp và gia đình đã tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất
để tôi hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, tháng 10 năm 2015.
Học viên
Vũ Xuân Quỳnh
1

4. Mục lục
Mở đầu 3
1 Khái niệm cơ bản 5
1.1 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Khái niệm về bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . 8
1.2.2 Khái niệm về thuật toán hiệu chỉnh . . . . . . . . . 10
1.3 Phương trình với toán tử loại J-đơn điệu . . . . . . . . . . . 12
1.3.1 Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.2 Phương trình với toán tử loại J-đơn điệu . . . . . . . 16
2 Phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov 19
2.1 Phương pháp Browder-Tikhonov với toán tử loại J-đơn điệu 19
2.2 Phương pháp hiệu chỉnh Newton-Kantorovich . . . . . . . . 37
Kết luận 44
Tài liệu tham khảo 45
2

5. Mở đầu
Trong các lớp bài toán nảy sinh từ khoa học, kỹ thuật và các nghành
kinh tế quốc dân tồn tại một lớp bài toán mà nghiệm không ổn định với dữ
kiện ban đầu. Khi dữ kiện ban đầu thay đổi đi một chút phương trình có
thể không có nghiệm hoặc nếu có thì nghiệm tương ứng lại cách xa nghiệm
chính xác rất nhiều. Người ta nói những bài toán đó đặt không chỉnh và
đặt ra yêu cầu tìm những phương pháp giải ổn định các bài toán này.
Ta xét bài toán đặt không chỉnh dưới dạng phương trình toán tử
A(x) = f, f ∈ X, (1)
trong đó A là toán tử từ không gian Banach X vào không gian Banach Y.
Khi đó bài toán này có thể hiệu chỉnh bằng phương pháp cực tiểu phiếm
hàm làm trơn Tikhonov
Fh
δ,α(x) = ||Ah(x) − fδ||2
+ αΩ(x),
ở đây x ∈ D(Ah) = D(A), cùng với việc chọn tham số α = α(h, δ) thích
hợp, (Ah, fδ) là xấp xỉ của (A, f), α > 0 là tham số hiệu chỉnh, Ω(x) là
phiếm hàm ổn định. Tuy nhiên khi bài toán là phi tuyến thì việc tìm phần
tử cực tiểu của phiếm hàm Tikhonov trở nên khó khăn. Do đó để giải
quyết bài toán trong trường hợp phi tuyến, khi A : X → X∗
là toán tử
đơn điệu, trong [7] Browder đã đề xuất một dạng mới của phương pháp
hiệu chỉnh Tikhonov bằng cách sử dụng một toán tử có tính chất h-liên
tục và đơn điệu mạnh. Tiếp tục tư tưởng này, Alber [3] đã sử dụng ánh xạ
đối ngẫu tổng quát để hiệu chỉnh bài toán.
Để tìm nghiệm cho bài toán (1), chúng tôi xem xét phương pháp hiệu
chỉnh Browder-Tikhonov có dạng
A(x) + α(x − x+
) = fδ, (2)
3

6. trong đó A : X → X là toán tử loại J-đơn điệu trong không gian Banach
X có tính chất xấp xỉ. Khi ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J là liên tục yếu
theo dãy và liên tục mạnh thì (2) có nghiệm duy nhất xδ
α hội tụ tới x0 là
nghiệm của (1). Ta cũng chỉ ra được sự hội tụ này khi J không có tính liên
tục yếu theo dãy nhưng được bổ sung thêm hai điều kiện
||A(x) − A(x0) − J∗
A (x0)∗
J(x − x0)|| ≤ τ||A(x) − A(x0)||, (3)
trong đó x ∈ X, τ > 0, J∗
là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của X∗
, x0 là
nghiệm của (1) và tồn tại z ∈ X sao cho
A (x0)z = x+
− x0. (4)
Cuối cùng, khi J không liên tục yếu theo dãy và không thỏa mãn hai điều
kiện (3), (4) thì nghiệm hiệu chỉnh của phương pháp này vẫn hội tụ tới
nghiệm của bài toán.
Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1 giới
thiệu về bài toán đặt không chỉnh, phương trình với toán tử loại J-đơn
điệu và một số khái niệm cơ bản dùng trong toàn bộ luận văn. Chương 2
trình bày về phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho phương trình
phi tuyến không chỉnh với toán tử loại J-đơn điệu và phương pháp lặp
Newton-Kantorovich kết hợp với phương pháp hiệu chỉnh trên.
Luận văn chắc chắn không thể tránh khỏi những sai sót. Em rất mong
nhận được những góp ý và sự chỉ bảo của các thầy cô. Em xin chân thành
cảm ơn!
4

7. Chương 1
Khái niệm cơ bản
Chương này gồm ba mục. Mục 1.1 trình bày khái niệm và một số ví
dụ về không gian Banach. Mục 1.2 giới thiệu về bài toán đặt không chỉnh
và thuật toán hiệu chỉnh. Trong mục 1.3, chúng tôi trình bày một số khái
niệm về giải tích hàm có liên quan tới luận văn và phương trình với toán
tử loại J-đơn điệu. Các kiến thức được tham khảo từ các tài liệu [1], [4] và
[7].
1.1 Không gian Banach
Định nghĩa 1.1. Cho (X, d) là một không gian metric. Dãy {xn} ⊂ (X, d)
được gọi là dãy cơ bản nếu
∀ > 0 ∃ N = N( ), ∀ m, n ≥ N ⇒ d(xm, xn) < .
(X, d) được gọi là không gian metric đủ, nếu mọi dãy cơ bản có giới hạn
trong X.
Định nghĩa 1.2. Cho X là không gian tuyến tính. Ta nói X là không gian
tuyến tính định chuẩn, nếu với mọi x ∈ X xác định một số, gọi là chuẩn
của x (kí hiệu ||x||) thỏa mãn ba tiên đề sau:
a) Xác định dương: ∀x ∈ X, ||x|| ≥ 0. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
x = 0;
b) Thuần nhất dương: ∀x ∈ X, ∀λ ∈ R thì ||λx|| = |λ|.||x||;
c) Bất đẳng thức tam giác: ∀x, y ∈ X thì ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||.
5

8. Định nghĩa 1.3. Không gian Banach là không gian tuyến tính định chuẩn
đầy đủ.
Ví dụ 1.1. Không gian Rn
với chuẩn Euclid và khoảng cách được xác định
như sau:
||x|| = (
n
i=1
|ξi|2
)
1
2 ,
d(x, y) = ||x − y||,
với x = (ξ1, ξ2, ...., ξn) ∈ Rn
, y ∈ Rn
là không gian Banach.
Ví dụ 1.2. Không gian các hàm thực liên tục C[a,b] với chuẩn và khoảng
cách xác định như sau:
||x|| = max
a≤t≤b
|x(t)|,
d(x, y) = max
a≤t≤b
|x(t) − y(t)|,
với x(t), y(t) ∈ C[a, b] là không gian Banach.
Ví dụ 1.3. Không gian lp ( p ≥ 1), tập các dãy số η1, η2, ...., ηn, ... thỏa
mãn ∞
n=1
|ηn|p
< ∞
là không gian Banach.
Thật vậy, với x = (η1, η2, ...), y = (ν1, ν2, ....) ∈ lp (p ≥ 1) chuẩn và
khoảng cách được xác định như sau:
||x|| = (
∞
n=1
|ηn|p
)
1
p ,
||x − y|| = (
∞
n=1
|ηn − νn|p
)
1
p .
Giả sử {xm}∞
m=1 là dãy Cauchy trong lp, trong đó xm = (η
(m)
1 , η
(m)
2 , ...).
Do đó với mọi > 0 ∃m0, ∀m ≥ m0, ∀r nguyên dương, ta có
||xm − xm+r|| ≤
6

9. hay
(
∞
n=1
|η(m)
n − η(m+r)
n |p
)
1
p ≤ ,
suy ra |η
(m)
n − η
(m+r)
n | ≤ ∀n, ∀m ≥ m0, do dó ∀n ∃ limm→∞ η
(m)
n = η0
n.
Như vậy, ( N
n=1 |η
(m)
n − η
(m+r)
n |p
)
1
p ≤ ∀N. Cho r → ∞ thì ta được
(
N
n=1
|η(m)
n − η0
n|p
)
1
p ≤ ∀N.
Ta cho N → ∞ thì
(
∞
n=1
|η(m)
n − η0
n|p
)
1
p ≤ ,
từ đây z := (η
(m)
1 − η0
1, η
(m)
2 − η0
2, ...) ∈ lp. Suy ra x0 = (η0
1, η0
2, ...) =
(η
(m)
1 , η
(m)
2 , ...) − (η
(m)
1 − η0
1, η
(m)
2 − η0
2, ...) = xm − z ∈ lp. Nên ||z|| =
||xm − x0|| ≤ ∀m ≥ m0, hay x0 = limm→∞ xm. Vậy lp là không gian
Banach.
Ví dụ 1.4. Không gian co tập tất cả các dãy số µ1, µ2, ...., µn, .... hội tụ
tới 0 là không gian Banach.
Trong không gian này, chuẩn và khoảng cách được xác định bởi:
||x|| = sup
n
|µn|,
d(x, y) = ||x − y||,
trong đó x, y ∈ co. Cho {xk} là dãy Cauchy trong co, ở đây xk = (µ
(k)
1 , µ
(k)
2 , ...).
Khi đó ∀ > 0 ∃k0, ∀k ≥ k0, ∀p nguyên dương thì ||xk − xk+p|| ≤ . Vì
||xk|| = supn |µ
(k)
n | nên |µ
(k)
n − µ
(k+p)
n | ≤ ∀n. Do đó khi n cố định thì
{µ
(k)
n } là dãy Cauchy, vì vậy tồn tại µ0
n để limk→∞ µ
(k)
n = µ0
n. Ta suy ra
|µ
(k)
n − µ0
n| ≤ ∀n. Với k cố định thì limn→∞ µ
(k)
n = 0 nên ∃n0 ∀n ≥ n0
để |µ
(k)
n | ≤ . Từ đây |µ0
n| ≤ |µ
(k)
n | + |µ
(k)
n − µ0
n| ≤ 2 ∀n ≥ n0. Do vậy
x0 = (µ0
1, µ0
2, ...) ∈ co và limk→∞ xk = x0.
7

10. 1.2 Bài toán đặt không chỉnh
1.2.1 Khái niệm về bài toán đặt không chỉnh
Cho phương trình toán tử
A(x) = f, (1.1)
trong đó A : (X, d) → (Y, ρ)., X, Y là các không gian mêtric.
Phương trình (1.1) là đặt chỉnh nếu:
• Với mỗi f ∈ Y tồn tại nghiệm x(f) ∈ X của (1.1);
• Nghiệm này là duy nhất;
• Nghiệm này phụ thuộc liên tục vào dữ kiện (f, A).
Phương trình (1.1) được gọi là đặt không chỉnh nếu một trong ba điều
kiện trên không được thỏa mãn, tức là,
• Phương trình (1.1) không có nghiệm;
• Phương trình (1.1) có nhiều hơn một nghiệm;
• Phương trình (1.1) có nghiệm x = x(f) không phụ thuộc liên tục vào
dữ kiện bài toán.
Ví dụ 1.5.
Cho phương trình tích phân Fredholm loại 1
b
a
K(t, s)x(s)ds = f0(t), t ∈ [c, d], (1.2)
−∞ < a < b < +∞, −∞ < c < d < +∞,
trong đó x(s) là nghiệm, vế phải f0(t) là một hàm số cho trước, nhân
K(t, s) và
dK
dt
là các hàm liên tục. Ta giả thiết nghiệm x(s) ∈ C[a, b] với
khoảng cách giữa hai hàm x1 và x2 trong lớp đó là
ρC[a,b](x1, x2) = max
s∈[a,b]
|x1(s) − x2(s)|.
8

11. Khoảng cách giữa hai hàm f1(t) và f2(t) trong L2[c, d] là
ρL2[c,d](f1, f2) =
d
c
|f1(t) − f2(t)|2
dt
1/2
.
Giả sử phương trình (1.2) có nghiệm x0(s). Khi đó, với vế phải
f1(t) = f0(t) + N
b
a
K(t, s) sin(ωs)ds
phương trình (1.2) có nghiệm
x1(s) = x0(s) + N sin(ωs).
Với N bất kỳ và ω đủ lớn, thì khoảng cách giữa hai hàm f0 và f1 trong
L2[c, d] là
ρL2[c,d](f0, f1) = |N|
d
c
b
a
K(t, s) sin(ωs)ds
2
dt
1/2
có thể làm nhỏ tùy ý. Thật vậy, đặt
Kmax = max
s∈[a,b],t∈[c,d]
|K(t, s)|,
ta tính được
ρL2[c,d](f0, f1) ≤ |N|
d
c
Kmax
1
ω
(cos(ωb) − cos(ωa)
2
dt
1/2
≤
|N|Kmaxc0
ω
,
ở đây c0 là một hằng số dương. Ta chọn N và ω lớn tùy ý, nhưng
N
ω
lại
nhỏ. Khi đó,
ρC[a,b](x0, x1) = max
s∈[a,b]
|x0(s) − x1(s)| = |N|
có thể lớn bất kỳ. Do đó bài toán là đặt không chỉnh.
Ví dụ 1.6.
9

12. Xét chuỗi Fourier
f1(t) =
∞
n=0
an cos(nt)
với hệ số (a0, a1, ..., an...) ∈ l2 được cho xấp xỉ bởi cn = an + n, n ≥ 1 và
c0 = a0. Khi đó chuỗi Fourier tương ứng là
f2(t) =
∞
n=0
cn cos(nt)
cũng có hệ số (c0, c1, ....., cn, ....) ∈ l2. Khoảng cách giữa chúng là
1 =
∞
n=0
(cn − an)2
1/2
=
∞
n=0
1
n2
1/2
=
π2
6
.
Do đó khoảng cách giữa hai bộ hệ số này có thể làm nhỏ tùy ý. Tuy nhiên
f2(t) − f1(t) =
∞
n=1
1
n
cos(nt)
có thể làm lớn tùy ý. Như vậy bài toán này là không ổn định nếu xét
trong không gian các hàm với độ đo đều. Nhưng khi xét trong không gian
L2[0, π] thì
π
0
[f2(t) − f1(t)]2
dt
1/2
=
π
0
∞
n=0
(cn − an) cos(nt)
2
dt
1/2
=
∞
n=1
π
2
(cn − an)2
1/2
= 1
π
2
.
Ta thấy bài toán lại ổn định.
Như vậy, một bài toán có thể là không chỉnh trên cặp không gian này
nhưng có thể là đặt chỉnh trong cặp không gian khác.
1.2.2 Khái niệm về thuật toán hiệu chỉnh
Giả sử A−1
không liên tục và thay cho f ta biết fδ : ||fδ − f|| ≤ δ → 0.
Bài toán đặt ra cần xây dựng phần tử xấp xỉ phụ thuộc tham số nào đó
tương thích với δ sao cho khi δ → 0 thì phần tử xấp xỉ hội tụ tới nghiệm
x0.
10

13. Định nghĩa 1.4. Toán tử R(fδ, α) phụ thuộc tham số α, tác động từ không
gian Banach Y vào không gian Banach X được gọi là một toán tử hiệu
chỉnh cho phương trình (1.1), nếu:
• Tồn tại hai số dương δ1 và α1 sao cho toán tử R(fδ, α) xác định với
mọi α ∈ (0, α1) và với mọi fδ ∈ Y : ρY (fδ, f) ≤ δ, δ ∈ (0, δ1);
• Tồn tại một sự phụ thuộc α = α(fδ, δ) sao cho ∀ > 0 tồn tại δ( ) ≤
δ1: ∀fδ ∈ Y, ρY (fδ, f) ≤ δ ≤ δ1 → ρX(xα, x0) ≤ , ở đây xα ∈
R(fδ, α(fδ, δ)).
Ví dụ 1.7.
Bài toán tính gần đúng đạo hàm.
Tính giá trị z =
df(t)
dt
, chỉ biết fδ(t) = f(t) + g(t), ở đây ||g(t)|| ≤ δ ∀t.
Đạo hàm z được tính dựa vào tỉ sai phân
R(f, α) =
f(t + α) − f(t)
α
Khi đó R(fδ, α) =
f(t + α) − f(t)
α
+
g(t + α) − g(t)
α
.
Cho α → 0 thì
f(t + α) − f(t)
α
→ z, và
g(t + α) − g(t)
α
≤
2δ
α
.
Nếu chọn α để α =
δ
η(δ)
, với η(δ) → 0, khi δ → 0, thì 2
δ
α
= 2η(δ) → 0.
Vì vậy, với α = α1(δ) =
δ
η(δ)
, R(fδ, α1(δ)) → z.
Ví dụ 1.8.
Xét bài toán khôi phục hàm số, khi biết hệ số Fourier của nó ở phần
trước. Giả sử ϕk(t) là một hệ trực chuẩn đầy đủ có supt∈[a,b] |ϕk(t)| ≤ C0,
và hệ số Fourier a = (a1, a2, ...) của hàm
f(t) =
∞
k=1
akϕk(t)
được cho xấp xỉ bởi c = (c1, c2, ....) sao cho
∞
k=1
(ak − ck)2
≤ δ2
.
11

14. Khi đó
˜f(t) =
∞
k=1
ckϕk(t)
không thể coi là xấp xỉ của f(t) được. Để tìm giá trị xấp xỉ của f tại
điểm t0 nào đó, tức là tìm f(t0), ta dùng phương pháp hiệu chỉnh với
R(c, 1
n) = n
k=1 ckϕk(t0), trong đó n = n(δ) =
η(δ)
δ2
là phần nguyên của
η(δ)
δ2
, ở đây δ, η(δ) → 0, còn n(δ) → ∞. Thật vậy,
f(t0) −
n(δ)
k=1
ckϕk(t0) ≤
n(δ)
k=1
(ak − ck)ϕk(t0) +
∞
k=n(δ)+1
akϕk(t0) .
Vì chuỗi ∞
k=1 akϕk(t0) hôị tụ, cho nên phần dư ∞
k=n(δ)+1 akϕk(t0) tiến
tới 0, khi n(δ) → ∞. Mặt khác,
n(δ)
k=1
(ak − ck)ϕk(t0) ≤
n(δ)
k=1
|ak − ck||ϕk(t0)|
≤
n(δ)
k=1
|ak − ck|2
n(δ)
k=1
|ϕk(t0)|2
1
2
≤ C0 n(δ)
n(δ)
k=1
|ak − ck|2
1
2
≤ C0 n(δ)δ2 = C0 [η(δ)] → 0
khi δ → 0.
1.3 Phương trình với toán tử loại J-đơn điệu
1.3.1 Một số khái niệm
Cho X là không gian Banach thực và X∗
là không gian đối ngẫu của
nó. Ký hiệu x, x∗
là giá trị của hàm x∗
∈ X∗
tại x ∈ X.
Định nghĩa 1.5. Một ánh xạ Js
: X → 2X∗
, s ≥ 2 xác định như sau
Js
(x) = {x∗
∈ X∗
: x, x∗
= ||x∗
||s−1
||x|| = ||x||s
}
được gọi là ánh xạ đối ngẫu tổng quát.
12

15. Với s = 2 ta gọi nó là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc và ký hiệu là J.
Mệnh đề 1.1. Giả sử X là không gian Banach. Khi đó
1. J(x) là tập lồi, J(λx) = λJ(x) ∀λ ∈ R;
2. J là ánh xạ đơn trị khi và chỉ khi X∗
là không gian lồi chặt. Trong
trường hợp X là không gian Hilbert thì J = I là toán tử đơn vị trong
X.
Định nghĩa 1.6. Một toán tử A : X → 2X∗
là đơn điệu nếu ∀x, y ∈ D(A),
x − y, f − g ≥ 0 ∀f ∈ Ax, ∀g ∈ Ay.
Định nghĩa 1.7. Toán tử A : X → Y , trong đó X, Y là các không gian
Banach, được gọi là
• h-liên tục tại x0 ∈ D(A) nếu A(x0 + tnx) A(x0) khi tn → 0 với
mọi vectơ x thỏa mãn x0 + tnx ∈ D(A) và 0 ≤ tn ≤ t(x0);
• demi-liên tục tại x0 ∈ D(A) nếu cho dãy bất kì {xn} ⊂ D(A) thỏa
mãn xn → x0 thì Axn Ax;
• liên tục yếu theo dãy tại điểm x0 ∈ D(A) nếu cho dãy bất kỳ {xn} ∈
D(A) sao cho xn x0 thì Axn Ax0.
Định nghĩa 1.8. Không gian Banach X gọi là có tính chất ES nếu X là
không gian phản xạ và mọi dãy {xn}, xn ∈ X hội tụ yếu trong X tới x và
||xn|| → ||x|| thì xn → x.
Định nghĩa 1.9. Không gian Banach X được gọi là có tính chất xấp xỉ
nếu tồn tại một họ các không gian con hữu hạn chiều {Xn} được sắp thứ tự
bao hàm, họ các phép chiếu tương ứng Pn : X → Xn thỏa mãn ||Pn|| = 1
với mọi n > 0 và Xn là trù mật trong X.
Định nghĩa 1.10. Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn thực. Cho
S1(0) := {x ∈ E : ||x|| = 1}. Không gian X được gọi là có chuẩn khả vi
Gateaux (hay trơn) nếu giới hạn
lim
t→0
||x + ty|| − ||x||
t
13

16. tồn tại cho mỗi x, y ∈ S1(0). Không gian X được gọi là có chuẩn khả vi
Gateaux đều nếu giới hạn trên là đều đối với x ∈ S1(0).
Định nghĩa 1.11. Cho X là không gian Banach phản xạ, X∗
là không
gian liên hợp của nó và A : X → 2X∗
. Tập các cặp (x, f) ∈ X × X∗
thỏa
mãn f ∈ Ax được gọi là đồ thị của toán tử A và ký hiệu là grA.
Định nghĩa 1.12. Không gian X được gọi là lồi chặt nếu hình cầu đơn vị
trong X là lồi chặt, tức là ||x + y|| < 2 ∀x, y ∈ X thỏa mãn ||x|| = ||y|| =
1, x = y.
Khái niệm và một số tính chất của giới hạn Banach được đưa ra sau
đây.
Định nghĩa 1.13. Cho µ là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên l∞
và cho
(a1, a2, ...) ∈ l∞
. Khi đó µ được gọi là giới hạn Banach nếu nó thỏa mãn
||µ|| = µk(1) = 1 và µk(ak+1) = µk(ak) cho mỗi (a1, a2, ...) ∈ l∞
. Ở đây
µk(ak) được viết thay cho µ((a1, a2, ...)).
Định lý 1.1. (Vài tính chất của giới hạn Banach)
1. lim infk→∞ ak ≤ µk(ak) ≤ lim supk→∞ ak ∀(a1, a2, ...) ∈ l∞
.
2. Nếu a = (a1, a2, ...) ∈ l∞
, b = (b1, b2, ...) ∈ l∞
và ak → c (tương
ứng ak − bk → 0) khi k → ∞ thì µk(ak) = µ(a) = c (tương ứng
µk(ak) = µk(bk)).
Tư tưởng của phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov được đề xuất
vào năm 1966 cho bài toán bất đẳng thức biến phân bởi Browder [7]. Trong
đó sử dụng toán tử M : X → X∗
có tính chất h-liên tục và đơn điệu mạnh
làm thành phần hiệu chỉnh. Một số kết quả thu được như sau:
Định nghĩa 1.14. Không gian Banach phản xạ X được gọi là hoàn thiện
được nếu tồn tại một ánh xạ đơn điệu, h-liên tục M từ X vào X∗
sao cho
u, Mu > 0 cho u = 0, đưa tập bị chặn của X vào tập bị chặn của X∗
,
và là ánh xạ bức (tức là
u, Mu
||u||
→ +∞ khi u → +∞), thỏa mãn:
14

17. 1. Cho u1 ∈ X, w1 ∈ X∗
, u − u1, Mu − w1 → +∞ khi ||u|| → +∞.
2. Nếu {uj} là dãy bị chặn trong X, u ∈ X và uj −u, Muj −Mu → 0,
thì uj → u ∈ X.
Định lý 1.2. Cho X là không gian Banach phản xạ, hoàn thiện được với
M là ánh xạ đơn điệu tương ứng với tính cải tiến được. Cho T là toán tử
đơn điệu, h-liên tục từ X vào X∗
, f là hàm lồi nửa liên tục dưới từ X vào
(−∞, +∞] với f = +∞. Cho w và v0 là phần tử bất kỳ của X∗
. Giả sử
rằng Aw là tập tất cả nghiệm u0 của bất đẳng thức
v − u0, Tu0 − w ≥ f(u0) − f(v), v ∈ X,
thì Aw là khác rỗng. Khi đó :
1. Nếu cho mỗi > 0, ta đặt T = T + M, bất đẳng thức biến phân phi
tuyến
v − u , T u − w ≥ f(u ) − f(v), v ∈ X,
có duy nhất một nghiệm u , trong đó w = w + v0.
2. Khi → 0, u → u0 ∈ Aw. Trong tập Aw, u0 là nghiệm duy nhất thỏa
mãn bất đẳng thức biến phân
v − u0, Mu0 − v0 ≥ 0, v ∈ Aw.
Dựa vào đó Alber [3] đã xây dựng nghiệm hiệu chỉnh cho phương trình
(1.1) trên cơ sở phương trình sau
A(x) + αJs
(x − x0
) = fδ, (1.3)
trong đó A là toán tử đơn điệu, h-liên tục từ không gian Banach phản xạ
X vào X∗
, ở đây X∗
là lồi chặt và X có tính chất ES, x0
là phần tử bất kì
trong X giúp ta tìm nghiệm theo ý muốn. Ta có một số kết quả sau đây
Định lý 1.3. Với mỗi α > 0 và fδ ∈ X∗
, phương trình (1.3) có duy nhất
nghiệm xδ
α. Nếu α,
δ
α
→ 0, thì {xδ
α} hội tụ đến phần tử x0 ∈ S0 thỏa mãn
||x0 − x0
|| = min
x∈S0
||x − x0
||.
15

18. Trong trường hợp tổng quát, khi cả toán tử và vế phải đều biết xấp xỉ,
tức là, thay cho A ta chỉ biết xấp xỉ Ah thỏa mãn
||Ah(x) − A(x)|| ≤ hg(||x||)
và cũng đơn điệu, h-liên tục, ở đây g(t) là hàm giới nội. Ta có kết quả sau
Định lý 1.4. Với mỗi α > 0, h > 0 và fδ ∈ X∗
phương trình hiệu chỉnh
Ah(x) + αJs
(x − x0
) = fδ
có duy nhất nghiệm xη
α, η = (h, δ). Nếu α,
δ
α
,
h
α
→ 0, thì {xη
α} → x0.
1.3.2 Phương trình với toán tử loại J-đơn điệu
Định nghĩa 1.15. Một toán tử A : X → X được gọi là J-đơn điệu nếu
∃ j(x1 − x2) ∈ J(x1 − x2) sao cho
Ax1 − Ax2, j(x1 − x2) ≥ 0 ∀x1, x2 ∈ D(A).
Toán tử A được gọi là J-đơn điệu chặt nếu đẳng thức trên xảy ra khi
x1 = x2.
Ngoài ra ta còn định nghĩa khác cho toán tử J-đơn điệu như sau
Định nghĩa 1.16. Một toán tử A : X → X được gọi là J-đơn điệu nếu
||x1 − x2|| ≤ ||x1 − x2 + λ(Ax1 − Ax2)|| ∀λ > 0, ∀x1, x2 ∈ D(A).
Định nghĩa 1.17. Toán tử J-đơn điệu A : X → X được gọi là bức nếu
Ax, Jx ≥ c(||x||)||x||,
ở đây c(t) → +∞ khi t → +∞.
Định nghĩa 1.18. Toán tử J-đơn điệu A : X → X được gọi là J-đơn
điệu cực đại nếu đồ thị của nó không là tập con thực sự của đồ thị toán tử
J-đơn điệu khác.
16

19. Định lý 1.5. Cho A : X → X là toán tử J-đơn điệu và hemi-liên tục với
D(A) = X thì A là J-đơn điệu cực đại.
Định nghĩa 1.19. Toán tử A : X → X được gọi là J-đơn điệu đều nếu
tồn tại một hàm tăng γ(t), t ≥ 0, γ(0) = 0 thỏa mãn
Ax1 − Ax2, J(x1 − x2) ≥ γ(||x1 − x2||),
trong đó x1, x2 ∈ D(A). Toán tử A là J-đơn điệu mạnh nếu γ(t) = ct2
,
với c > 0.
Định nghĩa 1.20. Một toán tử J-đơn điệu A : X → X được gọi là m-J-
đơn điệu nếu
R(A + αI) = X
với mọi α > 0, trong đó I là toán tử đơn vị trong X.
Định lý 1.6. Nếu toán tử A là m-J-đơn điệu thì nó là toán tử J-đơn điệu
cực đại.
Ta xét phương trình (1.1) với A là toán tử J-đơn điệu.
Định lý 1.7. Giả sử rằng X và X∗
là các không gian Banach lồi chặt và
X có tính chất xấp xỉ, toán tử A : X → X là J-đơn điệu và demi-liên tục
với miền xác định D(A) = X, ánh xạ đối ngẫu J : X → X∗
là liên tục và
liên tục yếu theo dãy, tồn tại r > 0 sao cho với mọi x thỏa mãn ||x|| = r,
Ax − f, Jx ≥ 0.
Khi đó phương trình Ax = f có ít nhất một nghiệm ¯x với ||¯x|| ≤ r.
Định nghĩa 1.21. Một điểm x0 ∈ X được gọi là nghiệm suy rộng của
phương trình (1.1) với A là toán tử J-đơn điệu nếu bất đẳng thức
y − f, J(x − x0) ≥ 0 ∀y ∈ Ax
thỏa mãn với mọi x ∈ D(A).
17

20. Định lý 1.8. Giả sử rằng X và X∗
là các không gian Banach lồi đều, X có
tính xấp xỉ, ánh xạ đối ngẫu J là liên tục yếu theo dãy, toán tử A : X → 2X
là J-đơn điệu với miền xác định D(A) = X và tồn tại r > 0 sao cho với
mỗi x mà ||x|| = r, tồn tại y ∈ Ax thỏa mãn
y − f, Jx ≥ 0.
Khi đó phương trình (1.1) có ít nhất một nghiệm suy rộng ¯x với ||¯x|| ≤ r.
Chú ý 1.1. Nếu toán tử A trong định lý 1.8 là J-đơn điệu chặt, thì phương
trình toán tử tương ứng có duy nhất nghiệm.
Chương sau chúng tôi sẽ trình bày phương pháp hiệu chỉnh Browder-
Tikhonov cho phương trình phi tuyến với toán tử loại J-đơn điệu.
18

21. Chương 2
Phương pháp hiệu chỉnh
Browder-Tikhonov
Chương này gồm hai mục. Mục 2.1 trình bày về phương pháp hiệu chỉnh
Browder-Tikhonov khi ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J liên tục yếu theo dãy
và khi nó không có tính chất này. Trong mục 2.2, chúng tôi giới thiệu về
phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich kết hợp với phương pháp
hiệu chỉnh Browder-Tikhonov. Các kết quả được tham khảo từ các tài liệu
[4], [8] - [11] và [14].
2.1 Phương pháp Browder-Tikhonov với toán tử
loại J-đơn điệu
Trong không gian Banach X có tính chất xấp xỉ, A : X → X là toán
tử J-đơn điệu và hemi-liên tục, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J : X → X∗
là
liên tục và liên tục yếu theo dãy trong X. Ta xét phương trình
Ax = f (2.1)
với f ∈ X. Giả sử tập nghiệm S là khác rỗng và ta chỉ biết xấp xỉ (Ah, fδ)
của (A, f), trong đó Ah : X → X cũng là toán tử J-đơn điệu và hemi-liên
tục với mọi h > 0, D(Ah) = D(A) = X và fδ ∈ X với mọi δ > 0. Ta giả
thiết rằng
||fδ − f|| ≤ δ (2.2)
và
||Ax − Ahx|| ≤ g(||x||)h ∀x ∈ X, (2.3)
19

22. ở đây g(t) là hàm không âm liên tục với mọi t ≥ 0. Khi đó ta có phương
trình hiệu chỉnh như sau
Ahx + αx = fδ. (2.4)
Từ tính J-đơn điệu của toán tử Ah ta có
Ahx + αx, Jx = Ahx − Ah(θX) + Ah(θX) + αx, Jx
= Ahx − Ah(θX), J(x − θX) + Ah(θX), Jx + αx, Jx
≥ α||x||2
− ||Ah(θX)|| ||x|| = ||x||(α||x|| − ||Ah(θX)||).
(2.5)
Do đó, toán tử T = Ah + αI là bức nên theo định lý 1.7 phương trình
(2.4) có một nghiệm xδ,h
α , với mọi α > 0. Nó cũng là nghiệm duy nhất vì
T là J-đơn điệu mạnh (xem chú ý 1.1). Như vậy,
Ahxδ,h
α + αxδ,h
α = fδ (2.6)
Định lý sau chỉ ra sự hội tụ mạnh của nghiệm hiệu chỉnh.
Định lý 2.1. Nếu điều kiện
δ + h
α
→ 0 khi α → 0 được thỏa mãn thì
xδ,h
α → ¯x∗
∈ S, trong đó ¯x∗
là nghiệm duy nhất của phương trình (2.1)
thỏa mãn bất phương trình
¯x∗
, J(¯x∗
− x∗
) ≤ 0 ∀x∗
∈ S. (2.7)
Chứng minh
Giả sử tồn tại ¯x∗∗
∈ S thỏa mãn ¯x∗∗
= ¯x∗
và
¯x∗∗
, J(¯x∗∗
− x∗
) ≤ 0 ∀x∗
∈ S. (2.8)
Thay x∗
bởi ¯x∗∗
và ¯x∗
lần lượt trong (2.7) và (2.8) rồi cộng hai bất đẳng
thức lại, ta được
||¯x∗
− ¯x∗∗
||2
= ¯x∗
− ¯x∗∗
, J(¯x∗
− ¯x∗∗
) ≤ 0.
Điều này dẫn đến ¯x∗
= ¯x∗∗
. Như vậy ¯x∗
là duy nhất.
Lấy x∗
∈ S bất kỳ. Từ (2.1) và (2.6) ta có
Ahxδ,h
α − Ax∗
, J(xδ,h
α − x∗
) + α xδ,h
α − x∗
, J(xδ,h
α − x∗
)
= fδ − f, J(xδ,h
α − x∗
) − α x∗
, J(xδ,h
α − x∗
) (2.9)
20

23. Vì toán tử Ah là J-đơn điệu và (2.3) nên ta có
Ahxδ,h
α − Ax∗
, J(xδ,h
α − x∗
) = Ahxδ,h
α − Ahx∗
, J(xδ,h
α − x∗
)
+ Ahx∗
− Ax∗
, J(xδ,h
α − x∗
)
≥ −hg(||x∗
||) ||xδ,h
α − x∗
||.
Mặt khác
α xδ,h
α − x∗
, J(xδ,h
α − x∗
) = α||xδ,h
α − x∗
||2
;
fδ − f, J(xδ,h
α − x∗
) ≤ δ||xδ,h
α − x∗
||;
và
−α x∗
, J(xδ,h
α − x∗
) ≤ α||x∗
|| ||xδ,h
α − x∗
||.
Do vậy, ta suy ra
||xδ,h
α − x∗
|| ≤
δ
α
+
h
α
g(||x∗
||) + ||x∗
|| ∀x∗
∈ S,
hoặc
||xδ,h
α || ≤
δ
α
+
h
α
g(||x∗
||) + 2||x∗
|| ∀x∗
∈ S. (2.10)
Do vậy dãy {xδ,h
α } là bị chặn nên có một dãy con hội tụ yếu tới ¯x. Không
mất tổng quát ta coi xδ,h
α ¯x ∈ X khi α → 0. Cũng từ tính J-đơn điệu
của Ah và (2.6) ta được
Ahx − Ahxδ,h
α , J(x − xδ,h
α ) = Ahx + αxδ,h
α − fδ, J(x − xδ,h
α ) ≥ 0 ∀x ∈ X.
Vì J là liên tục yếu theo dãy nên cho α → 0 trong giới hạn trên thì
Ax − f, J(x − ¯x) ≥ 0 ∀x ∈ X. (2.11)
Theo định lý 1.5 toán tử A là J-đơn điệu cực đại, thì từ (2.11) ta suy ra
f = A¯x nên ¯x ∈ S.
Trong (2.9) thay x∗
bởi ¯x ta suy ra ước lượng sau
||xδ,h
α − ¯x||2
≤
δ
α
||xδ,h
α − ¯x|| +
h
α
g(||¯x||)||xδ,h
α − ¯x|| − ¯x, J(xδ,h
α − ¯x) .
21

24. Do dãy {xδ,h
α } bị chặn và hội tụ yếu tới ¯x ∈ S, từ bất phương trình trên
ta suy ra {xδ,h
α } hội tụ mạnh tới ¯x khi α → 0. Từ (2.9) ta có
Ahxδ,h
α − Ax∗
, J(xδ,h
α − x∗
) + α xδ,h
α , J(xδ,h
α − x∗
) = fδ − f, J(xδ,h
α − x∗
)
⇒ −hg(||x∗
||)||xδ,h
α − x∗
|| + α xδ,h
α , J(xδ,h
α − x∗
) ≤ δ||xδ,h
α − x∗
||
⇔ xδ,h
α , J(xδ,h
α − x∗
) ≤
δ
α
+
h
α
g(||x∗
||) ||xδ,h
α − x∗
|| ∀x∗
∈ S.
Cho α → 0 ta được
¯x, J(¯x − x∗
) ≤ 0 ∀x∗
∈ S,
do đó ¯x = ¯x∗
. Vậy dãy {xδ,h
α } hội tụ mạnh tới ¯x∗
.
2
Hệ quả 2.1. Cho phương trình hiệu chỉnh
Ahx + α(x − x+
) = fδ,
trong đó x+
∈ X là một phần tử cố định,
δ + h
α
→ 0 khi α → 0 thì nghiệm
của nó hội tụ mạnh tới nghiệm ¯x∗
∈ S thỏa mãn bất phương trình
¯x∗
− x+
, J(¯x∗
− x∗
) ≤ 0 ∀x∗
∈ S.
Bây giờ ta xét bài toán trên khi thêm điều kiện X là không gian Banach
phản xạ lồi chặt và có tính xấp xỉ, không gian liên hợp của nó X∗
cũng lồi
chặt. Gọi xδ
α là nghiệm của phương trình
A(x) + αx = fδ; (2.12)
và xα là nghiệm của phương trình
A(x) + αx = f. (2.13)
Theo [4] ta biết rằng xδ,h
α , xδ
α và xα tồn tại và duy nhất.
Bổ đề 2.1. Giả sử A : D(A) = X → X là J-đơn điệu và khả vi Frechet
trong X và L = A (h), h ∈ X, và α là số thực dương. Khi đó
||(αI + L)−1
|| ≤
1
α
; ||(αI + L)−1
L|| ≤ 2.
22

25. Sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh và tốc độ hội tụ được đưa ra trong
định lý sau.
Định lý 2.2. Cho J : X → X∗
là liên tục yếu theo dãy và A : D(A) → X
là toán tử J-đơn điệu với D(A) = X. Khi đó {xα} hội tụ tới ¯x∗
là nghiệm
duy nhất của phương trình (2.1) thỏa mãn bất đẳng thức
¯x∗
, J(¯x∗
− x∗
) ≤ 0 ∀x∗
∈ S.
Ngoài ra nếu A thỏa mãn các điều kiện sau:
1. A là khả vi Frechet trong X, và tồn tại một số dương K0, để với bất
kỳ v ∈ X, x ∈ ¯Br(¯x∗
), trong đó r = ||¯x∗
||, tồn tại một phần tử
k(x, ¯x∗
, v) ∈ X và ||k(x, ¯x∗
, v)|| ≤ K0||v|| ||x − ¯x∗
|| sao cho (A (x) −
A (¯x∗
))v = A (¯x∗
)k(x, ¯x∗
, v);
2. Tồn tại ω ∈ X thỏa mãn ¯x∗
= A (¯x∗
)ω.
Khi đó, nếu α = O(δ1/2
+ h1/2
), ta có ||xδ,h
α − ¯x∗
|| ≤ O(δ1/2
+ h1/2
) khi
δ → 0, h → 0.
Chứng minh
Để chứng minh dãy {xα} hội tụ tới ¯x∗
ta chứng minh tương tự như trong
định lý 2.1.
Bây giờ ta sẽ ước lượng cho ||xα − ¯x∗
||. Ký hiệu xt = ¯x∗
+ t(xα − ¯x∗
), 0 ≤
t ≤ 1 thì ||xt − ¯x∗
|| ≤ ||xα − ¯x∗
|| ≤ ||¯x∗
||. Vì vậy xt ∈ ¯Br(¯x∗
) và
A(xα) − A(¯x∗
) = A (¯x∗
)(xα − ¯x∗
) +
1
0
(A (xt) − A (¯x∗
))(xα − ¯x∗
)dt
= A (¯x∗
)(xα − ¯x∗
) +
1
0
A (¯x∗
)k(xt, ¯x∗
, xα − ¯x∗
)dt
Từ (2.13) và A(¯x∗
) = f, ta có
(αI + A (¯x∗
))(xα − ¯x∗
) = −α¯x∗
−
1
0
A (¯x∗
)k(xt, ¯x∗
, xα − ¯x∗
)dt (2.14)
Theo bổ đề 2.1, ta biết rằng ||(αI + A (¯x∗
))−1
A (¯x∗
)|| ≤ 2. Từ hai giả
thiết của định lý và (2.14) ta có
xα−¯x∗
= −α(αI+A (¯x∗
))−1
A (¯x∗
)ω−
1
0
(αI+A (¯x∗
))−1
A (¯x∗
)k(xt, ¯x∗
, xα−¯x∗
)dt.
23

26. Do
1
0
(αI + A (¯x∗
))−1
A (¯x∗
)k(xt, ¯x∗
, xα − ¯x∗
)dt
≤ 2
1
0
K0||xα − ¯x∗
|| ||xt − ¯x∗
||dt = K0||xα − ¯x∗
||2
,
nên
||xα − ¯x∗
|| ≤ 2||ω||α + K0||xα − ¯x∗
||2
.
Vì vậy
||xα − ¯x∗
||(1 − K0||xα − ¯x∗
||) ≤ 2||ω||α.
Mặt khác, do xα → ¯x∗
khi α → 0, từ bất đẳng thức trên ta suy ra
||xα − ¯x∗
|| ≤ O(α). (2.15)
Tiếp theo ta sẽ ước lượng cho ||xδ
α − xα||. Vì xδ
α và xα lần lượt là nghiệm
của (2.12) và (2.13), ta có
A(xδ
α) − A(xα) + α(xδ
α − xα) = fδ − f,
do A có tính J-đơn điệu nên ta suy ra
α||xδ
α − xα||2
≤ fδ − f, J(xδ
α − xα) ≤ ||fδ − f|| ||xδ
α − xα|| ≤ δ||xδ
α − xα||.
Vì vậy
||xδ
α − xα|| ≤
δ
α
≤ O(δ1/2
). (2.16)
Ngoài ra, do xδ,h
α và xδ
α lần lượt là nghiệm của (2.4) và (2.12), ta có
Ah(xδ,h
α ) − A(xδ
α) + α(xδ,h
α − xδ
α) = 0.
Do đó,
α||xδ,h
α − xδ
α||2
+ Ah(xδ,h
α ) − Ah
(xδ
α) + Ah
(xδ
α) − A(xδ
α), J(xδ,h
α − xδ
α) = 0.
Vì Ah có tính J-đơn điệu nên
α||xδ,h
α − xδ
α||2
≤ −Ah(xδ
α) + A(xδ
α), J(xδ,h
α − xδ
α)
≤ ||xδ,h
α − xδ
α||.h.g(||xδ
α||).
24

27. Vì ||xδ
α − ¯x∗
|| ≤ ||xδ
α − xα|| + ||xα − ¯x∗
|| ≤
δ
α
+ ||xα − ¯x∗
|| và {xα} là bị
chặn, nên {xδ
α} là bị chặn khi α = O(δ1/2
+ h1/2
) (δ → 0, h → 0). Vậy
g(||xδ
α||) bị chặn. Do vậy, tồn tại một số dương M > 0 để g(||xδ
α||) ≤ M.
Nên
||xδ,h
α − xδ
α|| ≤
Mh
α
≤ O(h1/2
). (2.17)
Từ (2.15), (2.16) và (2.17) ta suy ra kết luận của định lý.
2
Tiếp theo ta xét phương trình hiệu chỉnh cho phương trình (2.1) trong
không gian Banach thực phản xạ X có tính xấp xỉ, với không gian liên hợp
X∗
lồi chặt. Nếu A không có thêm tính chất J-đơn điệu mạnh hoặc đều
thì nói chung (2.1) là bài toán đặt không chỉnh. Ta xét phương pháp hiệu
chỉnh Browder-Tikhonov có dạng như sau
Ah(x) + α(x − x+
) = fδ, ||fδ − f|| ≤ δ → 0. (2.18)
Ở đây A là m-J-đơn điệu trong X, Ah cũng có tính chất m-J-đơn điệu và
thỏa mãn điều kiện xấp xỉ
||A(x) − Ah(x)|| ≤ hg(||x||), (2.19)
hàm g(t) là bị chặn, liện tục và không âm, x+
là một phần tử thuộc X
đóng vai trò là tiêu chuẩn lựa chọn. Bằng cách chọn x+
ta có thể chọn được
nghiệm ta muốn xấp xỉ. Vì Ah là m-J-đơn điệu nên phương trình (2.18)
có nghiệm duy nhất, ký hiệu là xδ,h
α . Hơn nữa, trong [2] Alber đã chứng
minh xδ,h
α → x0, là nghiệm duy nhất của (2.1), khi (δ + h)/α, α → 0, J là
liên tục yếu theo dãy và liên tục mạnh. Do lớp không gian Banach vô hạn
chiều có tính liên tuc yếu của J là rất nhỏ (chỉ lp). Ở phần này ta sẽ chỉ ra
sự hội tụ của xδ,h
α mà không cần tính liên tục yếu theo dãy của J và điều
kiện duy nhất nghiệm của (2.1).
Trước tiên ta giả sử tồn tại hằng số τ > 0 để với x ∈ X thì
||A(x) − A(x0) − J∗
A (x0)∗
J(x − x0)|| ≤ τ||A(x) − A(x0)||, (2.20)
25

28. trong đó J∗
là ánh xạ đối ngẫu của X∗
, và x0 là một nghiệm của (2.1). Ta
có kết quả về sự hội tụ của xδ,h
α như sau
Định lý 2.3. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn
1. A là khả vi Frechet tại x0 và thỏa mãn giả thiết (2.20);
2. Tồn tại một phần tử z ∈ X sao cho
A (x0)z = x+
− x0,
3. Tham số α được chọn để α ∼ (δ + h)µ
, 0 < µ < 1.
Thì với 0 < δ + h < 1, ta có
||xδ,h
α − x0|| = O((δ + h)θ
), θ = min{1 − µ, µ/2}.
Chứng minh
Từ (2.1), (2.18), (2.19), tính J-đơn điệu của Ah và điều kiện thứ hai của
định lý, ta suy ra
||xδ,h
α − x0||2
= xδ,h
α − x0, J(xδ,h
α − x0)
= xδ,h
α − x+
, J(xδ,h
α − x0) + x+
− x0, J(xδ,h
α − x0)
=
1
α
fδ − Ah(xδ,h
α ), J(xδ,h
α − x0) + A (x0)z, J(xδ,h
α − x0)
=
1
α
fδ − Ax0, J(xδ,h
α − x0) +
1
α
Ax0 − Ahx0, J(xδ,h
α − x0)
+
1
α
Ahx0 − Ah(xδ,h
α ), J(xδ,h
α − x0) + z, A (x0)∗
J(xδ,h
α − x0)
≤
1
α
[δ + hg(||x0||)] ||xδ,h
α − x0|| + z, A (x0)∗
J(xδ,h
α − x0) .
(2.21)
Như vậy, {xδ,h
α } là bị chặn. Từ
z, A (x0)∗
J(xδ,h
α − x0) ≤ ||z||.||A (x0)∗
J(xδ,h
α − x0)||,
và bởi (2.20), ta có
||A (x0)∗
J(xδ,h
α − x0)|| = ||J∗
A (x0)∗
J(xδ,h
α − x0)|| ≤ (τ + 1)||A(xδ,h
α ) − f||
≤ (τ + 1) ||A(xδ,h
α ) − Ah(xδ,h
α )|| + ||Ah(xδ,h
α ) − fδ||
+ ||fδ − f||
≤ (τ + 1) α||xδ,h
α − x+
|| + δ + hg(||xδ,h
α ||) .
26

29. Do đó từ (2.21) ta suy ra
||xδ,h
α − x0||2
≤
1
α
[δ + hg(||x0||)] ||xδ,h
α − x0||
+ (τ + 1)||z|| [α||xδ,h
α − x+
|| + δ + hg(||xδ,h
α ||)].
Vì α ∼ (δ + h)µ
, 0 < µ < 1, và g(t) là bị chặn, từ bất phương trình cuối
ta thu được
||xδ,h
α − x0||2
≤ C1(δ + h)1−µ
||xδ,h
α − x0|| + C2(δ + h)µ
, 0 < δ + h < 1,
trong đó Ci là các hằng số dương. Ta sử dụng kết quả sau
a, b, c ≥ 0 p > q, ap
≤ baq
+ c ⇒ ap
= O(bp/(p−q)
+ c)
ta được
||xδ,h
α − x0|| = O((δ + h)θ
), θ = min{1 − µ, µ/2}.
Định lý được chứng minh.
2
Xét phương trình toán tử (2.1), với A là ánh xạ m-J-đơn điệu, f ∈ X,
trong đó X là không gian Banach thực phản xạ và lồi chặt với chuẩn khả
vi Gateaux đều và giả sử tập nghiệm của nó là S khác rỗng. Nếu X là trơn
thì ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc là đơn trị, ta sẽ kí hiệu nó bởi j.
Ta xét phương trình hiệu chỉnh sau:
A(x) + α(x − x+
) = fδ, (2.22)
ở đây α > 0 là tham số hiệu chỉnh, x+
∈ X là một phần tử dự đoán và
fδ ∈ X bất kỳ với ||fδ − f|| ≤ δ → 0. Trong [2] Abel đã chỉ ra rằng hàm
ρ(α) = α||xδ
α − x+
||, với xδ
α là nghiệm của (2.22), liên tục và đơn điệu
không giảm và nếu A liên tục tại x+
thì
lim
α→0
ρ(α) = 0, lim
α→+∞
ρ(α) = ||Ax+
− fδ||.
Sau đó cũng chính ông đã chỉ ra nếu ||Ax+
− fδ|| > Kδp
, K > 2, 0 < p ≤
1, thì tồn tại ít nhất một giá trị ¯α = α(δ) thỏa mãn ||A(xδ
α(δ))−fδ|| = Kδp
và (K − 1)δp
/α(δ) ≤ 2||y0 − x+
||. Do đó khi 0 < p < 1 ta có
δ/α(δ) ≤ 2||y0 − x+
||δ1−p
/(K − 1) → 0, δ → 0.
27

30. Như vậy, nếu J là liên tục và liên tục yếu theo dãy thì xδ
α(δ) → y∗ ∈ S. Ở
phần trước, ta đã chỉ ra điều kiện để nghiệm hiệu chỉnh hội tụ tới nghiệm
của bài toán mà không cần tính liên tục yếu theo dãy của J. Trong phần
tới, cũng không cần tính chất liên tục yếu theo dãy của J và điều kiện
(2.20), ta sẽ chỉ ra sự hội tụ mạnh của thuật toán (2.22) và đưa ra tốc độ
hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh.
Cho phần tử cố định f ∈ X, ta xác định ánh xạ u = Tf (x) bởi
Af (u) + u = x, Af (.) = A(.) − f,
cho mỗi x ∈ X. Khi đó Tf có các tính chất sau:
• D(Tf ) = X;
• Tf là ánh xạ không giãn;
• Fix(Tf ) = S.
Bổ đề 2.2. Giả sử C là một tập con lồi của không gian Banach X có
chuẩn khả vi Gateaux đều. Cho {xk} là một tập con bị chặn của X, z là
một phần tử thuộc C và cho µ là một giới hạn Banach. Khi đó
µk||xk − z||2
= min
u∈C
µk||xk − u||2
nếu và chỉ nếu µk u − z, j(xk − z) ≤ 0 cho mọi u ∈ C.
Các định lý 2.4 - 2.7 chỉ ra sự hội tụ và đánh giá tốc độ hội tụ của
nghiệm hiệu chỉnh.
Định lý 2.4. Cho X là một không gian Banach thực, phản xạ và lồi chặt
với chuẩn khả vi Gateaux đều và cho A là một ánh xạ m-J-đơn điệu trên
X. Khi đó, với mỗi α > 0 và f ∈ X, phương trình
A(x) + α(x − x+
) = f, (2.23)
có nghiệm duy nhất xα. Hơn thế nếu có thêm tập nghiệm của (1.1) là
S = ∅ thì dãy {xα} hội tụ mạnh tới phần tử y∗ ∈ X, là nghiệm của bất
đẳng thức biến phân sau:
y∗ ∈ S : y∗ − x+
, j(y∗ − y) ≤ 0 ∀y ∈ S. (2.24)
28

31. Ngoài ra ta còn có ||xδ
α −xα|| ≤ δ/α, ở đây xδ
α là nghiệm duy nhất phương
trình (2.22), ∀α > 0 và fδ ∈ X.
Chứng minh
Do A là toán tử m-J-đơn điệu nên phương trình (2.23) luôn có nghiệm,
ký hiệu là xα, α > 0. Mặt khác, vì ánh xạ A + α(I − x+
) là J-đơn điệu
α-mạnh nên nghiệm này là duy nhất. Lập luận tương tự ta cũng có xδ
α là
nghiệm duy nhất của (2.22). Từ (2.23) ta có
A(xα) − A(y), j(xα − y) + α xα − x+
, j(xα − y) = 0 ∀y ∈ S,
do đó
xα − y + y − x+
, j(xα − y) ≤ 0 ∀y ∈ S
hay
||xα − y||2
≤ x+
− y, j(xα − y) ∀y ∈ S. (2.25)
Từ đó, ||xα − y|| ≤ ||x+
− y||, điều này dẫn đến dãy {xα} bị chặn. Cũng
từ (2.23) ta thu được
||A(xα) − f|| = α||xα − x+
|| ≤ α[||xα − y|| + ||x+
− y||] ≤ 2α||x+
− y||
suy ra
lim
α→0
||A(xα) − f|| = 0. (2.26)
Tiếp theo, ta xét ánh xạ Tf
:= I − Af . Rõ ràng, y ∈ S nếu và chỉ nếu
y ∈ Fix(Tf
). Hơn thế, ta có
2I − Tf = I + I − Tf
= I + Af ,
do đó A := (2I − Tf )−1
= (I + Af )−1
= Tf , là ánh xạ không giãn đơn trị.
Vì vậy, Fix(A) = Fix(Tf ) = S. Từ
xδ
α − Tf
xδ
α = (2I − Tf
)xδ
α − xδ
α = A(xδ
α) − f
và
A(2I − Tf
)xδ
α = xδ
α,
29

32. ta suy ra
||xδ
α−Axδ
α|| = ||A(2I−Tf
)xδ
α−Axδ
α|| ≤ ||(2I−Tf
)xδ
α−xδ
α|| = ||A(xδ
α)−f||.
Kết hợp bất đẳng thức trên với (2.26) suy ra ||xα −Axα|| → 0 khi α → 0.
Cho {xk} là một dãy con bất kỳ của {xα} với αk → 0 khi k → ∞. Xét
phiếm hàm ϕ(x) = µk||xk − x||2
∀x ∈ X. Ta nhận thấy ϕ(x) → ∞ khi
||x|| → ∞, trong đó ϕ là phiếm hàm lồi và liên tục. Khi đó, nếu X là phản
xạ, tồn tại ˜y ∈ X thỏa mãn ϕ(˜y) = minx∈X ϕ(x). Do vậy, tập
C∗
:= {u ∈ X : ϕ(u) = min
x∈X
ϕ(x)} = ∅.
Dễ thấy C∗
là tập con bị chặn, đóng và lồi trên X. Mặt khác, từ ||xk −
Axk|| → 0, ta có
ϕ(A˜y) = µk||xk − A˜y||2
= µk||Axk − A˜y||2
≤ µk||xk − ˜y||2
= ϕ(˜y),
suy ra AC∗
⊂ C∗
, tức là C∗
là bất biến dưới A. Ta sẽ chỉ ra C∗
chứa
một điểm cố định của A. Thật vậy, vì X là không gian Banach lồi chặt và
phản xạ, tập con lồi đóng bất kỳ trong X là tập Chebyshev [xem 12]. Cho
y ∈ Fix(A), khi đó tồn tại duy nhất ˜y ∈ C∗
để
||y − ˜y|| = inf
x∈C∗
||y − x||.
Do y = Ay và A˜y ∈ C∗
, ta có
||y − A˜y|| = ||Ay − A˜y|| ≤ ||y − ˜y||,
nên A˜y = ˜y. Do vậy, tồn tại một điểm ˜y ∈ Fix(A) ∩ C∗
= S ∩ C∗
.
Từ bổ đề 2.2, ta biết ˜y là điểm cực tiểu của ϕ(x) trên X nếu và chỉ nếu
µk x − ˜y, j(xk − ˜y) ≤ 0 ∀x ∈ X. (2.27)
Thay y = ˜y trong (2.25) và lấy x = x+
trong (2.27), ta thu được µk||xk −
˜y||2
= 0. Do vậy, tồn tại một dãy con {xki
} của {xk} hội tụ mạnh tới ˜y
khi i → ∞. Từ (2.25) và tính chất liên tục yếu* theo chuẩn của ánh xạ
đối ngẫu chuẩn tắc j trong tập con bị chặn của X, ta được
y − x+
, j(˜y − y) ≤ 0 ∀y ∈ S. (2.28)
30

33. Vì y và ˜y đều thuộc Fix(A) là tập con đóng và lồi, thay y trong (2.28)
bằng sy + (1 − s)˜y với s ∈ (0, 1), và lưu ý j(s(˜y − y)) = sj(˜y − y), s > 0,
chia cho s và để s → 0, ta được
˜y − x+
, j(˜y − y) ≤ 0 ∀y ∈ S.
Do tính duy nhất của y∗ trong (2.24) nên ˜y = y∗ . Vì vậy, tất cả lưới {xα}
hội tụ mạnh tới y∗ khi α → 0. Kết hợp (2.22) và (2.23), ta có
A(xδ
α) − Axα, j(xδ
α − xα) + α||xδ
α − xα||2
= fδ − f, j(xδ
α − xα) ,
suy ra ||xδ
α − xα|| ≤ δ/α.
2
Định lý 2.5. Cho X là không gian Banach thực, phản xạ và lồi chặt với
chuẩn khả vi Gateaux đều và cho A là toán tử m-J-đơn điệu trong X. Cho
f và fδ là các phần tử trong X sao cho ||fδ − f|| ≤ δ → 0. Khi đó,
1. nếu có thêm tập nghiệm của (2.1) là S = ∅ và tham số α được chọn
để δ/α → 0 khi α → 0 thì {xδ
α} hội tụ mạnh tới phần tử y∗ ∈ X, là
nghiệm của bất đẳng thức biến phân sau:
y∗ ∈ S : y∗ − x+
, j(y∗ − y) ≤ 0, ∀y ∈ S;
2. ngoài ra với các số dương bất kỳ αi và δi với i = 1, 2, ta có
||xδ1
α1
− xδ2
α2
|| ≤ (M1 + ||x+
||)
|α1 − α2|
α1
+
δ1 + δ2
α1
trong đó M1 là hằng số dương.
Chứng minh
1., chứng minh tương tự như trong định lý 2.4.
2., Cho xδi
αi
là nghiệm của (2.22) với α = αi và δ = δi cho i = 1, 2. Thì
A(xδ1
α1
) − A(xδ2
α2
), j(xδ1
α1
− xδ2
α2
) + α1 xδ1
α1
− x+
, j(xδ1
α1
− xδ2
α2
)
−α2 xδ2
α2
− x+
, j(xδ1
α1
− xδ2
α2
) = fδ1
− fδ2
, j(xδ1
α1
− xδ2
α2
) ,
31

34. do A là m-J-đơn điệu nên
α1 xδ1
α1
− xδ2
α2
, j(xδ1
α1
− xδ2
α2
) + (α1 − α2) xδ2
α2
− x+
, j(xδ1
α1
− xδ2
α2
)
≤ fδ1
− fδ2
, j(xδ1
α1
− xδ2
α2
) ,
từ đó
α1||xδ1
α1
−xδ2
α2
||2
≤ (M1 +||x+
||)|α1 −α2| ||xδ1
α1
−xδ2
α2
||+(δ1 +δ2)||xδ1
α1
−xδ2
α2
||,
ở đây ta chọn M1 sao cho ||xδ2
α2
|| ≤ M1. Do vậy,
||xδ1
α1
− xδ2
α2
|| ≤ (M1 + ||x+
||)
|α1 − α2|
α1
+
δ1 + δ2
α1
.
2
Định lý 2.6. Cho X, A và f như trong định lý 2.4 sao cho S = ∅. Giả sử
rằng tồn tại một phần tử v ∈ X để x+
− y∗ = A (y∗)v và đạo hàm Frechet
A (.) là liên tục Lipchitz địa phương trong hình cầu
Br(y∗) = {x ∈ X : ||x − y∗|| ≤ ||x+
− y∗||}.
Khi đó, với mỗi α > 0, ta có
||xα − y∗|| ≤ 2(2L||v||2
+ ||v||)α.
Chứng minh
Đặt F = A (y∗), Rα = α(F + αI)−1
và B = FRα, thì
αF − αB = αF − αFRα = αF(I − Rα)
= αF[(F + αI) − αI](F + αI)−1
= FB.
Đặt zα = xα − y∗, ta được
A(xα) − A(y∗ + Bv) + α(zα − Bv)
= A(y∗) − A(y∗ + Bv) + α(zα − Bv) − α(xα − x+
)
= A(y∗) − A(y∗ + Bv) + α(x+
− y∗) − αBv
= A(y∗) − A(y∗ + Bv) + αF(v) − αBv
= A(y∗) − A(y∗ + Bv) + FBv,
32

35. Sử dụng tính liên tục Lipchitz của A (.) và bổ đề 2.1, ta có
α||zα − Bv||2
≤ Axα − A(y∗ + Bv) + α(zα − Bv), j(zα − Bv)
⇔ α||zα − Bv||2
≤ A(y∗) − A(y∗ + Bv) + FBv, j(zα − Bv)
⇔ ||zα − Bv|| ≤
1
α
||A(y∗) − A(y∗ + Bv) + A (y∗)Bv||
⇔ ||zα − Bv|| ≤
1
α
||A (y∗) − A (¯y∗)||.||Bv||, ¯y∗ ∈ Br(y∗)
⇔ ||zα − Bv|| ≤
L
α
.||Bv||2
⇔ ||zα − Bv|| ≤
L
α
.||αF(F + αI)−1
||2
.||v||2
⇔ ||zα − Bv|| ≤ 4Lα.||v||2
Mặt khác ||Bv|| ≤ 2α||v||, do đó
||zα|| = ||xα − y∗|| ≤ ||zα − Bv|| + ||Bv|| ≤ 2(2L||v||2
+ ||v||)α.
2
Định lý 2.7. Cho X, A và f như trong định lý 2.6. Giả sử rằng tồn tại
một phần tử v ∈ X để x+
− y∗ = A (y∗)v và một trong hai điều kiện sau
được thỏa mãn:
1. A (.) liên tục Lipchitz như trong định lý 2.6.
2. Tồn tại hằng số k0 > 0 sao cho k0||x+
− y∗|| < 1 và
(A (x)−A (y∗))ω = A (y∗)k(x, y∗, ω), ||k(x, y∗, ω)|| ≤ k0||ω|| ||x−y∗||,
∀x, ω ∈ B˜r(y∗), ở đây ˜r > r + δ/α.
Khi đó, nếu α được chọn sao cho α = O(
√
δ), thì
||xδ
α − y∗|| ≤ O(
√
δ).
Chứng minh
Nếu điều kiện trong định lý 2.6 được thỏa mãn thì cùng với kết quả của
định lý 2.4 ta thu được
||xδ
α − y∗|| ≤ ||xδ
α − xα|| + ||xα − y∗|| ≤
δ
α
+ 2(2L||v||2
+ ||v||)α.
33

36. Do vậy, nếu chọn α = O(
√
δ) thì ||xδ
α − y∗|| ≤ O(
√
δ).
Bây giờ ta xét trường hợp khi điều kiện sau được thỏa mãn. Đặt xt =
y∗ +t(xα −y∗) với t ∈ (0, 1). Vì xα ∈ Br(y∗) nên ||xt −y∗|| = t||xα −y∗|| ≤
||x+
− y∗||, suy ra xt ∈ B˜r(y∗). Mặt khác, từ (2.23) và
A(xα) − A(y∗) = A (y∗)(xα − y∗) +
1
0
(A (xt) − A (y∗))(xα − y∗)dt
= A (y∗)(xα − y∗) +
1
0
A (y∗)k(xt, y∗, xα − y∗)dt
suy ra
−α(xα − x+
) = A (y∗)(xα − y∗) +
1
0
A (y∗)k(xt, y∗, xα − y∗)dt.
Đẳng thức trên tương đương với
−α(xα−y∗)−A (y∗)(xα−y∗) = −α(x+
−y∗)+
1
0
A (y∗)k(xt, y∗, xα−y∗)dt.
Vì vậy, ta được
xα − y∗ = α(F + αI)−1
Fv −
1
0
(F + αI)−1
Fk(xt, y∗, xα − y∗)dt.
Ngoài ra, với ||(F + αI)−1
Fv|| ≤ 2||v||, ta có
1
0
||(F + αI)−1
Fk(xt, y∗, xα − y∗)||dt ≤ 2
1
0
k0||xt − y∗|| ||xα − y∗||dt
≤ 2k0
1
0
t||xα − y∗||2
dt
≤ k0||xα − y∗||2
≤ k0||x+
− y∗|| ||xα − y∗||.
Từ đó, suy ra (1 − k0||x+
− y∗||) ||xα − y∗|| ≤ 2α||v||. Vì thế
||xδ
α − y∗|| ≤ ||xδ
α − xα|| + ||xα − y∗|| ≤
δ
α
+
2α||v||
1 − k0||x+ − y∗||
.
Do vậy, nếu α = O(
√
δ) thì ta cũng thu được ||xδ
α − y∗|| ≤ O(
√
δ). Định
lý được chứng minh.
2
34

37. Trong [13] Ryazantseva đã xem xét thuật toán điểm gần kề kết hợp với
phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov có dạng:
ck(A(xk+1) + αkxk+1 − fk) + xk+1 = xk, x0 ∈ X.
Sau đó, ông đã chỉ ra dãy {xk} sinh bởi phương trình này hội tụ mạnh tới
một nghiệm của phương trình (2.1) chỉ khi J có tính chất liên tục và liên
tục yếu theo dãy, dãy {xk} bị chặn khi có thêm một số điều kiện cho ck
và αk. Ta sẽ chỉ tính bị chặn của dãy {xk} sinh ra bởi phương trình tổng
quát hơn như sau
ck(A(xk+1) + αkxk+1 − fk) + xk+1 − xk = γk(xk − xk−1) (2.29)
mà không cần tính liên tục yếu theo dãy của J.
Bổ đề 2.3. Cho {ak}, {bk}, và {ck} là ba dãy số thực dương thỏa mãn các
điều kiện sau:
1. ak+1 ≤ (1 − bk)ak + bkck, bk < 1;
2. ∞
n=0 bk = +∞, limk→+∞ ck = 0.
Khi đó limk→+∞ ak = 0.
Định lý sau chỉ ra nghiệm của phương trình (2.29) hội tụ tới y∗ là
nghiệm của (2.24) với điều kiện ràng buộc cho ck, αk và γk.
Định lý 2.8. Cho X, A, f như trong định lý 2.5 sao cho S = ∅ và fk ∈ X
thỏa mãn ||fk − f|| ≤ δk, k → ∞. Giả sử rằng các tham số ck, αk và γk
thỏa mãn các điều kiện sau:
1. C0 > ck > c0 > 0, γk ≥ 0, C0 và c0 là các hằng số dương,
2. ∞
k=1 τk = +∞, τk = αkck/(1 + αkck),
∞
k=1 γkτk
−1
||xk − xk−1|| < +∞,
3. αk > 0, limk→+∞ αk = 0, và limk→+∞ Dk/τk = 0, trong đó
Dk = M1
|αk − αk+1|
αk
+
δk + δk+1
αk
.
35

38. Khi đó, dãy {xk} xác định bởi phương trình (2.29) hội tụ mạnh tới y∗ là
nghiệm của (2.24), khi k → +∞.
Chứng minh
Ký hiệu xk là nghiệm duy nhất của (2.22), trong đó α và fδ lần lượt được
thay bởi αk và fk và x+
= 0. Ta viết các phương trình (2.29) và (2.22) lần
lượt dưới dạng tương đương sau
λk(A(xk+1) − fk) + xk+1 = βkxk + βkγk(xk − xk−1),
λk(A(xk) − fk) + xk = βkxk,
trong đó λk = βkck và βk = 1/(1 + ckαk). Từ đó, ta suy ra
λk A(xk+1) − A(xk), j(xk+1 − xk) + xk+1 − xk, j(xk+1 − xk)
= βk xk − xk, j(xk+1 − xk) + βkγk xk − xk−1, j(xk+1 − xk) .
Do λk > 0 và A là m-J-đơn điệu, nên ta thu được
||xk+1 − xk||2
≤ (βk||xk − xk|| + βkγk||xk − xk−1||)||xk+1 − xk||. (2.30)
Nếu xk+1 = xk thì theo định lý 2.5,
lim
k→+∞
xk+1 = lim
k→+∞
xk = y∗
Không mất tổng quát, giả sử xk+1 = xk. Từ (2.30) ta suy ra
||xk+1 − xk|| ≤ βk||xk − xk|| + βkγk||xk − xk−1||.
Kết hợp bất đẳng thức trên với định lý 2.5 dẫn đến
||xk+1 − xk+1|| ≤ ||xk+1 − xk|| + ||xk+1 − xk||
≤ βk||xk − xk|| + βkγk||xk − xk−1|| + Dk
= (1 − τk)||xk − xk|| + dk,
trong đó
dk = βkγk||xk − xk−1|| + Dk ≤ γk||xk − xk−1|| + Dk.
Theo điều kiện thứ hai của định lý ta suy ra γkτk
−1
||xk − xk−1|| → 0 khi
k → +∞. Kết hợp điều này với điều kiện thứ ba của định lý, ta có
0 ≤ lim
k→+∞
dk
τk
≤ lim
k→+∞
(γkτk
−1
||xk − xk−1|| +
Dk
τk
) = 0.
36

39. Do vậy,
lim
k→+∞
dk
τk
= 0.
Áp dụng bổ đề 2.3 với ak = ||xk − xk||, bk = τk, ck =
dk
τk
, thì
lim
k→+∞
||xk − xk|| → 0.
Vì ||xk −y∗|| → 0 khi k → +∞, nên từ ||xk −y∗|| ≤ ||xk −xk||+||xk −y∗||
ta có xk → y∗ khi k → +∞. Định lý được chứng minh.
2
2.2 Phương pháp hiệu chỉnh Newton-Kantorovich
Trong phần này chúng ta tìm nghiệm cho phương trình phi tuyến không
chỉnh (2.1) với A là toán tử m-J-đơn điệu, dựa vào phương pháp hiệu chỉnh
Newton-Kantorovich. Ta luôn giả sử rằng tập nghiệm của (2.1), ký hiệu là
S khác rỗng, và thay cho f, ta chỉ biết xấp xỉ fδ thỏa mãn
||fδ − f|| ≤ δ → 0. (2.31)
Nếu như A không có tính chất J-đơn điệu đều hoặc mạnh thì phương
trình (2.1) nói chung là không chỉnh. Để giải bài toán (2.1), ta dùng các
phương pháp ổn định như phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov
(2.22) đã trình bày ở phần trước. Tuy nhiên khi A là toán tử phi tuyến
thì bài toán này cũng là phi tuyến, do đó khó giải quyết trong thực tế. Để
khắc phục điều này, một phương pháp ổn định khác là phương pháp hiệu
chỉnh Newton-Kantorovich trong không gian Hilbert H được Bukushinskii
[5] đưa ra như sau
z0 ∈ H, A(zn) + A (zn)(zn+1 − zn) + αnzn+1 = fδ. (2.32)
Sau đó Bakushinskii và Smirnova [6] đã tìm ra sự hội tụ của (2.32) với quy
tắc dừng hậu nghiệm
||A(zN ) − fδ||2
≤ τδ < ||A(zn) − fδ||2
, 0 ≤ n < N = N(δ), (2.33)
37

40. với điều kiện ||A (x)|| ≤ 1 ∀x ∈ H và A là liên tục L-Lipchitz, ở đây τ > 1
là một số cố định. Phương pháp (2.32) đã được Abel và Ryazantseva [4]
mở rộng từ không gian Hilbert vào không gian Banach với dạng sau
z0 ∈ X, A(zn) + A (zn)(zn+1 − zn) + αnJs
(zn+1) = fδ,
chỉ với điều kiện
||A (x)|| ≤ ϕ(||x||), (2.34)
trong đó ϕ(t) là hàm không âm, không giảm với mọi t ≥ 0, A là ánh xạ
đơn điệu từ X vào X∗
. Ta biết rằng nếu A là khả vi Gateaux và J-đơn
điệu thì A (z)(.) cũng là ánh xạ J-đơn điệu cho mỗi z cố định thuộc X.
Hơn nữa, A (z)(.)là tuyến tính và liên tục, do vậy nó là liên tục yếu. Từ
đó, phương trình
z0 ∈ X, A(zn) + A (zn)(zn+1 − zn) + αn(zn+1 − x+
) = fδ (2.35)
có nghiệm duy nhất zn+1, cho mỗi số nguyên n ≥ 0, với αn, δ > 0.
Để giải bài toán (2.1) với điều kiện (2.31), chúng ta sẽ chứng minh định
lý hội tụ mạnh cho phương pháp hiệu chỉnh Newton-Kantorovich (2.35)
với quy tắc dừng hậu nghiệm (2.33) và điều kiện (2.34) mà không có điều
kiện nhiễu vế phải, tức là ta xem xét phương pháp lặp sau
x0 ∈ X, A(xn) + A (xn)(xn+1 − xn) + αn(xn+1 − x+
) = f. (2.36)
Định lý dưới đây sẽ chỉ ra sự hội tụ mạnh của dãy {xn}.
Định lý 2.9. Cho X là không gian Banach thực, phản xạ và lồi chặt với
chuẩn khả vi Gateaux đều và cho A là một ánh xạ m-J-đơn điệu, khả vi
Frechet hai lần trên X với điều kiện (2.34). Giả sử rằng dãy {αn}, số thực
d và điểm ban đầu x0 thỏa mãn các điều kiện sau:
1. {αn} là dãy đơn điệu giảm với 0 < αn < 1 và tồn tại σ > 0 thỏa mãn
αn+1 ≥ σαn với mọi n = 0, 1, ...;
2.
ϕ0||x0 − xα0
||
2σα0
≤ q < 1, ϕ0 = ϕ(d + γ),
38

41. trong đó số dương γ được tìm từ giới hạn
2σα0
ϕ0
≤ γ, d ≥ 2||x∗ − x+
|| + ||x+
||, (2.37)
ở đây x∗ là nghiệm bất đẳng thức biến phân sau:
x∗ ∈ S : x∗ − x+
, J(x∗ − y) ≤ 0 ∀y ∈ S, (2.38)
và xα0
là nghiệm của phương trình
A(x) + αn(x − x+
) = f, (2.39)
với n = 0;
3.
αn − αn+1
α2
n
≤
q − q2
c1
, c1 =
ϕ0d
2σ2
.
Khi đó limn→+∞ ||xn − x∗|| = 0.
Chứng minh
Gọi xαn
là nghiệm duy nhất của (2.39). Theo định lý 2.4, ta có dãy {xαn
}
hội tụ mạnh tới x∗ là nghiệm của (2.38) khi n → +∞. Ngoài ra, vì
xαn
∈ Br(x∗) nên
||xαn
− x+
|| ≤ ||xαn
− x∗|| + ||x∗ − x+
|| ≤ 2||x∗ − x+
||
điều này dẫn đến
||xαn
|| ≤ 2||x∗ − x+
|| + ||x+
|| ≤ d
vì vậy ta suy ra
||xαn
− xαn+1
|| ≤
αn − αn+1
αn
d, ∀n = 0, 1, ... (2.40)
Từ giả thiết, xαn
là nghiệm của phương trình (2.39) nên A(xαn
)+αn(xαn
−
x+
) = f. Theo công thức Taylor thì
A(xαn
) = A(xn) + A (xn)(xαn
− xn) +
1
2
A (θn)(xαn
− xn)2
,
39

42. với θn = xαn
+ θ(xn − xαn
) và 0 < θ < 1. Do vậy,
A(xn)+A (xn)(xαn
−xn)+
1
2
A (θn)(xαn
−xn)2
+αn(xαn
−x+
) = f. (2.41)
Hơn nữa, từ (2.36) và (2.41) ta suy ra
A (xn)(xn+1−xαn
)−
1
2
A (θn)(xαn
−xn)2
+αn(xn+1−xαn
), J(xn+1−xαn
) = 0.
Do tính chất J-đơn điệu của toán tử A , từ đẳng thức trên dẫn đến
αn||xn+1 − xαn
|| ≤
1
2
||A (θn)|| ||xαn
− xn||2
,
kết hợp bất đẳng thức này với (2.34) ta có
||xn+1 − xαn
|| ≤
ϕ(rn)
2αn
∆2
n, (2.42)
trong đó ∆n = ||xn − xαn
|| và rn ≥ ||xαn
|| + ∆n ≥ ||θn||. Từ điều kiện đầu
và (2.37), ta có σ < 1 và
2σαn
ϕ0
≤ γ ∀n ≥ 0. (2.43)
Ta cũng thu được ∆0 ≤ γ từ điều kiện thứ hai và (2.37) với r0 = d + γ.
Bây giờ ta sẽ chứng minh bằng quy nạp bất đẳng thức sau
ϕ0∆n
2σαn
≤ q < 1, ∀n ≥ 0. (2.44)
Với n = 0 thì đây chính là điều kiện thứ hai của định lý. Giả sử (2.44)
đúng với n = k và rk = d + γ, ta sẽ chứng minh nó đúng với n = k + 1.
Thật vậy, rõ ràng từ (2.40) và (2.42) ta có
∆k+1 = ||xk+1 − xαk+1
|| ≤ ||xk+1 − xαk
|| + ||xαk
− xαk+1
||
≤
ϕ(rk)
2αk
∆2
k +
αk − αk+1
αk
d.
Kết quả sau được suy ra từ bất đẳng thức trên và điều kiện thứ ba trong
định lý
ϕ0∆k+1
2σαk+1
≤
ϕ0∆k+1
2σ2αk
≤
ϕ0
2σαk
∆k
2
+
(αk − αk+1)ϕ0d
2σ2αk
2
≤ q2
+ q − q2
= q < 1.
40

43. Như vậy phần chứng minh bằng quy nạp đã hoàn thành. Tiếp theo, từ bất
đẳng thức (2.43), ta có
∆k+1 ≤
2σαk+1
ϕ0
≤ γ,
theo định nghĩa của rn, ta có thể lấy rk+1 = d + γ.
Vì αn → 0 khi n → +∞, từ (2.44) ta có ∆n → 0. Mặt khác, từ
||xn − x∗|| ≤ ∆n + ||xαn
− x∗||
và
||xαn
− x∗|| → 0,
khi n → ∞, ta suy ra sự hội tụ mạnh của dãy {xn} tới x∗.
2
Định lý 2.10. Cho X, A, và αn như trong định lý 2.9 với toán tử A liên
tục L-Lipchitz và điều kiện thứ nhất được thỏa mãn. Cho τ > 1 trong
(2.33) được chọn sao cho
˜ϕ||z0 − xα0
||
2σα0
≤ q, 0 < q < 1 −
3dL
˜τσ
, ˜ϕ = ϕ0 + 2L2
/˜τ, ˜τ = (
√
τ − 1)2
,
(2.45)
ở đây d được xác định như trong định lý 2.9, số dương γ được lấy từ giới
hạn (2.37) với ϕ0 được thay bởi ˜ϕ, và
αn − αn+1
α2
n
+
d
˜τ
≤
2Lσ
˜ϕ˜τ
q. (2.46)
Khi đó
1. Cho n = 0, 1, ....., N(δ),
˜ϕ||zn − xαn
||
2σαn
≤ q, (2.47)
ở đây zn là nghiệm của (2.35) và N(δ) được chọn bởi (2.33).
2. Dãy {N(δ)} là chấp nhận được, tức là,
lim
δ→0
||zN(δ) − y|| = 0,
trong đó y ∈ S. Nếu N(δ) → ∞ khi δ → 0, thì y = x∗.
41

44. Chứng minh
Ta sẽ chứng minh (2.47) bằng phương pháp quy nạp. Thật vậy, với trường
hợp n = 0 bất đẳng thức (2.47) đúng do điều kiện (2.45). Lấy bất kỳ
n < N(δ) và giả sử rằng cho k bất kỳ sao cho 0 ≤ k ≤ n < N(δ) thì
(2.47) đúng. Theo công thức Taylor, ta có
A(xαn
) = A(zn) + A (zn)(xαn
− zn) +
1
2
A (˜θn)(xαn
− zn)2
,
với ˜θn = xαn
+ θ(zn − xαn
) và 0 < θ < 1. Do vậy,
A(zn) + A (zn)(xαn
− zn) +
1
2
A (˜θn)(xαn
− zn)2
+ αn(xαn
− x+
) = f.
Kết hợp điều này với (2.35) ta được
A (zn)(zn+1 − xαn
) −
1
2
A (˜θn)(xαn
− zn)2
+ αn(zn+1 − xαn
) = fδ − f.
Do A có tính J-đơn điệu nên từ đẳng thức trên suy ra
||zn+1 − xαn
|| ≤
1
2αn
||A (˜θn)|| ||xαn
− zn||2
+
δ
αn
.
Mặt khác, ||zn+1 − xαn+1
|| ≤ ||zn+1 − xαn
|| + ||xαn
− xαn+1
|| vì vậy
˜∆n+1 ≤
ϕ(˜rn)
2αn
˜∆2
n +
αn − αn+1
αn
d +
δ
αn
, (2.48)
ở đây ˜∆n = ||zn − xαn
|| và ˜rn ≥ ||xαn
|| + ˜∆n ≥ ˜θn. Vì n < N(δ) và từ
(2.33) nên τδ ≤ ||A(zn) − fδ||2
. Ngoài ra, do A có tính liên tục L-Lipchitz
nên
√
τδ ≤ ||A(zn) − fδ|| ≤ ||A(zn) − f|| + ||f − fδ||
≤ ||A(zn) − A(xαn
) − αn(xαn
− x+
)|| + ||f − fδ||
≤ L||zn − xαn
|| + αnd + δ,
do đó,
√
τδ − δ ≤ L||zn − xαn
|| + αnd.
Không mất tổng quát, ta giả sử rằng δ < 1. Như vậy,
δ ≤
(L||zn − xαn
|| + αnd)2
˜τ
,
42

45. điều này cùng với (2.48) dẫn đến
˜∆n+1 ≤
ϕ(˜rn) + 2L2
/˜τ
2αn
˜∆2
n +
2L ˜∆nd
˜τ
+
αn − αn+1
αn
d +
αnd2
˜τ
.
Nhân hai vế bất phương trình trên với
˜ϕ
2σ2αn
> 0 với lưu ý rằng 0 < σ < 1,
sau đó kết hợp với (2.46) ta được
˜γn+1 ≤ ˜γ2
n +
2dL
˜τσ
˜γn +
αn − αn+1
α2
n
d
˜ϕ
2σ2
+
d2
˜ϕ
2σ2˜τ
≤ ˜γ2
n +
2dL
˜τσ
˜γn +
d ˜ϕ
2σ2
(
αn − αn+1
α2
n
+
d
˜τ
)
≤ q(q +
3dL
˜τσ
) ≤ q < 1,
trong đó ˜γn = ˜ϕ ˜∆n/(2σαn). Tương tự như trong định lý 2.9, ta có thể lấy
rn+1 = d + γ. Hai trường hợp có thể xảy ra như sau:
1. N(δ) = N0 ∀δ ≤ δ0. Khi đó, từ (2.33) ta có limδ→0 ||A(zN(δ))−fδ|| =
0, do vậy ||A(zN0
) − f|| = 0 hay zN0
là nghiệm của (2.1).
2. N(δ) → ∞ ∀δ ≤ δ0. Rõ ràng, xαN(δ)
→ x∗ khi δ → 0. Mặt khác, từ
˜∆n ≤ (2σαn)/ ˜ϕ → 0 khi n → ∞ và
||zN(δ) − x∗|| ≤ ˜∆N(δ) + ||xαN(δ)
− x∗||,
ta suy ra dãy {zN(δ)} hội tụ mạnh tới x∗.
2
43

46. Kết luận
Sau một thời gian làm việc dưới sự hướng dẫn của GS. TS. Nguyễn Bường
luận văn đã được hoàn thành. Luận văn giới thiệu về bài toán đặt không
chỉnh và phương trình với toán tử loại J-đơn điệu. Trình bày phương pháp
hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho phương trình phi tuyến không chỉnh loại
J-đơn điệu khi J có tính liên tục yếu theo dãy và khi nó không có tính
chất này. Cuối cùng, chúng tôi giới thiệu về phương pháp hiệu chỉnh lặp
Newton-Kantorovich. Trong luận văn các định lý đã được chứng minh chi
tiết. Các vấn đề đưa ra trong luận văn dựa trên kết quả nghiên cứu gần
đây của GS.TS Nguyễn Bường và đồng nghiệp.
44

47. Tài liệu tham khảo
[1] Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường (2005), Bài toán đặt không chỉnh, NXB
ĐHQG Hà Nội.
[2] Alber Y. (1975), On solution by the method of regularization for op-
erator equation of the first kind involving accretive mappings in Banach
spaces , Differential Equations SSSR, XI, 2242-2248.
[3] Alber Y. (1975), On solving nonlinear equations involving monotone
operator in Banach space, Sibirian Mathematics Journal, 26, 3-11.
[4] Alber Y., Ryazantseva I (2006), Nonlinear ill-posed problems of mono-
tone type, Springer.
[5] Bakushinskii A. (1976), Regularization Algorithm based on the Newton-
Kantorovich method for solving variational inequalities, Zh. Vychisl. Mat.
Fiz. SSSR, 16(6) 1397-1404.
[6] Bakushinskii, A. B., Smirnova, A. (2007), Iterative regularization and
genaralized discrepancy principle for monotone operator equations, Nu-
mer. Funct. Anal. and Optim. 28(1-2) 13-25.
[7] Browder F. E. (1966), Existence and approximation of solutions of non-
linear variational inequalities, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 56(4) 1080-1086.
[8] Nguyen Buong (2004), Convergence rates in regularization for nonlinear
ill-posed equations under accretive perturbations, Zh. Vychist. Mat. Mat.
Fiz, 44(3) 397-402.
[9] Buong Ng., Phuong Ng.Th.H (2012) , Convergence rates in regulariza-
tion for nonlinear ill-posed equations involving m-accretive mappings in
Banach spaces, Applied Math. Sciences, 6(63) 3109-3117.
[10] Buong Ng., Phuong Ng.Th.H (2013), Regularization methods for non-
linear ill-posed equations involving m-accretive mappings in Banach spaces,
Russian Math., 57(2) 58-64.
[11] Nguyen Buong, Nguyen Duong Nguyen, and Nguyen Thi Thu Thuy
(2015), Newton-Kantorovich iterative regularization and genaralized dis-
crepancy principle for nonlinear ill-posed equations involving accretive
45

48. mappings, Russian Math., 59(5) 32-37.
[12] Konyagin C.V (1980), On approximative properties of closed sets in
Banach spaces and the characteristics of strongly convex spaces, Dokl.
Akad. Nauk SSSR, 251(2) 276-280.
[13] Ryazantseva I. P. (2002), Regularization proximal point algorithm for
nonlinear equations of monotone type in Banach space, Zhurn. Vychisl.
Matem. i Matem. Fiz., 42(9) 1295-1303.
[14] Wang J., Li J., Liu Z. (2008), Regularization methods for nonlinear
ill-posed problems with accretive operators, Acta Math. Scientia., 28b(1)
141-150.
46