1. Së GD & §t nghÖ an
Tr−êng THPT §Æng thóc høa
sin4x + cos2x
∫ sin x + cos x dx
6
6
tÝch ph©n
6
6
dx
1 ( x +1) - ( x -1)
I= ∫ 8
=
dx = ...
x +1 2 ∫
x 8 +1
Gi¸o viªn : Ph¹m Kim Chung
Tæ : To¸n
N¨m häc : 2007 - 2008

2. 12
∫
Ph¹m Kim Chung
bµi gi¶ng tÝch ph©n
Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa
2007
“ Thùc ra trªn mÆt ®Êt lμm g× cã ®−êng, ng−êi ta ®i l¾m th× thμnh ®−êng th«i ! ”
- Lç TÊn -
ViÕt mét cuèn tμi liÖu rÊt khã, ®Ó viÕt cho hay cho t©m ®¾c l¹i ®ßi hái c¶ mét ®¼ng cÊp thùc sù ! Còng may t«i kh«ng cã t− t−ëng lín cña
mét nhμ viÕt s¸ch, còng kh«ng hy väng ë mét ®iÒu g× ®ã lín lao v× t«i biÕt n¨ng lùc vÒ m«n To¸n lμ cã h¹n .. Khi t«i cã ý t−ëng viÕt ra nh÷ng ®iÒu
t«i gom nhÆt ®−îc t«i chØ mong sao qua tõng ngμy m×nh sÏ lÜnh héi s©u h¬n vÒ m«n To¸n s¬ cÊp..qua tõng tiÕt häc nh÷ng häc trß cña t«i bít b¨n
kho¨n, ng¬ ng¸c h¬n.. Vμ nÕu cßn ai ®äc bμi viÕt nμy nghÜa lμ ®©u ®ã t«i ®ang cã nh÷ng ng−êi thÇy, ng−êi b¹n cïng chung mét niÒm ®am mª sù
diÖu k× To¸n häc .
dx
∫ x8 + 1
=
Thö gi¶i mét bμi to¸n khã…... nh−ng ch−a thËt hμi lßng !
⎡
⎤
1 ( x + 1) - ( x - 1)
1 ( x + 1) ⎣( x - 2x + 1) + ( 2 - 1) x ⎦
1 (x
=
dx =
dx +
6
2∫
(x
4
2
6
+ 1) - ( 2x
2
1
x2 + 1
∫ x 4 + 2x2 + 1 dx +
2
(
)
2∫
2 2
)
2 -1
2
4
(x
( x + 1) x
4
2
∫ (x
4
2
2
+ 1) - ( 2x
2
)
2 2
2
)(
)
- 2x 2 + 1 x 4 + 2x 2 + 1
dx +
2∫
2
(
) (
)
- 1) ⎡ x 4 - 2x 2 + 1 + 2 + 1 x 2 ⎤
⎣
⎦ dx
2
2
x 4 + 1) - ( 2x 2 )
(
1
x2 - 1
∫ x 4 + 2x2 + 1 dx +
2
(
)
2 +1
2
∫ (x
(x
4
2
- 1) x 2
)(
)
- 2x 2 + 1 x 4 + 2x 2 + 1
1⎞
1⎞
⎛
⎛
1
1
1+ 2
1- 2
⎜ 1+ 2 ⎟ dx
⎜ 1 - 2 ⎟ dx
2 -1
2 +1
1
1
x ⎠
x ⎠
⎝
⎝
x
x
= ∫
dx +
+
dx +
2
2
∫ ⎡⎛ 1 ⎞2
∫ ⎡⎛ 1 ⎞ 2
2
2
2 ⎛
2
2
⎤ ⎡⎛
⎤
⎤ ⎡⎛
⎤ 2∫⎛
1⎞
1⎞
1⎞
1⎞
⎢⎜ x + ⎟ - 2 + 2 ⎥ ⎢⎜ x + ⎟ - 2 - 2 ⎥
⎢ ⎜ x - ⎟ + 2 - 2 ⎥ ⎢⎜ x - ⎟ + 2 + 2 ⎥
⎜x - ⎟ +2+ 2
⎜x + ⎟ - 2- 2
x⎠
x⎠
x⎠
x⎠
x⎠
x⎠
⎝
⎝
⎝
⎝
⎝
⎝
⎢
⎥⎢
⎥
⎢
⎥⎢
⎥
⎣
⎦⎣
⎦
⎣
⎦⎣
⎦
1⎞
1⎞
1⎞
1⎞
1⎞
1⎞
⎛
⎛
⎛
⎛
⎛
⎛
d⎜x - ⎟
d⎜x - ⎟
d⎜x + ⎟
d⎜x + ⎟
d⎜x + ⎟
d⎜x - ⎟
2 -1
2 -1
2 +1
2 +1
1
1
x⎠
x⎠
x⎠
x⎠
x⎠
x⎠
⎝
⎝
⎝
⎝
⎝
⎝
+
+
+
= ∫
2
2
2
2
2
2
⎤
⎤ 2∫⎛
2 ⎛
⎤
⎤
4 2 ∫ ⎡⎛
4 2 ∫ ⎡⎛
4 2 ∫ ⎡⎛
4 2 ∫ ⎡⎛
1⎞
1⎞
1⎞
1⎞
1⎞
1⎞
⎢⎜ x - ⎟ + 2 - 2 ⎥
⎢⎜ x - ⎟ + 2 + 2 ⎥
⎢⎜ x + ⎟ - 2 + 2 ⎥
⎢⎜ x + ⎟ - 2 - 2 ⎥
⎜x + ⎟ - 2- 2
⎜x - ⎟ +2+ 2
x⎠
x⎠
x⎠
x⎠
x⎠
x⎠
⎝
⎝
⎢⎝
⎥
⎢⎝
⎥
⎢⎝
⎥
⎢⎝
⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
(
)
(
(
(
)
(
)
)
(
(
)
(
1⎞
1⎞
⎛
⎛
⎜x + ⎟ - 2- 2
⎜x + ⎟ - 2+ 2
2+ 2
2- 2
2- 2
2+ 2
x⎠
x⎠
=
u+
v+
ln ⎝
+
ln ⎝
+C
1⎞
1⎞
8
8
16
16
⎛
⎛
⎜x + ⎟+ 2- 2
⎜x + ⎟+ 2+ 2
x⎠
x⎠
⎝
⎝
(
Víi x -
)
)
(
)
(
(
1
= 2 + 2 tgu = 2 - 2 tgv
x
)
)
)
(
)
)
(NÕu dïng kÕt qu¶ nμy ®Ó suy ng−îc cã t×m ®−îc lêi gi¶i hay h¬n ?.. )
_____________________________
Th¸ng 12 – n¨m 2007
__________________________________
Trang
1

3. 12
∫
Ph¹m Kim Chung
bµi gi¶ng tÝch ph©n
Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa
2007
PhÇn lý thuyÕt
§Þnh nghÜa : Gi¶ sö f(x) lμ mét hμm sè liªn tôc trªn mét kho¶ng K, a vμ b lμ hai phÇn tö bÊt k× cña K, F(x) lμ
mét nguyªn hμm cña f(x) trªn K . HiÖu sè F(b) - F(a) ®−îc gäi lμ tÝch ph©n tõ a ®Õn b cña f(x) vμ ®−îc kÝ hiÖu lμ
b
b
∫ f ( x )dx . Ta dïng kÝ hiÖu F ( x ) a ®Ó chØ hiÖu sè : F(b) – F(a)
a
b
C«ng thøc Newton – Laipnit :
∫ f ( x )dx =
F (x)
a
1
VÝ dô :
2
∫ x dx =
0
b
= F(b) – F(a)
a
x3 1 1 3
1
= (1 − 03 ) =
3 0 3
3
b
Chó ý : TÝch ph©n
∫ f ( x )dx
chØ phô thuéc vμ f, a vμ b mμ kh«ng phô thuéc vμo kÝ hiÖu biÕn sè tÝch ph©n . V× vËy ta
a
b
cã thÓ viÕt : F(b) – F(a) =
b
b
a
∫ f ( x )dx =
a
∫ f ( t )dt = ∫ f ( u )du ...
a
C¸c tÝnh chÊt cña tÝch ph©n .
a
1.
∫ f ( x )dx = 0
a
b
a
a
2.
b
∫ f ( x )dx = - ∫ f ( x )dx
b
3.
b
b
a
a
⎣
⎦
∫ ⎡αf ( x ) ± βg ( x )⎤dx = α ∫ f ( x )dx ± β∫ g ( x )dx
a
e
e
e
e
e
3⎞
1
⎛
VD : ∫ ⎜ 2x + ⎟dx = 2∫ xdx + 3∫ dx = x 2 + 3 ln x = ( e2 − 1) + 3 (1 − 0 ) = e2 + 2
1
1
x⎠
x
1⎝
1
1
c
b
a
4.
c
a
∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx
b
1
VD :
∫
−1
0
x dx =
∫
−1
1
0
1
0
−1
0
x dx + ∫ x dx = − ∫ xdx + ∫ xdx = −
x2 0 x2 1
+
=1
2 −1 2 0
b
5. f(x) ≥ 0 trªn ®o¹n [a ; b] ⇒
∫ f ( x )dx ≥
0
a
b
6. f(x) ≥ g(x) trªn ®o¹n [a ; b] ⇒
b
∫ f ( x )dx ≥ ∫ g ( x )dx
a
a
π
2
0
VD : Chøng minh r»ng :
π
2
0
∫ sin2xdx ≤ 2∫ sinxdx
b
7.
m ≤ f(x) ≤ M
trªn ®o¹n [a ; b] ⇒ m(b – a) = m ∫ dx ≤
a
b
b
a
a
∫ f ( x )dx ≤ M ∫ dx = M(b – a)
2
1⎞
5
⎛
VD : Chøng minh r»ng : 2 ≤ ∫ ⎜ x + ⎟dx ≤
x⎠
2
1⎝
5
1
trªn ®o¹n [1; 2] ta cã : max y = ; min y = 2
HD . Kh¶o s¸t hμm sè y = x +
[1;2]
[1;2]
2
x
0974.337.449 ___________________________
Th¸ng 12 – n¨m 2007
___________________
Trang
2

4. 12
∫
Ph¹m Kim Chung
bµi gi¶ng tÝch ph©n
Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa
2007
2
2
2
2
2 2⎛
1⎞
5 2
1⎞
5
1⎞
5
⎛
⎛
Do ®ã : 2∫ dx ≤ ∫ ⎜ x + ⎟dx ≤ ∫ dx ⇒ 2x ≤ ∫ ⎜ x + ⎟dx ≤ x ⇒ 2 ≤ ∫ ⎜ x + ⎟dx ≤
1 1⎝
x⎠
2 1
x⎠
21
x⎠
2
⎝
⎝
1
1
1
PhÇn ph−¬ng ph¸p
Ph−¬ng ph¸p ®æi biÕn sè : t = v(x) .
1
x
dx
VD . TÝnh tÝch ph©n : I = ∫ 2
0 x +1
§Æt : t = x 2 + 1 . Khi x= 0 th× t=1, khi x=1 th× t=2 .
dt
Ta cã : dt = 2xdx ⇒
= xdx . Do ®ã :
2
1
2
2 1
x
1 dt 1
I=∫ 2
dx = ∫ = ln t = ln 2
1 2
21 t 2
0 x +1
b
b
a
a
∫ f ( x )dx = ∫ g ( v ( x ) )v' ( x ) dx
Quy tr×nh gi¶i to¸n .
B−íc 1 . §Æt t = v(x) , v(x) cã ®¹o hμm liªn tôc, ®æi cËn .
B−íc 2 . BiÓu thÞ f(x)dx theo t vμ dt : f(x)dx = g(t)dt
v ( b)
∫
B−íc 3 . TÝnh
g ( t )dt .
v(a)
Bμi tËp rÌn luyÖn ph−¬ng ph¸p :
TÝnh c¸c tÝch ph©n sau :
e2
∫
1.
e
2
dx
x ln x
2.
3.
2
1
π
2
5.
∫ ( 2x − 1)
1
dx
∫ sin3 x
π
6.
3
1
dx
x 2 dx
∫ x3 + 1
0
4.
2
4
dx
∫ ( 2x + 1)
7.
x +1
0
dx
∫ x (1 +
1
4
x
xdx
4
−1
∫x
)
Ph−¬ng ph¸p ®æi biÕn sè : x = u(t) .
1
VD . TÝnh tÝch ph©n :
sinx
∫
1 − x 2 dx
0
π
⎛
⎡ π π⎤⎞
§Æt x = sint ⎜ t ∈ ⎢ − ; ⎥ ⎟ . Khi x=0 th× t=0, khi x=1 th× t=
2
⎣ 2 2⎦ ⎠
⎝
π⎤
⎡
VËy víi x = sint th× x ∈ ⎡0;1⎤ ⇒ t ∈ ⎢0; ⎥ vμ dx = costdt .
⎣ ⎦
⎣ 2⎦
O
cosx
1
Do ®ã : ∫ 1 − x dx =
2
0
π
2
∫
0
1 − sin t cos tdt =
2
π
2
π
2
∫ cos t cos tdt = ∫ cos
0
2
tdt =
0
π
2
π
1 + cos 2t
1⎛ 1
π
⎞
dt = ⎜ t + sin 2t ⎟ 2 =
=∫
2
2⎝ 2
⎠0 4
0
b
Quy tr×nh gi¶i to¸n .
∫ f ( x )dx
a
B−íc 1 . §Æt x = u(t), t ∈ ⎡α; β⎤ sao cho u(t) cã ®¹o hμm liªn tôc trªn ®o¹n ⎡α; β⎤ , f(u(t)) ®−îc x¸c ®Þnh trªn ®o¹n
⎣ ⎦
⎣ ⎦
⎡
⎤
⎣α; β⎦ vμ u ( α ) = a; u ( β ) = b .
0974.337.449 ___________________________
Th¸ng 12 – n¨m 2007
___________________
Trang
3

5. 12
∫
Ph¹m Kim Chung
bµi gi¶ng tÝch ph©n
Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa
2007
B−íc 2 . BiÓu thÞ f(x)dx theo t vμ dt : f(x)dx = g(t)dt
β
B−íc 3 . TÝnh
∫ g ( t )dt
.
α
Bμi tËp rÌn luyÖn ph−¬ng ph¸p :
TÝnh c¸c tÝch ph©n sau :
1
2
1
dx
1. ∫
1 + x2
0
2.
∫
4. x
∫
1− x
0
1
1
dx
3.
2
∫x
0
5
2
1
2
∫
1 − x 2 dx
5. x
0
3
2
1 + x 2 dx
6.
0
dx
+ x +1
5+x
dx ( §Æt x=5cos2t)
5−x
∫
0
Ph−¬ng ph¸p ®æi biÕn sè : u(x) = g(x,t)
1
VD1 . TÝnh tÝch ph©n : I =
∫
1 + x 2 dx
0
t2 − 1
2t
t2 + 1
Khi x =0 th× t= -1, khi x=1 th× t= 1 − 2 vμ dx =
dt . Do ®ã :
2t 2
1− 2
1− 2 4
1− 2
1− 2
1− 2
1
t + 2t 2 + 1
1⎛
1
1 ⎞
− t2 − 1 t2 + 1
I= ∫
. 2 dt = −
dt = − ⎜ ∫ tdt + 2 ∫ dt + ∫ 3 dt ⎟ =
3
∫1
⎜
2t
2t
4 −
t
4 ⎝ −1
t
t ⎟
−1
−1
−1
⎠
§Æt
C¸ch (1)
= −
1 + x 2 = x - t ⇒ 1 = -2xt + t 2 ⇒ x =
1− 2
1
t2 1 − 2 1
1 1− 2
− ln t
+ 2
= − ln
8 −1
2
8t
2
−1
−1
(
)
2 −1 +
2
2
π
⎡ π⎤
C¸ch (2) : §Æt x=tgt , do x ∈ ⎡0;1⎤ nªn ta cã thÓ chän t ∈ ⎢0; ⎥ . Khi x=0 th× t=0, khi x=1 th× t =
⎣ ⎦
4
⎣ 4⎦
1
dt . Do ®ã :
vμ dx=
cos2 t
1
∫
1 + x 2 dx =
0
π
4
∫
0
1
1 + tg 2 t
dt =
cos 2 t
π
2
π
4
2
π
4
∫
0
π
π
4
4
1
1
1
cos t
dt = ∫
dt = ∫
dt =
2
3
4
cos t cos t
0 cos t
0 cos t
π
4
∫
0
d ( sin t )
(1 − sin t )
2
2
=
2
π
⎤
1
1 4 ⎡ (1 − sin t ) + (1 + sin t ) ⎤
14⎡
1
= ∫⎢
+
⎥ d ( sin t ) = ∫ ⎢
⎥ d ( sin t ) =
4 0 ⎣ (1 − sin t )(1 + sin t ) ⎦
4 0 ⎣ (1 − sin t ) (1 + sin t ) ⎦
π
π
π
⎤
d ( sin t )
1 ⎡
1
1
1 4 d (1 − sin t ) 1 4
1 4 d (1 + sin t )
=
= ∫⎢
+
+ ∫
+ ∫
⎥ d ( sin t ) = − ∫
2
4 0 ⎣ (1 − sin t ) (1 + sin t ) ⎦
4 0 (1 − sin t )
2 0 (1 − sin t )(1 + sin t ) 4 0 (1 + sin t )2
π
π
π
π
1
2
1 ⎡ 1
1 ⎤
1 1 + sin t
1 sin t
1 1 + sin t
= .⎢
.
−
4 + ln
4=
4 + ln
4 = − ln 2 − 1 +
2
⎥
2
2
4 ⎣1 − sin t 1 + sin t ⎦ 0 4 1 − sin t 0 2 cos t 0 4 1 − sin t 0
(
)
B×nh luËn : Bμi to¸n nμy cßn gi¶i ®−îc b»ng ph−¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn . Cßn víi 2 c¸ch gi¶I trªn râ rμng
khi b¾t gÆp c¸ch 1) ta nghÜ r»ng nã sÏ chøa ®ùng nh÷ng phÐp tÝnh to¸n phøc t¹p cßn c¸ch 2) sÏ chøa nh÷ng phÐp
tÝnh to¸n ®¬n gi¶n h¬n. Nh−ng ng−îc l¹i sù suy ®o¸n - c¸ch 2) l¹i chøa nh÷ng phÐp tÝnh to¸n dμi dßng vμ nÕu qu¶
thËt kh«ng kh¸ tÝch ph©n th× ch−a h¼n ®· lμ ®−îc hoÆc lμm ®−îc mμ l¹i dμi dßng h¬n .
1
VD2 . TÝnh tÝch ph©n : I =
∫
0
0974.337.449 ___________________________
1
1 + x2
dx
Th¸ng 12 – n¨m 2007
___________________
Trang
4

6. 12
∫
Ph¹m Kim Chung
bµi gi¶ng tÝch ph©n
Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa
2007
t2 − 1
2t
t2 + 1
dt . Do ®ã :
Khi x =0 th× t= -1, khi x=1 th× t= 1 − 2 vμ dx =
2t 2
1− 2
1− 2
−2t t 2 + 1
1
I= ∫ 2
.
dt = − ∫ dt =
2
t + 1 2t
t
−1
−1
1 + x 2 = x - t ⇒ 1 = -2xt + t 2 ⇒ x =
§Æt
C¸ch (1)
1− 2
= − ln t
−1
= − ln
(
)
2 −1
π
⎡ π⎤
C¸ch (2) : §Æt x=tgt , do x ∈ ⎡0;1⎤ nªn ta cã thÓ chän t ∈ ⎢0; ⎥ . Khi x=0 th× t=0, khi x=1 th× t =
⎣ ⎦
4
⎣ 4⎦
1
dt .
vμ dx=
cos2 t
1
Do ®ã :
∫
0
π
4
1
1 + x2
dx = ∫
0
π
π
π
4
4
4
cos t
1
1
cos t
dt = ∫
dt = ∫
dt = ∫
dt =
2
2
2 cos t
cos t
cost
cos2 t
1 + tg t
0
0
0
1
=
π
4
d ( sin t )
∫ (1 − sin t )
2
=
0
π
1 1 − sin t
ln
4 = − ln
2 1 + sin t 0
(
)
2 −1 .
Bμi tËp rÌn luyÖn ph−¬ng ph¸p :
TÝnh c¸c tÝch ph©n sau :
2
1.
∫
2
x 2 − 1dx
2.
1
1
2
4.
∫1+
0
x − 4x + 3
2
∫
x2 − 1
1
−1
dx
5.
∫ 1+
−2
0
x2
dx
3.
1 − 2x − x
6.
2
x 2 + 2x + 2dx
−1
1
dx
∫
∫x+
0
xdx
x2 − 1
Chó ý : Khi ®øng tr−íc mét bμi to¸n tÝch ph©n, kh«ng ph¶i bμi to¸n nμo còng xuÊt hiÖn nh©n tö ®Ó chóng ta sö dông
ph−¬ng ph¸p ®æi biÕn sè . Cã nhiÒu bμi to¸n ph¶i qua 1 hay nhiÒu phÐp biÕn ®æi míi xuÊt hiÖn nh©n tö ®Ó ®Æt Èn phô (
sÏ nãi ®Õn ë phÇn Ph©n Lo¹i C¸c d¹ng To¸n )
Ph−¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn .
NÕu u(x) vμ v(x) lμ hai hμm sè cã ®¹o hμm liªn tôc trªn ®o¹n [a; b] th× :
b
b b
u ( x )v' ( x ) dx = ( u ( x ) .v ( x ) ) - ∫ v ( x )u' ( x ) dx
∫
a a
a
hay
b
∫ u ( x )dv = ( u ( x ) .v ( x ) )
a
b b
- v ( x )du
a ∫
a
π
2
VD1. TÝnh
∫ x cos xdx
0
⎧du = dx
⎧u=x
§Æt ⎨
, ta cã : ⎨
⎩dv = cos xdx
⎩ v = sin x
0974.337.449 ___________________________
Th¸ng 12 – n¨m 2007
___________________
Trang
5

7. 12
∫
Ph¹m Kim Chung
bµi gi¶ng tÝch ph©n
Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa
2007
π
2
π
π 2
π
π
π
∫ x cos xdx = ( x sin x ) 2 − ∫ sin xdx = 2 + cosx 2 = 2 − 1
0
0 0
0
NhËn xÐt : Mét c©u hái ®Æt ra lμ ®Æt
⎧u = cosx
⎨
⎩ dv = xdx
cã ®−îc kh«ng ?
π
2
Ta h·y thö :
π
π
⎛ x2
⎞
12
x cos xdx = ⎜ cosx ⎟ 2 + ∫ x 2 sin xdx , râ rμng tÝch ph©n
∫
⎝ 2
⎠ 0 20
0
π
2
∫x
2
sin xdx cßn phøc t¹p h¬n tÝch
0
ph©n cÇn tÝnh . VËy viÖc lùa chän u vμ dv quyÕt ®Þnh rÊt lín trong viÖc sö dông ph−¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn . Ta
h·y xÐt mét VD n÷a ®Ó ®i t×m c©u tr¶ lêi võa ý nhÊt !
2
ln x
VD2. TÝnh ∫ 5 dx
x
1
1
⎧
⎪u = 5
Ta thö ®Æt : ⎨
x
⎪ dv = ln xdx
⎩
râ rμng ®Ó tÝnh v= ∫ ln xdx lμ mét viÖc khã kh¨n !
1
⎧
⎪ du = x
⎪
ta cã : ⎨
⎪ v = 1 dx = − 1
∫ x5
⎪
4x 4
⎩
2
2
ln x
ln 2 1 ⎛ 1
⎛ ln x ⎞ 2 1 dx
+ ⎜−
Do ®ã : ∫ 5 dx = ⎜ − 4 ⎟ + ∫ 5 = −
x
64 4 ⎝ 4x 4
⎝ 4x ⎠ 1 4 1 x
1
⎧ u = ln x
⎪
Gi¶i . §Æt ⎨
1
⎪dv = x 5 dx
⎩
⎞ 2 15 ln 2
−
⎟1=
256 64
⎠
NhËn xÐt : Tõ 2 VD trªn ta cã thÓ rót ra mét nhËn xÐt ( víi nh÷ng tÝch ph©n ®¬n gi¶n ) : ViÖc lùa chän u vμ dv
ph¶i tho¶ m·n :
1 du ®¬n gi¶n, v dÔ tÝnh .
2 TÝch ph©n sau
( ∫ vdu ) ph¶i ®¬n gi¶n h¬n tÝch ph©n cÇn tÝnh ( ∫ udv ) .
Bμi tËp rÌn luyÖn ph−¬ng ph¸p :
TÝnh c¸c tÝch ph©n sau :
1
x
∫ xe dx
1.
∫
3x
2 . xe dx
0
6 . x sin xdx
∫ ( x − 1)cosxdx
e
∫
7. e x cosxdx
0
π
6
4.
0
π
2
2
3.
0
π
2
∫
π
2
1
5
∫
∫
1
0
5.
2
e
10.
∫x e
2 −x
dx
0
0
9. 2x ln ( x − 1)dx
8. ln xdx
1
∫ ( 2 − x ) sin 3xdx
∫ ( ln x ) dx
2
1
Mçi d¹ng to¸n chøa ®ùng nh÷ng ®Æc thï riªng cña nã !
PhÇn ph©n lo¹i c¸c d¹ng to¸n
TÝch ph©n cña c¸c hμm h÷u tû
A. D¹ng : I = ∫
P (x)
dx
ax + b
( a ≠ 0)
0974.337.449 ___________________________
Th¸ng 12 – n¨m 2007
___________________
Trang
6

8. 12
∫
bµi gi¶ng tÝch ph©n
Ph¹m Kim Chung
Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa
2007
C«ng thøc cÇn l−u ý : I = ∫
α
α
dx = ln ax + b + C
ax + b
a
TÝnh I1 = x + 1 dx
∫ x −1
2
TÝnh I2 = x − 5 dx
∫ x +1
x3
TÝnh I3 =
∫ 2x + 3 dx
Ph−¬ng ph¸p : Thùc hiÖn phÐp chia ®a thøc P(x) cho nhÞ thøc : ax+b, ®−a tÝch ph©n vÒ d¹ng :
α
dx ( Trong ®ã Q(x) lμ hμm ®a thøc viÕt d−íi d¹ng khai triÓn )
I = ∫ Q ( x ) dx + ∫
ax + b
B. D¹ng : I = ∫
P (x)
dx
ax + bx + c
( a ≠ 0)
2
1. Tam thøc : f ( x ) = ax 2 + bx + c cã hai nghiÖm ph©n biÖt .
C«ng thøc cÇn l−u ý : I =
☺ TÝnh I =
∫x
2
u' ( x )
∫ u ( x ) dx = ln u ( x ) + C
2
dx
−4
C¸ch 1. ( ph−¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh )
⎧A + B = 0
2
A
B
=
+
⇒ 2 ≡ (A + B) x + 2(A − B) ⇒ ⎨
⇔
2
x −4 x −2 x +2
⎩A − B = 1
Do ®ã : I =
∫x
2
1
⎧
⎪A = 2
⎪
⎨
⎪B = − 1
⎪
2
⎩
1 x −2
2
1
1
1
1
+C
dx = ∫
dx - ∫
dx = ln
2 x+2
−4
2 x −2
2 x+2
C¸ch 2. ( ph−¬ng ph¸p nh¶y tÇng lÇu )
2
1 ⎡ 2x
2x − 4 ⎤ 1
dx = ⎢ ∫ 2
dx − ∫ 2
dx ⎥ = ln x 2 − 4 − ln x + 2 + C
Ta cã : I = ∫ 2
x −4
2⎣ x −4
x −4 ⎦ 2
α
dx
< Tæng qu¸t >TÝnh I = ∫ 2
x − a2
2x
TÝnh I = ∫
dx
9 − x2
3x + 2
TÝnh I = ∫ 2
dx
x −1
x2
TÝnh I = ∫ 2
dx
x − 5x + 6
TÝnh I =
3x 3
∫ x 2 − 3x + 2 dx
Ph−¬ng ph¸p :
Khi bËc cña ®a thøc P(x) <2 ta sö dông ph−¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh hoÆc ph−¬ng ph¸p nh¶y
tÇng lÇu.
Khi bËc cña ®a thøc P(x) ≥ 2 ta sö dông phÐp chia ®a thøc ®Ó ®−a tö sè vÒ ®a thøc cã bËc < 2 .
0974.337.449 ___________________________
Th¸ng 12 – n¨m 2007
___________________
Trang
7

9. 12
∫
Ph¹m Kim Chung
bµi gi¶ng tÝch ph©n
Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa
2007
2. Tam thøc : f ( x ) = ax 2 + bx + c = ( αx + β )2 cã nghiÖm kÐp .
C«ng thøc cÇn l−u ý : I =
TÝnh I = ∫
TÝnh I =
u' ( x )
1
+C
dx = −
2
u(x)
(x)
∫u
d ( x − 2)
1
1
dx = ∫
=−
+C
2
x 2 − 4x + 4
x −2
( x − 2)
∫ 4x
2
4x
dx .
− 4x + 1
dt
⎧
⎪ dx=
§Æt : 2x – 1 = t ⇒ ⎨
2 , lóc ®ã ta cã :
⎪2x = t + 1
⎩
t +1
dt
dt
2
I = 2∫ 2 dx = 2∫ + 2∫ 2 = 2 ln t − + C
t
t
t
t
2
x −3
TÝnh I = ∫ 2
dx
x − 4x + 4
x3
TÝnh I = ∫ 2
dx
x + 2x + 1
Ph−¬ng ph¸p : §Ó tr¸nh phøc t¹p khi biÕn ®æi ta th−êng ®Æt : αx + β = t ⇒ x =
t −β
vμ thay vμo biÓu thøc
α
trªn tö sè .
3. Tam thøc : f ( x ) = ax 2 + bx + c v« nghiÖm .
TÝnh I =
∫x
2
1
dx
+1
§Æt : x = tgα ⇒ dx =
I=
1
∫ cos α ( tg α + 1) dα = ∫ dα = α + C
2
2
< Tæng qu¸t > TÝnh I = ∫
TÝnh I =
TÝnh I =
TÝnh I =
C. D¹ng : I = ∫
1
dx
x + a2
2
, víi
. HD §Æt
( tgα = x )
x = atgα ⇒ dx =
a
dα , ta cã :
cos 2 α
dα α
= +C
a
a
2
∫ x 2 + 2x + 2 dx
2x + 1
∫ x 2 + 2x + 5 dx
x2
∫ x 2 + 4 dx
x3
∫ x 2 + 9 dx
I=
TÝnh I =
1
dα , ta cã :
cos2 α
∫
P (x)
dx
ax + bx 2 + cx + d
3
(a ≠ 0)
1. §a thøc : f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d cã mét nghiÖm béi ba.
0974.337.449 ___________________________
Th¸ng 12 – n¨m 2007
___________________
Trang
8

10. 12
∫
Ph¹m Kim Chung
bµi gi¶ng tÝch ph©n
Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa
2007
C«ng thøc cÇn l−u ý : I =
☺ TÝnh I = ∫
1
( x − 1)
1
1
( x − 1)
3
3
dx = ∫ ( x − 1) d ( x − 1) =
1
x
3
TÝnh I = ∫
x2 − 4
( x − 1)
(1 − x )
dx = −
3
1
2 ( x − 1)
2
TÝnh I = ∫
+C= −
(1 − x )
1
2 ( x − 1)
−2
−2
+C = −
2
+C .
1
2 ( x − 1)
2
+C
+C
1
= x − m , víi x > 0
xm
dx
3
3
t +1
⎛1 1
dt = ∫ ⎜ 2 + 3
t3
t
⎝t
1 1
⎞
⎟dt = − − 2 + C
t 2t
⎠
dx
dx
x3
( x − 1)
( n ≠ 1)
−2
−2
−3
§Æt : x – 1 = t ta cã : I = ∫
TÝnh I = ∫
1
+C
( n − 1) x n −1
( x − 1)
dx = ∫ (1 − x ) d (1 − x ) =
Chó ý :
( x − 1)
dx = −
−3
( x − 1)
NÕu x < 1 , ta cã : I = − ∫
TÝnh I = ∫
n
dx
3
NÕu x > 1 , ta cã : I = ∫
VËy : I = ∫
1
∫x
x4
( x + 1)
3
dx
2. §a thøc : f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d cã hai nghiÖm .
1
dx
☺ TÝnh I = ∫
2
( x − 1)( x + 1)
§Æt : x + 1 = t , ta cã : I =
1
∫ t ( t − 2 ) dt = ∫ t
2
3
dt
− 2t 2
C¸ch 1 < Ph−¬ng ph¸p nh¶y tÇng lÇu >
1
3t 2 − 4t 1 ⎛ 3t 2 − 4t − 4 ⎞ 3t 2 − 4t 1 ⎛ 3t + 2 ⎞ 3t 2 − 4t 1 ⎛ 3 2 ⎞
= 3
− ⎜
− ⎜
− ⎜ + ⎟
Ta cã : 3
⎟=
⎟=
t − 2t 2 t − 2t 2 4 ⎝ t 3 − 2t 2 ⎠ t 3 − 2t 2 4 ⎝ t 2 ⎠ t 3 − 2t 2 4 ⎝ t t2 ⎠
3t 2 − 4t
1 ⎛3 2 ⎞
3
1
3
2
∫ t3 − 2t2 dt − 4 ∫ ⎜ t + t2 ⎟dt = ln t − 2t − 4 ln t + 2t + C .
⎝
⎠
C¸ch 2 < Ph−¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh >
Do ®ã : I =
1
⎧
⎪B = − 2
⎧ −2B = 1
⎪
1
1
At + B
C
⎪
⎪
2
=
+
⇒ 1 ≡ ( A + C ) t + ( −2A + B ) t − 2B ⇒ ⎨−2A + B = 0 ⇒ ⎨ A = −
3
2
2
4
t − 2t
t
t−2
⎪ A+C =0
⎪
⎩
1
⎪
⎪ C=4
⎩
Do ®ã :
∫t
3
1
1 ⎡t + 2
1 ⎤
1 ⎡1 2
1 ⎤
1⎡
2
⎤
dt = − ∫ ⎢ 2 −
2
⎥ dt = − ∫ 4 ⎢ t + t 2 − t − 2 ⎥ dt = − 4 ⎢ln t − t − ln t − 2 ⎥ + C
− 2t
4⎣ t
t − 2⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
0974.337.449 ___________________________
Th¸ng 12 – n¨m 2007
___________________
Trang
9

11. 12
∫
bµi gi¶ng tÝch ph©n
Ph¹m Kim Chung
Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa
2007
Ph−¬ng ph¸p “nh¶y tÇng lÇu” ®Æc biÖt cã hiÖu qu¶ khi tö sè cña ph©n thøc lμ
mét h»ng sè .
Ph−¬ng ph¸p “hÖ sè bÊt ®Þnh” : bËc cña ®a thøc trªn tö sè lu«n nhá h¬n bËc
mÉu sè 1 bËc .
TÝnh I =
2x + 1
∫ x ( x − 2 ) dx
2
§Ó sö dông ph−¬ng ph¸p nh¶y tÇng lÇu ta sÏ ph©n tÝch nh− sau :
2x + 1
2
1
=
+
x2 ( x − 2) x ( x − 2) x2 ( x − 2)
TÝnh I = ∫
x2
( x − 1) ( x + 2 )
2
dx
Sö dông ph−¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh :
Do ®ã : x 2
x2
=
Ax + B
( x − 1) ( x + 2 ) ( x − 1)
2
≡ ( x + 2 )( Ax + B ) + C ( x − 1)
x=-2, suy ra : C =
Cho :
2
2
+
C
x+2
4
9
x=0 , suy ra : B = −
2
9
5
9
Ph−¬ng ph¸p trªn gäi lμ ph−¬ng ph¸p “g¸n trùc tiÕp gi¸ trÞ cña biÕn sè” ®Ó t×m A, B, C.
x3 − 1
TÝnh I = ∫ 3
dx
x + 2x 2 + x
x=1, suy ra : A =
3. §a thøc : f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d cã ba nghiÖm ph©n biÖt .
☺ TÝnh I =
∫ x (x
1
2
− 1)
dx
1 ⎡ 3x 2 − 1 3x 2 − 3 ⎤ 1 ⎡ 3x 2 − 1 3 ⎤
⎢ 3
⎥= ⎢ 3
−
− ⎥
x ( x − 1) 2 ⎢ x − x x ( x 2 − 1) ⎥ 2 ⎣ x − x x ⎦
⎣
⎦
1 ⎡ 3x 2 − 1 3 ⎤
1
3
− ⎥ dx = ln x 3 − x − ln x + C
Do ®ã : I = ∫ ⎢ 3
2⎣ x − x x⎦
2
2
1
A
B
C
C¸ch 2 . Ta cã :
= +
+
⇒ 1 ≡ A ( x 2 − 1) + Bx ( x + 1) + Cx ( x − 1)
x ( x 2 − 1) x x − 1 x + 1
C¸ch 1. Ta cã :
1
2
=
Cho
x=0, suy ra A = -1 .
1
x=1, suy ra B =
2
1
x=-1, suy ra C =
2
1
2
Do ®ã : I = − ln x + ln x − 1 + C
2
0974.337.449 ___________________________
Th¸ng 12 – n¨m 2007
___________________
Trang
10

12. 12
∫
bµi gi¶ng tÝch ph©n
Ph¹m Kim Chung
Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa
2007
TÝnh I =
x +1
dx
2
− 4)
∫ x (x
TÝnh I = ∫
x2
dx
( x 2 − 1) ( x + 2 )
x3
dx
− 1) ( x − 2 )
TÝnh I =
∫ (x
TÝnh I =
∫ ( 2x + 1) ( 4x
2
dx
2
+ 4x + 5 )
§Æt : 2x + 1 =t ⇒ dx =
I=
dt
, ta cã :
2
1
dt
1 ⎡ 3t 2 − 6
3t 2 − 18 ⎤
1
⎢∫ 3
=
dt − ∫ 2
dt ⎥ =
ln t 3 − 6t − 3 ln t + C
∫ t ( t2 − 6 ) 24 ⎢ t − 6t
2
t ( t − 6 ) ⎥ 24
⎣
⎦
4. §a thøc : f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d cã mét nghiÖm (kh¸c béi ba)
1
☺ TÝnh I = ∫ 3
dx
x −1
§Æt x – 1 = t ⇒ dx = dt , ta cã :
⎤
1 ⎡ dt
t+3
dt
1 ⎡ t 2 + 3t + 3
t 2 + 3t
⎤
dt =
I= ∫ 2
= ⎢∫ 2
dt − ∫ 2
dt ⎥ = ⎢ ∫ − ∫ 2
3⎣ t
t + 3t + 3 ⎥
t ( t + 3t + 3 ) 3 ⎢ t ( t + 3t + 3 )
t ( t + 3t + 3 ) ⎥
⎦
⎣
⎦
⎡
⎤
⎢
⎥
1 dt 1
2t + 3
3
dt
⎥ = 1 ln t − 1 ln t 2 + 3t + 3 − α 3 + C ( Víi x = 3 tgα )
dt − ∫
= ⎢∫ − ∫ 2
2
3 ⎢ t 2 t + 3t + 3
2 ⎛
2
3
2
3⎞
3⎥
⎢
⎜t + ⎟ + ⎥
2⎠
4⎥
⎢
⎝
⎣
⎦
1
TÝnh I = ∫
dx
x ( x 2 + 1)
TÝnh I =
∫ x (x
1
2
+ 2x + 2 )
dx
x2
∫ x 3 + 1 dx
x3
TÝnh I = ∫ 3
dx
x −8
1
TÝnh I = ∫ 3
dx
x − 3x 2 + 3x − 2
TÝnh I =
Tãm l¹i : Ta th−êng sö dông hai phÐp biÕn ®æi :
Tö sè lμ nghiÖm cña mÉu sè .
Tö sè lμ ®¹o hμm cña mÉu sè .
vμ ph©n thøc ®−îc quy vÒ 4 d¹ng c¬ b¶n sau :
1
1
1
↔
dx = ln ax + b + C
{
ax + b øng víi ∫ ax + b
a
u'
u'
dx = ln u + C
↔
{
u øng víi ∫ u
0974.337.449 ___________________________
Th¸ng 12 – n¨m 2007
___________________
Trang
11

13. 12
∫
bµi gi¶ng tÝch ph©n
Ph¹m Kim Chung
Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa
2007
u'
u'
1
+C
( n ≥ 2 ) ↔ ∫ n dx = {
un
u
( n - 1) un-1
øng víi
1
1
a
↔ ∫
dx = + C , víi x + d = atgα
{
2
2
2
2
a
( x + d ) + a øng víi ( x + d ) + a
D. D¹ng : I = ∫
Q (x)
dx < P(x) lμ ®a thøc bËc cao> Vμ mét sè kÜ thuËt t×m nguyªn hμm .
P (x)
1. KÜ thuËt biÕn ®æi tö sè chøa nghiÖm cña mÉu sè .
dx
TÝnh I =
∫ x ( x − 1) ( x + 7 ) ( x + 8 )
HD : I =
∫ x ( x − 1) ( x + 7 ) ( x + 8 ) dx
TÝnh I =
∫x
4
∫x
6
x ( x + 7 ) − ( x − 1)( x + 8 )
dx
+ 10x 2 + 9
2
2
dx
1 ( x + 9 ) − ( x + 1)
HD : I = ∫ 2
=
( x + 1)( x 2 + 9 ) 8 ∫ ( x 2 + 1)( x 2 + 9 )
TÝnh I =
dx
+ 6x 4 − 13x 2 − 42
dx
HD : I =
∫ (x
TÝnh I =
∫ 5x
5
∫x
7
dx
− 10x 3
TÝnh I =
∫ (x
2
TÝnh I =
∫x
TÝnh I =
∫ ( x + 1) ( x
2
− 3 )( x 2 + 2 )( x 2 + 7 )
dx
+ 20x
4
4
1
dx
1 ( x + 4) − x
HD : I = ∫
=
5 x ( x 4 + 4 ) 20 ∫ x ( x 4 + 4 )
TÝnh I =
HD : I =
4
4
dx
1 x − ( x − 10 )
=
∫ x 3 ( x 4 − 10 ) 10 ∫ x 3 ( x 4 − 10 )
8
dx
− 2 )( 2x 2 + 1)( 3x 2 − 4 )
dx
− 10x 6 + 35x 4 − 50x 2 + 24
dx
4
+ 4x 3 + 6x 2 + 4x − 9 )
x 2 dx
∫ x4 − 1
x 4 dx
TÝnh I = ∫ 4
x −1
x 4 dx
TÝnh I = ∫ 4
x +1
x 4 dx
TÝnh I = ∫ 6
x −1
TÝnh I =
0974.337.449 ___________________________
Th¸ng 12 – n¨m 2007
___________________
Trang
12

14. 12
∫
Ph¹m Kim Chung
bµi gi¶ng tÝch ph©n
Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa
2007
x 6 dx
∫ x6 − 1
dx
TÝnh I = ∫ 100
3x + 5x
dx
TÝnh I = ∫
2
x ( 2x 50 + 7 )
TÝnh I =
(1 − x ) dx
∫ x (1 + x )
2000
TÝnh I =
2000
2. KÜ thuËt ®Æt Èn phô víi tÝch ph©n cã d¹ng : I = ∫
☺ TÝnh I = ∫
x3 + x + 1
( x − 2)
30
P(x)
( ax + b )α
dx
( α ≠ 1)
dx
⎧ dx = dt
§Æt x – 2 = t ⇒ ⎨
, ta cã :
⎩x = t + 2
I=
∫
( t + 2)
TÝnh I =
3
+t+3
t 30
x4
∫ ( x − 3)
TÝnh I = ∫
45
dt =
t 3 + 6t 2 + 13t + 11
1
1
1 ⎤
⎡ 1
+ C =…
dt = − ⎢
+6
+ 13
+ 11
30
26
27
28
∫
t
27t
28t
29t 29 ⎥
⎣ 26t
⎦
dx
3x 4 − 5x 3 + 7x − 8
( x + 2)
50
dx
Chó ý : Víi lo¹i to¸n nμy trong cuèn “TÝch Ph©n – T.Ph−¬ng ” ®· sö dông ph−¬ng ph¸p khai triÓn
Taylor nh−ng t«i c¶m thÊy c¸ch lμm nμy kh«ng nhanh h¬n l¹i g©y nhiÒu phøc t¹p cho häc sinh nªn ®·
kh«ng nªu ra .
3. KÜ thuËt biÕn ®æi tö sè chøa ®¹o hμm cña mÉu sè .
xdx
4
−1
§Æt x 2 = t ⇒ 2xdx = dt
x 3 dx
TÝnh I = ∫ 4
x +1
2
x −1
☺ TÝnh I = ∫ 4
dx
x +1
1⎞
⎛
1
d⎜ x + ⎟
1− 2
2
x −1
x⎠
⎝
x dx =
I= ∫ 4
dx = ∫
∫ ⎛ 1 ⎞2
1
x +1
2
x + 2
⎜x + ⎟ − 2
x
x⎠
⎝
2
x +1
TÝnh I = ∫ 4
dx
x +1
x2
TÝnh I = ∫ 4
dx
x +1
( x 2 − 1)
dx
TÝnh I = ∫ 4
x − 5x 3 − 4x 2 − 5x + 1
( x 2 + 1)
dx
TÝnh I = ∫ 4
x + 2x 3 − 10x 2 − 2x + 1
TÝnh I =
∫x
( )
0974.337.449 ___________________________
=
2
1
2 2
ln
x2 − x 2 + 1
x2 + x 2 + 1
Th¸ng 12 – n¨m 2007
+C
___________________
Trang
13

15. 12
∫
Ph¹m Kim Chung
bµi gi¶ng tÝch ph©n
Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa
2007
TÝnh I = ∫
(x
2
− 2)
x 4 − 3x 3 + 11x 2 − 6x + 4
( x2 + 3)
dx
TÝnh I = ∫
dx
x 4 − 2x 3 − 2x 2 + 6x + 9
dx
TÝnh I = ∫ 4
x + x2 + 1
dx
TÝnh I = ∫ 4
x − 3x 2 + 4
B×nh luËn : Lo¹t bμi to¸n nμy lμm t«i kh¸ Ên t−îng víi phÐp chia c¶ tö sè vμ mÉu sè cho
x 2 . Qu¶ thËt t«i lu«n cè g¾ng t×m tßi xem liÖu m×nh cã thÓ nghÜ ra mét ph−¬ng ph¸p nμo
kh¸c hay h¬n ch¨ng, nh−ng …” bã tay.com “ . ThÕ míi hiÓu to¸n häc : “lu«n tiÒm Èn nh÷ng vÎ
®Ñp lμm ng−êi ta söng sèt”.
x5
TÝnh I = ∫ 6
dx
x +1
x
TÝnh I = ∫ 6
dx
x −1
1
dt
§Æt x 2 = t ⇒ 2xdx = dt , ta cã : I = ∫ 3
2 t −1
x3
TÝnh I = ∫ 6
dx
x −1
x4 + 1
TÝnh I = ∫ 6
dx
x +1
3
2
1 d(x ) 1 d(x )
x3 + x
+ ∫ 6
TÝnh I = ∫ 6
dx HD : I = ∫ 6
3 x +1 2 x +1
x +1
3
1
x2
x
d ( x2 )
TÝnh I = ∫ 6
HD : I = ∫
dx
2 ( x 2 )3 + 1
x +1
TÝnh I = ∫
(x
+ 1)( x 2 + 2x − 1)
2
dx
x 6 − 14x 3 − 1
1 ⎞⎛
1
1
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜ 1 + 2 ⎟⎜ x − + 2 ⎟
⎜ x − + 2⎟
1⎞
x ⎠⎝
x
x
⎛
⎠ dx =
⎝
⎠
HD : I = ∫ ⎝
d⎜x − ⎟
∫ ⎛ 1 ⎞3 ⎛ 1 ⎞
x⎠
⎛ 3 1 ⎞
⎝
⎜ x − 3 ⎟ − 14
⎜ x − ⎟ + 3 ⎜ x − ⎟ − 14
x ⎠
⎝
x⎠
x⎠
⎝
⎝
19
x
dx
TÝnh I = ∫
2
( 3 + x10 )
HD . I =
∫
x10 .10x 9
(3 + x )
TÝnh I = ∫
TÝnh I = ∫
10 2
dx =
x 99
( 2x
50
− 3)
7
x 2n −1
( ax
n
+ b)
k
1
x10
10
∫ 3 + x10 2 d ( x )
10 (
)
dx
dx
0974.337.449 ___________________________
Th¸ng 12 – n¨m 2007
___________________
Trang
14

16. 12
∫
Ph¹m Kim Chung
bµi gi¶ng tÝch ph©n
Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa
2007
4. KÜ thuËt chång nhÞ thøc .
C¬ së cña ph−¬ng ph¸p :
a b
§Ó t×m nguyªn hμm cã d¹ng : I =
( ax + b )
∫ ( cx + d )
n
,
c d
⎛ ax + b ⎞
dx , ta dùa vμo c¬ së : ⎜
⎟ =
2
⎝ cx + d ⎠ ( cx + d )
m
vμ ph©n tÝch biÓu thøc d−íi dÊu tÝch ph©n vÒ d¹ng :
dx
⎛ ax + b ⎞
⎛ ax + b ⎞ ⎛ ax + b ⎞
I = k∫ f ⎜
= k∫ f ⎜
⎟
⎟d⎜
⎟
cx + d ⎠ ( cx + d )2
⎝
⎝ cx + d ⎠ ⎝ cx + d ⎠
VD . TÝnh
( 3x − 5 )
12
( x + 2)
10
I= ∫
10
⎛ 3x − 5 ⎞
dx = ∫ ⎜
⎟
⎝ x+2 ⎠
10
dx
( x + 2)
2
=
11
1 ⎛ 3x − 5 ⎞
1 ⎛ 3x − 5 ⎞
⎛ 3x − 5 ⎞
⎜
⎟ d⎜
⎟=
⎜
⎟ +C
11 ∫ ⎝ x + 2 ⎠
x + 2 ⎠ 121 ⎝ x + 2 ⎠
⎝
(7x − 1)
dx
101
( 2x + 1)
99
TÝnh I = ∫
TÝnh I = ∫
dx
( x + 3)
5
( x + 5)
3
⎡ ( x + 3) − ( x + 5) ⎤
1
1
⎥
5
5
6
2
5 ⎢
6 ∫
2 ⎛x +3⎞ ⎣
x+5
8
⎛x +3⎞
⎛ x + 3 ⎞ ( x + 5) ( x + 5)
⎦
( x + 5)
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝x +5⎠
⎝ x +5⎠
⎝ x +5⎠
§Ó tr¸nh sù ®å sé trong tÝnh to¸n ta cã thÓ sö dông phÐp ®Æt Èn phô nh− sau :
1
dt
⎧
dx =
2
⎪
2
x+3
⎪ ( x + 5)
=t⇒⎨
, nªn ta cã :
§Æt
x+5
⎪x + 5 − 2 = t ⇒ 1 = 1− t
⎪ x+5
⎩
x+5
2
HD . I = ∫
dx
=∫
1
1
⎡ ( x + 3) − ( x + 5) ⎤
1
1
⎥
5 ⎢
6 ∫
2 ⎛x+3⎞ ⎣
x+5
⎦
⎜
⎟
⎝x+5⎠
TÝnh I = ∫
TÝnh I = ∫
§Æt
dx
6
=
dx
( x + 5)
2
1 ( t − 1) dt
27
t5
6
dx
( x + 5)
6
2
=∫
dx
( 3x − 2) ( 3x + 4 )
7
3
dx
( 2x − 1) ( 3x − 1)
3
4
3x − 1
1
1
=t⇒−
dx = dt vμ
= 2t − 3
2
2x − 1
2x − 1
( 2x − 1)
Do ®ã ta cã : I =
dx
∫ ( 2x − 1) ( 3x − 1)
3
4
=
∫
dx
( 2x − 1)
0974.337.449 ___________________________
7
⎛ 3x − 1 ⎞
⎜
⎟
⎝ 2x − 1 ⎠
4
= −∫
( 2t − 3 )
5
dt
t4
Th¸ng 12 – n¨m 2007
___________________
Trang
15

17. 12
∫
Ph¹m Kim Chung
bµi gi¶ng tÝch ph©n
Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa
2007
TÝch ph©n cña c¸c hμm l−îng gi¸c
A. Sö dông thuÇn tuý c¸c c«ng thøc l−îng gi¸c .
1 − cos2x
1 + cos2x
C«ng thøc h¹ bËc : sin2 x =
; cos 2 x =
2
2
VD . T×m hä nguyªn hμm : ∫ cos2 xdx
∫ cos
2
xdx =
∫
1 + cos2x
1
1
1
1
dx = ∫ dx + ∫ cos2xd ( 2x ) = x + sin 2x + C
2
2
4
2
4
Bμi tËp . T×m hä nguyªn hμm :
1.
∫ sin
∫
2
∫
2
4. sin 5xdx
∫
2 . cos 4 xdx
xdx
∫
3. cos 4 3xdx
∫
4
4
6 . cos x sin xdx
5 . sin 5xdx
2
− sin 3x + 3 sin x
cos3x + 3cosx
C«ng thøc h¹ bËc : sin3 x =
; cos 3 x =
4
4
Bμi tËp . T×m hä nguyªn hμm :
1.
∫ sin
6
2 . ∫ cos6 3xdx
xdx
3.
∫ cos
6
4xdx
C«ng thøc biÕn ®æi tÝch thμnh tæng :
1
sin a.sin b = ⎡ cos ( a − b ) − cos ( a + b ) ⎤
⎦
2⎣
1
cosa.cosb = ⎡cos ( a + b ) + cos ( a − b ) ⎤
⎦
2⎣
1
sin a.cosb = ⎡ sin ( a + b ) + sin ( a − b ) ⎤
⎦
2⎣
VD . T×m hä nguyªn hμm : ∫ sin 2x.cosxdx
1
1
1
1
1
∫ sin 2xcosxdx = ∫ 2 [ sin 3x + sin x ] dx = 6 ∫ sin 3xd ( 3x ) + 2 ∫ sin xdx = − 6 cos3x − 2 cosx + C
Bμi tËp . T×m hä nguyªn hμm :
1.
∫ sinxcos3xdx
∫
2 . cosx.cos2x.cos3xdx
3.
∫ cos4x.sin 5x.sin xdx
C«ng thøc céng :
cos ( a + b ) = cos a cos b − sin a sin b
cos ( a − b ) = cos a cos b + sin a sin b
sin ( a + b ) = sin a cos b + sin b cos a
sin ( a − b ) = sin a cos b − sin b cos a
VD .
dx
=
Bμi tËp :
1.
cos ⎡( x + 5 ) − ( x − 5 ) ⎤
⎣
⎦
1
1
⎣
⎦
∫ sin 2x − sin10x = 2cos10 ∫ cos ( x + 5 ) cos ( x − 5 ) = 2cos10 ∫ ⎡cot g ( x − 5 ) + tg ( x + 5 )⎤dx
sin ( x − 5 )
1
+C
ln
2cos10 cos ( x − 5 )
dx
∫ sin 2x − sin x
2.
dx
∫ sin x + sin 3x
3.
dx
∫ 1 − sin x
B. TÝnh tÝch ph©n khi biÕt d(ux)) .
π
2
VD . TÝnh
∫ sin x.cosxdx
2
0
0974.337.449 ___________________________
Th¸ng 12 – n¨m 2007
___________________
Trang
16

18. 12
∫
Ph¹m Kim Chung
bµi gi¶ng tÝch ph©n
Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa
2007
§Æt t=sinx, t ∈ ⎡0; 1⎤ . Khi x=0 th× t=1, khi x=
⎣
⎦
π
2
1
0
0
2
2
∫ sin x.cosxdx = ∫ t dt =
π
th× t=1 vμ dt = cosxdx . Do ®ã :
2
t3 1 1
=
3 0 3
Víi lo¹i tÝch ph©n nμy häc sinh cã thÓ tù s¸ng t¹o ra mét lo¹t c¸c bμi to¸n, t«i thö ®−a ra
mét vμi ph−¬ng ¸n :
BiÕt d(sinx)
cosxdx .
π
2
π
2
π
2
cosx
2. ∫ n dx ( n ∈ N * , n ≠ 1)
π sin x
1. ∫ sin n x.cosxdx
0
3.
4. ∫ ( sin 3x )
( cos3x )
5
dx
π
2
1. ∫ cos x.sin xdx
0
4. ∫ ( sin 2x ) ( cos2x )
7
100
dx
π
4
1. ∫ ( tg x + tgx ) dx
3.
1
dx
cos 4 x
d(cotgx)
5. ∫
−
π
4
sin x
2. ∫
dx
3
0 cos x
0
sin3 x
dx
5
x
0
∫ cos
dx
cos2n x
3.
6.
∫ ( tg
5
( tg3x )
∫ ( cos3x )6 dx
0
7
x + tg 4 x + tg3 x + tg2 x + 1) dx
1
dx .
sin 2 x
π
2
1. ∫ ( cotg 3 x + cotgx ) dx
π
4
π
2
( cotg5x )
∫ ( cos5x )8
10
cosx
dx
sin5 x
π
2. ∫
3.
dx
4
1
4. ∫ 4 dx
sin x
BiÕt d( sinx ± cosx )
0
π
4
sin x
2. ∫
dx ( n ∈ N * , n ≠ 1)
cos n x
0
sin xdx
5. ∫
cos3 x − 1
π
4
3
1. ∫
cosxdx
x + 3 sin x + 2
1
dx .
cos2 x
BiÕt d(tgx)
π
4
2
π
4
n
BiÕt
∫ sin
xdx
−sinxdx .
BiÕt d(cosx)
4. ∫
5.
3
π
4
4
10
∫ tg
( cos x − sin x )
sin x + cosx
dx
5. ∫ 2n
sin x
( cosx ± sinx) dx
6.
∫ ( cotg
5
x + cotg 4 x + cotg 3 x + cotg 2 x ) dx
π
2
dx
cos2x
dx
1 + sin 2x
π
2. ∫
4
2cosx − 3 sin x
dx
4. ∫
2 sin x − 3cosx + 1
5. ∫
BiÕt d ( a sin2 x ± bcos2 x ± c sin 2x ± d )
3.
cos2x
∫ ( sin x + cosx )
3
dx
( sin 2x + 2cos4x ) dx
cos2x − sin 4x
(a ∓ b ± c) sin2xdx
sin 2x
sin 2x
dx
2. ∫
3 sin2 x + cos 2 x
2 sin2 x − 4 sin xcosx + 5cos 2 x
BiÕt d(f(x)) víi f(x) lμ mét hμm l−îng gi¸c bÊt k× nμo ®ã .
1
cos3 + 1
=
VD . Chän f(x) = sinx + tgx ⇒ d ( f ( x ) ) = cosx +
2
cos x
cos2 x
1. ∫
0974.337.449 ___________________________
Th¸ng 12 – n¨m 2007
___________________
Trang
17

19. 12
∫
Ph¹m Kim Chung
bµi gi¶ng tÝch ph©n
Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa
2007
Nh− vËy ta cã thÓ ra mét bμi to¸n t×m nguyªn hμm nh− sau :
( sin x + tgx ) ( cos3 x + 1)
∫
dx
cos2 x
§Ó t¨ng ®é khã cña bμi to¸n b¹n cã thÓ thùc hiÖn mét vμi phÐp biÕn ®æi vÝ dô :
( sin x + tgx ) ( cos3 x + 1)
sin x (1 + cosx ) ( cos3 x + 1)
1 ⎞
⎛
= sin x (1 + cosx ) ⎜ 1 +
⎟
cos x
cos x
cos3 x ⎠
⎝
1 ⎞
⎛
Tõ ®ã ta cã bμi to¸n t×m nguyªn hμm : ∫ sin x (1 + cosx ) ⎜ 1 +
⎟ dx
cos3 x ⎠
⎝
DÜ nhiªn ®Ó cã mét bμi t×m nguyªn hμm nh×n ®Ñp m¾t l¹i phô thuéc vμo viÖc chän hμm f(x) vμ kh¶ n¨ng
biÕn ®æi l−îng gi¸c cña b¹n !
1
1
4
+
=
VD . T«i chän hμm sè : f(x) = tgx – cotgx ⇒ d ( f ( x ) ) =
, nh− vËy t«i cã thÓ ra mét bμi
cos2 x sin2 x sin2 2x
2
=
3
to¸n nh×n “ t¹m ®−îc “ nh− sau : T×m hä nguyªn hμm :
∫
( tgx - cotgx )2007
sin 2 2x
dx
NÕu thÊy ch−a hμi lßng ta thö biÕn ®æi tiÕp xem sao ?
cos 2 x − sin2 x 2cos2x
( tgx - cotgx )
22007 cos2007 2x
=
⇒
=
2
sin x.cosx
sin 2x
sin 2x
sin2009 2x
cos2007 2x
dx .. Cã thÓ b¹n sÏ thÊy buån khi bμi to¸n nμy l¹i
VËy b¹n sÏ cã mét bμi to¸n míi : T×m hä nguyªn hμm : ∫
sin 2009 2x
cã c¸ch gi¶i ng¾n h¬n con ®−êng chóng ta ®i !
Nh−ng dÉu sao còng ph¶i tù an ñi m×nh : “ Thùc ra trªn mÆt ®Êt lμm g× cã ®−êng ..”
☺ Chẳng lẽ chúng ta không thu lượm được điều gì chăng ? Nhưng tôi lại có suy nghĩ khác, biết đâu những
nhà viết sách lại xuất phát từ những ý tưởng như chúng ta …???
Hãy thử xét sang một dạng toán khác :
2007
Ta cã : tgx − cot gx =
C. T¹o ra d(u(x)) ®Ó tÝnh tÝch ph©n .
π
4
VD . TÝnh tÝch ph©n :
dx
∫ cosx
0
Râ rμng bμi to¸n kh«ng xuÊt hiÖn d¹ng :
∫ f ( u ( x ) )u'( x ) dx = ∫ f ( u )du
VËy ®Ó lμm ®−îc bμi to¸n, mét ph−¬ng ph¸p ta cã thÓ nghÜ ®Õn lμ t¹o ra d( u(x)) nh− sau :
π
π
π
π
6
6
dx
cosxdx 6 d ( sin x ) 1 1 − sin x
1 1
∫ cosx = ∫ cos2 x = ∫ 1 − sin2 x = 2 ln 1 + sin x 6 = 2 ln 3
0
0
0
0
B¹n cã nghÜ r»ng m×nh còng cã kh¶ n¨ng s¸ng t¹o ra d¹ng to¸n nμy !
T¹o d(sinx)
cosxdx .
dx
1. ∫ 4
sin xcosx
sin2 x
dx
4. ∫
cosx
T¹o d(cosx)
dx
1. ∫
sin xcosx
tg 4 x
dx
cosx
cos2 xdx
5. ∫
cos3x
2. ∫
3.
dx
∫ cos
3
x
6.
∫
dx
3
5
sin xcosx
−sinxdx .
dx
2. ∫ 3
sin x
π
2
3.
cos3 x
∫ sin5 x dx
π
4
0974.337.449 ___________________________
Th¸ng 12 – n¨m 2007
___________________
Trang
18

20. 12
∫
Ph¹m Kim Chung
bµi gi¶ng tÝch ph©n
Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa
2007
4. ∫
dx
5. ∫
sin x ( cos3 x − 1)
6.
π
4
π
4
sin2 x
dx
2
0 1 + cos x
1. ∫ tg 3 xdx
2. ∫
4. ∫ tg 8 xdx
5. ∫
0
−
d(cotgx)
π
2
1. ∫ cotg 3 xdx
π
4
4. ∫
∫ ( sin x )
1
dx .
cos2 x
T¹o d(tgx)
T¹o
4 sin3 x
∫ 1 + cosx
3.
dx
sin xcos 6 x
1
dx
sin 4 x
d( tg
( cosx )3
dx
2 sin2 x − 5 sin xcosx − 3cos2 x
6.
1
∫ ( sin x − 2cosx )
2
dx
1
dx .
sin 2 x
2. ∫
( cotg5x )
∫ ( sin 5x )8
10
1
dx
sin2 x − 2cos 2 x
3.
dx
dx
∫ sin
5.
2n
x
1 1
x
dx . < PhÐp ®Æt Èn phô t= tg > .
x
2 cos2
2
2
dx
1
dx
1. ∫
2. ∫
3.
2cos3x + 7 sin 3x
3 sin x + cosx
7 sin x − 5cosx
sin x − cosx + 1
dx
4. ∫
5. ∫
2
sin x + 2cosx + 3
3 sin x + 4cosx )
(
T¹o
dx
3
x
)
2
dx
∫ 2 sin x + 5cosx + 3
D. s¸ng t¹o bμi tËp
NÕu ®−îc phÐp hái, t«i sÏ hái r»ng b¹n cã c¶m thÊy nhµm ch¸n khi b¹n cø suèt ngµy «m lÊy mét cuèn s¸ch tham kh¶o vµ lµm hÕt
bµi tËp nµy ®Õn bµi tËp kh¸c, mµ ®«i lóc b¹n vÉn c¶m gi¸c r»ng kh¶ n¨ng gi¶i to¸n cña m×nh kh«ng giái lªn. Cßn t«i ®am mª m«n To¸n tõ
khi t«i biÕt thÕ nµo lµ s¸ng t¹o .. B¹n cã muèn thö xem m×nh cã kh¶ n¨ng s¸ng t¹o hay kh«ng ?
Dï kh¶ n¨ng s¸ng t¹o bµi tËp ®−îc xuÊt ph¸t tõ nh÷ng b¶n chÊt rÊt s¬ ®¼ng, cã thÓ b¹n s¸ng t¹o mét bµi to¸n mµ b¹n ®· b¾t gÆp ë
mét cuèn s¸ch nµo ®ã.. nh−ng dÉu sao nã vÉn mang “ d¸ng dÊp “ cña b¹n .
T«i m¹n phÐp t− duy ®Ó cïng tham kh¶o cho “ vui “ !
T«i sÏ lÊy mét hμm sè f(x) nμo ®ã mμ t«i thÝch, råi ®¹o hμm ®Ó t×m d(f(x)) .
h T«i chän : f ( x ) = sin4 x + cos4 x , f' ( x ) = 4 ( sin3 xcosx − cos3 x sin x ) = 2.sin 2x ( sin2 x − cos 2 x ) = − sin 4x
π
2
Mét bμi to¸n ®¬n gi¶n ®−îc t¹o ra : TÝnh
sin4x
∫ sin x + cos xdx
4
4
0
Mét bμi to¸n nh×n kh¸ ®Ñp m¾t, b¹n ®· gÆp ë ®©u ch−a ? NÕu gÆp bμi to¸n nμy tr−íc khi b¹n biÕt s¸ng t¹o b¹n
gi¶i quyÕt nã nh− thÕ nμo ?
§Ó t¨ng kh¶ n¨ng “ ®¸nh lõa trùc gi¸c “ b¹n cã thÓ t¹o mÉu sè thμnh mét hμm sè hîp nμo ®ã quen thuéc , vÝ dô :
TÝnh c¸c tÝch ph©n sau :
π
2
1.
∫
0
π
2
sin4x
4
4
sin x + cos x
dx
2.
∫
0
π
2
sin4x
( sin x + cos x )
4
0974.337.449 ___________________________
4
2007
dx
3.
sin4x
∫ cos 2 ( sin x + cos x )dx
4
4
0
Th¸ng 12 – n¨m 2007
___________________
Trang
19

21. 12
∫
Ph¹m Kim Chung
bµi gi¶ng tÝch ph©n
Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa
2007
π
2
4.
sin4x
∫ tg ( sin x + cos x )dx
4
4
0
BiÕt ®©u mét lóc nμo ®ã cã ai hái t«i vÒ c¸ch gi¶i c¸c bμi to¸n trªn t«i l¹i ☺ quªn ..!!!!!
T«i biÕt b¹n sÏ nghÜ t− duy kiÓu nμy “ cò rÝch “ . VËy sao ta kh«ng thö t− duy mét kiÓu nμo ®ã cho h¬i “l¹” mét tý :
1
1 1
2
2
Bμi to¸n nμy sÏ xuÊt ph¸t tõ ®©u ?
f ( x ) = sin 4 x + cos 4 x = 1 − 2 sin 2 xcos2 x = 1 − ( sin 2x ) = + ( cos2x ) ..
2
2 2
π
2
TÝnh :
sin2x + cos2x
∫ sin x + cos x dx
4
4
0
i NÕu nh− xuÊt ph¸t tõ l−îng gi¸c ®Ó t¹o ra c¸c bµi to¸n tÝch ph©n cña hµm l−îng gi¸c nghe cã vÎ hiÓn nhiªn qu¸, ta h·y xuÊt ph¸t
tõ hµm ph©n thøc h÷u tû xem sao ?
dx
T«i sÏ xuÊt ph¸t tõ bμi to¸n t×m nguyªn hμm : I = ∫ 2
.
x −1
1
1+ tg 2 x
dt = (1 + tg2 t ) dt vµ ra m¾t bµi to¸n : I = ∫
dx
T«i sÏ ®Æt : x=tgt ⇒ dx =
2
cos t
1 − tg 2 x
B¹n sÏ suy nghÜ r»ng “ qu¸ ®¬n gi¶n “ .. nh−ng b¹n sÏ cho c¸ch gi¶i thÕ nµo víi bµi to¸n nµy :
d ( tgx )
1
1
..h·y nh−êng chç cho
I=∫
dx , ph¶i ch¨ng b¹n sÏ nghÜ I = ∫
dx = ∫
1 − tg 2 x
1 − tg 2 x
(1 − tg2 x )(1+ tg2 x )
nh÷ng lêi gi¶i th«ng minh h¬n ..!!!
a B¹n ®ang «n thi ®¹i häc, b¹n ®äc kh¸ nhiÒu tµi liÖu.. ®«i khi b¹n sÏ gÆp nh÷ng bµi to¸n khã hay nh÷ng lêi gi¶i dµi dßng h¬n b¹n..
b¹n thÊy m×nh ®ang tõng ngµy tiÕn bé . §«i khi b¹n gÆp mét ph−¬ng ph¸p nµo ®ã víi tªn gäi lµm b¹n ho¶ng hèt . H·y dõng l¹i vμ t− duy, b¹n
sÏ t×m ra lêi gi¶i ®¸p !
T«i ®¬n cö mét vÝ dô .. Khi b¹n ®äc tµi liÖu b¹n thÊy côm tõ “ tÝch ph©n liªn kÕt” cã thÓ b¹n bá qua v× nghÜ r»ng “qu¸ khã “
cosxdx
VD . TÝnh E = ∫
sin x + cosx
sin x
dx
Lêi gi¶i : XÐt tÝch ph©n liªn kÕt víi E lµ E1 = ∫
sin x + cosx
sin x + cosx
⎧
E + E1 = ∫
dx = ∫ dx = x + C1
⎪
sin x + cosx
⎪
Ta cã : ⎨
.
⎪E − E = sin x − cosx dx = d ( sin x + cosx ) = ln sin x + cosx + C
1
2
∫ sin x + cosx
∫ sin x + cosx
⎪
⎩
1
⎧
⎪E = 2 ( x + ln sin x + cosx ) + C
⎪
Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh suy ra : ⎨
⎪E = 1 ( x − ln sin x + cosx ) + C
⎪ 1 2
⎩
B×nh luËn : Sù ®å sé lμm b¹n ho¶ng hèt, nh−ng h·y suy nghÜ xem thùc chÊt nã còng chØ lμ mét phÐp t¸ch ®¬n
gi¶n :
1 ⎡( cosx + sin x ) + ( cosx − sin x )⎤ dx 1
1 d ( cosx + sin x ) 1
⎦ =
E = ∫⎣
∫ dx + 2 ∫ cosx + sin x = 2x + ln sin x + cosx + C
2
sin x + cosx
2
NÕu ch−a thùc sù tin b¹n cã thÓ thö víi mét lo¹t c¸c bμi to¸n kh¸c t−¬ng tù :
sin x
sin 3x
sin4 x
dx
dx
dx
1. ∫
2. ∫
3. ∫ 4
3cosx + 7 sin x
2cos3x − 5 sin 3x
sin x + cos 4 x
ViÖc ®−a ra bμi to¸n trªn chØ lμ sù ®óc rót kinh nghiÖm kh«ng ph¶i lμ sù s¸ng t¹o, nh−ng nã gióp chóng ta lÝ gi¶i
®ù¬c mét ®iÒu quan träng trong s¸ng t¹o bμi tËp : lμ muèn cã mét bμi tËp hay b¹n cÇn kÕt hîp nhiÒu phÐp biÕn ®æi vμ dÜ
nhiªn ®ßi hái b¹n ph¶i kiªn tr× vμ mét chót yÕu tè “ may m¾n “.
d T«i thö lÊy hµm sè : f ( x ) = 2 sin2 x − 2 sin2x + 5cos2 x vµ t¸ch nã thµnh 2 kiÓu kh¸c nhau :
KiÓu1. f ( x ) = 2 sin2 x − sin 2x + 5cos 2 x = ( sin 2 x + cos 2 x ) + ( sin x + 2cosx ) = 1 + ( sin x + 2cosx ) = 1 + u 2
2
0974.337.449 ___________________________
Th¸ng 12 – n¨m 2007
2
___________________
Trang
20

22. 12
∫
Ph¹m Kim Chung
bµi gi¶ng tÝch ph©n
Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa
2007
KiÓu2. f ( x ) = 2 sin 2 x − sin 2x + 5cos 2 x = 6 ( sin 2 x + cos 2 x ) − ( cosx − 2 sin x ) = 6 − ( cosx − 2 sin x ) = 6 − v 2
2
2
v ' = − sin x − 2cosx ⇒ u'+ v ' = −3 ( sin x + cosx )
sin x + cosx
dx
VËy ph¶i ch¨ng bμi to¸n nμy sÏ rÊt khã : ∫
2
2 sin x − 2 sin 2x + 5cos2 x
T«i nh×n thÊy b¹n ®ang c−êi “ chÕ diÔu ” bëi b¹n ®· b¾t gÆp nã..nh−ng cã 2 ®iÒu t«i
muèn nãi víi b¹n :
- H·y gi¶i bμi to¸n nμy b»ng mét c¸ch thËt th«ng minh .
- H·y “ m−în t¹m “ t− duy nμy ®Ó ra bμi tËp .
dx
B¹n ®· qu¸ quen víi bμi to¸n nμy : ∫ 6
nh−ng t«i kh¼ng ®Þnh b¹n sÏ cã mét chót b¨n kho¨n víi bμi to¸n :
sin x
sinxcosx ( sin4 x + sin2 x + sinx + 1)
T×m hä nguyªn hμm : I = ∫
dx
sin6 x - 1
Gi¶i
ë kiÓu1. u' = cosx − 2 sin x vμ kiÓu2
I=∫
2
sin xcosx ( sin 4 x + sin 2 x + 1) 1 d ( sin3 x )
sinxcosx ( sin4 x + sin2 x + sinx + 1)
sin 2 xcosx
1 d ( sin x )
dx = ∫
+∫
= ∫
+ ∫ 2
sin6 x - 1
sin 6 x − 1
sin6 x − 1
3 ( sin3 x )2 − 1 2 sin x − 1
=
1 ⎛ cos2 x ⎞ 1
2
ln ⎜
⎟ + ln ( cos x ) + C .. b¹n t×m lêi gi¶i nhanh h¬n nhÐ !
6 ⎝ sin2 x + 1 ⎠ 2
Bμi to¸n trªn “ bÞ lé ý t−ëng gi¶i to¸n khi xuÊt hiÖn : sin4 x + sin2 x + 1 nh−ng bμi to¸n nμy b¹n h·y gi¶i quyÕt dïm
sinxcosx ( sinx + 1)
dx
T×m hä nguyªn hμm : I = ∫
sin6 x - 1
Víi ý t−ëng nμy b¹n cã thÓ ung dung nghÜ r»ng : ng−êi kh¸c sÏ ®au ®Çu v× bμi to¸n cña b¹n ! H·y thö
theo ý t−ëng cña b¹n, ®¶m b¶o t«i sÏ “ bã tay . com .vn “ …!!!
dïng ®å cña ng−êi kh¸c c¶m z¸c kh«ng tho¶i m¸i…nh−ng .. dïng m∙i mµ ng−êi ta kh«ng b¾t tr¶ l¹i th×
thµnh cña m×nh ! <☺ .. triÕt lÝ kh«ng ? >
§ªm khuya l¾m råi, t¹m chia tay víi tÝch ph©n hμm l−îng gi¸c ! Nh−êng l¹i s©n ch¬i cho c¸c b¹n !
T×m hä nguyªn hμm :
sin4x + cos2x
∫ sin x + cos x dx
6
6
( Víi gi¸ dïng thö chØ cã 4 dÊu “ = “ )
Vì ñôøi phuï kieáp taøi hoa
Vì ngöôøi gian díu hay ta ña tình .. ?!
TÝch ph©n cña c¸c hμm chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi
2
VD . TÝnh
∫
0
1
2
1
2
0
1
x − 1 dx = ∫ x − 1 dx + ∫ x − 1 dx = − ∫ ( x − 1) d ( x − 1) + ∫ ( x − 1) d ( x − 1)
0
= (1 − x )
1
1
0
+ ( x − 1)
2
1
= −2
TÝch ph©n cña hμm chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi kh«ng khã l¾m, nã phô thuéc hoμn toμn vμo kh¶ n¨ng xÐt dÊu cña
hμm sè trong dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi .
Khi xÐt dÊu cña hμm ®a thøc chøa trong dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi b¹n cÇn l−u ý mét “ mÑo vÆt “ : §a thøc cã n
nghiÖm th× ta xÐt trªn (n+1) kho¶ng. §a thøc bËc n cã n nghiÖm th× ®an dÊu trªn c¸c kho¶ng, kh¸c n nghiÖm th×
mÊt tÝnh ®an dÊu .
0974.337.449 ___________________________
Th¸ng 12 – n¨m 2007
___________________
Trang
21

23. 12
∫
Ph¹m Kim Chung
bµi gi¶ng tÝch ph©n
Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa
2007
3
∫
VD1 . TÝnh
x 2 − 1 dx
−2
⎡ x =1
( tam thøc bËc 2 cã 2 nghiÖm )
Nh¸p : x 2 − 1 = 0 ⇔ ⎢
⎣ x = −1
xÐt dÊu :
-2
+
0
-1
3
+
1
_
Thö mét sè bÊt k× trong kho¶ng bÊt k×
§an dÊu
−1
3
∫
Gi¶i .
x 2 − 1 dx =
−2
∫
1
x 2 − 1 dx +
−2
∫
−1
3
x 2 − 1 dx + ∫ x 2 − 1 dx =
1
−1
∫ (x
2
− 1) dx −
−2
1
∫ (x
3
2
−1
− 1) dx + ∫ ( x 2 − 1) dx =
1
28
3
1
∫x
VD2. TÝnh
3
− x 2 dx
−1
Chóng ta th−êng nhÇm lÉn khi xÐt dÊu lμ ®a thøc cã 2 nghiÖm vμ ®an dÊu trªn 3 kho¶ng sÏ cho kÕt
qu¶ sai ! H·y lμm nh− sau :
1
∫
1
−1
1
2
−1
x 3 − x 2 dx =
0
1
2
2
2
∫ x x − 1dx = ∫ x x − 1 dx + ∫ x x − 1 dx =…
C¸c bμi tËp rÌn luyÖn :
2
1.
∫x
0
2
3
− x dx
∫
2.
3π
4
1
x − 1dx
3.
−1
∫
9x 2 − 6x + 1dx
4.
∫
π
4
0
1 + cos2xdx
π
2
5.
∫
cos3 x − cos2 xdx
π
−
2
TÝch ph©n tõng phÇn
b
1. TÝch ph©n d¹ng :
∫ P ( x ) sin xdx ,
a
b
∫ P ( x ) cosxdx
a
§Æt u = P(x) ®Ó gi¶m bËc cña P(x) .
π
VD . TÝnh
∫x
2
sin xdx
0
⎧ u = x2
⎧du = 2xdx
⎪
⇒⎨
§Æt ⎨
. Do ®ã :
⎪dv = sin xdx
⎩ v = −cosx
⎩
π
π
π π
x 2 sin xdx = x 2 ( −cosx ) + ∫ 2xcosxdx = π2 + 2∫ xcosxdx
∫
0 0
0
0
π
Ta sÏ tÝnh tÝch ph©n :
∫ xcosxdx
0
0974.337.449 ___________________________
Th¸ng 12 – n¨m 2007
___________________
Trang
22

24. 12
∫
Ph¹m Kim Chung
bµi gi¶ng tÝch ph©n
Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa
2007
⎧ du = dx
⎧ u=x
⇒⎨
§Æt ⎨
. Do ®ã :
⎩dv = cosxdx
⎩ v = sin x
π
π π
π
xcosxdx = x.sin x − ∫ sin xdx = cosx = −2
∫
0 0
0
0
π
∫x
VËy
2
sin xdx = π2 − 4
0
Bμi tËp tù luyÖn :
π
2
1.
∫ xcos xdx
2
0
π
6
π
2.
∫ x cosxdx
3
3.
∫ x sin xcos xdx
2
0
0
π
2
4.
2
3
∫ x cos xdx 5.
0
π
∫x
0
3
sin3
x
dx
2
b
2. TÝch ph©n d¹ng :
∫ P ( x ) ln xdx
a
§Æt
dv = P(x)dx ®Ó dÔ t×m v .
0974.337.449 ___________________________
Th¸ng 12 – n¨m 2007
___________________
Trang
23