Dokumen tersebut membahas tentang teorema faktorteorema dan contoh-contoh penerapannya. Teorema faktorteorema menyatakan bahwa jika suku banyak dibagi suku banyak lain, maka hasil baginya dan sisanya akan memiliki derajat tertentu yang tergantung pada derajat pembagi dan yang dibagi. Dokumen ini juga menjelaskan cara menentukan faktor-faktor suatu suku banyak.
3. Secara umum dapat dikatakan bahwa jika suku banyak ๐ ๐ฅ
dibagi dengan ๐(๐ฅ) memberikan hasil bagi ๐ป(๐ฅ) dan sisa pembagian
๐(๐ฅ) , maka diperoleh hubungan.
Apabila ๐(๐ฅ) berderjat n dan ๐(๐ฅ) berderajat m, maka hasil
bagi ๐ป(๐ฅ) berderajat ๐ โ ๐ dan sisa pembagian maksimum berderajat
๐ โ 1.
๐ ๐ฅ = ๐ ๐ฅ ๐ป + ๐(๐ฅ)
4. TEOREMA 1
Jika suku banyak ๐ ๐ dibagi ๐ โ ๐ maka
sisanya adaalah ๐(๐)
B
U
K
T
I
Tulis ๐ ๐ฅ = ๐ฅ โ โ ๐ป ๐ฅ + sisa
Subtitusikan ๐ฅ โ โ, maka didapat:
๐ โ = โ โ โ ๐ป โ + sisa
๐ โ = 0 + sisa, maka sisa = ๐(โ) ( terbukti)
Dengan cara yang sama, buktikanlah bahwa jika
๐ ๐ฅ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐ฅ โ ๐ maka sisanya adalah ๐
๐
๐
. Maka: ๐ ๐ฅ =
๐๐ฅ โ ๐ ๐ป ๐ฅ + sisa.
Untuk ๐ฅ =
๐
๐
maka ๐
๐
๐
= ๐.
๐
๐
โ ๐ ๐ป ๐ + ๐ ๐๐ ๐
๐
๐
๐
= ๐ โ ๐ . ๐ป ๐ + ๐ ๐๐ ๐
๐
๐
๐
= 0. ๐ป ๐ + ๐ ๐๐ ๐ โ ๐ ๐๐ ๐ = ๐
๐
๐
๐ก๐๐๐๐ข๐๐ก๐.
5. Tentukan sisa pembagian jika suku banyak
๐ ๐ฅ = 2๐ฅ3
โ 4๐ฅ2
+ ๐ฅ + 8 dibagi ๐ฅ + 2.
CONTOH
P
E
M
B
A
H
A
S
A
N
๐ ๐ฅ = 2๐ฅ3
โ 4๐ฅ2
+ ๐ฅ + 8 dibagi dengan๐ฅ + 2 = ๐ฅ โ โ2
sisa ๐(โ2).
๐ฅ = โ2 2 -4 1 8
-4 16 -34
2 -8 17 -26 = ๐(โ2)
Jadi, sisanya adalah -26.
+
6. CONTOH Tentukan sisa pembagian jika 2๐ฅ3 โ 7๐ฅ2 +
11๐ฅ + 5 dibagi dengan 2๐ฅ โ 1.
P
E
M
B
A
H
A
S
A
N
2๐ฅ โ 1 = 0, maka๐ฅ =
1
2
. Dengan demikian, suku banyak 2๐ฅ3 โ 7๐ฅ2 +
11๐ฅ + 5 dibagi dengan 2๐ฅ โ 1memberikan sisa ๐
1
2
.
๐ฅ =
1
2
2 -7 11 5
1 -3 4
2 -6 8 9 = ๐(
1
2
)
Jadi, sisanya adalah ๐
1
2
= 9.
+
7. CONTOH
Suku banyak ๐ ๐ฅ = ๐ฅ4 + 3๐ฅ3 + ๐ฅ2 โ ๐ + 1 ๐ฅ + 1 dibagi dengan ๐ฅ โ 2
memberikan sisa = 35. Tentukan nilai ๐.
9. Bila ๐ ๐ฅ dibagi ๐ฅ + 2 memberikan sisa 14, sedangkan bila dibagi ๐ฅ โ 4
memberikan sisa โ4. Tentukan sisanya bila ๐ ๐ฅ dibagi ๐ฅ2 โ 2๐ฅ โ 8.
CONTOH
12. ๏
Telah anda ketahui bahwa faktor suatu bilangan adalah semua
bilangan yang dapat membagi bilangan tersebut.
Misalnya, faktor-faktor dari 15 adalah 1,3,5,15
Faktor-faktor dari 24 adalah 1,2,3,4,6,8,12,24
Faktor sebuah suku banyak adalah suku banyak lain yang dapat
membagi habis suku banyak tersebut. Sebagai contoh, faktor-faktor dari
๐ฅ2 + ๐ฅ โ 6 adalah (๐ฅ + 3) dan (๐ฅ โ 2).
13. TEOREMA
2
Jika ๐(๐) suatu suku banyak, maka ๐ โ
๐ merupakan factor dari ๐(๐) jika dan hanya
jika ๐ ๐ = ๐.
B
U
K
T
I
Menurut teorema sisa, ๐ ๐ฅ = ๐ฅ โ โ ๐ป ๐ฅ + ๐ โ
Jika ๐ โ = 0, maka ๐ ๐ฅ = ๐ฅ โ โ ๐ป ๐ฅ
Ini berarti bahwa ๐ฅ โ โ merupakan faktor dari ๐ ๐ฅ
Sebaliknya, jika ๐ฅ โ โ merupakan faktor dari ๐ ๐ฅ , maka
๐ ๐ฅ = ๐ฅ โ โ ๐ป ๐ฅ
Untuk suatu suku banyak ๐ป(๐ฅ).
Untuk ๐ฅ = โ, maka ๐ โ + โ โ โ ๐ป โ = 0. ๐ป ๐ = 0.
Jadi terbukti, ๐ฅ โ โ merupakan faktor dari ๐ โ โ ๐ โ = 0.
14. CONTOH Tentukan nilai ๐ jika ๐ฅ โ 2 merupakan faktor
dari ๐ฅ3
+ ๐๐ฅ2
โ 5๐ฅ + 6.
P
E
M
B
A
H
A
S
A
N
Karena ๐ฅ โ 2 merupakan faktor, maka ๐ 2 = 0
๐ 2 = 23 + ๐. 22 โ 5.2 + 6 = 0
8 + 4๐ โ 10 + 6 = 0
๐ = โ1
Jadi, nilai ๐ adalah โ1.
16. PEMBAHASAN
Kata lain dari habis membagi adalah faktor dari. Demgan demikian, kita dapat
mengatakan bahwa 2๐ฅ โ 1 adalah faktor dari 4๐ฅ4
โ 12๐ฅ3
+ 13๐ฅ2
โ 8๐ฅ + ๐, sehingga
๐
1
2
= 0
2๐ฅ โ 1 = 0 maka ๐ฅ =
1
2
๐ฅ =
1
2
4 -12 13 -8 ๐
2 -5 4 -2
4 -10 8 -4 ๐ = 2
๐
1
2
= 0
๐ โ 2 = 0
๐ = 2
Jadi, nilai ๐ adalah 2.
+
17. Misalkan diketahui ๐)๐ฅ) = ๐ ๐ ๐ฅ ๐
+ ๐ ๐โ1 ๐ฅ ๐โ1
+ โฏ +
๐1 ๐ฅ +๐0. Faktor-faktor ๐(๐ฅ) dapat ditemukan dengan langkah-langkah
berikot.
1. Jika ๐ฅ โ โ merupakan suatu faktor dari ๐ ๐ฅ , maka nilai โ yang
mungkin adalah faktor-faktor bulat dari ๐0.
2. Dengan cara mencoba, subtitusikan nilai ๐ฅ โ โ sehingga diperoleh
๐ ๐ฅ = 0. Jika ๐ โ = 0, maka ๐ฅ โ โ adalah faktor dari ๐ ๐ฅ ,
sedamgkan jika ๐ โ โ 0, maka ๐ฅ โ โ bukan faktor dari ๐ ๐ฅ .
3. Setelah diperoleh sebuah faktor, maka faktor-faktor yang lain dapat
ditemukan dari suku banyak hasil bagi ๐ ๐ฅ oleh ๐ฅ โ โ.
19. P
E
M
B
A
H
A
S
A
N
๐ ๐ฅ = 3๐ฅ3 โ๐ฅ2 +8๐ฅ + 12, suku tetepnya adalah ๐0 = 12.
Nilai-nilai โ yang mungkin adalah faktor bulat dari ๐0 = 12, yaitu
ยฑ 1, ยฑ2, ยฑ3, ยฑ4, ยฑ6, ยฑ12.
โข Untuk โ = 1, maka ๐ 1 = 3 1 3 โ 13 1 2 + 8 1 + 12 = 0.
Jadi, ๐ฅ โ 1 bukan faktor dari ๐ ๐ฅ .
โข Untuk โ = โ1, maka ๐ โ1 = 3 โ1 3 โ 13 โ1 2 + 8 โ1 + 12 = 0.
Jadi, ๐ฅ + 1 bukan faktor dari ๐ ๐ฅ .
โข Untuk โ = 2, maka ๐ 1 = 3 2 3
โ 13 2 2
+ 8 2 + 12 = 0
Jadi, ๐ฅ โ 2 adalah faktor dari ๐ ๐ฅ .
Faktot-faktor ๐ ๐ฅ yang lain dapat ditentukan dari hasil bagi ๐ ๐ฅ oleh ๐ฅ โ
2.
๐ฅ = 2 3 -13 8 12
6 -14 -12
3 -7 -6 0
Dari skema diatas, diperoleh hasil baginya adalah 3๐ฅ2 โ 7๐ฅ โ 6.
Bentuk
3๐ฅ2
โ 7๐ฅ โ 6 dapat difaktorkan menjadi 3๐ฅ + 2 ๐ฅ โ 3 .
Jadi, faktor-faktornya adalah ๐ฅ โ 2, 3๐ฅ + 2 dan ๐ฅ โ 3.
-