O documento apresenta uma demonstração matemática da regra de sinais, explicando conceitos preliminares como elemento oposto, propriedade distributiva e definição de multiplicação por zero. A demonstração é feita em vários passos, desde adição com sinais iguais e diferentes até o produto com sinais iguais e diferentes, provando assim porque menos por menos resulta em mais.

1. GUIDG.COM – PG. 1
16/6/2011 – MAT – Matemática.
Obs.: Não utilize esta pesquisa como fonte única de estudos. Correções e adaptações serão feitas regularmente.
[]
Fundamentos para uma demonstração da regra de sinais
“Por que menos com menos da mais?”
Vamos provar a regra de sinais numa forma fácil de entender:
Queremos mostrar que (-1)(-1) = (+1), isto é, a regra de sinais, menos com menos da mais:
Sabemos que:
1–1=0 e (1).(–1) = (–1) .
Multiplicando a primeira equação por (–1) temos:
(–1).(1 – 1) = (–1).0
Aplicando a propriedade distributiva temos:
(–1).(1) + (–1)( –1) = 0
Adicionando (1) na equação temos:
(1) + (–1).(1) + (–1).( –1) = 0 + (1)
Logo:
(1) + (–1) + (–1).( –1) = (1)
1 – 1 + (-1).(-1) = 1
E assim:
(-1).(-1) = 1
Portanto fica provado a regra de sinais iguais, decorrente de proposições básicas da matemática e
principalmente da definição do zero, é importante que você entenda esse simples fundamento, pois toda a
matemática esta baseada nele. É importante que você sempre busque as provas para os teoremas e não
acumule duvidas, assim estudar matemática torna-se sempre mais interessante.
Nas próximas páginas darei um tratamento mais estendido e justificado para esse fundamento e para
outros conceitos básicos de matemática elementar.

2. GUIDG.COM – PG. 2
Introdução e visão geral do problema.
A matemática tem lá suas duvidas? Não, na verdade nós é que criamos as duvidas! Naturalmente nossos
instintos indagam algumas verdades, principalmente as que não são demonstradas, eis o motivo desta
pesquisa, e com muito interesse proponho esta leitura, a fim de provar o que já esta provado, mas que
poucos conhecem. Normalmente culpamos o professor, e esse diz que tem pouco tempo para ensinar, um
grande ciclo não é mesmo?! (um culpando o outro). Portanto o objetivo por hora é demonstrar com
clareza o que a regra de sinais propõe e alguns conceitos que estão diretamente ligados a ela.
Você já deve ter se deparado com a regra de sinais, e já se questionou sobre o porquê da regra?
Logicamente poderíamos concluir que:
(+)(-) = (-) ou (-)(+) = (-)
(Tenho cinco reais, mas devo o dobro, pago a divida, e continuo devendo)
5 + (2)(-5) = 5-10 = -5
(+)(+) = (+)
(Tenho cinco reais, e recebo o dobro, somo e fico com mais)
5 + (2)(5) = 5+10 = 15
Se (+)(+) = (+), então (-)(-) = (-) ???
(Devo cinco reais, e multiplico pela divida de dois reais de um amigo, então ficamos com mais? Ora
então é só multiplicar dividas que ficamos ricos!?)
(-5)(-2) = 10
Bom o que eu estou propondo é o seguinte, considere o sinal de mais (+) para saldo e o sinal de (-) para
débito. Como demonstrado anteriormente passamos de uma divida para um saldo, isso é estranho não é
mesmo? Na verdade muitos interpretariam que o resultado seria uma divida maior, mas então o sinal
deveria continuar negativo, porque estamos considerando o sinal de (-) como débito lembra?
Então: (-5)(-2) = (-10)
(Devo cinco e multiplico por uma outra divida de dois reais então passamos a dever o dobro).
É claro que não, mas por quê?
Existe ainda aquele ditado que diz: “O inimigo do meu inimigo é meu amigo”, mas isto não prova nada,
muito menos matematicamente.
Com base neste problema serão exibidos a seguir os conhecimentos básicos necessários para que se
desvende o mistério da regra de sinais, sabemos que dificilmente o professor demonstra a regra, na
verdade ele mostra e pronto, como se não existisse um porquê. Sendo assim apresentarei uma
demonstração prática para a regra de sinais e alguns outros conceitos preliminares.

3. GUIDG.COM – PG. 3
Porque 0*k = 0 (zero vezes k é igual à zero)?
Obs.: Para entender é necessário que você conheça a “Teoria dos conjuntos”.
Seja N* o conjunto dos números naturais, e "k" um elemento qualquer de N*.
N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9...}, então k = 1 ou 2 ou 3 ou 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...
Sabemos que 0 + 0 = 0
Para o lado direito da igualdade utilizamos a propriedade distributiva k 0 + k 0 = 0
Então concluímos que:
(I)
Podemos então utilizar a regra da balança que consiste no seguinte:
Adicionando um número qualquer na equação não alteramos a igualdade:
E subtraindo um número qualquer na equação também não alteramos a igualdade:
Retornando à nossa igualdade e adicionando -(0 k) aos dois lados da igualdade ( I ) temos:
@ 0A k + 0A k = k A 0 + k A 0 @ 0A k
` a ` a
B ` aC B` aC
@ 0A k + 0A k = k A 0 + k A 0 @ 0A k
a ` a `
0 =kA0+ 0
` a ` a
0 =kA0
Isto é, manipulando a igualdade concluímos que:
0 A k = k A 0 e se 0 A k = 0 então 0 = 0
Isso prova que o produto de qualquer número por zero é zero. Esse é o conceito que vai provar a regra
de sinais diferentes na multiplicação, por isso é importante entender.
Elemento oposto
Dado um número real “a” , existe um único número real indicado por “–a” , chamado oposto de “a” , tal
que:
a + (-a) = 0

4. GUIDG.COM – PG. 4
Demonstração da Regra de sinais.
Iniciaremos a demonstração, partiremos de conceitos básicos e que já são conhecidos pela maioria dos
estudantes, contudo será melhor que você deixe de lado o que você já sabe (pelo menos por alguns
instantes) para poder entender melhor está demonstração.
Admita “e”, ”k”, “c” como variáveis pertencentes à R .
1ºCaso: Adição: Sinais iguais:
A) Sejam “e”, “k”, “c” positivas, a adição destas variáveis será sempre um valor (x) positivo “+(x)” :
(e) + (k) + (c) = +(x)
Exemplo:
(3) + (2) + (1) = +(6)
B) Sejam “e”, “k”, “c” negativos, a adição destas variáveis será sempre um valor (x) negativo “-(x)” :
(-e) + (-k) + (-c) = -e -k -c = -(x)
Exemplo:
(-3) + (-2) + (-1) = -3 -2 -1 = -(6)
2ºCaso: Adição: Sinais diferentes:
Obs.: Para entender é necessário que você conheça a definição de “Módulo ou Valor Absoluto”.
A) Sejam “e”, “k” variáveis de sinais opostos, a adição resultara num valor dependente do módulo de
“e” ou de “k” :
(+e) + (-k) = e - k = F (x)
1º: +(x) se: | e | > | k |
2º: -(x) se: | e | < | k |
Exemplo: 1º: 3 + (-2) = 3 – 2 = 1 | 3 | > | -2 | e como 3 é maior que 2, o resultado é positivo.
2º: 2 + (-3) = 2 – 3 = -1 | 2 | < | -3 | e como 2 é menor que 3, o resultado é negativo.
3ºCaso: Produto: Sinais diferentes:
A) Seja “e” uma variável qualquer e “n” uma constante qualquer, ambas pertencentes a R , quando
“e” e “n” tiverem sinais opostos, o produto será sempre um valor (x) negativo:
(-e).(+n) = (-e) + (-e) + (-e) + ... = -(x)
(Lê-se: “menos e” vezes “n” é igual à soma “n-ésima” de “menos e”)
Lembre-se que multiplicar significa somar “n” vezes o número multiplicado.
Nota: A multiplicação é uma operação comutativa.
Exemplo: (-2).(3) = (3).(-2) = (-2) + (-2) + (-2) = -2 -2 -2 = -(6)
4ºCaso: Produto: Sinais iguais:
A) Sejam “e” e “k” variáveis quaisquer positivas pertencentes a R . o produto será sempre uma valor
(x) positivo. Isso é decorrência da proposição do “1º Caso: A”.
Se “e = 2” e “k = 3”, e.k = e + e + e = 3.e = 3.2 = 6

5. GUIDG.COM – PG. 5
B) Sejam “e” e “k” variáveis quaisquer negativas pertencentes a R . o produto será sempre um valor (x)
positivo. Veja a explicação:
(-e).(-k) = ???
Obs.: Esta regra é decorrente da definição da multiplicação de 0*k (para prosseguir é necessário
entender). Outros conceitos serão citados, no caso de dúvida, será melhor voltar e esclarecer.
Aplicação do conceito de elemento oposto:
(-e).(0) = (-e).[(-e) + (e)] = 0
Aplicação da propriedade distributiva:
(-e)(-e) + (-e)(e) = 0
(-e)(-e) + (-e.e) = 0
Aplicado a definição de potenciação:
a b c
@ e @ e + @ e2 = 0
` a`
Aplicado a conceito da regra da balança, somando e 2 dos dois lados da igualdade:
a b c
@ e @ e + @ e2 + e2 = 0 + e2
` a`
Aplicando o conceito de elemento oposto e elemento neutro: cancelando e 2 com @ e 2 e somando zero
com e 2 :
@ e @ e = e2
` a` a
O encerramento da demonstração prova que a multiplicação de um número negativo por ele mesmo terá
como resultado o seu oposto ao quadrado. No caso desse número for (-1) , como na multiplicação é o
elemento neutro ele prova a regra de sinais iguais: (-1)(-1) = +1² = 1 .
Exemplo: (-3)(-2) = ?
...
(-3)(0) = (-3)[(-2) +2] = 0 => (-3)(-2) + (-3)(2) = 0
(-3)(-2) -6 = 0 => (-3)(-2) -6 +6 = 0 + 6
(-3)(-2) + 0 = 0 + 6
(-3)(-2) = 6
Como você viu não foi utilizada nenhuma lógica, apenas manipulação algébrica, ou seja, chegamos num
resultado sem ter que multiplicar os sinais, e isso é decorrência das proposições vistas (e provadas)
anteriormente e principalmente da definição do zero no produto e a regra da balança. De fato, se estas
regras forem contrariadas chega-se constantemente a absurdos matemáticos.
Portando (-)(-) = (+)

6. GUIDG.COM – PG. 6
Por que “o primeiro pelo inverso do segundo”?
Outro caso intrigante na matemática, é o caso de uma fração sobre outra fração (denominada fração composta), de
comum aprendemos que para simplificar, multiplicamos a “primeira pela inversa da segunda”, isso é estranho se
você não souber o porquê, então vamos logo esclarecer esta regra.
Não existe divisão por zero
(tente explicar!)
af
A) Seja “a” um número real qualquer. Então “a” pode ser escrito da seguinte maneira: a = f ff
1
Todo número que não apresenta denominador, tem na verdade “1” como denominador por convenção.
Isso é fácil de verificar. Se você não esta dividindo este número “a” , então ele está sendo dividido por
“1” já que “1“ é na multiplicação um “elemento neutro”. Decorre da definição:
aA 1 = a
afff af
A1
fff f
fff f
fff f
[ = (Dividindo por “a” dos dois lados da igualdade)
a a
[1 =1
Portanto a/a = 1, e todo número dividido por ele mesmo é igual a um. Exemplos:
2
+ 3x + 5
xfffffffff
fffffffffa
fffffffff
ffffffff
5/5 = 1 115/115 = 1 (x+2)/(x+2) = 1 ( =1
x + 3x + 5
2
B) Elemento inverso: Dado um número real a ≠ 0 , existe um único número real, indicado por
1f
f
ff 1f
, e também por a@ 1 , chamado inverso de a , tal que: a A f= 1.
ff
a a
C) Existe uma operação que inverte o procedimento, a “inversa da multiplicação”, denominada “divisão”.
De onde concluímos que o processo de divisão é o inverso do processo de multiplicação, ou de uma
forma simplificada: “dividir é multiplicar pelo inverso”.
1f
f
ff
Ex: a D a = a A = 1
a
D) Portando agora de forma generalizada podemos aplicar o conhecimento.
Sejam “a”, “b”, “c” e “d” números reais quaisquer com “b” e “d” diferentes de zero.
af
f
ff cf
f
ff
, chamaremos de k ; ,chamaremos de t
b d
af
ff
ff
bf kf
ff f
f f
f f kf
ff
f 1ff
então: cf= t
ff
ff ; e ainda
t
pode ser escrito como k A t @ 1 = k A
t
d
1f
ff
f d e@ 1 f g
1f cf
f ff
f 1f 1f cf
ff f f
ff f
f 1f 1f df df
ff f f
f
f f f
f ff 1f df
f ff
f
= [ cf = A
f 1 d
ff
f [ cf= 1 A c = c
ff
ff logo =
t d t c
d d
1ff df
f
ff
Então: k A = k A
t c
f g
af
f
ff df af df
f
f f f
f f f
f f
Mas k = [ kA = A
b c b c
af
ff
ff
bf adf
ff ff
f ff
f ff
f
# cf= bc
ff
ff
d
Fica provado então o porque da regra da simplificação de uma fração composta “a primeira pela inversa
da segunda”.

7. GUIDG.COM – PG. 7
Fontes de pesquisa e estudo:
Boulos, Paulo. Pré-Cálculo/São Paulo: Makron Books, 1999.
Complemento do livro Cálculo Diferencial e Integral
Matemática com Prazer | A Origem dos Sinais | (IF-USP) Instituto de física – Universidade de São Paulo.
http://www.geocities.com/matematicacomprazer
Heily & Fran - Aulas Particulares | (IME-USP) Instituto de matemática e estatística – Universidade de São Paulo.
http://br.geocities.com/medeiros_pet/regradesinais.html
Home Page de Matemática | (FAINTVISA) Faculdades integradas da Vitória de Santo Antão | (ESUDA) Faculdade de
Ciências Humanas. http://hpdemat.vilabol.uol.com.br/
Só Matemática | Portal Matemático | Origem dos Sinais - http://www.somatematica.com.br/sinais.php
Matemática Essencial | Médio | Teoria dos conjuntos
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/conjuntos/conjunto.htm
Os links foram válidos até a data da conclusão da pesquisa: 20/10/2008.