20141224_水曜セミナー
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12月24日に行った水曜セミナーで発表した、「欠測データ」と「多重代入法」に関する資料です。
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20141224_水曜セミナー
- 5. 現実問題 : HbA1cを体組成データからの予測 X : 体組成系 Y: HbA1c モデル（Example） データの欠測 Missing Variable こういう場合を どのように扱うか
- 9. 欠測を無視した解析：データをXの値に依存させて欠測する場合 0 < X ; 欠測 推定された回帰直線 X < 0 ; 観測 次に、説明変数に依存する欠測を考える。方法としては、Xが0以上である ような標本をデータセットから削除し、線形回帰モデルの当てはめにより 回帰係数を計算し、相関係数も計算して以下の結果が得られた。
- 10. 欠測を無視した解析：データをYの値に依存させて欠測させる場合 推定された回帰直線Y < 0.5 : 観測 Y > 0.5 : 欠測 次に、目的変数に依存する欠測を考える。方法としては、Yが0.5以上であ るような標本をデータセットから削除し、線形回帰モデルの当てはめによ り回帰係数を計算し、相関係数も計算して以下の結果が得られた。
- 11. 欠測を無視した解析の問題 欠測を無視した解析をすると問題が生じそうである （理論的にこの問題を記述する方法は、２章で説明する。） 真のモデル ランダムな欠測 Xに依存する欠測 Yに依存する欠測
- 12. 欠測を無視した解析の問題への対応策（一部） ただし、①③とも行えない場合もある ①．何らかの方法で、欠測部分を調整し結果を推定する。 • 傾向スコア. Rosenbaum ,Rubin(1983)など ③．観測されたデータからモデルを構築し、欠測を埋める • 回帰代入法 • 確率的回帰代入法 Little and Rubin(2002) を参照 • 平均値代入法 • Hot Deck法（マッチングの一種） • Cold Deck法（マッチングの一種） ②．個体の平均や別の個体のデータで、欠測を埋める 多重代入法はこれに近い
- 19. 多重代入法の流れ … ステップ①： 補完データの作成 ステップ②： 補完データを解析 多重代入法の推定値 多重代入法の推定値の分散 推定値の分散 代入による推定値のばらつき 推定値 … 推定値の分散 … ステップ③： 解析結果の統合
- 22. … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … （母集団に対する）記号の整理 ： Covariate（共変量） ： Response（反応変量） すべて観測される 一部、観測される ： Response Indicator {0,1}をとる変数, 1ならばサンプリングされる： Sampling Indicator {0,1}をとる変数, 1ならばYが観測される
- 24. 母集団パラメータに対するベイズ的推論 ベイズ推論とは、パラメータに確率変数とみなし、観測データ が与えられたもとでの事後分布を推定することである。 興味のあるパラメータ： に対する事後分布 ： ただし
- 25. 未観測データの事後分布について 未観測データの事後分布をベイズの定理の基づいて展開する。 サンプリングメカニズムや、欠測メカニズムを求めるのは、 現実の解析においては難しい。 適当な仮定を考える
- 30. 無視可能なメカニズムを現実に適用してよいか？ サンプリングメカニズムが無視可能であること • 母集団からの無作為標本であれば、仮定することができる。 • 導きたい結論に対して、デザインが適切に行われていれば仮定してよい。 • 科学的な調査においては、多くの場合は認められる。 サンプリングメカニズムが無視可能かつ、 レスポンスメカニズムが無視可能 • 一般的には、仮定できないことも多い。 • アンケート調査などでは、実験デザインが適切であっても、レスポンスの 有無は観測値以外に依存するケースがある。 • そのような場合は、欠測のメカニズムを特定するなどの工夫が必要になる
- 33. 多重代入法の流れ（再掲） … ステップ①： 補完データの作成 ステップ②： 補完データを解析 多重代入法の推定値 多重代入法の推定値の分散 推定値の分散 代入による推定値のばらつき 推定値 … 推定値の分散 … ステップ③： 解析結果の統合
- 35. 多重代入法に対する結果① が観測されたもとでの、Qの事後分布は、 Actual Posterior Distribution が観測されたもとでの、Qの事後分布は、 Complete-Data Posterior Distribution ここで、Monte Carlo Approximationによって、 の事後分布からデータを 発生させて、それらを とすると、以下が成立する。 の場合
- 39. 多重代入法に対する結果② 標本数が十分に大きいとき、 Qの事後分布は事前分布に依存せず、 正規分布に従うと仮定する*。 の場合 *証明は本題からそれるので、Gelman et al (2014)などを参照 Qの事後分布の平均と分散 多くの場合は、この仮定は満たされる
- 42. 有限回の多重代入に対する推論② まずは、補完データに基づく統計量 の観測値が与えられたもと での事後平均と事後分散の標本分布は、以下のようになる**。 よって、これらの平均 の従う分布は、 となる。 ** 漸近的な証明は Mitra and Pathak(1984)
- 46. 有限回の多重代入に対する推論⑥ 以上の結果より、次の近似を得る。 ここで、 はlocationとscaleを変化させたt分布である。具体的 には以下で定義される。 ：自由度 のt分布に従う確率変数 t location scale distributionは、以下のような確率変数である。
- 48. 微小粒子状物質疫学調査 • 循環器系疾患(冠動脈疾患、心不全、脳卒中など) • 肺がん、呼吸器疾患、肺炎など 目的変数 説明変数（共変量） • 対象者の健康に関する共変量 • 地域に関する共変量 • 気温、2次医療圏、所得、農業の比率、地域による生活習慣の違いなど • 大気汚染物質濃度(H25年度) • SPM • PM2.5 健康調査地域において欠測
- 49. 具体的な方法について PM2.5の濃度を 知りたい地点 土地の情報*と PM2.5観測地点 • 交通量平均 • 道路延長 • 人口総数 • 田・畑・森林 • 平均標高など *土地の情報健康調査 実施地点 観測局 観測局 観測局 観測局
- 51. 具体的な方法について 共変量 反応 変量 この部分を 補完する • 多重代入法 • 観測誤差を含むモデル • ベイズ推定(MCMC)など 気 温 性 別 所 得 発症 有無 PM 2.5 *補完したデータのばらつきを 考慮する必要がある
- 52. まとめ 1．研究のモチベーションと具体例を通した直感的理解 2．欠測・ベイズモデルの基礎と記号と記法の整理 3．多重代入法（Multiple Imputation） 4．今後の研究課題について
- 53. 参考文献など • Rubin, D. (1987). Multiple imputation for nonresponse in surveys. New York: Wiley. • Little, R., & Rubin, D. (2002). Statistical analysis with missing data 2nd Edition. New York: Wiley. • Buuren, S. (2012). Flexible imputation of missing data. Boca Raton, FL: CRC Press. • Box, G., & Tiao, G. (1973). Bayesian inference in statistical analysis. Reading, Mass.: Addison-Wesley Pub. • Rubin, D. (1976). Inference and Missing Data. Biometrika, 63(3), 581-592. • Rubin, D. (1978). Multiple imputation in sample survey - a phenomenological Bayesian approach to nonresponse. Proceeding of the Survey Research Method Section of the American Statistical Association, 20-34. • Tsiatis, A. (2006). Semiparametric theory and missing data. New York: Springer. • *Gelman, A., Carlin, J., Stern, H., Dunson, D., Vehtari, A., & Rubin, D. (2014). Bayesian data analysis (3rd ed.). Boca Raton, Fla.: Chapman & Hall/CRC. • **Mitra, S., & Pathak, P. (1984). The Nature of Simple Random Sampling. The Annals of Statistics, 1536-1542. • 南 (2014) 大気汚染データの解析と 健康影響調査との連携, 共研集会「環境・生態データと統計解析」
- 55. ~12:00 質疑
- 56. 実際に多重代入法を用いる上での課題など • 補完データの個数 m はいくつが適切なのか？ 未だ、議論が錯綜中．．． Rubin(1978) ： mは5回∼10回ぐらいで十分である。 Bodner (2008)：mは欠測率と有意水準で変えるべき。 など、一致した結論には至っていない。 • 複数変数の欠測がある場合はどうするか？ 以下を参照 • 計算アルゴリズムと、Rのパッケージ 計算アルゴリズムについても、 未だ研究段階いくつか提案されている。 ・MCMC ・Expectation-Maximization with Bootstrap ・・・Ameria ・Fully Conditional Specification ・・・MICE Package 勉強中です