Fundamentos de Topografía: Coordenadas y escalas

1. Tomás Ramón Herrero Tejedor
Miguel Ángel Conejo Martín
Enrique Pérez Martín
Juan Luis Martín Romero
26 de septiembre al 27 de octubre de 2017
Unidad Formativa 1: Interpretación de mapas y
planos topográficos y dibujo de planos sencillos (30h)
PROGRAMA DE FORMACIÓN PROFESIONAL PARA EL EMPLEO
CERTIFICADO DE PROFESIONALIDAD: Jardinería y restauración del paisaje

2. ÍNDICE CLASE
1. Fundamentos de Topografía
 Sistemas de Coordenadas
 Polares
 Cartesianas
 Rectangulares
 UTM
 Escalas
 Casos prácticos
descanso
 Numéricas
 Gráficas
 Cartografía
 Sistemas de referencia
 Transformaciones  Casos prácticos
Vídeo: los mapas hoy

3. ¿Qué es cartografía?
La AIC(1966) definió La Cartografía como el
conjunto de operaciones científicas, artísticas y
técnicas que, a partir de los resultados de
observaciones directas o de la explotación de una
documentación, intervienen en la elaboración,
análisis y utilización de cartas,planos, mapas,
modelos en relieve y otros medios de expresión,
que representan la Tierra, parte de ella o cualquier
parte del Universo.

4. Fases de la cartografía
 CONCEPCIÓN
 PRODUCCIÓN
 UTILIZACIÓN

5. .. operaciones científicas, artísticas y técnicas ..
 La cartografía es científica
 Exige cultura geográfica de base
 Ciertas nociones de geomorfología
 Principios esenciales de ciencias de la naturaleza,
sociales y económicas
 Íntimamente ligada a la geodesia y topografía

6. 1.Mapas generales (topográficos a escala grande, con información
general; cartográficos que representan grandes regiones, los atlas;
mapas del mundo entero, mapamundis).
2.Mapas especiales (políticos, urbanos, de comunicaciones, científicos,
económicos, artísticos, catastrales, para la navegación, etc.).
Cartela o cartucho, Filacteria o texto con descripciones, La flor de Lis
indica el N, el Ombligo o rosa de los vientos situada en el centro,
límites, proyección, tronco de escala o escala gráfica, orientación,
símbolos, etc.

7. El mapa como abstracción de la realidad sirve para
registrar, calcular, revelar, analizar y comprender
relaciones espaciales que existen entre los
diferentes fenómenos cuya localización es
geográfica

8. La Percepción de la Imagen: diferencias entre la Fotografía y el Mapa
Mapas Fotografías
Representan, revelan, calculan, analizan las
relaciones espaciales que existen entre los
diferentes fenómenos de localización geográfica
Representan, revelan, analizan la realidad
impresa
Las Escalas grandes y medias son constantes e
independientes de la orografía
La Escala cambia en función de las distancias
de los objetos al nadir
Desde el punto de vista geométrico se basan en
la Proyección Cilíndrica Ortogonal (Sistema de
Planos Acotados)
Desde el punto de vista geométrico se basan en
la Proyección Cónica (Perspectiva Cónica)
Se expresan sólo detalles que consideramos
importantes en función de la escala y de los
objetivos
Se expresan todos los detalles compatibles con
la escala local y la finura de la película
Emplea una simbología convencional en la
representación de los detalles que son visibles
La representación de los detalles es la imagen
real de sus dimensiones a veces invisibles por
su tamaño otras por no tener existencia material
o estar enmascarados por otros elementos de la
imagen

9. … el mapa es un instrumento de medida
 Los trabajos cartográficos y la interpretación
cartográfica comprenden
 Determinación de características cuantitativas de los
fenómenos representados
 Coordenadas rectangulares, geográficas, …
 Distancias, longitudes, superficies, ángulos..
 Altitudes, pendientes …
 Medidas estadísticas, densidades, agrupaciones …
 Relaciones e interacciones

10. Clasificación de mapas
Según la Escala: Mapas a E muy grande: 1/1.000
E grande: 1/10.000 a 1/25.000
E media: 1/25.000 a 1/100.000
E pequeña: 1/100.000 a 1/500.000
E muy pequeña: 1/1.000.000
Según la extensión superficial que representan:
Mapas locales, regionales y mapa-
mundis
Según la finalidad: Mapas topográficos y Mapas temáticos
Según la procedencia temporal de los datos representados:
Actuales, antiguos, históricos y prospectivos
Según la tipología de las fuentes documentales utilizadas:
Mapas de base (de observaciones
directas), Mapas derivados y mapas de
compilación
Según las materias tratadas: Mapas físicos (geofísica, geología,
geomorfología, edafología, hidrología,
meteorología y climatología), Mapas de
Geografía humana (demográficos, políticos,
culturales, económicos y sociales), Mapas
biogeográficos (ecológicos, zoogeográficos y
fitogeográficos), Mapas técnicos especializados
(Militares, turísticos, de viales, etc) y Presentaciones
Tridimensionales (En relieve, con anaglifos, otros)
(Llamamos planos a los mapas a E
muy grande, con representación de
una superficie limitada y despreciando
la curvatura terrestre)

11. ¿Cuál es la forma real de la Tierra?

12. El Geoide
• Superficie equipotencial
que mejor se ajusta al nivel
medio del mar
• Superficie complicada
matemáticamente -
Potencial gravífico
constante
• Descrito por un número
infinito de parámetros
• Sensible a instrumentos
terrestres
EuropaAmérica N.
América S. Africa
Topografía

13. El Geoide
• No sirve para resolver los
dos problemas geodésicos
fundamentales:
– 1º:cálculo de las coordenadas
de un punto a partir de las de
otro, su distancia y acimut.
– 2º:cálculo de la distancia AB y
acimut AB a partir de las
coordenadas de dos puntos A
y B.
El geoide es una
superficie
equipotencial al
nivel medio del
mar
Superficies equipotenciales

14. Las formas de la Tierra
AÑO Forma de la Tierra Descubridor Método
>1000 A.C. Plana Babilonios Observación diaria
900 A.C. Disco Convexo Babilonios mirando barcos en el mar
580-500 A.C. Esfera Pitágoras observación diaria
300 A.C. Esfera Eratóstenes Geometría
1687 Elipsoide de revolución Newton Calculo equipotencial
1958 Pera Ann Balie Orbitas de satélites
1960 Geoide: forma de Tierra Desmond King-Hele Orbitas de satélites

15. Representación de la Tierra
• La Tierra no puede representarse sobre un plano
sin que sufra deformaciones (Euler Siglo XVIII).
• Se ha de intentar que la representación (mapa)
conserve el mayor número posible de
propiedades métricas.
• Las propiedades métricas se eligen en función de
la utilidad que se vaya a dar al mapa.

16. Modelo elipsoidal de tierra
• Causa:
– La tierra no es completamente un sólido
rígido
• Fuerzas:
– El potencial de atracción centrífuga
– El potencial de atracción Newtoniana
• Efecto:
– Achatamiento polar

17. Simplificación del problema cartográfico
Tierra: esfera Tierra: elipsoide
ó
MAPA
Latitud y longitud
(F,L)
Coordenadas
de la proyección (x,y)
ó (E,N)
Realidad
1° aproximación 2° aproximación
Latitud y longitud
(f,l)
MAPA

18. El Elipsoide
• Elipse figura matemática
que se define por
– Semi-Eje Mayor (a)
– Semi-Eje Menor (b)
• Es una superficie
geométrica simple
• No es sensible a los
instrumentos terrestres
b
a

19. Modelo elipsoidal
• Aproximación Esférica vs
elipsódica 15 Km
• Superficie equipotencial
real de la Tierra y la del
elipsoide < 100 m
• El coeficiente J2,
coeficiente de forma
dinámica de la Tierra, el
mayor de todos los
obtenidos en el proceso
de armónicos esféricos.
15Km

20. Sistemas Geodésicos de Referencia
o ¿dónde colocamos el elipsoide?
• Conjunto de parámetros que permiten fijar la posición y/o
velocidad de un punto sobre la superficie terrestre (o fuera
de ella)
• Sistemas Geodésicos de Referencia Globales
• Sistemas Geodésicos de Referencia Locales

21. El Elipsoide y el Geoide
• Elipsoides locales:
• Elipsoides que mejor se
adaptan a una región o
continente
• Hayford, Clarke, …
• SGR ED50, Pico
de las Nieves
O
EuropaAmérica N.
América S. Africa
N
Topografía

22. El Elipsoide y el Geoide
¿Qué elipsoide elegir ?
O2
O1
EuropaAmérica N.
América S. Africa
N
Topografía
N

23. El Elipsoide y el Geoide
• El World Geodetic System
– Elipsoide asociado WGS 1984
• Elipsoide que mejor se adapta
a la totalidad de la
superficie terrestre EuropaAmérica N.
América S. África
N
Topografía

24. Elipsoide que mejor encaja - The DATUM
¿Cuál elegimos ?
DATUM Reference Ellipsoid Fundamental Point
Applied to: Latitude Longitude
Argentino International(Hayford 1924) Campo Inchauste, Argentina -35º 58' -62º 10'
Australian National Kaula Grundy, Australia -25º 54' 134º 33'
Cape (Arco) Clarke 1880 Buffelsfontein, South-Africa -34º 00' 25º 31'
European Datum 1950 International (Hayford 1924) Potsdam, Germany 52º 23' 13º 04'
India Everest Kalianpur, India 24º 07' 77º 39'
NAD27 Clarke 1866 Meades Ranch, Kansas 39º 14' -98º 32'
WGS72 WGS72 Earth Centre Mass - -
NAD83 GRS80 Earth Centre Mass - -
WGS84 WGS84 Earth Centre Mass - -
Pulkovo 42 Krasovsky Pulkovo, URSS 59º 46' 30º 19'
South-American International (Hayford 1924) La Canoa, Venezuela 08º 34' -63º 52'
Tokyo Bessel Tokyo, Japan 35º 39' 139º 45'

25. SISTEMAS DE GEODÉSICOS DE REFERENCIA
LOCALES vs. GLOBALES (DATUMS)
• GEODESIA CLÁSICA:
– DATUM PLANIMÉTRICO: La planimetría (, l) se obtiene
mediante triangulación o trilateración.
– DATUM ALTIMÉTRICO (Mareógrafos): La altimetría (H, altura
ortométrica) se obtiene mediante nivelación geométrica.
• GEODESIA ESPACIAL (GPS):
– DATUM GLOBAL: Obtenemos coordenadas cartesianas (X, Y, Z)
que luego podemos transformar a (, l, h).
 Sistemas de Referencia Globales: Conexión de redes
nacionales y continentales. Conexión de Redes
Geodinámicas.

26. SISTEMAS DE GEODÉSICOS DE REFERENCIA
LOCALES vs. GLOBALES (DATUMS)
• SISTEMAS CLÁSICOS O LOCALES
– European Datum 1950, ED50
– Red Antigua, RA
– Pico de las Nieves, PN
• SISTEMAS GLOBALES
– ITRS
– WGS84
– ETRS89
– REGCAN95

27. DATUM ED50 (Cada red geodésica se establece a partir de un punto fundamental en el cual
el geoide y elipsoide de referencia tienen que ser tangentes)
• SOPORTE GEOMÉTRICO:
• ELIPSOIDE INTERNACIONAL o de HAYFORD:
• Semieje mayor a = 6 378 388 metros ; Semieje menor b = 6 356 912 m
• x=(a-b)/a = 1/297 (Aplanamiento)
• Circunferencia meridiana:40008,4 km ;Circunferencia ecuatorial:40075,9 km
• 1 rotación de la Tierra 360º  24 horas  15º  1 hora;
• 15 minutos de arco 15´ 1 minuto de tiempo; 15 segundos de arco 15´´ 1 sg
• Círculo máximo ecuatorial = 40000km = 400g; Arco de círculo máximo de 100 km = 1g
• Arco de círculo máximo de 1km = 1m (la división sexagesimal se usa en astronomía)
• PUNTO FUNDAMENTAL: POTSDAM (TORRE DE HELMERT) 0 = 52º21’51”45
Norte; l0 = 13º03’58”74 Este de Greenwich 0 = 3”36 ; 0 = 1”78
• ORIENTACIÓN DEL DATUM: MEDIANTE NUMEROSOS ACIMUTES LAPLACE (7 EN
ESPAÑA)
• ESCALA: MEDIANTE LADOS PROCEDENTES DE AMPLIACIÓN DE BASES (6 EN
ESPAÑA)
• NO EXISTE INFORMACIÓN RELATIVA A ONDULACIONES DEL GEOIDE

28. LA RED GEODÉSICA NACIONAL
SISTEMA GEODÉSICO ED50 Y SU MARCO
• Datum ED50: Resulta de la compensación conjunta de las redes
europeas realizada por el AMS.
• Adoptado en 1970, por ley, para la Península y Baleares.
• Elipsoide Hayford, PAF Potsdam, orientación Laplace, gravedad de
Cassinis-Silva.
• Marco: Vértices existentes:ED50. Actualmente RPO-ROI.

29. LA RED GEODÉSICA NACIONAL
SISTEMA GEODÉSICO ED50 Y SU MARCO
• 1993. Finalización de la ROI:
– 11261 vértices proyectados, construidos, observados y calculados.
– Densidad media: 2,39 vértices por cada 100 km2.
• Precisiones Medias:
– Relativas: 10 cm en planimetría; 20-30 cm en altimetría.
– Absolutas: 3 m en el norte, 20 en el sur.
• Observaciones acimutales, cenitales, distancias
– Planimetría: encuadrada sobre la RPO
– Altimetría: sobre 922 vértices con nivelación geodésica

30. • Vértice geodésico
ROI

31. • Planimetría ROI
Salamanca

32. Sistemas de Referencia para GPS
• Los satélites no están sujetos o relacionados con la
superficie terrestre
• Los satélites GPS orbitan dentro de una elipse uno
de cuyos focos es el centro de masas de la Tierra
• El Sistema de Referencia que necesita el GPS es por
tanto un sistema de referencia geocéntrico -global-:
– el centro geométrico del elipsoide que se elija tiene que
coincidir con el centro de masas de la Tierra
• Aparece así el Sistema de Referencia global
geocéntrico WGS84, derivado del GRS80:
– las posiciones, distancias, …, calculadas con GPS están
referidas a este sistema

33. WGS84 (DATUM GLOBAL)
• El elipsoide WGS84 está definido por cuatro
parámetros:
• a
• GM
• C20
• 
• Conceptualmente WGS84 es un datum muy
especial, ya que incluye un modelo de campo
gravitatorio hasta grado 180 de armónico
esféricos.
• WGS84 es un DATUM GLOBAL.
• El geoide está centrado en el geocentro (centro de
masas de la Tierra).

34. SISTEMAS DE GEODÉSICOS DE REFERENCIA
- Sistemas de coordenadas geográficas -
• Cada punto se puede fijar con el
siguiente sistema:
• longitud, ángulo plano en el
ecuador entre el meridiano del
punto y el meridiano origen,
Greenwich
• latitud, ángulo que forma la
normal en el punto con el
ecuador
• altitud, distancia vertical al
nivel medio del mar - geoide
g

l
h
P
Polo
Greenwich
Meridiano
Ecuador

35. El problema de los distintos sistemas de referencia
Coordenadas de un punto en distintos sistemas
• El Vértice Geodésico Carche de la Red
Española:
– Coordenadas ETRS89 (Iberia 95):
•  = 38 º25’39”.6952 N; l = -01º 09’ 50”.3687
– Coordenadas ED50:
•  = 38 º25’44”.0590 N; l = -01º 09’ 46”.0051
– Coordenadas ED87:
•  = 38 º25’43”.9175 N; l = -01º 09’ 46”.3606

36. Cartografía
Tierra: esfera Tierra: elipsoide
ó
MAPA
Latitud y longitud
(F,L)
Coordenadas
de la proyección (x,y)
ó (E,N)
Realidad
1° aproximación 2° aproximación
Latitud y longitud
(f,l)

37. El problema cartográfico
• Podemos transformar parte de la superficie de esta esfera o
elipsoide en un plano

38. Proyecciones Cartograficas
- Usando cilindros
• Cilindro Directo: el eje del
cilindro coincide con el eje de
rotación del elipsoide
• Cuando se desarrolla el
cilindro, las regiones más lejanas
de la linea de tangencia tienen
mayor deformacion
Deformación

39. Proyecciones Cartograficas
- Usando cilindros

40. • Cilindros transversos
• La linea de tangencia es un meridiano
• A medida que nos alejamos de él,
aumentan las deformaciones
Proyecciones Cartograficas
- Usando cilindros

41. Proyecciones Cartograficas
- Usando cilindros transversos – Proyeccion UTM
• Universal Transverse
Mercator
• Es secante, para
aumentar el campo de
aplicación
• Del cilindro transverso
sólo se usa una zona de
6º entorno al meridiano
de tangencia
• Es el llamado HUSO o
ZONA
• Se necesitan 60 cilindros
para cubrir toda la Tierra

42. Proyecciones Cartograficas
- Usando cilindros transversos – Proyeccion UTM

43. ¿Y qué proyección utilizo?
En función del predominio del tipo de distorsión o alteración que provoque:
Los sistemas conformes no son adecuados para representar
densidades
Los sistemas equivalentes no sirven para reconocer formas dadas
Cartas marinas: Proyección Mercator directa
Mapas aeronáuticos: Mercator, Lambert, Estereográfica polar
Telecomunicaciones: Estereográfica oblicua (representa por círculos los
círculos máximos de la esfera)
Militares: Proyecciones conformes que alteran al mínimo las distancias
(Lambert, UTM)
Metereólogos: Mapas en proyección conforme para previsión del tiempo
Mapas en proyección equivalente para publicación de
datos climatológicos
Geodestas y Topógrafos: proyección conforme

44. ¿Y qué proyección utilizo?
En función de la zona a cartografiar:
Campo de una Proyección: extensión en la cual el sistema escogido presenta
alteraciones inferiores a ciertos valores límites que se fijan a priori en función de
la precisión deseada
Bandas estrechas de terreno: Sobre el Ecuador Cilíndricos directos
Sobre un meridiano Cilíndricos transversos
Sobre un círculo máximo Cilíndricos oblicuos
Bandas de terreno centradas sobre un paralelo: cónicas
Región en forma de casquete: Acimutal
Para zonas o regiones de dimensiones más grandes:
Se fracciona el territorio en partes
Globo terráqueo dividido en 60 husos de 6º (UTM)
La proyección UTM es la más generaliza y usada
Campo limitado a los paralelos 80º N y S
Tablas numéricas válidas para todos los husos

45. ¿Y qué pasa con la escala?
• Cambio de escala desde el ‘modelo terrestre’
al modelo plano
• Se realiza antes de aplicar la proyección

46. Escala de un mapa
• Relación entre las distancias del mapa y sus representadas de la realidad
540 m540 m
6
cm
9000
1
540
6

m
cm

47. Escala de un mapa
Para los Mapas Corográficos es el territorio a representar quien en función de
su configuración determinará la escala
Para los Mapas Topográficos existen al menos tres factores:
El Error Gráfico (relacionado con la mínima representación): la Escala más
grande posible corresponderá a la precisión de los levantamientos. Si
queremos una precisión de 1 metro  0,2 *n= 1000 (mm/m) E=1/5000
Precisión de los Levantamientos: Para una representación detallada sin
deformaciones inherentes a la simbología se recomienda la E>1/5000
La fuerte antropización de la zona a representar influye sobre la cuantía de
detalles a representar y se debe optimizar su presencia, cada país decide el
tipo de escala según el estudio que quiera realizar.

48. ¿Y cómo se miden coordenadas? SISTEMAS DE REFERENCIA
• Necesidad de establecer un
sistema de medición o
cómputo de coordenadas
en un Sistema Geodésico
de Referencia, ya sea este
último Global o Local
• Sistemas de Referencia o
Sistemas de Coordenadas:
• Globales
• Cartesianos
• Polares
• Locales
• Cartesianos
• Polares
P
Z
X
Y

49. SISTEMAS DE REFERENCIA
COORDENADAS GEODÉSICAS O ELIPSOIDALES

50. SISTEMAS DE REFERENCIA GLOBALES
El World Geodetic System (WGS84)
• El origen coincide con el centro de
masas de la Tierra
• X intersección del ecuador con el
meridiano de Greenwich
• Eje Y es perpendicular al anterior
en el plano ecuatorial
• Eje Z perpendicular al plano
de los ejes X,Y y coincide con
el eje rotacional de la Tierra
g

l
h
P
Z
X
Y

51. SISTEMAS DE REFERENCIA
SISTEMA DE REFERENCIA ASTRONÓMICO LOCAL
• Sistema cartesiano centrado en un
punto P de la superficie terrestre.
• Eje z definido según la dirección
de la vertical en el punto P (normal
astronómica del punto P).
• Eje x contenido en el plano del
horizonte del punto P (plano
perpendicular a z) y dirigido hacia
el Este.
• Eje y contenido en el plano del
horizonte del punto P (plano
perpendicular a z) y dirigido hacia
el Norte (perpendicular a x y z).

52. SISTEMAS DE REFERENCIA
¿Y en el mapa ?
• Se establece un sistema cartesiano para cada
HUSO o ZONA
• El eje de las Y es paralelo al meridiano de
tangencia pero desplazado 500 km al este
• El eje de las X se hace coincidir con el
Ecuador para las zonas del hemisferio norte
(40000 km para el sur)
• Existen entonces 60 sistemas de
coordenadas en la UTM para toda la Tierra
(mejor dicho 120)
• Existen ecuaciones que transforman estas
coordenadas planas X,Y a geográficas latitud
y longitud

53. h = H + N
Altitudes
• La ondulación del geoide puede ser positiva o negativa
Elipsoide
h
P Topografía
H
Geoide
NN = Ondulación del Geoide
H = Altura sobre el Geoide
(~Altura Ortométrica)
h = Altitud Elipsoidal
(en 1ª aproximación)

54. Sistemas de Coordenadas
 Coordenadas polares
 Coordenadas cartesianas
 Coordenadas geográficas
 Coordenadas UTM

55. 55
COORDENADAS CARTESIANAS:
 Necesidad del transporte por coordenadas.
 Fundamento del transporte por coordenadas.
 Signos, acimutes y cuadrantes.
 Cálculo de coordenadas.
 Coordenadas relativas y absolutas.
 Problemas inversos.

56. 56
NECESIDAD DEL TRANSPORTE POR COORDENADAS
 Errores al transportar un punto:
 Trabajos de campo.
 Gráfico: 0.2 mm * E
FUNDAMENTO DEL TRANSPORTE POR COORDENADAS
• Elección de puntos del terreno de
los que se conozcan la dirección
de la meridiana astronómica.
• Si no, se hallaría por
observaciones astronómicas, por
datos geodésicos, o por G.P.S.
A
B
C
Y
CxBxAx
Cy
Ay
By
0
X

57. 57
SIGNOS, ACIMUTES Y CUADRANTES
 Origen de ángulos.
 Crecimiento de los ángulos.
 Cuadrantes.
 Signos.
 Acimutes Topográficos.
+Y
+ Y
+X
-Y
-X
- Y - Y
+ Y
+ X
+ X
- X
- X
1º
2º
3º
4º
CÁLCULO DE COORDENADAS
• x = D * sen 
• y = D * cos 
Y
- Y
X- X
y
xO
P
1
P
2
y
x
´
0g
D
D´
0
O
0
300
g
200
g
100
g
400
g

58. 58
X P2 = X P1 +  x = X P1 + D´ * sen ´ P1
P2
Y P2 = Y P1 +  y = Y P1 + D´ * cos ´ P1
P2
COORDENADAS RELATIVAS Y ABSOLUTAS
 x = D´ * sen ´
 y = D´ * cos ´
Y
- Y
X- X
y
xO
P
1
P
2
y
x
´
D
D´
0
O
0

59. 59
PASO DE COORDENADAS
RECTANGULARES A C. POLARES
1º.- Calcular el acimut de una recta conocidas
las coordenadas de sus extremos:
M P2 = X2 - X1 X2 - X1
P1
P2 = Arctg ----------
--
M P1 = Y2 - Y1 Y2 - Y1
2º.- Calcular la longitud de una recta conocidas
las coordenadas de sus extremos:
X2 - X1 Y2 - Y1
D = ------------------- = -------------------
sen  cos 
D = (( X2 - X1)2 + (Y2 - Y1)2)1/2
P1
P2 = Arctg (  X / Y
)
y1
O
X
 Y
x2x1
y2
P2
P1
P1
P
2
D
M
NA

60. 60
P1
P2 = Arctg (  X / Y )
P3
P4 = 100 + Arctg (  Y / X )
P3
P4 = 100 +
a
a = Arctg (  Y / X
)
y3
O
X
 Y
x4
x3
y4 P4
P3
P3
P4
D
a
NA
y1
O
X
 Y
x2x1
y2
P2
P1
P1
P
2
D
M
NA
Cuadrante nº.
1
Cuadrante nº.
2

61. 61
P4
P5 = 200 + Arctg (  X / Y ) P7
P8 = 300 + Arctg (  Y / X )
y7
O
X
 Y
x8 x7
y8
P8
P7
P7
P
8
D
a
NA
y5
O
X
 Y
x6 x5
y6
P6
P5
P5
P6
D
a
NA
P4
P5 = 200 +
a
a = Arctg (  X / Y
)
P7
P8 = 300 +
a
a = Arctg (  Y / X )
Cuadrante nº.
3
Cuadrante nº.
4

62. 62
P1
P2 = Arctg (  X / Y )
Cuadrantes
1º
2º
3º
4º
P3
P4 = 100 + Arctg (  Y / X )
P4
P5 = 200 + Arctg (  X / Y )
P7
P8 = 300 + Arctg (  Y / X )
D = (( X2 - X1)2 + (Y2 - Y1)2)1/2

63. 63
BM
M´
P
O
CONVERGENCIA DE MERIDIANOS
d =
Convergencia de
meridianos
N
S
O
A
B
C
M
L
Longitud (M)
Latitud (L)
d´´  ( M´ - M )´´ * sen (( L + L´ ) / 2 )
(M´ - M)´´= Diferencia de longitudes de los
meridianos que pasan por A y B.
( L + L´ ) / 2 = Latitud media de A y B.
A
Q

64. Escalas
 Numéricas
 Gráficas

65. ESCALAS
Escala es la relación entre las dimensiones del dibujo y las
reales de la pieza
Escala = Dibujo / Realidad
E: 1/1
E: 1/2
E: 3/2
25 mm * (1/1) = 25 mm
25 mm * (1/2) = 12,5 mm
25 mm * (3/2) = 37,5 mm

66. Escalímetro
Escalímetro en abanico
Dibujo > natural
2 : 1
Dibujo < natural
1 : 2,5
Dibujo = natural
1 : 1

67. Escalas de
reducción
Fabricación e
instalaciones
Construcciones
civiles
Topografía
Urbanismo
Escalas
deampliación

69. 1, 6 4Dm 2, 3 8Dm
=16,4m =23,8m

70. 22´5 m .................... 1.250 mm
x ....................... 1
x = 180
E: 1 / 180
Planta y alzado de una fábrica almazara tipo

71. 1´4 m ....................... 20 mm
x ....................... 1
x = 70
E: 1 / 70

72. ¿ E ?

74. Planta de una parcela con edificio, piscina, garaje subterráneo y varias zonas a distintas alturas:
EDIFICIO
PISCINA
ZONA
PRIMERA +0.35
ZONA
SEGUNDA
+0.00
ZONA TERCERA
+1.70
GARAJE
SUBTERRÁNEO
-2.30
A
A
T T
s s
r
r
+1.00
+1.30
+2.30
+2.10

75. Alzado lateral
AA
TT
Alzado frontal

76. 1´4 *103mm .................... 8´75 mm
x ....................... 1
x = 160
E: 1 / 160
Perspectiva Cónica
Fachada suroeste Fachada sureste
Representación de una vivienda (Planta)

79. Ejercicios de ESCALAS
Escalas gráficas pedidas:
E: 7 / 5 E: 2´5 / 1 E: 1 / 25 E: 1 / 125
E: 1 / 37.500 E: 1 / 72.000

83. Ejercicios sobre escalas:
1º).- La superficie de una finca rectangular es de 40 mm2 en un plano a escala 1:5000 ¿ Cuántas hectáreas mide
2º).- ¿Qué superficie, en cm2 , ocupa en un plano a escala 1:5000 un polígono de 126 Ha.?.
3º).- ¿ A qué escala está dibujado un plano en el que una finca de 120 Ha. aparece representada con
una extensión de 3000 cm2 ¿
4º).- En un mapa aparece una finca de 25 Ha. representada por 4 cm2 . Deducir la escala.
5º).- La superficie de un Término Municipal en un mapa a escala 1:50000 es de 150 cm2. Calcular la
extensión en unidades agrarias.
40 mm2 / 106 m2 * (5.000)2 = 1000 m2 = 0´1 Ha
(126 * 10.000) m2 *104 cm2 / 50002 = 504 cm2
(120 * 10.000 m2 *104 cm2) / M2 = 3.000 cm2 ; E = 1 / M = 1 / 2.000
(25 * 10.000 m2 *104 cm2) / E2 = 4 cm2 ; E = 1 / M = 1 / 25.000
150 cm2 / 104 m2 * (50.000)2 = 3.750 Ha = 37´5 Km2

84. Ejercicios sobre escalas:
1º).- La superficie de una finca rectangular es de 40 mm2 en un plano a escala 1:5000 ¿
Cuántas hectáreas mide ?.
2º).- ¿Qué superficie, en cm2 , ocupa en un plano a escala 1:5000 un polígono de 126
Ha.?.
40 mm2 / 106 m2 * (5.000)2 = 1000 m2 = 0´1 Ha
(126 * 10.000) m2 *104 cm2 / 50002 = 504 cm2
3º).- ¿ A qué escala está dibujado un plano en el que una finca de 120 Ha. aparece
representada con una extensión de 3000 cm2 ?.
4º).- La superficie de un Término Municipal en un mapa a escala 1:50000 es de 150 cm2.
Calcular la extensión en unidades agrarias.
(120 * 10.000 m2 *104 cm2) / M2 = 3.000 cm2 ; E = 1 / M = 1 / 2.000
150 cm2 / 104 m2 * (50.000)2 = 3.750 Ha = 37´5 Km2
Escalas

85. Escalas
5º).- Una nave agrícola, dibujada a escala 1 / 200, tiene, en planta, unas dimensiones de
149 mm por 9 dm y 7 mm. Determinar las dimensiones reales de la citada nave (en
planta).
9 dm y 7 mm = 907mm
907mm
149mm
907mm * (200 / 1000) = 181,4m
149mm * (200 / 1000) = 29,8m
181,4 * 29,8 m

86. Escalas
6ª).- En un papel rectangular de 42 * 30 cm, se quiere dibujar a escala, un terreno de 300
* 160 m ¿Cuál será la máxima escala que se puede utilizar?
; 300m * (100 / M) = 42cmE = 1/M M = 714
; 160m * (100 / N) = 30cmE = 1/N N = 533
160m * (100 / 714) = 22,41cm ; 22,41cm < 30cm E = 1 / 714
300m * (100 / 533) = 56,29cm ; 56,29cm > 42cm E = 1/533
42 cm
30 cm
300 m
160 m

87. Escalas
1º).- Dibujar la escala gráfica 1 / 7.200
PLANO REALIDAD
1 cm 7.200 cm
X cm 104 cm = 1 Hm
X = 104 / 7.200 = 1,388cm
13,888mm 1 Hm
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Hm
13,9 mm
E 1 / 7.200
 Gráficas

88. Escalas
2º).- Dibujar la escala gráfica: 1 /25.000
PLANO REALIDAD
1 cm 25.000 cm
X cm 105 cm = 1 km
X = 105 / 25.000 = 4cm
4cm 1 km
E = 1/25.000
0 1 2 3
km
40 mm

89. Escalas
3º).- Dibujar la escala gráfica: 1 / 17.000
PLANO REALIDAD
1 cm 17.000 cm
X cm 105 cm = 1 km
X = 105 / 17.000 = 5,882cm
5,882cm 1 km
E = 1/17.000
0 1 3
km
58,82 mm

90. Escalas
4º).- Dibujar la escala gráfica: E: 3 / 8
E = 3 / 8
PLANO REALIDAD
3 cm 8 cm
X cm 1 cm
X = 3 / 8 = 0,375cm = 3,75mm
3,75mm 1 cm
0 2
cm
3,75mm
4 6 8 10