Ứng dụng tam thức bậc 2 để chứng minh bất đẳng thức. Luyện thi toán 9 vào 10. gia sư thủ khoa 0936 128 126

1. ỨNG DỤNG ĐIỀU KIỆN VỀ NGHIỆM CỦA TAM THỨC BẬC HAI ĐỂ
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
* Kiến Thức Cần Nhớ:
Cho tam thức bậc hai: f(x) = ax2 + bx + c, a # 0.
f(x) có nghiệm khi và chỉ khi ∆ = b2 – 4ac ≥ 0.
Nếu ∆< 0 thì af(x) > 0 với mọi giá trị của x.
Nếu ∆≤ 0 thì af(x) ≥ 0 với mọi giá trị của x.
* Một Số Ví Dụ:
Ví Dụ 1: Cho (x; y; z) là nghiệm của hệ phương trình:
{
𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
= 8
𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 = 4
. Chứng minh rằng: −
8
3
≤ 𝑥; 𝑦; 𝑧 ≤
8
3
Giải
Ta có: {
𝑥2
+ 𝑦2
= 8 − 𝑧2
(1)
𝑥𝑦 = 4 − 𝑧( 𝑥 + 𝑦)(2)
Suy ra: 8 – z2 = (x + y)2 – 2xy = (x + y)2 – 8 + 2z(x + y)
Hay (x + y)2 + 2z(x + y) + z2 = 16  (x + y + z)2 = 16
Suy ra: x + y + z = ±4.
- Nếu x + y + z = 4 thì x + y = 4 – z, từ (2) suy ra: xy = 4 – z(4 - z) = (z - 2)2.
Vậy x, y là nghiệm của phương trình: A2 – (4 - z)A + (z - 2)2 = 0.
Ta phải có: ∆ = (4 - z)2 – 4(z - 2)2 = z(8 – 3z) ≥ 0 hay 0 ≤ 𝑧 ≤
8
3
(3)
- Nếu x + y + z = - 4 thì x + y = - 4 – z, từ (2) suy ra: xy = 4 + z(4 + z) = (z + 2)2.
Vậy x, y là nghiệm của phương trình: A2 + (4 + z)A + (z + 2)2 = 0.
Ta phải có: ∆ = (4 + z)2 – 4(z + 2)2 = - z(3z + 8) ≥ 0 hay −
8
3
≤ 𝑧 ≤ 0 (4)

2. Từ (3) và (4) được: −
8
3
≤ 𝑧 ≤
8
3
.
Vì vai trò của x, y, z là như nhau nên có: −
8
3
≤ 𝑥; 𝑦; 𝑧 ≤
8
3
(dpcm)
Ví Dụ 2: Chứng minh rằng nếu phương trình: 2x2 + (x + a)2 + (x + b)2 = c2
Có nghiệm thì 4c2 ≥ 3(a2 + b2) – 2ab.
Giải
Phương trình đã cho tương đương với:
4x2 + 2(a + b)x + a2 + b2 – c2 = 0
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi ∆′ ≥ 0 hay:
(a + b2) – 4(a2 + b2 – c2) ≥ 0  4c2 ≥ 3(a2 + b2) – 2ab (dpcm)
Ví Dụ 3: Tìm ba số thực x, y, z thỏa mãn: {
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 (1)
𝑥2
+ 2𝑦2
+ 3𝑧2
= 4 (2)
Sao cho x đạt giá trị lớn nhất. (HSG TP. Hồ Chí Minh 2006 - 2007)
Giải
Từ (1) có:z = 1 – x – y. Thay vào (2) ta được:
x2 + 2y2 + 3(1 – x - y)2 = 4  5y2 + 6(x - 1)y + 4x2 – 6x – 1 = 0 (3)
Ta phải có: ∆′ ≥ 0 hay:
9(x - 1)2 – 5(4x2 – 6x - 1) ≥ 0  -11x2 + 12x + 14 ≥ 0
Suy ra:
6− √190
11
≤ 𝑥 ≤
6+√190
11
Vì x lớn nhất nên x =
6+√190
11
khi đó y =
15−3√190
55
; 𝑧 =
10−2√190
55

3. Ví Dụ 4: Cho 4 số thực a, b, c, d. Chứng minh bất đẳng thức:
(a + b + c + d)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2 + d2) + 6ab.
Giải
Bất đẳng thức đã cho tương đương với:
a2 + 2a(b + c + d) + (b + c + d)2 ≤ 3a2 + 3(b2 + c2 + d2) + 6ab
 -2a2 + 2a(c + d – 2b) + (b + c + d)2 – 3(b2 + c2 + d2) ≤ 0
Xét f(a) = -2a2 + 2a(c + d – 2b) + (b + c + d)2 – 3(b2 + c2 + d2), ta có hệ số của a2 là
-2 và biệt thức:
∆′ = (c + d – 2b)2 + 2[(b + c + d)2 – 3(b2 + c2 + d2)]
= -3(c - d)2 ≤ 0
Nên -2f(a) ≥ 0 ℎ𝑎𝑦 𝑓(𝑎) ≤ 0 (dpcm).
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi c = d hoặc a =
1
2
(𝑐 + 𝑑 − 2𝑏)