1. 3.1 – Expresiones algebraicas
• Una expresión algebraica es toda combinación de números y letras unidos por
los signos de las operaciones aritméticas. Los números se llaman coeficientes
y las letras se llaman variables, incógnitas o indeterminadas.
• Hay expresiones algebraicas de muy distintos tipos:
- Monomios: 3x 2 , − 2 x , 2πr,...
- Polinomios: 3x 2 - 2 x + 1, 2πrh + 2πr 2
• Algunas expresiones algebraicas son igualdades:
Se verifica para cualquier valor de “x”.
- Identidades: 3( x + 4) = 3x + 12
- Ecuaciones: 3( x + 4) = 27
Se verifica para “x = 5”
•Valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al
sustituir las letras por números dados y hacer las operaciones indicadas en la
expresión.

2. TEMA 3 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS
3.1 – Expresiones algebraicas
Matemáticas
4º ESO
Ejemplo:
• Si x y y son las medidas de los lados de un
rectángulo, 2x + 2y es la expresión algebraica
que nos da el perímetro del rectángulo.
y
x
• Su valor numérico para x = 3 y y = 2 nos da el
perímetro de un rectángulo de esas dimensiones:
2 . 3 + 2 . 2 = 10

3. TEMA 3 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS
Matemáticas
3.2 – Monomios
4º ESO .
• Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas
operaciones que afectan a las letras (parte literal) son la multiplicación
y potenciación de exponente natural.
• El coeficiente es el número que acompaña a las incógnitas
• El grado de un monomio es la suma de sus exponentes.
• Dos monomios son semejantes cuando tienen idéntica la parte literal.
Grado respecto de la letra x
8x2y5
El grado de este monomio es 2 + 5 = 7
Coeficiente
• Valor numérico de un monomio es el resultado que se obtiene al
sustituir las incógnitas por sus valores. (x = 2, y = -1  -32)

4. TEMA 3 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS
3.2 – Monomios
Matemáticas
4º ESO .
• Suma o diferencia de monomios: La suma (diferencia) de monomios
semejantes es otro monomio también semejante a ellos cuyo coeficiente es la
suma (diferencia) de sus coeficientes.
Si dos monomios no son semejantes, su suma (diferencia) no se puede
simplificar y hay que dejarla indicada.
Ejemplos:
12x2y – 2x2y + 4x2y = (12 – 2 + 4)x2y = 14x2y
5x2 + 6xy = 5x2 + 6xy
12x2y – 2x2y + 4x2y + 5x2 + 6xy = 14x2y + 5x2 + 6xy

5. TEMA 3 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS
3.2 - Monomios
Matemáticas
4º ESO
• El producto de monomios es otro monomio que tiene:
– como coeficiente, el producto de los coeficientes.
– como parte literal, el producto de las partes literales
Ejemplos: x3 . x2 = x3 +2 = x5
5x2 . 7x4 = (5.7). x2+4 = 35 x6
–2xy2 . 5x2y3 . 3xz= (–2 . 5 . 3) (x . x2 . x) (y2 . y3) z = –30x4y5z
• El cociente de monomios es otro monomio que tiene:
– como coeficiente, el cociente de los coeficientes.
– como parte literal, el cociente de las partes literales
x
Ejemplos: x3 : x2 = x3 -2 =
(14x4) : (7x2) = (14:7). x4-2 = 2 x2

6. TEMA 3 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS
Matemáticas
3.3 – Polinomios
4º ESO
Un polinomio es una expresión que es suma o resta de monomios. Cada uno
de los monomios que lo forman se llama término.
Término principal
Grado del polinomio
P = 8x5 – 6x4 – 3x2 + x – 2
Término de grado 2
Término independiente
o término de grado 0
El valor numérico de P en a, P(a), se obtiene sustituyendo x por a

7. TEMA 3 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS
Matemáticas
3.3 - Polinomios
4º ESO
• Suma o resta de polinomios agrupamos los términos del mismo grado.
Ejemplo
P = x5 + 2x4
Q=
– 3x2 + x – 4
3x4 – 2 x3 + 3x2 + 2x
P + Q = x5 + 5x4 – 2x3
+ 3x – 4
P = x5 + 2x4
Q=
– 3x2 + x – 4
3x4 – 2 x3 + 3x2 + 2x
P – Q = x5 – x4 + 2x3 – 6x2 – x – 4
El grado de P ± Q es, como mucho, el mayor de los grados de P y Q

8. 3.3 – Polinomios
• El producto de un polinomio por un monomio es otro polinomio cuyos
términos se obtienen multiplicando el monomio por cada término del polinomio
2xy2 . (3x – 2y + 4) = (2xy2 . 3x) + (2xy2 . (– 2y) + (2xy2 . 4) = 6x2 y2 – 4xy3 + 8xy2
• El producto de dos polinomios es igual a otro polinomio cuyos términos se
obtienen multiplicando cada término del primero por cada término del segundo
y sumando luego los términos semejantes
–7x3 + 3x2 – 0x + 2
2x2 + 3x – 1
7x3 – 3x2 + 0x – 2
– 21x4 + 9x3 – 0x2 + 6x
–14x5 + 6x4 + 0x3 + 4x2
–14x5 –15x4 +16x3 + x2 + 6x – 2

9. 3.3 - Polinomios
• Productos notables
• (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
• (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
• (a + b) (a – b) = a2 – b2
• (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
• (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
• Sacar factor común: Cuando todos los términos de un polinomio, P(x),
son múltiplos de un mismo monomio, M(x); podemos extraer M(x) como
factor común.
• 2x+3x 2 – 7x4 = x.(2 +3x – 7x3)

10. 3.3 - Polinomios
• Cociente de polinomios: La división de polinomios es similar a la división
entera de números naturales: al dividir dos polinomios, se obtiene un
cociente y un resto (el grado del resto es menor que el grado del divisor).
La relación entre D(x), d(x), C(x) y R(x) es:
D(x)
R (x)
D( x ) = d( x ).C( x ) + R ( x ), o bien,
= C( x ) +
d(x)
d( x )
Cuando el resto es cero, R(x) = 0, la división es exacto y se cumple:
D(x)
D( x ) = d( x ).C( x ), o bien,
= C( x )
d(x)

11. 3.3 - Polinomios
Primer paso
Se resta x3 . d
Segundo paso
Se resta 2x2 . d
Tercer paso
Se resta (–1) d
.
3x5 + 8x4
– 11x2 – 3x + 6
– (3x5 + 2x4 –4x3)
6x4 + 4x3 – 11x2 – 3x + 6
3x5 + 8x4
– 11x2 – 3x + 6
– (3x5 + 2x4 –4x3)
6x4– 4x3 – 11x2 – 3x + 6
– (6x4+ 4x3 – 8x22)
– 3x – 3x + 6
3x5 + 8x4
– 11x2 – 3x + 6
– (3x5 + 2x4 –4x3)
6x4– 4x3 – 11x2 – 3x + 6
– (6x4– 4x3 – 11x2)
– 3x2 – 3x + 6
–(– 3x2 – 2x + 4)
–x+ 2
3x2+2x–4
x3
Cociente de
los términos
de mayor grado
3x2+2x–4
x3 + 2x2
3x2+2x–4
x3 + 2x2 – 1
cociente
resto
Cociente de
los términos
de mayor grado
Cociente de
los términos
de mayor grado

12. 3.4 – Regla de Ruffini
La Regla de Ruffini sirve para dividir un polinomio por x – a.
Ejemplo: Dividir P = 2x3 – 7x2 – 4x + 12 entre x – 2 se
Coeficientes de P
a
2
–6
2
se suma
12
2
–6
2
Se opera:
–4
4
–2
2
–4
–4
–8
12
– 16
–4
se multiplica por a
Hemos obtenido que: P = 2x3 – 7x2 – 4x + 12 = (2x2 – 2x – 8) (x – 2) + (– 4)
r

13. 3.4 – Regla de Ruffini
Criterio de divisibilidad por x – a: Si un polinomio tiene coeficientes enteros,
para que sea divisible por x –a es necesario que su término independiente sea
múltiplo de a.
Por tanto, para buscar expresiones x –a que sean divisores de un polinomio,
probaremos con los valores de a (positivos y negativos) que sean divisores del
término independiente
Valor de un polinomio para x = a: El valor numérico de un polinomio, P(x),
para x = a, es el número que se obtiene al sustituir la x por a y efectuar las
operaciones indicadas. A ese número se le llama P(a).
Teorema del resto: El valor que toma un polinomio, P(x), cuando x =a,
coincide con el resto de la división P(x) : (x – a), es decir, P(a) = r
El resto de dividir P(x) = 2x3 – 7x2 – 4x + 12 entre x – 2 se puede obtener así:
P(2) = 2 . 23 – 7 . 22 – 4 . 2 + 12 = – 4

14. 3.5 – Factorización de polinomios
Factorizar un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios
(factores) del menor grado posible.
Método para factorizar un polinomio:
•Sacar factor común.
•Recordar los productos notables.
•Si es un polinomio de grado > 2: Por Ruffini, probando con los divisores del
término independiente, hasta obtener resto cero: P(x) = (x –a).C(x)
•Si es un polinomio de grado = 2. Se resuelve la ecuación de segundo grado:
2 soluciones distintas ⇒ a.(x - x1 ).( x − x 2 )

ax 2 + bx + c = 0 ⇒ 1 solución doble ⇒ a.(x - x1 ) 2

No tiene solución ⇒ ax 2 + bx + c


15. 3.5 – Factorización de polinomios
Ejemplo: Factorizar el polinomio P = x4 + 3x3 – x2 – 3x
• Se saca factor común x: x(x3 + 3x2 – x – 3)
• Por Ruffini: x3 + 3x2 – x – 3 Para ello probamos con los divisores positivos y
negativos de 3
1
3 –1 -3
1
1 4 3
1 4 3 0
• Por la fórmula:x2 +4x + 3 = 0 
x = -1, x = -3
x.(x – 1).(x + 1).(x + 3)

16. 3.5 – Factorización de polinomios
Ejemplo: descomponer P = x3 – 2x + 4
1.– No podemos sacar factor común
2 – Regla de Ruffini. Buscamos posibles soluciones de la ecuación x 3 – 2x + 4
= 0 entre los divisores del término independiente: {1, –1, 2, –2, 4, –4}.
1
0 –2 4
–2
–2 4 –4
1 –2 2 0
3.– Por la fórmula x2 – 2x + 2 = 0. No tiene solución
(x + 2).(x2 – 2x + 2)

17. 3.6 – Divisibilidad de polinomios
• Múltiplos y divisores: Un polinomio D(x), es divisor de otro, P(X), si la
división P(x) :D(x) es exacta. En tal caso, se dice también que P(x) es
múltiplo de D(x), ya que P(x) = D(x).C(x)
• Polinomios irreducibles: Un polinomio es irreducible cuando no tiene
ningún divisor de grado inferior al suyo.
• Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de polinomios:
Un polinomio, D(x), es el máximo común divisor de dos polinomios, P(x)
y Q(x), si es divisor de ambos y no hay otro polinomio divisor común con
mayor grado que él. Se denota: D(x) = M.C.D. [P(x),Q(x)]
Método para calcularlo:
-Se factorizan los dos polinomios: P(x) y Q(x)
-Se toman los factores comunes al menor exponente

18. 3.6 – Divisibilidad de polinomios
Un polinomio, M(x), es el mínimo común múltiplo de dos polinomios,
P(x) y Q(x), si es múltiplo de ambos y no hay otro polinomio múltiplo
común con menor grado que él. Se denota: M(x) = m.c.m. [P(x),Q(x)]
Método para calcularlo:
-Se factorizan los dos polinomios: P(x) y Q(x)
-Se toman los factores comunes y no comunes al mayor exponente
Ejemplo: P(x) = x3 – x2 – x + 1,
Q(x) = 2 x3 + 6 x2 – 8
-Factorizamos : P(x) = (x – 1) 2 .(x + 1)
-m.c.m [P(x),Q(x)] = 2.(x –1)2 .(x + 1).(x + 2) 2
-M.C.D [P(x),Q(x)] = x - 1
Q(x) =2.(x –1).(x + 2)2

19. 3.7 – Fracciones algebraicas
P( x )
Q( X )
Una fracción algebraica es el cociente de dos polinomios
Simplificación: Para simplificar una fracción, se factorizan numerador y
denominador y se eliminar los factores comunes obteniéndose otra fracción
equivalente.
(x – 3) (x2 + 1)
x–3
x3 – 3x2 + x – 3
x4 – 1
(x – 1) (x + 1) (x2 + 1)
x2 – 1
Reducir a común denominador: Se sustituye cada fracción por otra
equivalente, de modo que todas tengan el mismo denominador, que será el
mínimo común múltiplo de los denominadores.
3
x x +1
3
x
x +1
,
,
=
,
,
=
x − 1 x + 1 x − 1 x − 1 x + 1 ( x − 1)( x + 1)
2
3( x + 1)
x ( x − 1)
x +1
3( x + 1) x ( x − 1) x + 1
=
,
,
=
,
,
( x − 1)( x + 1) ( x + 1)( x − 1) ( x − 1)( x + 1)
x −1 x −1 x −1
2
2
2

20. 3.7 – Fracciones algebraicas
OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS
Suma y diferencia: para sumar o restar fracciones algebraicas, se buscan
fracciones algebraicas equivalentes con denominador común y se suman o restan
los numeradores
x–2
x2 – 3x
+ 2
x2 – 1
x – 2x + 1
=
x–2
(x – 1)(x + 1)
(x – 2)(x – 1)
(x – 3) x (x + 1)
=
+
2
2
(x – 1) (x + 1)
(x – 1) (x + 1)
=
+
(x – 3)x
(x – 1)2
=
x2 – 3x + 2 + x3 – 2x2 – 3x
(x – 1)2 (x + 1)
x3 – x2 – 6x +2
(x – 1)2 (x + 1)
=

21. 3.7 – Fracciones algebraicas
Producto: para multiplicar fracciones algebraicas se multiplican entre si los
numeradores y los denominadores
x– 2
x2 – 2x + 1
.
x4 – 1
=
2x + 1
(x – 2) (x – 1) (x + 1) (x2 + 1)
=
(x – 1)2 (2x + 1)
=
(x – 2) (x4 – 1)
=
(x2 – 2x + 1) (2x + 1)
(x – 2) (x + 1) (x2 + 1)
(x – 1) (2x + 1)
x4 - x3 -x2 -x -2
2x2 - x - 2
=

22. 3.7 – Fracciones algebraicas
Inversa de una fracción algebraica: la inversa de una fracción algebraica
P(x)/Q(x) es la fracción (P(x)/Q(x)) -1 = Q(x)/P(x)
División de fracciones algebraicas: para dividir una fracción algebraica
entre otra, se multiplica la primera por la inversa de la segunda
x3 – 1
2x2 + x
:
x4 + 1
=
2x – 1
(x3 – 1) (2x – 1)
(2x2 + x) (x4 + 1)
x3 – 1
2x2 + x
=
.
2x – 1
=
x4 + 1
2x4 - x3 - 2x + 1
2x6 + x5 + 2x2 + x