Жесткие системы ОДУ

Ìåòîäû âû÷èñëåíèé
Æåñòêèå ñèñòåìû

Êàôåäðà òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêè
Áîæêî Í. Ð., Ïëàòîøèí È. Â.

Ñàìàðñêèé ãîñóäàðñòâåííûé àýðîêîñìè÷åñêèé óíèâåðñèòåò
èì. àêàäåìèêà Ñ. Ï. Êîðîë¼âà
(íàöèîíàëüíûé èññëåäîâàòåëüñêèé óíèâåðñèòåò)

IS äåêàáðÿ PHIP ãF

Ñèñòåìû ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé

Ñèñòåìû ëèíåéíûõ ÎÄÓ

Ëèíåéíûì îáûêíîâåííûì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì íàçûâàåòñÿ
óðàâíåíèå âèäà
y = λy,
ãäå λ E êîíñòàíòàF
Ñèñòåìîé ëèíåéíûõ ÎÄÓ íàçûâàåòñÿ ñèñòåìà âèäà

y = Ay, @IA

ãäå A E ïîñòîÿííàÿ ìàòðèöàD
y = (y1 y2 · · · yn )T E âåêòîðEôóíêöèÿ

Êàôåäðà ÒÌ (ÑÃÀÓ) Ìåòîäû âû÷èñëåíèé 15 äåêàáðÿ 2012 ã. 2 / 21

Ñèñòåìû ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé

Ïðèâåäåíèå ñèñòåìû ÎÄÓ ê n íåçàâèñèìûì óðàâíåíèÿì

y = Ay, y(0) = y0 .
Äëÿ ìàòðèöû AD ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ êîòîðîé ðàçëè÷íûD ñóùåñòâóåò
ìàòðèöà M òàêàÿD ÷òî
M AM −1 = Λ,
ãäå Λ E äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöàF Òîãäà èñõîäíóþ ñèñòåìó ìîæíî
ïðèâåñòè ê ýêâèâàëåíòíîéX

z = Λz,
@PA
z(0) = z0 = M y0




y = Ay, @QA
A E ìàòðèöà êîíñòàíòF

Ñèñòåìà @QA íàçûâàåòñÿ æåñòêîéDåñëè âñå äåéñòâèòåëüíûå ÷àñòè
ñîáñòâåííûõ ÷èñåë ìàòðèöû A îòðèöàòåëüíû è îòíîøåíèå íàèáîëüøåãî
è íàèìåíüøåãî äåéñòâèòåëüíûõ ÷àñòåé ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé âåëèêîF


Ðåøåíèå ñèñòåì ëèíåéíûõ ÎÄÓ Ìåòîäû Ýéëåðà

Ìåòîä Ýéëåðà

yn+1 = (I + hA)yn .

zn+1 = M yn+1 = M (I + hA)yn =

= M (I + hA)M −1 zn = (I + hΛ)zn

zn+1 = (I + hΛ)zn @RA
Ðåøåíèå ñèñòåìû áóäåò ñõîäÿùèìñÿD åñëè äëÿ j = 1, . . . , nX
1 Re(λj ) < 0Y
2 h|λj | < 2F



Íåÿâíûé ìåòîä Ýéëåðà

yn+1 = (I − hA)−1 yn .

zn+1 = M yn+1 = M (I − hA)−1 yn =

= M (I − hA)−1 M −1 zn = (I − hΛ)−1 zn

zn+1 = (I − hΛ)−1 zn @SA

Ðåøåíèå ñèñòåìû áóäåò ñõîäÿùèìñÿD åñëè äëÿ Re(λj ) < 0, j = 1, . . . , n



Ïðèìåð

y = Ay

−8003 1999 1
A= , y(0) = .
23988 −6004 4
Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿX λ1 = −7, λ2 = −14000 Ðåøåíèå ñèñòåìûX

e−7x
y(x) =
4e−7x

ÒF êF h|λ2 | = 56D òî ìåòîä Ýéëåðà äàåò áîëüøóþ ïîãðåøíîñòü ïðè
x = 0.036F



Ïðèìåð

x y1 (x) Íåÿâíûé ìåòîä Ýéëåðà Ìåòîä Ýéëåðà
HFHHH IFHHH IFHHH IFHHH
HFHHR HFWUP HFWUQ HFWUP
HFHHV HFWRT HFWRT HFWRS
HFHIP HFWIW HFWPH HFWIV
HFHIT HFVWR HFVWS HFVWQ
HFHPH HFVTW HFVUI HFVTV
HFHPR HFVRS HFVRU HFVRQ
HFHPV HFVPP HFVPR HFVPH
HFHQP HFUWW HFVHP HFUWR
HFHQT HFUUU HFUVH HFWRI
HFHRH HFUST HFUSW EVFRQH
HFHRR HFUQS HFUQV SHSFUTW
HFHRV HFUIS HFUIV EPUUUTFQSU



Ïðèìåð

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

2

4

6

8


Ðåøåíèå ñèñòåì ëèíåéíûõ ÎÄÓ Ëèíåéíûå ìíîãîøàãîâûå ìåòîäû

Ëèíåéíûå ìíîãîøàãîâûå ìåòîäû
Ðåøåíèå óðàâíåíèé âèäà y = λy

Îáùèé âèä ìåòîäàX
k k
αj yn+j = h βj f (xn+j , yn+j ).
j=0 j=0

Äëÿ ëèíåéíûõ ñèñòåì
k
(αj − λhβj )yn+j = 0 @TA
j=0



Õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí

Õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí ðåêóððåíòíîãî ñîîòíîøåíèÿ @TAX
k
π(z; λh) = (αj − λhβj )z j
j=0

Åãî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå

π(z; λh) = ρ(z) − λhσ(z) @UA



Ëåììà

Ðàññìîòðèì ðåêóððåíòíîå ñîîòíîøåíèå kEãî ïîðÿäêà

αk yn+k + · · · + α1 yn+1 + α0 yn = 0, n = 0, 1, 2, . . . @VA

ñ αk = 0, α0 = 0, αj ∈ R, j = 0, 1, . . . , k è õàðàêòåðèñòè÷åñêèì
ìíîãî÷ëåíîì
ρ(z) = αk z k + · · · + α1 z + α0 .
Ïóñòü zr , 1 ≤ r ≤ l, l ≤ k E êîðíè ìíîãî÷ëåíà ρD è ïóñòü mr ≥ 1 E
êðàòíîñòü êîðíÿ zr D ïðè÷åì m1 + · · · + ml = k F Åñëè
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {yn } êîìïëåêñíûõ ÷èñåë óäîâëåòâîðÿåò @VAD òîãäà
l
yn = n
pr (n)zr , ∀n ≥ 0, @WA
r=1

ãäå pr (n) E ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè mr − 1F


Óñëîâèå äëÿ êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà

Èç @UA î÷åâèäíîD ÷òî êîðíè ìíîãî÷ëåíà π(z, λh) åñòü ôóíêöèè
z = z(λh)F
äëÿ λ ∈ C, Re(λ) < 0 ðåøåíèå çàäà÷è

y = λy, y(0) = y0 ,

ñòðåìèòñÿ íà C ê íóëþ ïðè x → ∞F
Ðàçìåð øàãà h ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ìîæíî âûáðàòü òàêD ÷òî
lim yn = 0F Òîãäà â ñèëó @WA
n→∞

|zr | = |zr (λh)| < 1



Ñõîäèìîñòü ëèíåéíûõ ìíîãîøàãîâûõ ìåòîäîâ

Ëèíåéíûé ìíîãîøàãîâûé ìåòîä íàçûâàåòñÿ àáñîëþòíî ñõîäÿùèìñÿ
äëÿ çàäàííîãî çíà÷åíèÿ λhD åñëè êàæäûé êîðåíü zr = zr (λh)
ñîîòâåòñòâóþùåãî õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà π(zr ; λh)
óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ |zr (λh)| < 1F

Îáëàñòü àáñîëþòíîé ñõîäèìîñòè ëèíåéíîãî ìíîãîøàãîâîãî ìåòîäà
E ýòî ìíîæåñòâî âñåõ òî÷åê λh êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòèD äëÿ êîòîðûõ
ìåòîä ñõîäèòñÿ àáñîëþòíîF

Ëèíåéíûé ìíîãîøàãîâûé ìåòîä íàçûâàåòñÿ À-ñòàáèëüíûìD åñëè
îáëàñòü àáñîëþòíîé ñõîäèìîñòè ñîäåðæèò ëåâóþ @ñ îòðèöàòåëüíîé
äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòüþA êîìïëåêñíóþ ïîëóïëîñêîñòüF



Âòîðàÿ ãðàíè÷íàÿ òåîðåìà

1 Íåÿâíûé ëèíåéíûé ìíîãîøàãîâûé ìåòîä ÀEñòàáèëåíY

2 Ëèíåéíûé ìíîãîøàãîâûé ìåòîäD íå ÿâëÿþùèéñÿ ÀEñòàáèëüíûìD
ìîæåò èìåòü ïîðÿäîê áîëüøå PF

3 ÀEñòàáèëüíûé ëèíåéíûé ìíîãîøàãîâûé ìåòîä âòîðîãî ïîðÿäêà ñ
ìàëîé ïîñòîÿííîé îøèáêîé E ýòî ïðàâèëî òðàïåöèéF



Ìåòîä Ãèðà (Gear)

Ëèíåéíûé ìíîãîøàãîâûé ìåòîä ïðè βj = 0, j = 0, ..., k − 1 è βk = β
íàçûâàþòñÿ ìåòîäîì ÃèðàF
k
αj yn+j = hβf (xn+k , yn+k ).
j=0

Äëÿ ëèíåéíîé ñèñòåìûX
k
αj yn+j = hβλj yn+k . @IHA
j=0

Ðàññìîòðèì ÷àñòíûå ñëó÷àè ìåòîäà ÃèðàF



Ìåòîä òðàïåöèé

Èç IH ïðè α0 = −1, α1 = 1, β = 1 , k = 1 ïîëó÷èì ôîðìëó òðàïåöèé
2

λh
yn+1 = yn + (yn+1 + yn ) @IIA
2
Ñîîòâåòñòâóþùèé õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí èìååò òîëüêî îäèí
êîðåíüD îòëè÷íûé îò íóëÿX

1 + 1 λh
2
z= .
1 − 1 λh
2

Ïðè÷åì |z| < 1D åñëè Re(λh) = hRe(λ) < 0D çíà÷èò ìåòîä òðàïåöèé
äåéñòâèòåëüíî ÀEñòàáèëåíF



Ìåòîä òðàïåöèé

Im(hλ)

Re(hλ)




Èç IH ïðè α0 = −1, α1 = 1, β = 1, k = 1 ïîëó÷èì íåÿâíûé ìåòîä
ÝéëåðàX
yn+1 = yn + hλyn+1 ,
îòêóäà
yn+1 = yn (1 − hλ)−1 . @IPA
Òàê êàê |hλ − 1| > 1D òî íåÿâíûé ìåòîä Ýéëåðà ÀEñòàáèëåíF




Im(hλ)

Re(hλ)


Ñïèñîê èñïîëüçîâàííûõ èñòî÷íèêîâ

1 indre ƒ¤li en sntrodu™tion to xumeri™—l en—lysisX indre ƒu¤liD h—vid
u u
pF w—yers E g—m˜ridgeD g—m˜ridge …niversity €ressD PHHQF E RQQ pF
2 Âåðæáèöêèé ÂFÌF ×èñëåííûå ìåòîäû @ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç è
îáûêíîâåííûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿAX Ó÷åáíîå ïîñîáèå
äëÿ âóçîâ‘òåêñò“X ÂFÌF Âåðæáèöêèé E ÌFX Âûñøàÿ øêîëàD PHHRF E
QVP ñF


Жесткие системы ОДУ

Empfohlen

Empfohlen

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

Was ist angesagt? (14)

Mehr von Theoretical mechanics department

Mehr von Theoretical mechanics department (20)

Жесткие системы ОДУ