1. Введение Примеры Постановка задачи Основные этапы Аппроксимаци Погрешность Пример Литературные источники
Решение краевых задач
Метод конечных разностей
Студент 1405 группы
Поляков Иван Олегович
Самарский государственный аэрокосмический университет
им. академика С.П.Королёва
(национальный исследовательский университет)
31 декабря 2012
Самарский государственный аэрокосмический университет 1 / 22

2. Введение Примеры Постановка задачи Основные этапы Аппроксимаци Погрешность Пример Литературные источники
Содержание
Введение
Примеры
Постановка задачи
Основные этапы
Аппроксимаци
Погрешность
Пример
Литературные источники
Самарский государственный аэрокосмический университет 2 / 22

3. Введение Примеры Постановка задачи Основные этапы Аппроксимаци Погрешность Пример Литературные источники
Введение
Общий вид обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ):
F (x, y , y , y , ..., y (n) ) = 0,
где x−независимая переменная, y (i) − i-ая производная от искомой
функции, n-порядок уравнения.
Общее решение ОДУ n-го порядка содержит n производных
постоянных c1 , ..., cn , т.е. общее решение имеет вид
y = φ(x, c1 , ..., cn ) .
Для выделения единственного решения необходимо задать n
дополнительных условий. Если дополнительные условия задаются в
более чем одной точке, т.е. при различных значениях независимой
переменной, то такая задача называется краевой. Сами
дополнительные условия называются краевыми или граничными.
Самарский государственный аэрокосмический университет 3 / 22

4. Введение Примеры Постановка задачи Основные этапы Аппроксимаци Погрешность Пример Литературные источники
Примеры краевых задач
 2
 d y + 2 dy − y = sin(x),
 dx 2 dx
y (0) = 1,

y (1) = 0;

 d 3y 2
 dx 3 = x + x d y − dy ,
 dx 2 dx

y (1) = 0,

y (1) = 0,



y (3) = 2.
Решить такие задачи аналитически удается лишь для некоторых
специальных типов уравнений.
Самарский государственный аэрокосмический университет 4 / 22

5. Введение Примеры Постановка задачи Основные этапы Аппроксимаци Погрешность Пример Литературные источники
Постановка задачи
Найти решение линейного дифференциального уравнения:
u + q(x)u − e(x)u = z(x), x ∈ [a, b], (1)
удовлетворяющего краевым условиям:
u(a) = φ, u(b) = ψ. (2)
Самарский государственный аэрокосмический университет 5 / 22

6. Введение Примеры Постановка задачи Основные этапы Аппроксимаци Погрешность Пример Литературные источники
Theorem
Пусть q(x), e(x), z(x) ∈ C2 [a, b]; e(x) ≥ 0.
Тогда существует единственное решение поставленной задачи. К
данной задаче сводится. например, задача об определении прогибов
балки, которая на концах упирается шарнирно.
Самарский государственный аэрокосмический университет 6 / 22

7. Введение Примеры Постановка задачи Основные этапы Аппроксимаци Погрешность Пример Литературные источники
Основные этапы метода конечных разностей:
Область непрерывного изменения аргумента ([a, b]) заменяется
дискретным множеством точек, называемых узлами:
xi = a + hi, i = 0, ...n, n = (b − a)/h;
Искомая функция непрерывного аргумента x, приближенно
заменяется функцией дискретного аргумента на заданной сетке,
т.е. u(x)k = (u0 , ...un ). Функция uk называется сеточной.
Исходное дифференциальное уравнение заменяется разностным
уравнением относительно сеточной функции. Такая замена
называется разностной аппроксимацией.
Таким образом, решение дифференциального уравнения сводится к
отысканию значений сеточной функции в узлах сетки, которые
находятся из решения алгебраических уравнений.
Самарский государственный аэрокосмический университет 7 / 22

8. Введение Примеры Постановка задачи Основные этапы Аппроксимаци Погрешность Пример Литературные источники
Аппроксимация производных
Для аппроксимации (замены) первой производной можно
воспользоваться формулами:
(+) ui+1 −ui
u’(xi ) ≈ Lh = h -правая разностная производная,
(−) ui −ui−1
u’(xi ) ≈ Lh = h -левая разностная производная,
(0) (+) (−) ui+1 −ui−1
u’(xi ) ≈ Lh = (Lh + Lh )/2 = 2h -центральная разностная
производная.
Опираясь на разностную аппроксимацию первой производной можно
построить разностную аппроксимацию второй производной:
ui+1 −ui ui −ui−1
u (xi+1 −u (xi ) − ui+1 −2ui +ui−1 (2)
u”(xi ) = (u (xi )) ≈ h = h
h
h
= h2 = Lh ui
Аналогично можно получить аппроксимации производных более
высокого порядка.
Самарский государственный аэрокосмический университет 8 / 22

9. Введение Примеры Постановка задачи Основные этапы Аппроксимаци Погрешность Пример Литературные источники
Погрешность аппроксимации
Погрешностью аппроксимации n-ой производной называется
разность:
(n)
δ(x) = u (n) (x) − Lh u(x).
Рассмотрим правую разностную аппроксимацию первой
производной:
(+) ui+1 − ui
δ(xi ) = u (xi ) − Lh u(xi ) − ,
h
h2
ui+1 = u(xi+1 ) = u(xi + h) = u(xi ) + hu (xi ) + + ... ,
2u (xi )
u(xi ) + hu (xi ) + h2 /2u (xi ) − u1 h
δ(xi ) = u (xi ) − = .
h 2u (xi )
Самарский государственный аэрокосмический университет 9 / 22

10. Введение Примеры Постановка задачи Основные этапы Аппроксимаци Погрешность Пример Литературные источники
Т.е. правая разностная производная имеет первый по h порядок
аппроксимации.
Аналогично и для левой разностной производной.
Центральная разностная производная имеет второй порядок
аппроксимации.
Для того чтобы аппроксимировать дифференциальное уравнение
необходимо в нем заменить все производные их аппроксимациями.
Самарский государственный аэрокосмический университет 10 / 22

11. Введение Примеры Постановка задачи Основные этапы Аппроксимаци Погрешность Пример Литературные источники
Рассмотрим задачу (1), (2) и заменим в (1) производные:
ui+1 − 2ui + ui − 1 ui + 1 − ui−1
u (xi ) = , u (xi ) =
h2 2h
В результате получим:
(2 − qi h)ui−1 − (4 + 2h2 ei )ui + (2 + qi h)ui+1 = 2h2 zi , i = 1, ..., n − 1,
u0 = φ, un = ψ (3)
Порядок аппроксимации исходной задачи равен 2, т.к. вторая и
первая производные заменены с порядком 2, а остальные – точно.
Самарский государственный аэрокосмический университет 11 / 22

12. Введение Примеры Постановка задачи Основные этапы Аппроксимаци Погрешность Пример Литературные источники
Т.о. получили систему линейных уравнений с матрицей:
A=
 
1 0 0 0 ··· 0
2 − q1 h −(4 + 2h2 e1 ) 2 + q1 h 0 ··· 0 
 . . . . .
 
 . . . . .. . 
 . . . . . . 

 0 0 ··· 2 − qn−1 h −(4 + 2h2 en−1 ) 2 + qn−1 h
0 0 ··· 0 0 1
Самарский государственный аэрокосмический университет 12 / 22

13. Введение Примеры Постановка задачи Основные этапы Аппроксимаци Погрешность Пример Литературные источники
Данная матрица является трехдиагональной, т.е. все элементы,
которые расположены не на главной диагонали и двух прилегающих
к ней диагоналях равны нулю.
Решая полученную систему уравнений, мы получим решение
исходной задачи.
Для решения таких СЛАУ имеется экономичный метод прогонки.
Самарский государственный аэрокосмический университет 13 / 22

14. Введение Примеры Постановка задачи Основные этапы Аппроксимаци Погрешность Пример Литературные источники
Метод прогонки
Рассмотрим метод прогонки для СЛАУ:

 c1 x1 + b1 x2 = f1
ai xi−1 − ci xi + bi xi+1 = fi , i = 2, ..., n − 1 (4)
an xn−1 − cn xn = fn

Самарский государственный аэрокосмический университет 14 / 22

15. Введение Примеры Постановка задачи Основные этапы Аппроксимаци Погрешность Пример Литературные источники
Решение данной системы ищем в виде:
xi = αi xi+1 + βi (5)
Подставляя в первое уравнение, получим:
−c1 α1 x2 − c1 β1 + b1 x2 = f1 ,
b1 f1
α1 = , β1 = −
c1 c1
Т.к.
xi−1 = αi−1 xi + βi−1 , (6)
то подставляя (6) во второе уравнение, получим
Самарский государственный аэрокосмический университет 15 / 22

16. Введение Примеры Постановка задачи Основные этапы Аппроксимаци Погрешность Пример Литературные источники
bi fi − ai βi−1
xi = xi+1 − .
ci − ai αi−1 ci − ai αi−1
Таким образом можно найти все αi , βi , i = 1, ...n − 1.
Тогда из последнего уравнения (4) находим:
fn − an βn−1
xn = −
cn − an αn−1
Затем последовательно найдем:
xn−1 = αn−1 xn + βn−1 ,
xn−2 = αn−2 xn−1 + βn−2 ,
.......................................
x1 = α1 x2 + β1
Самарский государственный аэрокосмический университет 16 / 22

17. Введение Примеры Постановка задачи Основные этапы Аппроксимаци Погрешность Пример Литературные источники
Алгоритм метода прогонки можно представить в виде:
b1 f
1. Находим α1 = c1 , β = − c1 ;
1
Самарский государственный аэрокосмический университет 17 / 22

18. Введение Примеры Постановка задачи Основные этапы Аппроксимаци Погрешность Пример Литературные источники
Алгоритм метода прогонки можно представить в виде:
b1 f
1. Находим α1 = c1 , β = − c1 ;
1
2. Для i = 1, n − 1: αi = bi
ci −ai αi−1 , βi = − cii −aii βi−1 ;
f
−a αi−1
Самарский государственный аэрокосмический университет 17 / 22

19. Введение Примеры Постановка задачи Основные этапы Аппроксимаци Погрешность Пример Литературные источники
Алгоритм метода прогонки можно представить в виде:
b1 f
1. Находим α1 = c1 , β = − c1 ;
1
2. Для i = 1, n − 1: αi = bi
ci −ai αi−1 , βi = − cii −aii βi−1 ;
f
−a αi−1
fn −an βn−1
3. Нахождение xn = cn −an αn−1 ;
Самарский государственный аэрокосмический университет 17 / 22

20. Введение Примеры Постановка задачи Основные этапы Аппроксимаци Погрешность Пример Литературные источники
Алгоритм метода прогонки можно представить в виде:
b1 f
1. Находим α1 = c1 , β = − c1 ;
1
2. Для i = 1, n − 1: αi = bi
ci −ai αi−1 , βi = − cii −aii βi−1 ;
f
−a αi−1
fn −an βn−1
3. Нахождение xn = cn −an αn−1 ;
4. Для i = n − 1 до 1 находим: xi = αi xi+1 + βi ;
Самарский государственный аэрокосмический университет 17 / 22

21. Введение Примеры Постановка задачи Основные этапы Аппроксимаци Погрешность Пример Литературные источники
Theorem
Пусть коэффициенты ai , bi системы уравнений при i = 2, 3, . . . , n − 1
отличны от нуля и пусть
|ci | ≥ |bi | + |ai |
при i = 1, 2, 3, ..., n.
Тогда прогонка корректна и устойчива.
При выполнении этих условий знаменатели в алгоритме метода
прогонки не обращаются в нуль и, кроме того, погрешность
вычислений, внесенная на каком либо шаге вычислений, не будет
возрастать при переходе к следующим шагам. Данное условие есть
ни что иное, как условие диагонального преобладания.
Самарский государственный аэрокосмический университет 18 / 22

22. Введение Примеры Постановка задачи Основные этапы Аппроксимаци Погрешность Пример Литературные источники
Example
Найти решение задачи:
u (x) + 4u (x) − u(x) = x, u(0) = 0, u(1) = 1.
Выпишем разностную схему
ui+1 − 2ui + ui−1 ui+1 − ui−1
+4 − ui = xi ,
h2 2h
u0 = 0, un = 1.
Условие устойчивости имеет вид:
2 2
h≤ = = 0.5
max |qi | 4
Самарский государственный аэрокосмический университет 19 / 22

23. Введение Примеры Постановка задачи Основные этапы Аппроксимаци Погрешность Пример Литературные источники
Возьмем h = 0.2
Тогда n = 5
u0 = 0
15ui−1 − 51ui + 35ui+1 = 0.2i, i = 1, 2, 3, 4
u5 = 1
Формулы прогонки для СЛАУ (1):
−c1 u1 + b1 u2 = f1
ai ui−1 − ci ui + bi ui+1 = fi , i = 2, ..., n − 1
an un−1 − cn un = fn
Самарский государственный аэрокосмический университет 20 / 22

24. Введение Примеры Постановка задачи Основные этапы Аппроксимаци Погрешность Пример Литературные источники
Решение СЛАУ методом прогонки:
i ai ci bi fi αi βi ui
1 51 35 0.2 0.6863 -0.0039 0.4701
2 15 51 35 0.4 0.8598 -0.0113 0.6906
3 15 51 35 0.6 0.9186 -0.0202 0.8164
4 15 51 35 0.8 0.9403 -0.0296 0.9107
5 0 -1 1 1.0000
Самарский государственный аэрокосмический университет 21 / 22

25. Введение Примеры Постановка задачи Основные этапы Аппроксимаци Погрешность Пример Литературные источники
Литературные источники
1. http://pers.narod.ru/study/methods/05.htmlmkr
Лекции по численным методам
2. http://do.nano.fcior.edu.ru/mod/page/view.php?id=404
Сервис организации образовательного процесса
Самарский государственный аэрокосмический университет 22 / 22