1. Методы вычислений
Линейные многошаговые методы
Кафедра теоретической механики
Талипова А.А.
Самарский государственный аэрокосмический университет
им. академика С. П. Королёва
(национальный исследовательский университет)
27 декабря 2012 г.

2. Содержание
1 Многошаговые методы Адамса
2 Экстраполяционные методы Адамса - Башфорта
3 Интерполяционные методы Адамса - Моултона
4 Методы прогноза и коррекции
5 Метод Милна четвертого порядка
6 Источники
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 27 декабря 2012 г. 2 / 24

3. Линейные многошаговые методы
Многошаговые методы Адамса
Рассмотрим численные методы решения начальной задачи
y = f (x, y), x ∈ [x0 , b], (1)
y(x0 ) = y0 . (2)
Для вычисления значения yi+1 ≈ y(xi+1 ) воспользуемся
интегроинтерполяционным подходом. Проинтегрируем левую и правую
часть уравнения (1) на промежутке [xi , xi+1 ]
xi+1
y(xi+1 ) = y(xi ) + f (x, y(x))dx (3)
xi
Вместо функции f (x, y(x)) подставим интерполирующий многочлен
Pk (x). Дополняя известные значения f (xj , yj ) ≈ f (xj , y(xj )) пока что
неизвестным значением fi+1 := f (xi+1 , yi+1 ), можно построить
таблицу конечных разностей
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 27 декабря 2012 г. 3 / 24

4. Линейные многошаговые методы
Таблица конечных разностей
xj yj ∆fj ∆2 fj ∆3 fj ... ∆k fj
xi−k fi−k
∆fi−k
xi−k+1 fi−k+1 ∆2 fi−k
∆fi−k+1 ∆3 fi−k
xi−k+2 fi−k+2 ∆2 fi−k+1
∆fi−k+2
xi−k+3 fi−k+3
... ... ... ... ... ... ∆k fi−k
xi−2 fi−2 ∆k fi−k+1
∆fi−2
xi−1 fi−1 ∆2 fi−2
∆fi−1 ∆3 fi−2
xi fi ∆2 fi−1
∆fi
xi+1 fi+1
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 27 декабря 2012 г. 4 / 24

5. Линейные многошаговые методы
При интерполировании назад из узла xi по второй интерполяционной
формуле Ньютона
f (x) ≈ Pn (xn + qh) = yn + q∆yn−1 + q(q+1) ∆2 yn−2 + ...
2!
q(q + 1)...(q + n − 1) n
... + ∆ y0
n!
имеем
q(q + 1) 2
Pk (x) = Pk (xi + qh) = fi + q∆fi−1 + ∆ fi−2 +
2!
q(q + 1)(q + 2) 3 q(q + 1)...(q + k − 1) k
+ ∆ fi−3 + ... + ∆ fi−k
3! k!
а из узла xi+1 получаем многочлен
˜ ˜ q(q + 1) 2
Pk (x) = Pk (xi+1 + qh) = fi+1 + q∆fi + ∆ fi−1 +
2!
q(q + 1)(q + 2) 3 q(q + 1)...(q + k − 1) k
+ ∆ fi−2 + ... + ∆ fi−k+1
3! k!
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 27 декабря 2012 г. 5 / 24

6. Линейные многошаговые методы
˜
Постановка многочленов Pk (x) и Pk (x) в равенство (3) приводит к
формулам для вычисления очередного значения yi+1 ≈ y(xi+1 ) вида
xi+1
yi+1 = yi + Pk (x)dx (4)
xi
xi+1
yi+1 = yi + ˜
Pk (x)dx (5)
xi
В результате применения к интегралам в (4) и (5) формулы
Ньютона-Лейбница получается два семейства методов (с параметром
k ∈ N0 ), называемых многошаговыми методами Адамса.
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 27 декабря 2012 г. 6 / 24

7. Линейные многошаговые методы
Экстраполяционные методы Адамса—Башфорта
xi+1
Сделаем в интеграле Pk (x)dx замену переменной x = xi + qh
xi
xi+1 1
Pk (x)dx = h Pk (xi + qh)dq
xi 0
Тогда формула (4) может быть переписана в виде
yi+1 = yi + hIk , (6)
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 27 декабря 2012 г. 7 / 24

8. Линейные многошаговые методы
1
q2 q3 q2
Ik = Pk (xi + qh)dq = [fi q + 2 ∆fi−1 + 6 + 4 ∆2 fi−2 +
0
1 q4 1 q5 3q 4 11q 3
+6 4 + q 3 + q 2 ∆3 fi−3 + 24 5 + 2 + 3 + 3q 2 ∆4 fi−4 + ...]1 =
0
1 5 3 251 4
= fi + ∆fi−1 + ∆2 fi−2 + ∆3 fi−3 + ∆ fi−4 + ... (7)
2 12 8 720
На основе (6) получается конечно-разностная формула, определяющая
экстраполяционный метод Адамса—Башфорта:
1 5 3 251 4
yi+1 = yi + h fi + ∆fi−1 + ∆2 fi−2 + ∆3 fi−3 + ∆ fi−4 + ...
2 12 8 720
(8)
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 27 декабря 2012 г. 8 / 24

9. Линейные многошаговые методы
Рассмотрим простые частные случаи метода Адамса—Башфорта:
при k = 0
I0 = fi =⇒ yi+1 = yi + hf (xi , yi ); (9)
при k = 1
1 3 1
I1 = fi + ∆fi−1 = fi − fi−1 =⇒
2 2 2
h
yi+1 = yi + [3f (xi , yi ) − f (xi−1 , yi−1 )]; (10)
2
при k = 2
5 2 23 16 5
I2 = I1 + ∆ fi−2 = fi − fi−1 + fi−2 =⇒
12 12 12 12
h
yi+1 = yi + [23f (xi , yi ) − 16f (xi − 1, yi − 1) + 5f (xi−2 , yi−2 )]; (11)
12
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 27 декабря 2012 г. 9 / 24

10. Линейные многошаговые методы
при k = 3
3 55 59 37 9
I3 = I2 + ∆3 fi−3 = fi − fi−1 + fi−2 − fi−3 =⇒
8 24 24 24 24
h
yi+1 = yi + [55f (xi , yi ) − 59f (xi−1 , yi−1 )+
24
+37f (xi−2 , yi−2 ) − 9f (xi−3 , yi−3 )] (12)
Формулы (9)—(12) определяют методы Адамса—Башфорта
соответственно первого, второго, третьего и четвертого порядка.
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 27 декабря 2012 г. 10 / 24

11. Линейные многошаговые методы
Для k + 1 раз непрерывно дифференцируемой функции шаговая
ошибка может быть получена интегрированием остаточного члена
f (k+1) (ξ, y(ξ))
Rk (x) = Πk+1 (x)
(k + 1)!
интерполяционной формулы Лагранжа.
f (k+1) (ξ, y(ξ))
Rk (xi + qh) = q(q + 1)...(q + k)hk+1 , (13)
(k + 1)!
Функция Rx может считаться величиной O hk+1
Локальная погрешность метода типа (6) составляет величину
1
h Rk (xi + qh)dq = O hk+2 ,а глобальная — величину O hk+1 .
0
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 27 декабря 2012 г. 11 / 24

12. Линейные многошаговые методы
Интерполяционные методы Адамса — Моултона
xi+1
В интеграле ˜
Pk (x)dx делаем замену x = xi+1 + qh и подставляем в
xi
˜
него выражение для Pk (x) приходим к равенству
˜
yi+1 = yi + hIk ,
0
˜
Ik := ˜
Pk (xi+1 + qh)dq =
−1
q2 q3 q2 1 q4
= fi+1 q + ∆fi + + ∆2 fi−1 + + q 3 + q 2 ∆3 fi−2 +
2 6 4 6 4
0
q 5 3q 4 11q 3
1
+ + + + 3q 2 ∆4 fi−3 + ... =
24
5 2 3 −1
1 1 1 19 4
= fi+1 − ∆fi − ∆2 fi−1 − ∆3 fi−2 − ∆ fi−3 − ... (14)
2 12 24 720
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 27 декабря 2012 г. 12 / 24

13. Линейные многошаговые методы
Из (14) следует конечноразностная формула интерполяционного
метода Адамса — Моултона
1 1
yi+1 = yi + h fi+1 − ∆fi − ∆2 fi−1 −
2 12
1 19 4
− ∆3 fi−2 − ∆ fi−3 − ... . (15)
24 720
Рассмотрим следующие частные формулы:
при k = 0
yi+1 = yi + hf (xi+1 , yi+1 ), (16)
при k = 1
h
yi+1 = yi + [f (xi+1 , yi+1 ) + f (xi , yi )], (17)
2
при k = 2
h
yi+1 = yi + [5f (xi+1 , yi+1 ) + 8f (xi , yi ) − f (xi−1 , yi−1 )], (18)
12
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 27 декабря 2012 г. 13 / 24

14. Линейные многошаговые методы
при k = 3
h
yi+1 = yi + [9f (xi+1 , yi+1 ) + 19f (xi , yi )−
24
− 5f (xi−1 , yi−1 ) + f (xi−2 , yi−2 )], (19)
(16) и (17) определяют неявный метод Эйлера и метод трапеций, эти
методы являются одношаговыми, а (18) и (19) относятся к
двухшаговым и трехшаговым методам.
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 27 декабря 2012 г. 14 / 24

15. Линейные многошаговые методы
Методы прогноза и коррекции
z
Обозначим через yi+1 приближенное значение решения y(xi+1 ),
подсчитываемое по явной экстраполяционной формуле
Адамса-Башфорта,составим несколько пар частных формул Адамса —
Башфорта и Адамса — Моултона
первого порядка
z
yi+1 = yi + hf (xi , yi ),
z
yi+1 = yi + hf (xi+1 , yi+1 );
второго порядка
 y z = yi + h [3f (xi , yi ) − f (xi−1 , yi−1 )],

 i+1
2
y
 h z
i+1 = yi + [f (xi+1 , yi+1 ) + f (xi , yi )];
2
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 27 декабря 2012 г. 15 / 24

16. Линейные многошаговые методы
третьего порядка
 y z = yi + h [23f (xi , yi ) − 16f (xi−1 , yi−1 ) + 5f (xi−2 , yi−2 )],

 i+1
12
h z
[5f (xi+1 , yi+1 ) + 8f (xi , yi ) − f (xi−1 , yi−1 )];
y

i+1 = yi +
12
четвертого порядка
 y z = y + h [55f (x , y ) − 59f (x , y )+

 i+1
 i i i i−1 i−1


 24



 + 37f (xi−2 , yi−2 ) − 9f (xi−3 , yi−3 )],
h z
 yi+1 = yi + [9f (xi+1 , yi+1 ) + 19f (xi , yi )−


 24
− 5f (xi−1 , yi−1 ) + f (xi−2 , yi−2 )];






Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 27 декабря 2012 г. 16 / 24

17. Линейные многошаговые методы
Главное достоинство методов прогноза и коррекции — это
возможность контролировать шаговую погрешность. Считая, что
расчетный шаг h достаточно мал и конечные разности с ростом их
порядка убывают, запишем два приближенных представления y(xi+1 ):
z 251
y(xi+1 ) ≈ yi+1 + h∆4 fi−4 (20)
720
M 19
y(xi+1 ) ≈ yi+1 − h∆4 fi−3 (21)
720
Приравнивая правые части приближенных равенств (21) и (22) и
отождествляя ∆4 fi−4 с ∆4 fi−3 ,имеем:
M z 19 251 3
yi+1 − yi+1 ≈ h∆4 fi−3 + h∆4 fi−4 ≈ h∆4 fi−3
720 720 8
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 27 декабря 2012 г. 17 / 24

18. Линейные многошаговые методы
Откуда
3 M
h∆4 fi−3 ≈ (yi+1 − yi+1 )
z
8
подставляя последнее в (22), получаем приближенное равенство
M 19 M z
y(xi+1 ) ≈ yi+1 − (y − yi+1 )
720 i+1
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 27 декабря 2012 г. 18 / 24

19. Линейные многошаговые методы
Метод Милна четвертого порядка
Для вывода первой формулы Милна(ф-лы предсказания)
проинтегрируем уравнение y = f (x, y) на промежутке [xi−3 , xi+1 ]
xi+1
y(xi+1 ) = y(xi−3 ) + f (x, y(x))dx (22)
xi−3
функцию f (x, y(x)) заменим первым интерполяционным многочленом
Ньютона P3 (x), построенным по четырем узлам xi−3 , xi−2 , xi−1 , xi с
предполагающимися уже известными приближенными значениями
fi−3 := f (xi−3 , yi−3 ) ≈ f (xi−3 , y(xi−3 ))
fi−2 := f (xi−2 , yi−2 ) ≈ f (xi−2 , y(xi−2 ))
fi−1 := f (xi−1 , yi−1 ) ≈ f (xi−1 , y(xi−1 ))
fi := f (xi , yi ) ≈ f (xi , y(xi ))
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 27 декабря 2012 г. 19 / 24

20. Линейные многошаговые методы
После замены переменной x ≈ xi−3 + qh имеем
4 4
y(xi+1 ) ≈ yi−3 + h P3 (xi−3 + qh)dq = yi−3 + h [fi−3 + q∆fi−3 +
0 0
q(q − 1) 2 q(q − 1)(q − 2) 3
+ ∆ fi−3 + ∆ fi−3 ]dq = yi−3 + h×
2! 3!
4
q2 1 q3 q2 1 q4
× fi−3 q + ∆fi−3 + − ∆2 fi−3 + − q 3 + q 2 ∆3 fi−3 =
2 2 3 2 6 4 0
4 2 3
= yi−3 + h(3fi−3 + 6∆fi−3 + 5∆ fi−3 + 2∆ fi−3 ). (23)
3
Выразив конечные разности через значения функции, получаем
первую формулу Милна(предсказания)
4
yi+1 = yi−3 + h[2f (xi , yi ) − f (xi−1 , yi−1 ) + 2f (xi−2 , yi−2 )]
ˆ (24)
3
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 27 декабря 2012 г. 20 / 24

21. Линейные многошаговые методы
Для вывода второй формулы Милна проинтегрируем уравнение
y = f (x, y) на промежутке [xi−1 , xi+1 ]
xi+1
y(xi+1 ) = y(xi−1 ) + f (x, y(x))dx
xi−1
применим к интегралу простейшую формулу Симпсона, имеем
h
y(xi+1 ) = y(xi−1 ) + [f (xi+1 , y(xi+1 )) + 4f (xi , y(xi ))+
3
h5
+ f (xi−1 , y(xi−1 ))] − f IV (ξi ) (25)
90
Отбрасывая остаточный член и заменяя решения y(xi−1 ) и y(xi )
известными приближенными значениями yi−1 и yi , а стоящее в правой
части под знаком функции f неизвестное значение y(xi+1 ) тем
значением yi+1 , которое получается в результате вычислений по явной
ˆ
форуле Милна,приходим ко второй формуле Милна (уточнения)
h
yi+1 = yi−1 + [f (xi+1 , yi+1 ) + 4f (xi , yi ) + f (xi−1 , yi−1 )]
ˆ
3
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 27 декабря 2012 г. 21 / 24

22. Линейные многошаговые методы
Для вывода приближенной оценки шаговой погрешности воспользуеся
приближенны равенством
∆4 f
f IV (ξi ) ≈
h4
Исходя из точного равенства (26), локальную погрешность
приближенного значения yi+1 можно приближенно охарактеризовать
h
величиной − 90 ∆4 f , т.е.
h 4
y(xi+1 ) ≈ yi+1 − ∆ f (26)
90
h 4 h yi+1 − yi+1
ˆ
yi+1 − yi+1 ≈ 29
ˆ ∆ f =⇒ ∆4 f ≈
90 90 29
следовательно,
yi+1 − yi+1
ˆ
y(xi+1 ) − yi+1 ≈ (27)
29
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 27 декабря 2012 г. 22 / 24

23. Линейные многошаговые методы
Пример
Рассмотри уравнение y = 5y с начальным условием y(0) = 1.
Решим это уравнение методом прогноза и коррекции, и изобразим на
графике эти решения, а также точное решение y = e5x .
1 — точное решение, 2 — прогноз, 3 — коррекция.
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 27 декабря 2012 г. 23 / 24

24. Линейные многошаговые методы
Список использованных источников
1 Вержбицкий В.М. Численные методы (математический анализ и
обыкновенные дифференциальные уравнения): Учебное пособие
для вузов[текст]: В.М. Вержбицкий - М.: Высшая школа, 2004. -
382 с.
2 Волков Е.А. Численные методы[текст]: Е.А. Волков - М.: Наука,
1987. - 248 с.
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 27 декабря 2012 г. 24 / 24