Материалы семинара

1. Асланов Владимир Степанович
aslanov_vs@mail.ru
Аналитические методы исследования
динамики космических аппаратов с
тросовыми системами
Кафедра теоретической механики
www.termech.ru
Самарский государственный аэрокосмический университет
им. академика С. П. Королѐва
www.ssau.ru
2012 год

2. 1. Постановка задачи
Изучается влияние упругой тросовой системы на движение космического
аппарата (КА) методами регулярной и хаотической динамики
Космическая тросовая система (КТС)
включает в себя:
- абсолютно твердый КА,
- упругий весомый трос,
- концевой груз
Динамику вращающихся КА изучали выдающие ученые: В.В.Белецкий, В.А.Ярошевский, В.В.Румянцев, В.А.Сарычев
и другие. Исследованию поведения космических тросовых систем посвящены работы: В.В.Белецкого и Е.М.Левина,
И.М.Сидорова, А.В.Пироженко, P. Williams, Kruijff M., A.Misra и других.
2

3. Пример космической тросовой системы (КТС)
Схема динамического развѐртывания КТС
"Фотон-М" №3 – YES2" (2008 г.)
Начальные условия и параметры:
предельная длина троса – 30 км;
погонная плотность троса – 0.18 кг/км;
масса троса – 5.4 кг;
диаметр троса – 0.5 мм;
жѐсткость троса – 5 кН;
коэффициент демпфирования – 0.06;
масса КА – 6300 кг;
масса груза – 12 кг;
Баллист. коэффициент КА – 0.0123 м2/кг.
Начальные координаты и скорости КА
в гринвичской системе координат:
x0=-3724.741км, y0=5492.645км, z0=0км,
VX0=-2503.02м/с, VY0=-1718.50м/с, VZ0=6912.06 м/с.
Груз отделяется от КА по местной вертикали вниз
с начальной относительной скоростью Vr0=2.58 м/с.
3

4. 1. Постановка задачи
Цель работы
1. Построение простых математических моделей плоского движения КА
относительно центра масс для учета влияния упругой и тяжелой
тросовой системы.
2. Вывод приближѐнных аналитических решений, описывающих
колебания КА, вызванных изменением величины и направления
силы натяжения троса.
3. Получение приближѐнной оценки уровня микроускорений,
возникающих на борту КА в процессе развѐртывания троса.
4. Построение моделей хаотического поведения КА, вызванного
действием сил упругости троса.
4

5. 2. Уравнения движения
Кинетическая энергия T TC T0 T1 T2
1 1 2 1
T 
m( r 2 r  )
2 2
mi i2 C0 (  ) 2 C ( 
1
) 2 (1)
2 2i0 2
где ρi ri r, i 0,1,2; q j , , , l , r - обобщенные координаты
Потенциальная энергия
2
mi 3 m1l 2 c
W A B cos 2 cos 2 (l l0 )2 (2)
i 0 ri 2r03 8r13 2
Уравнения Лагранжа второго рода
d L L
Qj D0 P, l PD2

dt q j qj
где L T W - Функция Лагранжа, Qj - непотенциальные силы
5

6. 2. Уравнения движения
Приближенные уравнение движение КТС
Допущения /l 1, l / r 1
C0  C0 m l cos( )  m l cos( )  m sin( ) f1 (l, , , ) Q
l (3)
m l cos( )  I m l cos( )  f 2 (l, ,  , , ) Q (4)
sin( )    f (l, ,  , , ) Ql
l 3 (5)
m
mr 2 C0 I  C  I 
0 f 3 (l, , r , , )
 Q (6)
3 I 9
 r  2
r 2 4
1 3cos 2 4
A B cos 2 Qr (7)
r 2mr 2mr
m m0 m2 / m, I m l2
6

7. 2. Уравнения движения
Движение КТС по эллиптической орбите
p p
r  nk 2 n p 3
1 e cos k
d
Замена переменной t на угол истиной аномалии θ: dt 2
n 1 e cos
Q
C0 k 2e sin m l cos( ) k 2e sin m sin( )kl f1* ( , , , ', l ',) (8)
n2 k 3
Q
m l cos( ) k 2e sin Ik f 2* ( , , , ', ', l ',) (9)
n2 k 3
Ql
sin( )k kl f3* ( , , , ', ', l ',) (10)
m n2 k 3
7

8. 2. Уравнения движения
Уравнения упругих колебаний троса
Пусть точка схода троса совпадает с центром масс КА : 0 Q 0
l 3 e
2 1 sin cos 2 1 sin (11)
l k k
c l 2 e
l 2 4
l l0 1 3cos 2 l 1 2 l sin (12)
mn k k k
При малом эксцентриситете орбиты может наблюдаться хаос для
нерастяжимого троса (Misra A.K. Dynamics and control of tethered satellite
systems // Acta Astronautica. 2008. V.63. P. 1169–1177).
Упругий трос вызывает хаос при движении КТС по круговой орбите.
8

9. 2. Уравнения движения
Движение упругого троса вблизи местной вертикали
Допущение O
A B
3 sin cos J 1 L sin 2 L cos 2e 1 sin (13)
kC
c 2
L 2 4
L 1 3 sin 1 cos 2e cos L sin (14)
nk m
l m l02 2
, L , J , C C0 m0
l l0 C
9

10. 3. Приближенные аналитические решения
Уравнение возмущенного движения
Уравнение движение КА под действием силы натяжения и гравитационного
момента
C  T sin( ) 3n 2 ( B A) sin cos (15)
где - угол между продольной осью тела и местной вертикалью
T T( ) ( )
A, B, C - моменты инерции КА
3n 2 ( B A) sin cos - гравитационный момент
t - медленное время
- малый параметр
CA
10

11. 3. Приближенные аналитические решения
Адиабатический инвариант и приближенные решения при T T( ) и ( )
Уравнение движение КА под действием силы натяжения
 ( )sin ( )cos sin 2 (16)
где
2
( ) ( ) cos ( ),
2
( ) ( ) sin ( ),
3 2
n B A / C,
2
2
( ) T( ) / C
Общее решение в эллиптических функциях при 0
2arcsin sn( t K (k ), k ) (17)
11

12. 3. Приближенные аналитические решения
Пусть сила натяжения троса и еѐ направление медленно меняются во времени
T T ( ), ( )
• адиабатический инвариант
J ( , k) E (k ) (1 k 2 ) K k const (18)
• приближенное аналитическое решение
2 3
h 1 h 1 h
min,max t (t )  2 arcsin 2
... (19)
(t ) 2 (t ) 4 (t )
где h const
Если разница углов мала, тогда решение имеет вид
min,max t (t )  A0 0
(20)
(t )
где A0 - произвольная постоянная
Максимальная величина микроускорения в точке, удаленной на расстояние
d от центра масс КА
x0 d 3/4
(21)
Wmax (t ) 4 T0 T (t )
C
12

13. 3. Приближенные аналитические решения
Результаты моделирования для YES-2
Траектория развертывания КТС Угол отклонения троса от вертикали и
сила натяжения
Колебания КА относительно Микроускорение на борту КА для точки,
центра масс удаленной на d=1м
13

14. 3. Приближенные аналитические решения
Линеаризованное уравнение движение КА под действием
гравитационного момента и силы натяжения
 a( ) c b( ) 0 (22)
B A
где a ( ) T ( ) cos ( ), b( ) T ( ) sin ( ), c 3n 2 0
C C C
Приближенное решение для амплитуды колебаний КА
const C T (t ) sin (t )
max (t ) (23)
2
T (t ) cos (t ) 3n ( B A) T (t ) cos (t ) 3n 2 ( B A)
14

15. 4. Хаотические колебания КА с вертикальным
тросом
Уравнения движения КА с упругим вертикальным тросом на круговой орбите
A B
3 sin cos J 1 L sin 2 L cos (24)
kC
c 2
L 2 4
L 1 3 sin 1 cos (25)
nk m
L0
Приближенный закон изменения длины троса (δ=0) L L1 sin
2
1 c 3
где L1 2
n m
3
Трос всегда будет находится в растянутом положении (L>1), если L0
Уравнение возмущенного движения КА вокруг центра масс
a sin c sin cos sin sin 2cos cos (26)
m l0 B A m l0 L0
где a , c 3 , - малый параметр
C m1 2 C m1 2 C m1 2
15

16. 4. Хаотические колебания КА с вертикальным
тросом
Уравнение невозмущенного движения
a sin c sin cos (27)
2
Интеграл энергии W( ) E
2
Положения равновесия определяются как корни уравнения
c B A 1 3 2
1 cos sin 0, (28)
a m2l0 ES
для *
,0 0,
* 1
arccos
для остальных положний
*
, 0,
16

17. 4. Хаотические колебания КА с вертикальным
тросом
Типы КА Бифуркационная диаграмма
1 cos sin 0

18. 4. Хаотические колебания КА с вертикальным
тросом
Гомо- гетероклинические траектории (сепаратрисные решения)
k c/a Уравнения для траектории
1 d 2 d sinh t
1 (t ) 2arctg , (t ) (  )  , a c
a c, d
cosh t (cosh t ) 2 d 2 a
2 1, 2 d cosh t
(t ) 2arctg d sinh t , (t ) (  )  , a
a c, d
1 d 2 sinh 2 t a c
1
3 2 cosh t
0 (t ) 2arctg sinh at , (t ) (  ) , a
1 sinh 2 t
t sin S
(t ) 2arctg tg S
th , (t ) (  ) ,
2 2 cosh t cos
4 1 S
1 c2 a2 a
S arccos , ,d
c c
t sin S
(t ) 2arctg ctg S
th , (t ) (  ) .
5 2 2 cosh t cos S
1
1 c2 a2 a
S arccos , , d
c c
18

19. 4. Хаотические колебания КА с вертикальным
тросом
Метод Мельникова
Уравнение возмущенного движения КА – обобщенное уравнение Дюффинга
 a sin c sin cos sin sin t . (29)
Уравнения в форме Мельникова
 f1 g1 , (30)
 f2 g2 , (31)
где f1 , g1 0, f 2 a sin c sin cos , g2 sin sin t
Функция Мельникова M (t0 ) ( f1 g2 f 2 g1 )dt M M ,
(k ) (k ) (k )
M sin sin (t t0 )dt I ( k ) sin( t0 )
(k ) (k ) 2
M ( ) dt J ( k ) , k 1,2...5
Условие отсутствия хаоса M M
19

20. 4. Хаотические колебания КА с вертикальным
тросом
Несобственные интегралы, входящие в функцию Мельникова для
различных типов движения
2
(1) 2 sinh 2 (1) 2 sinh
I 2d sin 1 d , J 4d d
(cosh 2 d 2 )2 cosh 2 d2
2
(2) 2 sinh 2 (2) 2 cosh
I d sin 2 d , J 4d d
(d 2 sinh 2 1)2 1 d 2 sinh 2
2
(3) sinh 2 (3) cosh
I sin 2 d , J 4 d
(sinh 2 1)2 1 sinh 2
2
sinh sin S
I (4) (1 d 2 ) sin 4 d , J (4) d
(cosh d )2 cosh cos S
2
(5) 2 sinh (5) sin S
I (1 d ) sin 5 d , J d
(cosh d )2 cosh cos S
где i / , t
Условие отсутствия хаоса M M
20

21. 4. Хаотические колебания КА с вертикальным
тросом
Сечения Пуанкаре
Масса груза 20кг Масса груза 100кг Масса груза 100кг
0 0 5 10 4
21

22. 4. Хаотические колебания КА с вертикальным
тросом
Численное моделирование
Параметры КТС: масса КА – 6000кг, масса груза – 100 кг, р=6621 км, Δ=2м,
Е=5000Н, масса груза 100км, Длина троса 30км, моменты инерции: А=2500кгм2,
В=С=10000кгм2, начальная скорость груза-1м/с (случай к=2).
Функция Мельникова
22

23. Основные результаты опубликованы в
следующих статьях
1. Асланов В.С. Влияние упругости орбитальной тросовой системы на колебания спутника,
Прикладная математика и механика т.74, вып. 4, 582-593, 2010.
2. Aslanov V. Oscillations of a Spacecraft with a Vertical Elastic Tether, AIP Conference Proceedings
1220, CURRENT THEMES IN ENGINEERING SCIENCE 2009: Selected Presentations at the World
Congress on Engineering-2009, Published February 2010; ISBN 978-0-7354-0766-4, One Volume, pp.1-16.
3. Aslanov V. Oscillations of a Spacecraft with a Vertical Tether. Proceedings of the World Congress on
Engineering 2009 v. 2, pp. 1827-1831.
4. Асланов В.С. Колебания тела с орбитальной тросовой системой // Прикладная математика и
механика. 2007. Т.71. Вып. 6. С. 1027-1033.
5. Aslanov V. The Oscillations of a Spacecraft under the Action of the Tether Tension. Moment and the
Gravitational Moment AIP (American Institute of Physics) Conf. Proc. September 1. 2008. v. 1048. 56-59
p. (ISBN: 978-0-7354-0576-9 )
6. Асланов В.С., Стратилатов Н.Р. Малые колебания осесимметричного космического аппарата
с тросовой системой, Вестник СамГУ – Естественнонаучная серия. Механика. № 6 (65), 2008, 202-
208.
7. Aslanov V. S. Chaotic behavior of the biharmonic dynamics system. International Journal of
Mathematics and Mathematical Sciences Volume 2009, Article ID 319179, 18 pages
doi:10.1155/2009/319179. 2009.
8. Асланов В. С. Колебания КА с упругим вертикальным тросом на орбите. Известия РАН
«Механика твердого тела», №5. 2011, с. 3-15.
9. V. S. Aslanov and A. S. Ledkov, Chaotic Oscillations of Spacecraft with an Elastic Radially
Oriented Cable, ISSN 00109525, Cosmic Research, 2012, Vol. 50, No. 2, pp. 188–198.
Communications, 25, n 4, 371-9 (1998).
23