1. Tema VIIPolinomios Precálculo

2. Polinomios Un monomio es un número o un producto de números y variables con exponentes enteros positivos. Un polinomio es un monomio o la suma o resta de monomios. Los polinomios no tienen variables en los denominadores o exponentes, no raíces o valores absolutos de variables y todas las variables tienen exponentes enteros positivos. El grado de un monomio es la suma de los exponentes de las variables.

3. Identificando el Grado de un Monomio Identifica el grado de cada monomio. x4 12 4a2b x3y4z z6 5.6 8xy3 a2bc3

4. Polinomios El grado de un polinomio está dado por el término con el grado mayor. Un polinomio está escrito en forma estándar cuando sus términos se escriben en orden de mayor a menor de acuerdo a su grado. El coeficiente líder de un polinomio es el coeficiente del primer término de un polinomio cuando está escrito en forma estándar.

5. Clasificación de un Polinomio Un polinomio puede ser clasificado por su cantidad de términos. Un polinomio con un término se conoce como un monomio. Un polinomio con dos términos se conoce como un binomio. Un polinomio con tres términos se conoce como un trinomio. Un polinomio con cuatro términos o más se le conoce simplemente como un polinomio.

6. Clasificación de un Polinomio Un polinomio también puede ser clasificado por su grado.

7. Clasificando Polinomios Reescribe cada polinomio en forma estándar. Luego identifica el coeficiente líder, grado y número de términos. Nombra el polinomio.

8. Clasificando Polinomios Reescribe cada polinomio en forma estándar. Luego identifica el coeficiente líder, grado y número de términos. Nombra el polinomio.

9. Clasificando Polinomios Reescribe cada polinomio en forma estándar. Luego identifica el coeficiente líder, grado y número de términos. Nombra el polinomio.

10. Clasificando Polinomios Reescribe cada polinomio en forma estándar. Luego identifica el coeficiente líder, grado y número de términos. Nombra el polinomio.

11. Clasificando Polinomios Reescribe cada polinomio en forma estándar. Luego identifica el coeficiente líder, grado y número de términos. Nombra el polinomio.

12. Clasificando Polinomios Reescribe cada polinomio en forma estándar. Luego identifica el coeficiente líder, grado y número de términos. Nombra el polinomio.

13. Sumando y Restando Polinomios Suma o resta. Escribe tu respuesta en forma estándar.

14. Sumando y Restando Polinomios Suma o resta. Escribe tu respuesta en forma estándar.

15. Sumando y Restando Polinomios Suma o resta. Escribe tu respuesta en forma estándar.

16. Sumando y Restando Polinomios Suma o resta. Escribe tu respuesta en forma estándar.

17. Multiplicando un Monomio y un Polinomio Encuentra cada producto. 3x2(x3 + 4) ab(a3 + 3ab2 – b3) 3cd2(4c2d – 6cd + 14cd2) x2y(6y3 + y2 – 28y + 30) 4y2(y2 + 3) fg(f4 + 2f3g – 3f2g2 + fg3)

18. Multiplicando Polinomios Encuentra cada producto. (x – 2)(1 + 3x – x2) (x2 + 3x – 5)(x2 – x + 1) (3b – 2c)(3b2 – bc – 2c2) (x2 – 4x + 1)(x2 + 5x – 2) (a – 3)(2 – 5a + a2) (y2 – 7y + 5)(y2 – y – 3)

19. Expandiendo una Potencia de un Binomio Encuentra el producto. (x + y)3 (x + 4)4 (2x – 1)3 (a + 2b)3

20. Triángulo de Pascal 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1

21. Utilizando el Triángulo de Pascal Para Expandir Expresiones Binomiales Expande cada expresión. (y – 3)4 (4z + 5)3 (x + 2)3 (x – 4)5 (k – 5)3 (6m – 8)3

22. Utilizando División Larga para Dividir Polinomios

24. División Sintética Para que funcione la división sintética, el polinomio debe estar escrito en forma estándar, utilizando 0 como coeficiente para cualquier término perdido y el divisor tiene que ser de la forma x – a. Divide (2x2 + 7x + 9) ÷ (x + 2) utilizando división sintética.

25. Utilizando División Sintética para Dividir Binomios Lineales

26. Teorema del Residuo Si la función polinomial P(x) es dividida por x – a, entonces el residuo r es P(a).

27. Utilizando Sustitución Sintética Utiliza sustitución sintética para evaluar el polinomio para el valor dado. P(x) = x3 – 4x2 + 3x – 5 para x = 4 P(x) = 4x4 + 2x3 + 3x + 5 para x = - ½ P(x) = x3 + 3x2 + 4 para x = -3 P(x) = 5x2 + 9x + 3 para x = 1/5 P(x) = 2x3 + 5x2 – x + 7 para x = 2

28. Aplicaciones a Física Un generador Van de Graaff es una máquina que produce voltajes muy altos utilizando niveles pequeños y seguros de corriente eléctrica. Una máquina tiene una corriente que puede ser modelada por I(t)= t + 2, donde t > 0 representa el tiempo en segundos. La potencia del sistema puede ser modelada por P(t) = 0.5t3 + 6t2 + 10t. Escribe una expresión que represente el voltaje del sistema. Nota: el voltaje V esta relacionada a la corriente I y potencia P por la ecuación V = P/I.

29. Mas Aplicaciones Escribe una expresión para el largo de un rectángulo con ancho x – 9 y área x2 – 14x + 45. Escribe una expresión que represente el área de la cara de arriba de un prisma rectangular cuando su altura es x + 2 y el volumen del prisma es x3 – x2 – 6x.

30. Teorema del Factor Teorema Para cualquier polinomio P(x), (x – a) es un factor de P(x) si y solamente si P(a) = 0. Ejemplo Como P(1) = 12 – 1 = 0, (x – 1) es un factor de P(x) = x2 – 1.

31. Determinando Cuando un Binomio Lineal es un Factor Determina cuando el binomio dado es un factor del polinomio P(x). (x – 3); P(x) = x2 + 2x – 3 (x + 4); P(x) = 2 x4 + 8 x3 + 2x + 8 (x + 1); P(x) = x2 – 3x + 1 (x + 2); P(x) = 3 x4 + 6 x3 – 5x – 10

32. Factorizando por Agrupación Factoriza cada expresión. x3 + 3 x2 – 4x – 12 x3 – 2 x2 – 9x + 18 2 x3 + x2 + 8x + 4 x3 – x2 – 25x + 25

33. Factorizando la Suma y la Diferencia de Dos Cubos Suma de dos cubos a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) Diferencia de dos cubos a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)

34. Factorizando la Suma o Diferencia de Dos Cubos Factoriza cada expresión. 5x4 + 40x 8y3 – 27 8 + z6 2x5 – 16x2 4x4 + 108x 125d3 – 8

35. Utilizando Factorización para Resolver Ecuaciones Polinomiales Resuelve cada ecuación polinomial por factorización. 3x5 + 18x4 + 27x3 = 0 x4 – 13x2 = -36 2x6 – 10x5 – 12x4 = 0 x3 – 2x2 – 25x = -50

36. Multiplicidad de una Raíz La multiplicidad de la raíz r es la cantidad de veces que x – r es un factor de P(x). Cuando una raíz real tiene multiplicidad par, la gráfica de y = P(x) toca el eje de x pero no lo cruza. Cuando una raíz real tiene multiplicidad impar mayor que 1, la gráfica de y = P(x) se dobla a la vez que cruza el eje de x.

37. Teorema de las Raíces Racionales

38. Teorema de las Raíces Irracionales

39. Identificando Todas las Raíces Reales de una Ecuación Polinomial Identifica todas las raíces reales de: x3 + 3x2 – 10x – 24 = 0 4x4 – 21x3 + 18x2 + 19x – 6 = 0 x3 + 3x2 – 4x – 12 = 0 2x3 – 3x2 – 10x – 4 = 0 2x3 – 9x2 + 2 = 0

40. Las siguientes aseveraciones son equivalentes: Un número real r es una raíz de la ecuación polinomial P(x) = 0. P(r) = 0 r es un intercepto en x de la gráfica de P(x). x – r es un factor de P(x). Cuando divides el polinomio P(x) por x – r, el residuo es 0. r es un cero de P(x).

41. Escribiendo Funciones Polinomiales Dados los Ceros Escribe la función polinomial más simple con los siguientes ceros dados. -3, ½ y 1 -2, 2 y 4 0, 2/3 y 3 -1, 2/3 y 4

42. Teorema Fundamental del Álgebra Toda función polinomial de grado n≥ 1 tiene por lo menos un cero, donde este puede ser complejo. Corolario: Toda función polinomial de grado n≥ 1 tiene exactamente n ceros, incluyendo las multiplicidades.

43. Encontrando Todas las Raíces de una Ecuación Polinomial Resuelve x4 + x3 + 2x2 + 4x – 8 = 0 encontrando todas las raíces. Resuelve x4 + 4x3 – x2 + 16x – 20 = 0 encontrando todas las raíces. Resuelve x4 – 3x3 + 5x2 – 27x – 36 = 0 encontrando todas las raíces.

44. Teorema de las Raíces Conjugadas Complejas

45. Escribiendo una Función Polinomial con Ceros Complejos