1) O documento apresenta os conceitos fundamentais de cálculo diferencial, incluindo limites, continuidade e operações com funções. 2) São definidas as noções de limite à direita, esquerda e no ponto, assim como continuidade. 3) São apresentadas propriedades das funções trigonométricas e suas funções inversas.

1. Cálculo Diferencial em R
Séries Numéricas e de Potências
— Caderno 1 —
––––––––––––––––––––––––––––––––-
2011-2012 / 1o Semestre
EI / ETI / ETI-PL
––––––––––––––––––––––––––––––––-
Rosário Laureano
Elaborado por
DMQ — Dpto de Métodos Quantitativos
1

2. 1 Cálculo Diferencial em R
1.1 Limites e continuidade
Sejam f : Df ⊆ R → R uma função real (escalar) de variável real e
a ∈ R um ponto de acumulação1 de Df .
Definição 1 O número real L é o limite de f no ponto a, e escreve-se
f (x) −→ L quando x −→ a ou L = limx→a f (x), se
∀δ > 0 ∃ε = ε (δ) > 0 | ∀x ∈ Df ∧ 0 < |x − a| < ε =⇒ |f(x) − L| < δ
(para todo o δ > 0 existe ε > 0, dependente do δ tomado, tal que a distância
de f (x) a L é inferior a δ sempre que a distância de x a a é inferior a ε,
para x ∈ Df {a}).
A condição 0 < |x − a| < ε significa que x ∈ ]a − ε, a + ε[ e x = a. A
existência de limite traduz-se intuitivamente por "os valores f (x) e L serão
arbitrariamente próximos (ou seja, a distância |f(x) − L| será tão pequena
quanto se queira) sempre que nos limitemos a considerar valores de x su-
ficientemente próximos de a (isto é, desde que |x − a| seja suficientemente
pequeno)". Contudo, a existência do limite de f no ponto a nada informa2
acerca do valor da função f no ponto a. O limite de f no ponto a, quando
existe, é único.
A definição de limite exige que existam e tenham o mesmo valor os
limites da função f restringida a qualquer subconjunto do seu domínio, ou
1
Considerando definida em R a distância euclidiana, um ponto a ∈ R é um ponto de
acumulação de D ⊆ R se a todo o intervalo aberto centrado em a pertence pelo menos
um ponto de D distinto de a, ou seja,
∀ε > 0 ∃x ∈ D {a} | x ∈ ]a − ε, a + ε[ .
Na verdade, tal implica que em qualquer vizinhança de a existem infinitos pontos de D,
ou seja,
∀ε > 0, ]a − ε, a + ε[ ∩ D é um conjunto infinito.
O intervalo ]a − ε, a + ε[ pode designar-se por bola aberta de centro em a e raio ε. Um
ponto que não é de acumulação de D diz-se um ponto isolado. O conjunto de todos os
pontos de acumulação do conjunto D designa-se por derivado de D e denota-se por D .
2
Tal valor f (a) pode nem existir e, mesmo no caso em que a ∈ D, podemos ter
lim f (x) = L = f (a).
x→a
2

3. seja, que sejam iguais todos os limites relativos da função f. Na recta real, a
aproximação a um ponto a faz-se através de uma única direcção. No entanto,
podemos considerar nessa direcção a aproximação pela esquerda, x → a− ,
ou pela direita, x → a+ , sempre que tal faça sentido face ao domínio da
função f. Trata-se de considerar os limites relativos
lim f (x) = lim f (x) e lim f (x) = lim f (x) ,
x→a− x→a ∧ x<a x→a+ x→a ∧ x>a
que se designam por limites laterais de f no ponto a. Sendo estes os
únicos limites relativos possíveis, é condição necessária para que exista o
limite de f no ponto a que eles existam e tenham o mesmo valor,
lim f (x) = lim f (x) = L = lim f (x) .
x→a− x→a+ x→a
Como tal, a não-existência de limite no ponto a decorre simplesmente da
detecção de valores diferentes nos dois limites laterais,
lim f (x) = lim f (x) .
x→a− x→a+
Quando, face ao domínio da função f , apenas faz sentido uma das aproxi-
mações laterais, o valor do limite corresponde a esse limite lateral.
Proposition 2 Sejam f : Df ⊆ R → R e g : Dg ⊆ R → R funções reais de
variável real e a ∈ R um ponto de acumulação de Df e de Dg . Se existirem
os limites limx→a f (x) e limx→a g (x) então também existem nesse ponto a
os limites
P1. da soma e da diferença das funções
lim (f ± g) (x) = lim f (x) ± lim g (x) ,
x→a x→a x→a
P2. do produto das funções
lim (f × g) (x) = lim f (x) × lim g (x) ,
x→a x→a x→a
P3. do produto da função por uma constante c ∈ R
lim (c × f ) (x) = c × lim f (x) ,
x→a x→a
P4. e, sempre que limx→a g (x) = 0, do quociente das funções
f limx→a f (x)
lim (x) = .
x→a g limx→a g (x)
3

4. A função f tende para +∞ quando x −→ a (escreve-se limx→a f (x) =
+∞) se3
∀K > 0 ∃ε = ε (K) > 0 | ∀x ∈ Df ∧ 0 < |x − a| < ε =⇒ f(x) > K.
A função f tende para −∞ quando x −→ a (escreve-se limx→a f (x) =
−∞) se a função (−f ) tende para +∞ quando x −→ a.
Seja Df um subconjunto não majorado de R. O número real L é o limite
de f quando x −→ +∞ (escreve-se L = limx→+∞ f (x)) se4
∀δ > 0 ∃x0 = x0 (δ) ∈ R | ∀x ∈ Df ∧ x > x0 =⇒ |f(x) − L| < δ.
Se L = limx→+∞ f (x) ou L = limx→−∞ f (x) então o gráfico de f tem
y = L como assimptota horizontal. A função f tende para +∞ quando
x −→ +∞ (escreve-se limx→+∞ f (x) = +∞) se5
∀K > 0 ∃x0 = x0 (K) ∈ R | ∀x ∈ Df ∧ x > x0 =⇒ f (x) > K.
São válidas as seguintes operações, no sentido de limite (L ∈ R),
(+∞) + (+∞) = +∞ , (+∞) + L = +∞
(−∞) + (−∞) = −∞ , (−∞) + L = −∞
(±∞) · (±∞) = +∞ , (±∞) · (L positivo) = ±∞
(±∞) · ( ∞) = −∞ , (±∞) · (L negativo) = ∞
(±∞) L positivo (±∞) 0±
= ±∞ , = 0± , = +∞ , = 0+
L positivo (±∞) 0± (±∞)
(±∞) L negativo (±∞) 0
= ∞, =0 , = −∞, = 0−
L negativo (±∞) 0 (±∞)
3
para todo K > 0 existe ε > 0, dependente do K tomado, tal que as imagens f (x)
superam o valor de K sempre que a distância de x a a é inferior a ε, para x ∈ Df {a} .
4
para todo δ > 0 existe x0 , dependente do δ tomado, tal que a distância de f (x) a L
é inferior a δ sempre que x é maior do que x0 , para x ∈ Df .
5
para todo K > 0 existe x0 , dependente do K tomado, tal que as imagens f (x) superam
o valor de K sempre que os objectos x superam o valor de x0 , para x ∈ Df .
4

5. enquanto
0 (±∞)
(±∞) − (±∞) =? , 0 · (±∞) =? , =? e =?
0 (±∞)
são indeterminações.
Consideremos que f (x) > 0 para todo x ∈ Df . Temos
limx→a g(x)
lim f (x)g(x) = lim f (x)
x→a x→a
sempre que não ocorra uma das indeterminações
00 =? , 1(±∞) =? e (+∞)0 =? .
No entanto, dada a igualdade
f (x)g(x) = exp [g (x) · ln f (x)] ,
(exp denota a exponencial de Neper e ln o logarítmo respectivo) estas inde-
terminações podem ser resolvidas através da indeterminação 0 · (±∞).
Limites de referência:
sin x tan x ln (x + 1)
lim = 1, lim = 1, lim =1
x→0 x x→0 x x→0 x
ax loga x
lim = +∞ (a > 1, p ∈ R), lim = 0 (a > 1, p ∈ R+ )
x→+∞ xp x→+∞ xp
x
exp x − 1 k
lim = 1, lim 1+ = exp k
x→0 x x→+∞ x
Definição 3 Seja f : Df ⊆ R → R uma função real de variável real e
a ∈ R. A função f diz-se contínua no ponto a se e só se são verificadas
as três condições seguintes: (i) existe a imagem f (a), ou seja, a ∈ Df ; (ii)
existe o limite limx→a f (x); (iii) são iguais os elementos garantidos em (i)
e (ii), ou seja6 ,
lim f (x) = f (a) .
x→a
A função f diz-se contínua se for contínua em todos os pontos do seu
domínio.
6
Temos então
∀δ > 0 ∃ε = ε (δ) > 0 | ∀x ∈ Df ∧ 0 < |x − a| < ε =⇒ |f (x) − f (a)| < δ.
5

6. A continuidade de f no ponto a traduz-se intuitivamente por "os valores
f (x) e f (a) serão arbitrariamente próximos (isto é, a distância |f(x) − f(a)|
será tão pequena quanto se queira) sempre que limitemos a considerar valores
de x suficientemente próximos de a (isto é, desde que |x − a| seja suficien-
temente pequeno)".
1.2 Funções trigonométricas
Sabemos que as funções trigonométricas seno, coseno e tangente são
periódicas, não sendo portanto injectivas nos domínios Dsin = Dcos = R
e Dtan = R {kπ/2}k∈Z . No entanto, podemos considerar as restrições
principais:
π π
para y = sin x apenas x ∈ − ,
2 2
para y = cos x apenas x ∈ [0, π]
π π
para y = tan x apenas x ∈ − ,
2 2
dessas funções, as restrições que permitem garantir a injectividade (cada
imagem ser "exclusiva" de um objecto) e manter todos os valores dos res-
pectivos contradomínios. Para estes domínios mais restrictos, existem as
funções inversas:
x = arcsin y (arco-seno de y) com y ∈ [−1, 1]
x = arccos y (arco-coseno de y) com y ∈ [−1, 1]
x = arctan y (arco-tangente de y) com y ∈ R.
Por exemplo, sabendo que cos (π/3) = 1/2, podemos escrever que
π 1
= arccos .
3 2
Trata-se de inverter os papeis das variáveis x e y, não os seus valores. Por-
tanto, arccos (1/2) designa o ângulo (em radianos) cujo coseno é 1/2, ou
seja, o ângulo π/3. Por outro lado, o valor inverso de cos (π/3), que é 2, é
designado por secante de π/3,
π 1 1
sec = π = = 2.
3 cos 1/2
3
6

7. √ √
Sabendo que sin (π/3) = 3/2, podemos escrever que π/3 = arcsin 3/2
e obter também a cosecante de π/3,
π 1 1 2
csc
3
= π = √3/2 = √3 .
sin
3
√ √
Sabendo que tan (π/3) = 3, podemos escrever que π/3 = arctan 3 e obter
também a cotangente de π/3,
π 1 1
cot = π =√ .
3 tan 3
3
função trigonom. função trigonom. inversa valor inverso
1
y = sin x x = arcsin y w= = csc x
sin x
1
y = cos x x = arccos y w= = sec x
cos x
sin x 1
y = tan x = x = arctan y w= = cot x
cos x tan x
Também se designa por arco-cotangente de y o valor do ângulo (medido em
radianos) cuja cotangente é y.
Da fórmula fundamental da trigonometria (f.f.t),
sin2 x + cos2 x = 1
obtemos (dividindo por cos2 x = 0)
1
tan2 x + 1 = ,
cos2 x
assim como (dividindo por sin2 x = 0)
1
1 + cot2 x = .
sin2 x
Da fórmula de duplicação de ângulo para o coseno
cos (2x) = cos2 x − sin2 x
7

8. obtemos (usando cos2 x = 1 − sin2 x)
1 − cos(2x)
sin2 x = ,
2
assim como (usando sin2 x = 1 − cos2 x)
1 + cos(2x)
cos2 x = .
2
A fórmula de duplicação de ângulo para o seno é
sin (2x) = 2 sin (x) cos (x) .
1.3 Derivação e Fórmula de Taylor
Derivada (de ordem 1) de uma função f num ponto a do seu
domínio:
f (x) − f (a) f (a + h) − f (a)
f (a) = lim = lim
x→a x−a h→0 h
O número real f (a) é o declive da recta tangente ao gráfico de f no ponto
(a, f(a)), cuja equação é
y − f(a) = f (a) (x − a) .
1
A recta normal ao gráfico de f no ponto (a, f (a)) tem por declive − e
f (a)
a sua equação é
1
y − f(a) = − (x − a) .
f (a)
Uma função é crescente nos pontos em que a derivada é positiva e de-
crescente nos pontos em que a derivada é negativa. Os valores de x nos
quais a derivada é nula, designados por pontos críticos, são os "candidatos"
a extremos (máximos ou mínimos) relativos da função.
Se a função f define a trajectória de uma partícula em movimento no
decurso do tempo, a derivada f (a) é a velocidade instantânea da partícula
no instante de tempo t = a.
Definem-se as derivadas de ordem superior a 1:
8

9. de ordem 2 : f (x) = f f (x) , também denotada por f (2) (x)
de ordem 3 : f (x) = f f (x) , também denotada por f (3) (x)
···
de ordem n : f (n) (x) = f f (n−1) (x) .
Também se pode escrever f (1) (x) em vez de f (x) e f (0) (x) em vez de f (x).
Regra de derivação da função composta:
(f ◦ u) (x) = f (u(x)) · u (x). (1)
Regra de derivação da função inversa:
1
f −1 (y) = em que y = f(x). (2)
f (x)
Consideremos u = u(x) e v = v(x). Em consequência de (1), são válidas
as regras operacionais de derivação
(u ± v) = u ± v e (k · u) = k · u (para k ∈ R)
u u ·v−u·v
(u · v) = u · v + u · v e =
v v2
(up ) = p · up−1 · u (para p ∈ Q),
a regra de derivação da exponencial (para a > 0, a = 1)
(au ) = u · au · ln a (em particular (exp u) = u · exp u ),
e as regras de derivação das funções trigonométricas
(sin u) = u · cos u e (cos u) = −u · sin u
u u
(tan u) = = u · sec2 u e (cot u) = − = −u · csc2 u .
cos2 u sin2 u
Usando (1) e (2), obtemos as regras de derivação para as funções inversas
(para a > 0, a = 1)
u u
(loga u) = (em particular, (ln u) = )
u · ln a u
9

10. u u
(arctan u) = e (arccot u) = −
1 + u2 1 + u2
u u
(arcsin u) = √ e (arccos u) = − √ .
1 − u2 1 − u2
Por exemplo, de y = arcsin x obtem-se x = sin y e, por (2),
1 1
(arcsin x) = = .
(sin y) cos y
√
Como cos y = 1 − sin2 y = 1 − x2 , temos
1
(arcsin x) = √ .
1 − x2
Por (1) concluímos então que
1 u
(arcsin u) = √ ·u = √ .
1−u2 1 − u2
Analogamente, de y = arctan x obtem-se x = tan y e, por (2),
1 1
(arctan x) = = 1
(tan y) cos2 y
1
Como = 1 + tan2 y = 1 + x2 , temos
cos2 y
1
(arctan x) = .
1 + x2
Por (1) concluímos então que
1 u
(arctan u) = ·u = .
1 + u2 1 + u2
Definição 4 Sejam f : Df ⊆ R → R uma função real de variável real e
a ∈ Df um ponto interior a Df . Se existem com valor real as derivadas de
todas as ordens da função f no ponto a define-se o desenvolvimento (ou
série) de Taylor de f no ponto x = a como sendo
f (a) f (3) (a)
f(x) = f(a) + f (a) · (x − a) + · (x − a)2 + · (x − a)3 + · · ·
2 3!
10

11. ou seja,
f (n−1) (a)
f(x) = · (x − a)n−1 .
(n − 1)!
n≥1
Quando a = 0, o desenvolvimento
f (a) 2 f (3) (a) 3 f (n−1) (0) n−1
f (x) = f (0) + f (0) · x + ·x + ·x +··· = ·x
2 3! (n − 1)!
n≥1
diz-se o desenvolvimento (ou série) de MacLaurin de f .
Assume-se que f (0) (a) = f (a). O factorial de n ≥ 1, que é denotado por
n!, é definido como
n! = n · (n − 1) · (n − 2) · · · · · 3 · 2 · 1.
Por convenção, o factorial de 0 é 1, 0! = 1.
O desenvolvimento de Taylor (e de MacLaurin) é válido no domínio de
convergências da série de Taylor (e de MacLaurin) que lhe corresponde. A
determinação do domínio de convergência é tratado no âmbito das séries de
potências.
Sempre que consideramos apenas um número finito n de termos no de-
senvolvimento de Taylor (ou de MacLaurin), obtemos uma aproximação
(polinomial) de Taylor (ou de MacLaurin) da função com erro de
ordem n + 1.
1.4 Exercícios propostos
1. Represente graficamente as funções:
(a) f(x) = −x2 , g(x) = x2 − 3 e h(x) = (x − 3)2
√ √ √
(b) f(x) = x, g(x) = 1 + x e h(x) = 1 − x
√
(c) f(x) = 1/x, g(x) = 1/x2 e h(x) = 1/ x
(d) f(x) = 1/ (x − 2), g(x) = 1/x − 2 e h(x) = 1/ |x − 2|
(e) f(x) = exp x, g(x) = 1/ exp x e h(x) = ln x.
2. Mostre que a parábola de equação y = x2 + x + 1 tem vértice no ponto
(−1/2, 3/4) .
11

12. 3. Considere a função
x3 − 1
f(x) = .
x−1
(a) Mostre que f(x) = x2 + x + 1 para x = 1.
(b) Esboce o gráfico da função f.
(c) Mostre que
lim f(x) = 3 e lim f (x) = +∞.
x→1 x→−∞
4. Considere a função
x
f (x) = √ .
x+1−1
√
(a) Mostre que f(x) = x + 1 + 1 para x ≥ −1 ∧ x = 0.
(b) Esboce o gráfico da função f.
(c) Mostre que
lim f(x) = 2 e lim f(x) = +∞
x→0 x→+∞
5. Considere a função

 1 se x = 3
f (x) = .

0 se x = 3
(a) Esboce o gráfico da função f.
(b) Mostre que
lim f(x) = 1 e lim f (x) = 1.
x→3 x→+∞
(c) Justifique que a função f não é contínua.
6. Considere a função
|x|
f (x) = .
x
(a) Esboce o gráfico da função f.
(b) Mostre que não existe limx→0 f (x) e que limx→−∞ f(x) = −1.
(c) Mostre que a função f é contínua.
12

13. 7. Mostre que não existe o limite
x+5
lim .
x→5 x − 5
8. Resolva as seguintes indeterminações
(a) limx→−1 (x + 1) /f (x), limx→−∞ f(x) e limx→+∞ 1/f(x) com
f(x) = x3 + x2 .
(b) limx→−1 g(x) e limx→−∞ g(x) com
x2 + 1
g(x) = .
x+1
9. Considere a função f (x) = 1/x. Resolva as seguintes indeterminações:
√
(a) limx→+∞ x3 · f(x) , limx→+∞ [x · f (x)] e limx→+∞ [ x · f(x)]
√
(b) limx→0 x3 · f(x) , limx→0 [x · f (x)] e limx→0+ [ x · f (x)] .
10. Escreva a expressão da primeira derivada de cada uma das seguintes
funções:
1 √
(a) f(x) = 4x3 + 3x + +5 x
x
3 x
(b) f(x) = 2 5 + exp x2 +
x 3
(c) f(x) = (2x − 3)4 − ln 2x3 + cos x
(d) f(x) = cos3 x − 6 cos x3 − tan(4x) + 5 sin (3x)
3x + x2
(e) f(x) = + 4 arcsin (2x) − cot x2
5
(f) f(x) = sec (−3x) + csc (5x) − 4 arctan x3 .
11. Considere a função f(x) = 4x2 + 2x.
13

14. (a) Determine a equação da recta tangente ao gráfico de f no ponto
de abcissa 1.
(b) Obtenha a equação da recta normal ao gráfico de f no ponto de
ordenada 12 e abcissa negativa.
(c) Determine as equações das rectas tangente e normal no vértice
da parábola de equação y = f (x).
12. Considere f(x) = (x + 3)2 . Utilize o desenvolvimento de MacLaurin
para escrever a função f como potências de x,
f (x) = x2 + 6x + 9.
13. Utilize o desenvolvimento de MacLaurin para obter um polinómio de
ordem 3 que aproxime a função y = exp x.
14. Utilize o desenvolvimento de MacLaurin para obter um polinómio
(a) de ordem 5 que aproxime a função y = sin x
(b) de ordem 4 que aproxime a função y = cos x.
1.5 Soluções
5. (c) f não é contínua em x = 3.
x+1 1
8. (a) limx→−1 = 1, limx→−∞ f(x) = −∞, limx→+∞ =0
f (x) f(x)
8. (b) limx→−1 g(x) não existe,
2
limx→−∞ g(x) = limx→−∞ x − 1 + = −∞
x+1
9. (a) limx→+∞ x3 · f(x) = +∞, limx→+∞ [x · f(x)] = 1,
√
limx→+∞ [ x · f(x)] = 0
9. (b) limx→0 x3 · f(x) = 0, limx→0 [x · f (x)] = 1,
√
limx→0+ [ x · f(x)] = +∞
1 5
10. (a) f (x) = 12x2 + 3 − 2
+ √
x 2 x
14

15. 3 x 3 1
10. (b) f (x) = 2 2x exp x2 + + 5 + exp x2 − 2
+
x 3 x 3
3
10. (c) f (x) = 8 (2x − 3)3 − − sin x
x
4
10. (d) f (x) = −3 cos2 (x) sin (x) + 18x2 sin x3 − + 15 cos (3x)
cos2 (4x)
3 + 2x 8 2x
10. (e) f (x) = +√ +
5 1 − 4x2 sin2 (x2 )
3 sin (−3x) 5 cos (5x) 12x2
10. (f ) f (x) = − − −
cos2 (−3x) sin2 (5x) 1 + x6
11. (a) y − 6 = 10 (x − 1)
1
11. (b) y − 12 = (x + 2)
14
11. (c) A parábola tem por zeros 0 e −1/2 logo a abcissa do vértice é
−1/4. A ordenada do vértice é f (−1/4) = −1/4. A recta tangente é
y = −1/4 e a recta normal é x = −1/4.
12. f (x) = 2 (x + 3) , f (x) = 2 e f (n) (x) = 0 para n ≥ 3. Temos então
f (0) 2 f (3) (0) 3
f(x) = f(0) + f (0) · x + ·x + · x + ···
2 3!
2 2 0
= 9+6·x+ · x + · x3 + · · · = 9 + 6x + x2 .
2 3!
13. Dado que (exp x) = exp x, temos
1 1
exp x 1 + x + x2 + x3 .
2 6
14. (a) Temos f (x) = f (5) (x) = cos x, f (x) = − sin x, f (x) = − cos x,
e f (4) (x) = sin x. O polinómio pedido é
1 1 5
x − x3 + x .
6 120
14. (b) Dado que cos x = (sin x) obtemos da alínea anterior que
1 1
cos x 1 − x2 + x4 .
2 24
15

16. 2 Séries numéricas e séries funcionais
Dada uma sucessão (un )n∈N de números reais,
(un ) : u1 , u2 , u3 , · · · un , un+1 , · · · ,
(a cada número natural n está associado o termo un de ordem n) podemos
considerar a adição de todos os seus termos, uma infinidade de parcelas. É
o que se pretende com o conceito de série numérica.
Definição 5 A série numérica de termo geral un , que se denota por
∞
un ( un , un ou simplesmente un ), é a soma infinita dos termos
n≥1 n=1 n∈N n
da sucessão real (un )n∈N ,
un = u1 + u2 + u3 + · · · + un−1 + un + un+1 + · · · .
n≥1
Embora o termo geral da série seja o termo geral da sucessão (un )n∈N , a
série un é distinta da sucessão (un )n∈N que lhe está associada. Enquanto
n≥1
na primeira os termos estão adicionados entre si, na segunda estão "soltos"
como sequência ordenada7 .
2.1 Convergência e soma de uma série
Dada uma série numérica un , pode acontecer que o limite
n≥1
lim (u1 + u2 + u3 + · · · + un−1 + un )
n
exista como número real (i.e., seja finito). Neste caso a série diz-se conver-
gente e o valor S desse limite diz-se a soma da série. No caso contrário,
se não existe esse limite ou se é +∞ ou −∞, a série numérica diz-se di-
vergente. Classificar uma série numérica como convergente ou divergente
é identificar a sua natureza. Temos a seguinte definição rigorosa.
7
Uma série numérica pode estar definida apenas para valores de n a partir de uma
certa ordem k. Nesse caso, escreve-se
un = uk + uk+1 + uk+2 + · · · + uk + uk+1 + uk+2 + · · · .
n≥k
Também se podem considerar séries numéricas com início em n = 0, un .
n≥0
16

17. Definição 6 Dada uma série numérica un , define-se a sua sucessão
n≥1
n
das somas parciais por Sn = ui , ou seja,
i=1
(Sn )n∈N : u1 , u1 + u2 , u1 + u2 + u3 , ...
se a sucessão das somas parciais (Sn )n∈N for convergente com limite S,
lim Sn = lim (u1 + u2 + u3 + · · · + un−1 + un ) = S,
n n
a série diz-se convergente e o valor S diz-se a soma da série; se a
sucessão das somas parciais (Sn )n∈N for divergente (caso em que tende para
+∞, tende para −∞ ou não tem limite), a série diz-se divergente.
Deste modo, a sucessão das somas parciais (Sn )n∈N determina a natureza
da série numérica. Note que a sucessão (Sn )n∈N de somas parciais é distinta
da sucessão (un )n∈N que define a série. À primeira corresponde a sequência
S1 = u1 , S2 = u1 +u2 , S3 = u1 +u2 +u3 , . . . Sn = u1 +u2 +· · ·+un , . . .
enquanto à segunda corresponde a sequência
u1 , u2 , u3 , . . . un , . . . .
A convergência de uma série traduz-se no essencial por: "a soma de todos
(portanto, em número infinito) os termos da série acumula/não-excede um
determinado valor; esse valor, conforme é intuitivo, é a soma da série".
Podemos dizer que a série converge para essa soma.
Existem séries numéricas que têm designações bem especificas dada a
estrutura do seu termo geral. A série numérica
1 1 1 1 1
= 1 + + + + ··· + + ··· ,
n 2 3 4 10
n≥1
é designada por série harmónica. Relativamente à sucessão (Sn )n∈N das
somas parciais, prova-se que
1
S2n ≥ 1 + n · .
2
Temos
1 1
lim S2n ≥ lim 1 + n · = 1 + +∞ · = 1 + ∞ = +∞,
n n 2 2
17

18. o que mostra que a sucessão das somas parciais, da qual os termos S2n
constituem uma subsucessão, não converge para um valor finito. Concluímos
então que a série é divergente. Uma série numérica com a forma geral
1
un = ,
nα
n≥1 n≥1
para certo α ∈ R, é designada por série de Dirichlet. São convergentes
se α > 1 e divergentes se α ≤ 1. Note que a série harmónica é um caso
particular de série de Dirichlet (com α = 1).
Uma série numérica que tem como termo geral uma progressão ge-
ométrica (significa que cada termo resulta da multiplicação do termo an-
terior por um valor constante) é designada por série geométrica. As
séries geométricas têm a forma geral
un = a · rn−1 = a + a · r + a · r2 + a · r3 + · · · + a · rn−1 + a · rn + · · ·
n≥1 n≥1
com a, r ∈ R e a = 0. O número real r é a razão da série numérica e a é o
valor do seu primeiro termo. O termo geral da sucessão de somas parciais é
dado por
Sn = (n + 1) a
quando r = 1 (trata-se da série de termo geral constante igual a a), e é dado
por
a (1 − rn )
Sn =
1−r
quando r = 1. Concluímos então que a série é convergente se |r| < 1 (ou
seja, se −1 < r < 1) com soma S igual a
a (1 − rn ) a a 1o termo
S = lim = 1 − lim rn = =
n 1−r 1−r n 1−r 1 − razão
(note que se −1 < r < 1 então rn → 0), e é divergente se |r| ≥ 1 (ou seja, se
r ≤ −1 ∨ r ≥ 1) (note que se r = 1 temos Sn = (n + 1) a → +∞ · a = +∞,
se r > 1 temos rn → +∞, e se r ≤ −1 não existe8 o limite de rn ). Portanto,
se −1 < r < 1 podemos escrever
a
un = a · rn−1 = a + a · r + a · r2 + a · r3 + · · · = .
1−r
n≥1 n≥1
8
Se r = −1 temos
a · (−1)n−1 = a − a + a − a + a − · · ·
n≥1
18

19. Proposição 7 Se as séries numéricas un e vn são convergentes e
n≥1 n≥1
têm somas S e S , respectivamente, então a série numérica (un + vn )
n≥1
também é convergente e tem soma S + S .
Proposição 8 Se a série numérica un é convergente e tem soma S
n≥1
então a série numérica (α · un ), com α ∈ R, também é convergente e tem
n≥1
soma α · S.
Resulta das proposições anteriores que se duas séries numéricas un e
n≥1
vn são convergentes e têm somas S e S , respectivamente, então a série
n≥1
numérica (α · un + β · vn ), com α, β ∈ R, também é convergente e tem
n≥1
soma α · S + β · S .
Proposição 9 Se a série numérica un é convergente e tem soma S e a
n≥1
série numérica vn é convergente e tem soma S então
n≥1
(un ∗ vn ) ≤ S ∗ S .
n≥1
2.2 Alguns critérios de convergência para séries de
termos não-negativos
A determinação de uma expressão analítica do termo geral Sn = u1 +
u2 + · · · + un da sucessão de somas parciais é uma situação pouco frequente.
Ao contrário do que sucede com as séries geométricas, para a maioria das
séries numéricas un não é possível estabelecer uma tal expressão. Tal
n≥1
impede o cálculo do limite de Sn e a obtenção do valor da soma S da série.
No entanto, é usual fazer um estudo da série numérica por meios indirectos,
através de critérios que permitem identificar a sua natureza.
mas a sucessão das somas parciais

 a se n ímpar
Sn =

0 se n par
não tem limite (note que a = 0), logo a série é divergente.
19

20. Proposição 10 (Critério do Termo Geral, Critério Geral de Con-
vergência ou Condição Necessária de Convergência) Se a série numérica
un é convergente então
n≥1
lim un = 0.
n
Proof. Temos Sn = u1 + u2 + · · · + un e Sn−1 = u1 + u2 + · · · + un−1 (para
n > 1). Assim, para n > 1, temos
Sn − Sn−1 = u1 + u2 + · · · + un − (u1 + u2 + · · · + un−1 ) = un .
Dado que a série é convergente, existe o limite de Sn . Suponhamos que
limn Sn = l. Também limn Sn−1 = l, donde
lim un = lim (Sn − Sn−1 ) = l − l = 0
n n
conforme se pretende demonstrar
Em consequência (por contra-recíproco) deste resultado, se limn un = 0
então a série numérica un é divergente,
n≥1
limn un = 0 =⇒ un série divergente .
n≥1
De salientar: para uma série numérica un ser convergente, NÃO
n≥1
BASTA (não é suficiente) que o seu termo geral un convirja para 0 (como
mostra o exemplo da série harmónica (1/n)), no entanto, tal é necessário
n≥1
(como afirma a Proposição anterior).
Proposição 11 (Critério Geral da Comparação ou Critério da Com-
paração - formulação 1) Sejam un e vn duas séries numéricas
n≥1 n≥1
tais que, a partir de certa ordem, se tem un , vn ≥ 0 e vn ≤ un . Então, a
convergência da série un implica a convergência da série vn ,
n≥1 n≥1
un série convergente =⇒ vn série convergente ,
n≥1 n≥1
e a divergência da série vn implica a divergência da série un ,
n≥1 n≥1
vn série divergente =⇒ un série divergente .
n≥1 n≥1
20

21. Proposição 12 (Critério da Comparação - formulação 2) Sejam
un e vn duas séries numéricas tais que un ≥ 0 e vn > 0 para todo o
n≥1 n≥1
n. Se existe o limite
un
L = lim
vn n
e tem valor finito não-nulo (portanto L = 0 e L = +∞, ou ainda, 0 < L <
+∞) então as duas séries têm a mesma natureza.
É frequente o uso de uma série de Dirichlet
1
nα
n≥1
como série vn . O valor conveniente para α ∈ Q é escolhido com base no
n≥1
termo geral un da série un de que se quer identificar a natureza. Também
n≥1
as séries geométricas são usadas com frequência para comparação.
Proposição 13 (Critério da Raíz de Cauchy) Dada uma série numérica
un tal que un ≥ 0 para todo o n, suponha que o limite
n≥1
√
L = lim n
un
n
é finito ou +∞. Então a série é convergente se L < 1 e é divergente se L > 1
√
ou L = 1+ (L = 1+ significa L = 1 e n un > 1). Quando L = 1− (que
√ √
significa L = 1 e n un < 1) ou L = 1± (que significa L = 1 mas n un > 1
√
para alguns valores de n e n un < 1 para outros valores de n intercalados
com os anteriores) nada se pode concluir sobre a natureza da série.
Proposição 14 (Critério da Razão de D’ Alemberg) Dada uma série
numérica un tal que un > 0, para todo o n, suponha que o limite
n≥1
un+1
L = lim
n un
é finito ou +∞. Então série é convergente se L < 1 e é divergente se L > 1
ou L = 1+ (L = 1+ significa L = 1 e un+1 /un > 1). Quando L = 1−
(que significa L = 1 e un+1 /un < 1) ou L = 1± (que significa L = 1 mas
un+1 /un > 1 para alguns valores de n e un+1 /un < 1 para outros valores de
n intercalados com os anteriores) nada se pode concluir sobre a natureza da
série.
21

22. 2.3 Convergência simples e absoluta de uma série
numérica
Definição 15 Dada uma série numérica un , a série de termos não-
n≥1
negativos |un | diz-se a sua série modular.
n≥1
Definição 16 Uma série numérica un diz-se absolutamente conver-
n≥1
gente quando a série modular |un | é convergente.
n≥1
A relação entre estes dois tipos de convergência é (dada pela seguinte
proposição) é consequência do critério da comparação - formulação 1.
Proposição 17 Uma série un é convergente sempre que a sua série
n≥1
modular |un | o for,
n≥1
|un | série convergente =⇒ un série convergente .
n≥1 n≥1
Além disso, tem-se
|un | ≥ un . (3)
n≥1 n≥1
Proof. Dadas as desigualdades
0 ≤ un + |un | ≤ |un | + |un | = 2|un |
e o facto de ser convergente a série |un |, concluímos pelo critério da
n≥1
comparação - formulação 1 que a série numérica (un + |un |) também é
n≥1
convergente. Sendo
un = (un + |un |) − |un |,
n≥1 n≥1 n≥1
a série un é convergente. A desigualdade (3) resulta da desigualdade
n≥1
triangular (|a + b| ≤ |a| + |b|, para todo a, b ∈ R)
Dada a definição de série absolutamente convergente, podemos concluir
da proposição anterior que toda a série absolutamente convergente é con-
vergente.
22

23. Definição 18 Uma série numérica un diz-se simplesmente conver-
n≥1
gente.quando é convergente mas não absolutamente convergente, ou seja,
a série numérica un é convergente mas a sua série modular |un | é
n≥1 n≥1
divergente.
Dada a proposição anterior, concluímos que se uma série numérica é
absolutamente convergente então também é simplesmente convergente,
Convergência absoluta =⇒ Convergência simples .
Em consequência deste resultado (por contra-recíproco), se un não é
n≥1
simplesmente convergente então também não é absolutamente convergente,
Não-convergência simples =⇒ Não-convergência absoluta .
De salientar: para que uma série numérica un seja absolutamente
n≥1
convergente, NÃO BASTA (não é suficiente) que seja simplesmente con-
vergente (é necessário que também convirja a sua série modular |un |),
n≥1
Convergência simples Convergência absoluta ,
no entanto, tal é necessário.
2.4 Critérios de convergência para séries de termos
negativos e séries alternadas
Quando uma série un é de termos negativos consideramos
n≥1
un = − (−un ) .
n≥1 n≥1
A série un tem a mesma natureza que a série de termos positivos (−un )
n≥1 n≥1
e, caso seja convergente, tem soma de valor simétrico.
Definição 19 Uma série diz-se alternada se os seus termos alternam de
sinal, ou seja, se o seu termo geral un é produto do factor (−1)n por um
factor an não-nulo de sinal constante,
un = [(−1)n · an ] .
n≥1 n≥1
23

24. O Critério do Termo Geral e o critério apresentado na seguinte proposição
são os mais utilizados no estuda da natureza de séries alternadas.
Proposição 20 (Critério de Leibnitz) Se (an )n∈N é uma sucessão de-
crescente de termos positivos e tem limite 0, então a série numérica alter-
nada
un = [(−1)n · an ]
n≥1 n≥1
é convergente.
Remark 21 Quando se prova que uma série numérica alternada é con-
vergente não podemos concluir que ela é absolutamente convergente. É
necessário identificar a natureza da sua série modular. Se esta for conver-
gente então a série alternada é absolutamente convergente. No entanto, se a
série modular for divergente então a série alternada é apenas simplesmente
convergente. É o caso da série alternada [(−1)n /n] cuja série modular
n≥1
é a série harmónica (1/n). Este é o exemplo de uma série convergente
n≥1
(simplesmente convergente) que não é absolutamente convergente, ou seja,
Convergência simples Convergência absoluta .
Remark 22 Por vezes é vantajoso começar por identificar a natureza da
série modular. Caso esta seja convergente fica provada a convergência ab-
soluta da série alternada. É o caso da série
(−1)n
n2
n≥1
ou da série
sin n
.
2n
n≥1
No entanto, se a série modular for divergente apenas ficamos a saber que
a série alternada não é absolutamente convergente. Ela pode ser divergente
como é o caso da série
[n · (−1)n ] ,
n≥1
ou simplesmente convergente como é o caso da série
(−1)n
√ .
n
n≥1
24

25. 2.5 Séries de potências
Quando o termo geral de uma série não depende apenas de n mas tam-
bém de uma variável x, a série diz-se uma série funcional (ou série de
funções). Consideremos o seguinte caso de série funcional, que é particular-
mente importante por constituir uma generalização da noção de polinómio.
Definição 23 Chama-se série de potências de x a toda a série da forma
un (x) = vn · xn−1 = v1 + v2 · x + v3 · x2 + v4 · x3 + · · · .
n≥1 n≥1
Para cada valor fixo de x, a série de potências vn · xn−1 dá lugar a
n≥1
uma série numérica. Em geral, existem valores de x que conduzem a séries
numéricas convergentes (absolutamente ou simplesmente) e valores de x que
conduzem a séries numéricas divergentes. Como exemplo, consideremos a
série de potências de x
un (x) = xn−1 = 1 + x + x2 + x3 + x4 + · · ·
n≥1 n≥1
em que vn = 1 para todo o n. Para x = 2 temos a série numérica
un (2) = 2n−1 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + · · ·
n≥1 n≥1
que é divergente (o termo geral não tende para 0), enquanto para x = 1/2
temos a série numérica
n−1
1 1 1 1 1 1
un = =1+ + + + + ···
2 2 2 4 8 16
n≥1 n≥1
que é absolutamente convergente (é uma série geométrica de razão 1/2 ∈
]−1, 1[, tal como a sua série modular).
Definição 24 O conjunto de valores de x para os quais a série de potências
∞
un (x) = vn · xn−1 é convergente diz-se o domínio de convergên-
n≥1 n=1
cia pontual (ou apenas domínio de convergência) da série. Quando o
domínio de convergência é um intervalo, a metade do comprimento desse
intervalo diz-se o raio de convergência da série.
25

26. Em consequência dos critérios da raíz de Cauchy e da razão de D’ Alem-
berg, é válido o seguinte resultado para determinação do domínio de con-
vergência.
Proposição 25 A cada série de potências de x, un (x) = vn · xn−1 ,
n≥1 n≥1
está associado um número real R ≥ 0 ou R = +∞ tal que se x ∈ ]−R, R[
(ou seja, se |x| < R) então a série numérica correspondente é absoluta-
mente convergente e se x ∈ ]−∞, −R[ ∪ ]R, +∞[ (ou seja, se |x| > R)
a série numérica correspondente é divergente. O valor de R é dado pelo
quociente
1
R=
L
em que L é o valor do limite superior
L = lim n |vn |.
n
Quando existe, o limite limn |vn+1 /vn | tem o mesmo valor que limn n
|vn |.
Neste caso, também podemos obter L pelo limite
vn+1
L = lim .
n vn
Este resultado não permite concluir a natureza da série de potências
para x = R e x = −R (ou seja, para |x| = R). Para estes valores de x é
necessário um estudo particular, ou seja, substituir na série de potências a
variável x por R e por −R e estudar as séries numéricas
un (R) = vn · Rn−1 e un (−R) = vn · (−R)n−1 .
n≥1 n≥1 n≥1 n≥1
Após o estudo destas séries numéricas, os valores R e −R são ou não incluídos
no domínio de convergência, mesmo que nestas séries a convergência seja
apenas simples.
Se R = 0 (caso em que L = +∞) então o domínio de convergência da
série de potências é D = {0}. Se R = +∞ (caso em que L = 0+ ) então o
domínio de convergência da série de potências é D = R.
Quando R é um número real (portanto, quando R é finito) então R
corresponde ao raio de convergência da série de potências. Dado o exposto,
∞
o raio de convergência da série de potências vn · xn−1 corresponde ao
n=1
limite
1
R= n
limn |vn |
26

27. e, caso exista, ao limite
1 1 |vn | vn
R= = = lim = lim .
vn+1 |vn+1 | n |vn+1 | n vn+1
limn limn
vn |vn |
Consideremos agora o caso mais geral de séries de potências de x − a.
Definição 26 Chama-se série de potências de x − a a toda a série da
forma
un (x − a) = vn · (x − a)n−1 .
n≥1 n≥1
Proposição 27 A série de potências vn · (x − a)n−1 é convergente
n≥1
para os valores de x que verifiquem x ∈ ]a − R, a + R[ (ou seja, |x − a| < R)
e divergente para x ∈ ]−∞, a − R[ ∪ ]a + R, +∞[ (ou seja, |x − a| > R) em
que R é dado por
1
R=
L
com
vn+1
L = lim ou L = lim n |vn |.
n vn n
Se |x − a| > R então a série de potências é divergente.
Para x = a−R e x = a+R (ou seja, |x − a| = R) é necessário um estudo
particular.
O desenvolvimento de Taylor é uma série de potências de x − a e o
desenvolvimento de MacLaurin é uma série de potências de x.
2.6 Exercícios propostos
1
1. Justifique que a série numérica √ é divergente.
n≥1 n
3
2. Mostre que a série numérica n
é convergente e tem soma S = 3.
n≥1 2
3. Estude a natureza da série numérica 3−n . Caso seja convergente,
n≥1
determine a sua soma.
27

28. 4. Proceda como no exercício anterior relativamente às séries numéricas
5 (−3)−n , [3 (−1)n ] e 3.
n≥1 n≥1 n≥1
5. Mostre que são divergentes as séries numéricas
2n , (−2)n , (−1)n ,
n≥1 n≥1 n≥1
e
2n
1 n+2 n+1
− , , .
3 n+5 n
n≥1 n≥1 n≥1
3 1
6. Mostre que a série numérica n
+ 2 é convergente.
n≥1 2 4n
7. Por comparação, mostre que as séries numéricas vn de termo geral
n≥1
n 1 3n − 1 1
vn = , vn = , vn = e vn = n
n3 +1 n (n + 1) n3 2 +n
são convergentes enquanto que as séries numéricas vn de termo
n≥1
geral
1 1
vn = (para n ≥ 2) e vn = √
n−1 n cos2 n
são divergentes.
8. Usando um critério da comparação, mostre que as séries numéricas
un de termo geral
n≥1
2 n−3 1
un = , un = e un = sin
n n2 n
são divergentes enquanto que são convergentes as séries numéricas
un de termo geral
n≥1
n 1 n n+2
un = , un = n sin 3 e un = ln .
(n2 + 1) (n + 5) n +1 n2 +1 n+5
9. Mostre que a série (−1)n + (−1)n+1 é convergente e tem soma
n≥1
S = 0.
28

29. (−1)n
10. Mostre que a série alternada é simplesmente convergente.
n≥1 n
(−1)n
11. Mostre que a série alternada 2
é absolutamente convergente.
n≥1 n
12. Mostre que a série alternada [n(−1)n ] é divergente.
n≥1
(−1)n+2
13. Mostre que a série alternada √ é simplesmente convergente.
n≥1 n
3
14. Mostre que a série alternada (−1)n+1 é absolutamente con-
n≥1 n!
vergente.
15. Mostre que são absolutamente convergentes as séries numéricas un
n≥1
de termo geral
n (−1)n 1
un = , un = (−1)n+1 n sin
(n2 + 1) (n + 5) n3 + 1
e
n (−1)n+1 n + 2
un = ln .
n2 + 1 n+5
n
16. Mostre que a série alternada (−1)n+1 é simplesmente con-
n≥1 n+1
vergente.
17. Considere a série de potências
´ xn−1 = 1 + x + x2 + x3 + x4 + · · · .
n≥1
(a) Mostre que o domínio de convergência da série de potências é o
intervalo ]−1, 1[.
(b) Dado que, para cada x ∈ ]−1, 1[, a série de potências de x dá
lugar a uma série geométrica, mostre que
1
xn−1 =
1−x
n≥1
29

30. 18. Mostre que série de potências de x
xn
un (x) = ,
n≥1 n≥1
[3 + (−1)n ]2n
tem o intervalo ]−4, 4[ como domínio de convergência.
19. Determine o domínio de convergência das seguintes séries de potências
de x :
xn
(a) un (x) =
n≥1 n≥1 n!
(b) un (x) = (n!xn )
n≥1 n≥1
(−1)n xn
(c) un (x) = n
n≥1 n≥1 n · 2
x2n−1
(d) un (x) =
n≥1 n≥1 2n − 1
xn
(e) un (x) = √
n
n≥1 n≥1 n
20. Determine o domínio de convergência das seguintes séries de potências
de x − 2 :
(a) un (x − 2) = n(x − 2)n−1
n≥1 n≥1
(x − 2)2n+1
(b) un (x − 2) = (−1)n .
n≥1 n≥1 (2n + 1)!
21. Mostre que D = [0, 2] é o domínio de convergência da série de potências
de x − 1
(x − 1)n
un (x − 1) = .
n2
n≥1 n≥1
22. Mostre que, para todo o x ∈ R, são válidos os desenvolvimentos de
MacLaurin:
30

31. 1
(a) exp x = xn−1
n≥1 (n − 1)!
(−1)n−1 2n−1
(b) sin x = x
n≥1 (2n − 1)!
(−1)n−1 2n−2
(c) cos x = x .
n≥1 (2n − 2)!
23. Determine os valores de x ∈ R para os quais os seguintes desenvolvi-
mentos em série de potências convergem para as respectivas funções:
1 1 x2n
(a) 1 + x2 + x4 + x6 + · · · + + · · · = exp(x2 )
2 6 n!
1 1 1 (x − 2)n−1 1
(b) − (x − 2) + (x − 2)2 − · · · + (−1)n−1 n
+ ··· =
2 4 8 2 x
2.7 Soluções
3. É convergente. Tem soma 1/2.
4. A série numérica 5 · (−3)−n é convergente e tem soma 5/4. As
n≥1
séries numéricas [3 (−1)n ] e 3 são divergentes.
n≥1 n≥1
19. (a) Dconv = R.
19. (b) Dconv = {0}.
19. (c) Dconv = [−2, 2[ mas a convergência é simples em x = 2.
19. (d) Dconv = ]−1, 1[.
19. (e) Dconv = R.
20. (a) Dconv = ]1, 3[ .
20. (b) Dconv = R.
23. (a) Para todo o x ∈ R.
23. (b) Para x ∈ ]0, 4[ .
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