Este documento trata sobre técnicas de interpolación y aproximación numérica, incluyendo interpolación polinómica, segmentaria con splines lineales y cúbicos, y ajuste de curvas. Explica conceptos como interpolación polinómica, limitaciones de esta técnica, y cómo splines resuelven problemas numéricamente de forma estable. También presenta aplicaciones de estas técnicas en diversos campos como ingeniería, geología, procesamiento de imágenes y más.

2. Hora 6 8 10 12 14 16 18 20
Grados 7 9 12 18 21 19 15 10
Un problema de Aproximación
Evolución de la temperatura diurna
4
8
2
0
6 8 1
0
1
2
1
4
1
6
1
8
2
0
2
2
6
1
0
1
2
1
4
1
6
1
8
2
2
Hora
Grados

3. Interpolacion
Interpolación Polinomial
Polinomios Osculadores: Interpolación de
Hermite
Interpolación Racional: Aproximaciones de Pade
Interpolación segmentaria: Splines
Otros

4. Ajuste
Polinomios de Taylor
Mínimos Cuadrados
Minimización de normas
Aproximación Racional
Series de Fourier
Curvas de Bezier
B-Splines

6. Interpolación Polinómica
Segmentaria
Limitaciones de la interpolación polinómica
Grado del polinomio
Carácter de la función a interpolar
Alternativa propuesta: Splines.
Numéricamente estable
Matrices dispersas
Agradable a la vista

7. Interpolación Polinomica
Segmentaria: Splines
Interpolación Segmentaria
Interpolación Segmentaria Lineal
Interpolación Segmentaria Cúbica
Condiciones Naturales
Condiciones sobre la derivada

8. Interpolación Segmentaria
Lineal: Función de Runge
-1 0 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Spline lineal
-1 0 1
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Polinomio grado 4
y
x
=
+
1
1 25 2

9. Perfil para un diseño
Polinomio interpolador

10. Aplicaciones
Ingeniería y Diseño (CAD/CAM, CNC’s)
Geología
Aeronáutica y automoción
Economía
Procesamiento de señales e imágenes (Reconocimiento
de patrones, recuperación de imágenes)
Robótica
Medicina (Aparatos auditivos, mapas cerebrales)
Meteorología (Mapas climáticos, detección de
inundaciones,...)
Mundo Virtual Distribuido Multiusuario

11. Interpolación Polinómica
Segmentaria
≤
Dados n+1 puntos (x0,y0), (x1,y1), ..., (xn,yn) con
x0<x1…<xn, una función spline de orden k (k-Spline)
sobre dichos puntos es una función S verificando:
(i) S(x) = qk(x) polinomio de grado k, x ∈[xk,xk+1],
k=0,1,...,n-1
(ii) S(xk) = yk, k=0,1,...,n
(iii) [ ]1
0 1,k
S C x x−
∈

12. Splines Lineales
Polinomio de Lagrange
Polinomio de Newton
q x
x x
x x
y
x x
x x
yk
k
k k
k
k
k k
k( ) =
−
−
+
−
−
+
+ +
+
1
1 1
1
q x f x f x x x x
y
y y
x x
x x
k k k k k
k
k k
k k
k
( ) [ ] [ , ]( )
( )
= + − =
= +
−
−
−
+
+
+
1
1
1

13. Splines Lineales

14. Interpolación Segmentaria
Lineal: Función de Runge
-1 0 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Spline lineal
-1 0 1
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Polinomio grado 4
y
x
=
+
1
1 25 2

15. Splines Cúbicos
Spline cúbico
4n incógnitas
Condiciones de interpolación
n+1 ecuaciones
Condiciones de conexión
3(n-1) ecuaciones
q x a b x x c x x d x xk k k k k k k k( ) ( ) ( ) ( )= + − + − + −2 3
( )k kS x y=
1 1 1
' '
1 1 1
'' ''
1 1 1
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
k
k
k k k k
k k k
k k k
q x q x
q x q x
q x q x
+ + +
+ + +
+ + +
=
=
=

16. h
a a
h
a a
k
k k
k
k k+
−
−= − − −1
1
1
3 3
( ) ( )
h c h h c h c
k k k k k k k− − − +
+ + +
1 1 1 1
2( ) =
a f x k nk k= =( ), , ,...,0 1
b
h
a a
h
c c k nk
k
k k
k
k k= − − + = −+ +
1
3
2 0 1 11 1( ) ( ), , ,...,
d c c h k nk k k k= − = −+( ) / ( ), , ,1 3 0 1 1
h x xk k k= −+1
q x a b x x c x x d x xk k k k k k k k( ) ( ) ( ) ( )= + − + − + −2 3
n-1 ecuaciones y n+1 incógnitas

17. Condiciones Naturales
Teorema 1
Sea f(x) una función definida en [x0,xn]. Entonces
existe un único s(x) spline interpolante cúbico
para f(x) en [x0,xn] tal que
s’’(x0) = 0 y s’’(xn) = 0.
cn = s’’(xn)/2 = 0
s’’(x0) = 2c0 = 0 → c0 = 0.

18. Matriz del sistema
M
h h h
h h h h
h h h
h h h
h h h h
h h h
n n n
n n n n
n n n
=
+
+
+
+
+
+

















− − −
− − − −
− − −
2 0 0 0 0
2 0 0 0
0 2 0 0 0
0 0 0 2 0
0 0 0 2
0 0 0 0 2
0 1 1
1 1 2 2
2 2 3
4 3 3
3 3 2 2
2 2 1
( )
( )
( )
( )
( )
( )
 
 
 
       
       
 
 
 










19. p
h
a a
h
a a
h
a a
h
a a
n
n n
n
n n
=
− − −
− − −

























−
−
−
− −
3 3
3 3
1
2 1
0
1 0
1
1
2
1 2
( ) ( )
( ) ( )


Términos independientes

20. Ejemplo de la temperatura
5 10 15 20
6
8
10
12
14
16
18
20
22
Hora
Grados
Spline cúbico
5 10 15 20
6
8
10
12
14
16
18
20
22
Hora
Grados
Polinomio interpolador

21. Condiciones sobre la derivada
Teorema 2
Sea f(x) una función definida en [x0,xn]. Entonces existe un único
s(x) spline cúbico interpolante para f(x) en [x0,xn].tal que
s’(x0) = f’(x0) y s’(xn) = f’(xn).
2
3
30 0 0 1
0
1 0 0h c h c
h
a a f x+ = − −( ) '( )
h c h c f x
h
a an n n n n
n
n n− − −
−
−+ = − −1 1 1
1
12 3
3
'( ) ( ).

22. Matriz del sistema
M
h h
h h h h
h h h h
h h h
h h h
h h h h
h h
n n n
n n n n
n n
=
+
+
+
+
+




















− − −
− − − −
− −
2 0 0 0 0 0
2 0 0 0 0
0 2 0 0 0
0 0 2 0 0 0
0 0 0 0 2 0
0 0 0 0 2
0 0 0 0 0 2
0 0
0 0 1 1
1 1 2 2
2 2 3
3 2 2
2 2 1 1
1 1




       



( )
( )
( )
( )
( )







23. Términos independientes
p
h
a a f x
h
a a
h
a a
h
a a
h
a a
f x
h
a a
n
n n
n
n n
n
n
n n
=
− −
− − −
− − −
− −
























−
−
−
− −
−
−
3
3
3 3
3 3
3
3
0
1 0 0
1
2 1
0
1 0
1
1
2
1 2
1
1
( ) '( )
( ) ( )
( ) ( )
'( ) ( )


24. Splines Cúbicos

25. Interpolación segmentaria con
MATLAB
Interpolación segmentaria cúbica
ps = spline(x,y) % Devuelve el Spline, no los
coeficientes
[x,s] = unmkpp(ps) % Devuelve los coeficientes
ps = mkpp(x,s)
syy = spline(x,y,xx) = ppval(ps,xx)
Interpolación segmentaria lineal
lyy = interp1(x,y,xx)

26. -1 0 1
0
0.5
1 Spline Natural
-1 0 1
0
0.5
1 Spline Derivada
-1 0 1
0
0.5
1
Interpolación Lineal
-1 0 1
0
0.5
1
Spline de MATLAB