Tư duy sáng tạo tìm tòi lời giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số vô tỷ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18. khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821
17
II. Kỹ thuật nhân lượng liên hợp để đưa về tích số
A B A B
A B
A B
A B A B
2
A B
A B
3 3
A B 3 32 3 2
A AB B 3 32 3 2
A B
A AB B
3
A B 3 2 3 2
A B A B
3
3 2 3 2
A B
A B A B
Phân tích bài toán và hướng tư duy đi đến lời giải (tương tự cho 3 ( ))f x
Gi ( ) ( ) ( ) 0f x g x h x
ướng ( ) ( )f x g x ( )h x
( ) ( )f x g x
2
3 2 1 2 3,x x x x (3 2) ( 1) 2 3x x x
2
2 3 (2 3)( 1)x x x x 2 3x
( ) ( )f x g x
( ),h x
ướng . PP
o
x x ghép h ng s .
( ) ( ) ( )f X g X h X
.o
x x
( ( ) ( ) ( )) :( )o
f X g X h X X x
o
x x
,m n o
x x
( ), ( )o o
m f x n g x o
x x
[ ( ) ] [ ( )] ( ) 0f x m n g x h x m n
( ) .h x m n
19. Tư duy sáng tạo tìm tòi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vô tỷ – ThS. Lê Văn Đoàn
18
câu: 2
3 1 6 3 14 8 0.x x x x
5x nên 3.5 1 4m ( 3 1 4)x
6 5 1n (1 6 )x 5.x
2
3 14 5 ( 5)(3 1)x x x x 5.x
ướng ẹp 1 2
, PP
x x x x ghép .ax b
ax b
,a b
( )f x
1 1
2 2
( )
,
( )
f x ax b
a b
f x ax b
c ( ).g x Thí d gi i: 2
2 3 4 3 5 9 6 13.x x x x
0, 1x x ax b
ax b 3 4x
3.0 4 .0 2
13.( 1) 4 .( 1)
a b b
aa b
2 3 4 ( 2)x x
5 9x 3. 5 9 ( 3) .x x
l sau hi nhân lượng liên hợp
( ) ( ) 0o
x x f x 2
( ). ( ) 0.ax bx c f x
nh ( ) 0,f x
( )f x
( ) 0,f x
( )f x
x
( )),f x suy ra ( )f x
( ) 0f x
( , ,...)A B A B ( ) 0f x
)A B k .x
20. khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821
19
. Liên hợp với phương trình có nghiệm hữu tỷ hoặc dễ xác định nhân t .
Nhóm I: Ghép hai căn thức để liên hợp và phân tích biểu thức còn lại
Ví dụ 21. 2
3 2 1 2 3x x x x ( )
Học sinh giỏi tỉnh Quảng Nam năm 2014
Lời giải
2
3
x
2( 3 2 1)( 3 2 1)
( ) 2 3
3 2 1
x x x x
x x
x x
2 3
(2 3)( 1) 0
3 2 1
x
x x
x x
3
1 2
(2 3) ( 1) 0
13 2 1 1 (1)
3 2 1
x
x x
x x x
x x
2
3
x
2 5
( ) 1 1 1
3 3
f x x (2)
( ) 3 2 1g x x x
3 1 2
( ) 0,
32 3 2 2 1
g x x
x x
( )g x
2
;
3
nên
1 1
( )
( ) 3 2 1
h x
g x x x
2
;
3
2 2 15
; max 1
3 3 5
h x h
hay ( ) 1h x (3)
( ) ( )f x h x
Kết luận 3/2.x
Bình luận. S ( )f x trong (2 3). ( ) 0x f x
1
( 1)
3 2 1
X
X X
( )f x ( )g x
( )f x ( ) ( )g x h x
Ví dụ 22. Gi 2
1 1 4 3x x x ( )
Đề thi thử Đại học khối D năm 2013 – THPT Lê Xoay – Vĩnh Phúc
21. Tư duy sáng tạo tìm tòi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vô tỷ – ThS. Lê Văn Đoàn
20
Phân tích. Khi ghép 3 ( 1) 2 1x x x
2
4 1 (2 1)(2 1)x x x ế é
ẳ :
( )( )A B A B
A B
A B
Lời giải 0.x
2 2 1
( ) (4 1) ( 3 1) 0 (2 1)(2 1) 0
3 1
x
x x x x x
x x
0, 0
1 1
(2 1) 2 1 0 2 1 0
23 1
x
x x x x
x x
Kết luận
1
2
x
Ví dụ 23. Gi 3.(2 2) 2 6x x x ( )
Học Viện Kỹ Thuật Quân Sự
Phân tích Rú ọ ( ) 2.(3 ) 6 3 2 6 9 18x x x x x và
ghép ( 6) (9 18) 8 24 8.(3 )x x x x 3 x ế
é ờ ả :
Lời giải
2 0
2.
6 0
x
x
x
8.(3 )
( ) 2.(3 ) 6 9 18 2.(3 )
6 9 18
x
x x x x
x x
34
(3 ) 1 0
6 9 18 4 (1)6 9 18
x
x
x xx x
2
(1) 10 12 2 ( 6)(9 18) 16 9 36 108 14 5x x x x x x
2 2 2
14 14
11 3 5
5 5
2
9 36 108 (14 5 ) 16 176 304 0
x x
x
x x x x x
Kết luận
11 3 5
3,
2
x x
Ví dụ 24. 2 2
2 9 2 1 4x x x x x ( )
Phân tích ế
ế ả ả
4 0 4x x ọ é ờ
(TM)
(TM)
22. khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821
21
: 2 2
(2 9) (2 1) 2( 4)x x x x x é
4x ế ả ờ ả :
Lời giải 4 0 4.x x
2 2 2 2
2 2
( 2 9 2 1)( 2 9 2 1)
( ) 4
2 9 2 1
x x x x x x x x
x
x x x x
2 2
(do : 2 9 2 1 2 8 4, 4)x x x x x x x
2 2
2 2
2( 4)
4 2 9 2 1 2
2 9 2 1
x
x x x x x
x x x x
(1)
( ),
2 2
2 2
2 9 2 1 2
2 9 2 1 4
x x x x
x x x x x
2 2 2
2 2 9 6 4(2 9) ( 6)x x x x x x
2
7 8 0 0x x x
8
:
7
x
Kết luận
8
0,
7
x x
Bình luận ế 4,x
( ) 0f x ế ọ
đưa về hệ tạm ả V
?! TL
T ờ ( ) ( ) .f x g x ax b
( ) ( ), ( ( ))f x g x hay ax b f x
é é
ế ế ờ
Ví dụ 25. Gi 2 2
9 24 6 59 149 5x x x x x ( )
Phân tích 2 2 2 2
(6 59 149) ( 9 24) 5 50 125 5( 5)x x x x x x
5x é
Lời giải .D
2 2
( ) 6 59 149 9 24 5x x x x x
2
2 2
5.( 5)
5
6 59 149 9 24
x
x
x x x x
2 2
5.( 5)
( 5) 1 0
6 59 149 9 24
x
x
x x x x
23. Tư duy sáng tạo tìm tòi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vô tỷ – ThS. Lê Văn Đoàn
22
5x 2 2
6 59 149 9 24 5.( 5)x x x x x (1)
( ), (1),
2 2
2 2
9 24 6 59 149 5
6 59 149 9 24 5.( 5)
x x x x x
x x x x x
(2)
(3)
(2) (3), suy ra: 2
2
5 19
9 24 2 10
33 31 76 0
x
x x x x
x x
Kết luận
19
5,
3
x x
Ví dụ 26. 3 2 2 3
1 2 2 3 3x x x x x ( )
Phân tích 2 2
( 1) (2 3) 3 2x x x x x é
:
3 33 3 2 3 2
3 3
3 3 3 32 3 2 2 3 2
( ) ( )
( ) ( )
A B A AB B A B
A B
A AB B A AB B
2
3 2,x x ờ ả :
Lời giải .D 3 2 3
1; 2 3a x x b x
3 2 23
( ) ( 1 2 3) ( 3 2) 0x x x x x
2
2
2 2 2 23 3 3
3 2
( 3 2) 0
( 1) ( 1)(2 3) (2 3)
x x
x x
x x x x x x
2 2
2 2
11
( 3 2) 1 0 3 2 0
2
x
x x x x
xa ab b
Nhận xét T é ả
3 3
, .a A b B ẳ
q : 2 2 3 3
( ).( )a b a ab b a b :
2 2
2 2 3
0.
2 4
b b
a ab b a
Ví dụ 27. Gi 3 32 23 3
2 1 2 2 1x x x x ( )
Lời giải. .D
3 32 23 3
( ) ( 2 1) ( 2 1 2) 0x x x x (1)
3 32 23 3
2 , 1, 2 1, 2.a x b x m x n x
2 2
2 2 2 2
2 1 2 1
(1) 0
x x x x
a ab b m mn n
2
2 2 2 2
1 1
(2 1) 0 1x x x
a ab b m mn n
h
1
2
x
Kết luận 0,5x và 1.x
24. khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821
23
Ví dụ 28. 2 2
( 3 1)( 4 3) 2x x x x x x ( )
Nhận xét
ờ
ế x ế ế
ả ( 3) ( 1) 2x x ế x
ế 3 1 0x x ờ ả :
Lời giải 0x ?!
2
( ) ( 1)( 3) .( 3 1)x x x x x x
2
( 3) ( 1)( 3) 1 0x x x x x x x
( 3) 1( 3 ) 0 ( 3)( 1) 0x x x x x x x x x x
3 1 5
21
x x
x
x x
1 13
2
x
Kết luận
1 5 1 13
,
2 2
x x
Ví dụ 29. Gi i: 2 2 2 2 2
( 1 4 1).( 5 1 2 1) 3x x x x x x x ( )
Phân tích 2 2 2
(5 1) (2 1) 3x x x ế ả
ế ờ ả :
Lời giải .D
0x
V 0,x ta có:
2 2
2 2
2 2
1 4 1
( ) 3 3
5 1 2 1
x x x x
x x
x x
2 2 2 2
4 1 1 5 1 2 1x x x x x x (1)
Do 0x thì 2 2
1 4 1x x x x và 2 2
5 1 2 1x x nên:
2 2
2 2 2 2
3 3
(1)
4 1 1 5 1 2 1
x x
x x x x x x
2 2 2 2
1 1
4 1 1 5 1 2 1x x x x x x
2 2 2 2
4 1 1 5 1 2 1x x x x x x (2)
(1), (2), suy ra:
2 2 2 2
2 2 2 2
4 1 1 5 1 2 1
4 1 1 5 1 2 1
x x x x x x
x x x x x x
(3)
(4)
2 2 2
(3) (4) 4 1 5 1 0 0x x x x x x x 1 (TM)
Kết luận 0, 1.x x
25. Tư duy sáng tạo tìm tòi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vô tỷ – ThS. Lê Văn Đoàn
24
Ví dụ 30. Gi
2
5.( 3)
1 2 4
2 18
x
x x
x
( )
Đề thi thử Đại học 2013 – THPT Chuyên Nguyễn Trãi – Hải Dương
Phân tích. Có 1 2 4 1 16 4x x x x và ( 1) (16 4 ) 5.( 3)x x x
é ờ ả sau:
Lời giải 1 4.x
2
( ) 2 18.( 1 16 4 ) 5.( 3)x x x x
2
2
3 : TM5.( 3) 2 18
5.( 3)
2 18 1 16 4 (1)1 16
Đ
4
Kxx x
x
x x xx x
2 2 2
(1) 2 3 1 4 ( 1)(4 ) 4 3 4 2 3 1x x x x x x x x (2)
Nhận xét S
3
1, ,
2
x x hay
2
( 1).(2 3) 2 3,x x x x :
Hướng 1 A B
2
4 3 2
2
1
2 3 1 0 1
(2) 2
4 12 29 42 63 0
( 1)(2 3)(2 7 21) 0
x x x x
x x x x
x x x x
1x
3
:
2
x
Hướng 2 2
2 3.x x
2 2
(2) (2 3) 4. ( 1) 3 4 0x x x x x
(3)
Xét 2
1 3 4 0 1x x x x 1x
Xét 2
1 3 4 0 1,x x x x ( 1;4].x
2
2
2
4.(2 3)
(3) (2 3) 0
1 3 4
x x
x x
x x x
2 2
2
0, ( 1;4].
1
4
(2 3) 1 0 2 3 0 3
1 3 4
2
x
x
x x x x
xx x x
Hướng 3. n n
a b
ẵ
2 2 2
(2) 4 2.2. 3 4 ( 3 4) 6 9x x x x x x
26. khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821
25
2
2 2 2
2
2 3 4 3
(2 3 4) ( 3)
2 3 4 3
x x x
x x x
x x x
2
2
3 4 2 3
1
23 4 5 0 : 1;4o
x x x
x x
x x x VN x
Ví dụ 31. Gi
2
6 4
2 4 2 2
4
x
x x
x
( )
Phân tích. (2 4) (8 4 ) 6 4x x x ế ả
ế é ờ ả :
Lời giải 2 2.x
2
2 (6 4) 4
( ) 4.( 2 4 8 4 ) 6 4 6 4
2 4 8 4
x x
x x x x x
x x
2
2
2
4
3(6 4) 1 0
2 4 8 4
2 4 8 4 4 (1)
xx
x
x x
x x x
2 2 2
(1) 2 12 2 (2 4)(8 4 ) 4 4 8 2 2 8x x x x x x x
4 3 2
2 2
2
4 2 2.
(2) 0
( ) 4 20 32 64 0
x
x
x x x
f
f x x x x x
Kết luận
2
, 2.
3
x x
Nhận xét Q ế 31 ế é
é ẳ S
ả q ế .
Nhóm II: S dụng casio, tìm nghiệm duy nhất PP
o
x x ghép hằng số.
Ví dụ 32. Gi 2
3 1 6 3 14 8 0x x x x ( )
Đại học khối B năm 2010
Phân tích é
: 2
3 1 6 3 14 8X X X X và 2
= ả 5.X
ú 2
( 3 1 6 3 14 8) :( 5)X X X X X và
ế shift solve 2 = thì cho ế q ả ế
27. Tư duy sáng tạo tìm tòi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vô tỷ – ThS. Lê Văn Đoàn
26
T ẳ 1 é
T é : 2
( 3 1 ) ( 6 ) 3 14 8 0x m n x x x m n ,m n
5,x ĩ
3 1 3.5 1 4
6 6 5 1
m x
n x
2
( 3 1 4) (1 6 ) 3 14 5 0x x x x
( ) ( 5)x ờ ả ế :
Lời giải
3 1 0 1
6.
6 0 3
x
x
x
2
( ) ( 3 1 4) (1 6 ) 3 14 5 0x x x x
3( 5) 5
(3 1)( 5) 0
3 1 4 1 6
x x
x x
x x
3 1
( 5) 3 1 0 5.
3 1 4 1 6
x x x
x x
Do
1
;6 ,
3
x
suy ra:
3 1
3 1 0.
3 1 4 1 6
x
x x
Kết luận 5.x
Ví dụ 33. Gi 2 3
3 10 3 3 26 5 2x x x x x ( )
Phân tích S 2x
é : ( 3 3 ), ( 5 2 )x m x n
3 3 3.2 3 3, 5 2 5 2.2 1m x n x ờ ả :
Lời giải
3 3 0 5
1
5 2 0 2
x
x
x
3 2
( ) ( 3 3 3) (1 5 2 ) 3 10 24 0x x x x x
23( 2) 2( 2)
( 2)( 12) 0
3 3 3 1 5 2
x x
x x x
x x
23 2
( 2) ( 12) 0
3 3 3 5 2 1
x x x
x x
2x 23 2
12
3 3 3 5 2 1
x x
x x
(1)
2
( ) 12f x x x
5
1;
2
có
1
( ) 2 1 0
2
f x x x
Mà
5 33 1 49
( 1) 10, ,
2 2 2 2
f f f
Suy ra:
5
1;
2
max ( ) 10.f x
28. khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821
27
(1)
( ) 10,VP f x mà
(1)
3 2 5
0, 1; ,
23 3 3 5 2 1
VT x
x x
Kết luận 2.x
Ví dụ 34. Gi i: 2 3 2
3 4 2 3 1 2 1 6 7 3 0x x x x x x ( )
Phân tích S 1x
é
1,x ờ ả :
Lời giải. 2
2 1 0; 3 1 0 1
23 4 2 0
x x
x
x x
2 3 2
( ) ( 3 4 2 1) ( 3 1 2) ( 2 1 1) 6 7 1 0x x x x x x
2
3 2
2
3 4 1 3 3 2 2
6 7 1 0
3 1 2 2 1 13 4 2 1
x x x x
x x
x xx x
2
2
( 1)(3 1) 3( 1) 2( 1)
( 1)(6 6 1) 0
3 1 2 2 1 13 4 2 1
x x x x
x x x
x xx x
2
2
3 1 3 2
( 1) 6 6 1 0
3 1 2 2 1 13 4 2 1
x
x x x
x xx x
2
2
1
3 1 3 2
6 6 1 0 (1)
3 1 2 2 1 13 4 2 1
x
x
x x
x xx x
2
( ) 6 6 1f x x x trên
1
;
2
có
1
( ) 12 6 0,
2
f t x x
( )f x
1
; ,
2
suy ra:
1 7
( )
2 2
f x f
Mà
2
3 1 3 2 1
( ) 0,
23 1 2 2 1 13 4 2 1
x
g x x
x xx x
(1)
( ) ( ) 0,VT f x g x
Kết luận: 1.x
Ví dụ 35. Gi 2 2
15 3 2 8x x x ( )
Phân tích S 1,x
ghé : 2 2
( ) 15 8 3 2x x x
và có 2 2
15 8 0,x x x ( ) 3 2 0.x V
ế
29. Tư duy sáng tạo tìm tòi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vô tỷ – ThS. Lê Văn Đoàn
28
2
3
x
Lời giải 1
2 2
2 2
2 2
1 1
( ) 15 4 8 3 3 3 3( 1)
15 4 8 3
x x
x x x x
x x
2 2
1 1
( 1) 3 0
15 4 8 3
x x
x
x x
1x
2 2
1 1
3
15 4 8 3
x x
x x
(1)
2 2
(1)
2 2 2 2
1 1 8 15 1
( 1) ( 1)
15 4 8 3 ( 15 4)( 8 3)
x x
VT x x
x x x x
2
,
3
x suy ra: 2 2
1 0
8 15 1 0
x
x x
nên (1) 1
0 3VT VP
Kết luận 1.x
Lời giải 2 : 2 2
( ) 15 8 3 2 0x x x
2 2
( ) 15 8 3 2f x x x x v x >
2
3
có:
2 2
2 2 2 2
8 15 2
( ) 3 . 3 0,
315 8 ( 8)( 15)
x x x x
f x x x
x x x x
( )f x
2
;
3
và có (1) 0,f nên 1x
Ví dụ 36. Gi 23
9 2 3 5 1 1x x x x ( )
Học sinh giỏi Tp. Hà Nội 2013
Phân tích S 1.x
é ờ ả 1 :
1
5 1 0
5
x x
Lời giải 1
23
( ) ( 9 2) (2 5 1) 2 3 5 0x x x x
23 3
1 5( 1)
( 1)(2 5) 0
( 9) 2 9 4 5 1 2
x x
x x
x x x
30. khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821
29
23
1 5
( 1) 2 5 0 1:
( 9 1) 3 5 1 2
x x x
x x
Do
23
1 5 5 2 1
2 5 5 0,
2 5 5( 9 1) 3 5 1 2
x x
x x
Nhận xét é
( ). ( )o
x x f x ( )f x ả
q ế Đối với loại ghép h ng số
( )f x phương pháp truy ngư c d u ả ả
( )f x đối với phương trình c nghiệm duy nh t :
Bước 1. ế
23
( ) 9 5 1 2 3 1 0x x x x
Bước 2 ax : é
:
3
23 3
1
9 2 ( 1) ,
( 9) 2 9 4
x x
x x
23 3
1
( 9) 2 9 4x x
:
5(1 ) 5
2 5 1 ( 1) ,
2 5 1 2 5 1
x
x x
x x
( )m A thành ( )),A A m :
5( 1) 5 1
5 1 ( 5 1 2)
5 1 2
x x
x x
x
5 1( 5 1 2) 5 1 2 5 1x x x x
5 1x ế ờ ả :
Lời giải 2. Ta có: 23
( ) 2 9 2 5 1 4 6 2 0x x x x
23
2( 9 2) 5 1( 5 1 2) 4 5 0x x x x x
23 3
1 5( 1) 5 1
( 1)(4 5) 0
( 9) 2 9 4 5 1 2
x x x
x x
x x x
23
1 5 5 1
( 1) (4 5) 0 1 0 1.
( 9 1) 3 5 1 2
x
x x x x
x x
Ví dụ 37. Gi 2
2 4 2 5 2 5x x x x x ( )
Đề nghị Olympic 30/04/2013 – Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai – S c Trăng
5
4.
2
x
Phân tích và lời giải 1. (L ờ : S 3x
é :
31. Tư duy sáng tạo tìm tòi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vô tỷ – ThS. Lê Văn Đoàn
30
( 2 ), ( 4 ), ( 2 5 )x m x n x p , ,m n p
3,x
2 1, 4 1, 2 5 1.m x n x p x
2
( ) ( 2 1) ( 4 1) ( 2 5 1) 2 5 3x x x x x
3 3 2( 3)
( 3)(2 1)
2 1 4 1 2 5 1
x x x
x x
x x x
1 1 2
( 3) (2 1) 0
2 1 4 1 2 5 1
x x
x x x
3
1 2 1
2 1 (1)
2 1 2 5 1 4 1
x
x
x x x
(1) vô nghi m do
5
;4
2
x
có
(1)
(1)
1 2 1 2
3
1 12 1 2 5 1
1 5
2 1 2 1 2. 1 6
24 1
VT
x x
VP x x
x
Kết luận: So v u ki m duy nh t 3.x
Phân tích và lời giải 2. (T c d u): Sau khi chuy n vế sao cho h s
th c luôn thì 2
( ) 2 5 2 4 2 5 0x x x x x nếu ghép và liên
h ờng thì
3 3
(1 2) ( ), (1 4 ) ( )
1 2 1 4
x x
x a x b
x x
và
2(3 )
(1 2 5) ( )
1 2 5
x
x c
x
th y bi u th c ( ), ( )a c b c d u so v i bi u th c
( )b c l i theo d ng ( )m A A A m và có lời giải 2.
2
( ) 2 5 2 4 2 5 0x x x x x
2
2( 2 1) (1 4 ) 2 5( 2 5 1) 2 8 6 0x x x x x x x
( 3) 2 3 2( 3) 2 5
2( 3)( 1) 0
2 1 1 4 2 5 1
x x x x x
x x
x x x
2 1 2 2 5
( 3) 2( 1) 0
2 1 1 4 2 5 1
x x
x x
x x x
3
5
0 : ;4 .2 1 2 2 5
20 2( 1)
2 1 1 4 2 5 1
o
x
VN xx x
x
x x x
Kết luận: So v u ki m duy nh t 3.x
32. khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821
31
Ví dụ 38. Gi 3 2
5 6 ( 2)( 2 2 5 )x x x x x x ( )
Đề nghị Olympic 30/04/2013 – Sở Giáo Dục & Đào Tạo tỉnh Bạc Liêu
1 5.x
2
( ) ( 5 6) ( 2)( 2 2 5 )x x x x x x
( 2)( 3) ( 2)( 2 2 5 )x x x x x x
( 3) 2 2 5x x x x (1) (do: : 2 0, 1;5x x
Lời giải 1 1.x
2
(1) ( 2 2 2) ( 5 2) ( 3 4) 0x x x x
2( 1) 1
( 1)( 4) 0
2 2 2 2 5
x x
x x
x x
1x
2 1
4
2 2 2 2 5
x
x x
(2)
Ta có:
(2)
(2)
2 2
1
22 2 2
1;5
1
4 4 3
2 5
VT
x
x
VP x x
x
Kết luận 1.x
Lời giải 2 ( 1). ( ) 0x f x có ( ) 0.f x
2
(1) 3 2 2 5 0x x x x
2
2 2( 2 2 2) 2(2 5 ) 2 4 6 0x x x x x
( 1) 2 2 ( 1)
( 1)( 3) 0
2 2 2 2 5
x x x
x x
x x
1x ho c
2 2 1
0 3 0
2 2 2 2 5
x
x
x x
vô nghi m 1;5 .x
Kết luận 1.x
Ví dụ 39. Gi 23
6 1 1x x x ( )
1 0 1.x x
Lời giải 1. 2,x
23
( ) ( 6 2) ( 1 1) 4x x x
2 33
2 2
( 2)( 2)
1 1( 6) 2. 6 4
x x
x x
xx x
23
1 1
( 2) 2 0
( 6 1) 3 1 1
x x
x x
(1)
33. Tư duy sáng tạo tìm tòi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vô tỷ – ThS. Lê Văn Đoàn
32
Do
23
1 1 1 2
2 1 2 0, 1
3 3( 6 1) 3 1 1
x x x x
x x
nên:
(1) 2 0 2.x x
Kết luận 2.x
Phân tích và lời giải 2. Chuyên vế thì 2 3
( ) 4 4 4 6 4 1 0x x x và
ả
33 2 2
( )A A m ế
ờ 3
m A ờ ả :
23
(2) 6 1 1x x x
2 23 3
4 5 6 6 ( 6) 4 4 1( 1 1) 0x x x x x x
3
2 33
( 2)( 14) 6 4( 2) 1
( 2)(4 3) 0
1 1( 6) 4 6 16
x x x x x
x x
xx x
3
23
0, 1
( 14) 6 4 1
( 2) 4 3 0 2 0 2.
( 6 2) 12 1 1
x
x x x
x x x x
x x
Kết luận 2.x
Ví dụ 40. Gi 3 2 2
2 2 5 2 4 5 5 4x x x x x x ( )
2
2 5 0 5
44 5 0
x x
x
x
Phân tích và lời giải 1. S 1,x
é ờ ả 1 :
3 2 2
( ) 2 5 4 (2 2 5) 2(3 4 5) 0x x x x x x
2
2
2
2 1 4 4
( 1)( 4) 2 0
4 5 32 5 2
x x x
x x x
xx x
2
2
( )
1 8
( 1) 4 0
4 5 32 5 2
f x
x
x x x
xx x
(1)
2 2
2
1
( 1) 4 2 ( 1) 1 1 1
( 1) 4 2
x
x x x x
x
(2)
5
,
4
x suy ra
8 8 8 8
3 34 5 3 4 5 3x x
(3)
34. khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821
33
2
2 11 1 1 5
( ) 4 0,
3 2 12 4
f x x x x x
(4)
(1) 1 0 1.x x
Kết luận 1.x
Phân tích và lời giải 2.
T
8( 1) 4 5
2 4 5( 4 5 3)
4 5 3
x x
x x
x
8 4 5 5
0,
44 5 3
x
x
x
2 4 5( 4 5 3) 2(4 5) 3.2 4 5x x x x 3 4 5x
ế 3 2
(2 2 5)x x 2
( ) 2 5ax b x x
.( 1)m x ọ 1a 2
.x
2
2
2
(2 2) 5
( ) 2 5
2 5
b x b
x b x x
x b x x
.( 1)m x
2
2 2
5
m b
m b
ả 1b 3.b
ả ọ 1b ờ ả :
3 2 2
( ) 3 6 15 12 3 2 5 6 4 5 0x x x x x x
2 3 2
3( 1 2 5) 2 4 5( 4 5 3) 3 6 4 1 0x x x x x x x x
2
2
12( 1) 8( 1) 4 5
( 1)(3 3 1) 0
4 5 31 2 5
x x x
x x x
xx x x
2
2
12 8 4 5
( 1) 3 3 1 0 1.
4 5 31 2 5
x
x x x x
xx x x
Kết luận 1.x
Ví dụ 41. Gi (5 4) 2 3 (4 5) 3 2 2x x x x ( )
Chọn đội tuyển VMO năm 2015 – Tỉnh Đồng Nai
Phân tích S 6.x ế
ế ế
2 2
(2 3)(5 4) (3 2)(4 5) 2x x x x ả
A B C ế ế ú ỉ
1 é ờ ả :
Lời giải.
3
2
x
( ) (5 4) 2 3 2 (4 5) 3 2x x x x
3 2 3 2
50 155 152 48 48 152 155 46 4(4 5) 3 2x x x x x x x x
35. Tư duy sáng tạo tìm tòi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vô tỷ – ThS. Lê Văn Đoàn
34
3 2
2 3 3 2 4(4 5) 3 2 0x x x x x (1)
3 2
(4 5) 3 2.( 3 2 4) 2 15 20 12 0x x x x x x (2)
23( 6)(4 5) 3 2
( 6)(2 3 2) 0
3 2 4
x x x
x x x
x
23(4 5) 3 2
( 6) 2 3 2 0 6
3 2 4
x x
x x x x
x
Do 23(4 5) 3 2 3
2 3 2 0,
23 2 4
x x
x x x
x
Kết luận 6.x
Bình luận T ế 1 ỹ
4(4 5)(4 3 2)x x thành (4 5) 3 2.( 3 2 4)x x x
Ví dụ 42. Gi 2
( 1) 2 ( 6) 7 7 12x x x x x x ( )
2.x
Phân tích và lời giải 1. S 2,x
é
é ( 1).( 2 ), ( 6).( 7 ).x x m x x n
2
( ) ( 1)( 2 2) ( 6)( 7 3) ( 2 8) 0x x x x x x
2 2
( 1) ( 6) ( 2)( 4) 0
2 2 7 3
x x
x x x x
x x
1 6
( 2) 4 0 2.
2 2 2 3
x x
x x x
x x
Do 2,x suy ra: 2 0, 6 0x x và lúc này, ta luôn có:
1 6 2 2 6 6
4
2 22 2 7 3 2 2 7 3
x x x x x x
x
x x x x
1 2 2 6 6 1 6 1
0
2 2 3 2 62 2 2 2 2 2
x x x x x
x x x
Kết luận 2.x
Phân tích và lời giải 2. Nếu liên h p d ng
( 1)( 2)
( 1)( 2 2)
2 2
x x
x x
x
1x 2x ĩ ế
2
( 2)( 1)x x sau khi ả
( 2)( 1)x x 1, 2x x
é ( ) 2ax b x
36. khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821
35
ả ( 2)( 1)),x x
2 2 2 2 2 2 1 4
,
3 31 2 1 2 1
khi x x ax b a b
a b
khi x x ax b a b
é
1 4
( 1) 2
3 3
x x x
ả ế 3 ế
2 2
( 1)( 2) ( 2)( 1)
( 1) ( 4) 3 2
4 3 2 4 3 2
x x x x x
x x x
x x x x
ả ả
:
2
( 1)
0, 2.
4 3 2
x
x
x x
:
( 6)( 2)
( 6)(3 7)
3 7
x x
x x
x
6 0x 2,x : ( 6)(3 7)x x
( 2)( 6) 7
( 6) 7( 7 3)
7 3
x x x
x x x
x
( 6) 7
0, 2.
7 3
x x
x
x
T ờ ả :
2
( ) ( 1)( 4 3 2) ( 6) 7( 7 3) 3 10 0x x x x x x x x
2
( 1) ( 2) 2
( 6) 7 ( 2)( 5) 0
4 3 2 7 3
x x x
x x x x
x x x
2
0, 2
( 1) ( 6) 7
( 2) 5 0 2.
4 3 2 7 3
x
x x x
x x x
x x x
Kết luận 2.x
Ví dụ 43. Gi 2
( 1) 4 5 2( 5) 3 3 14 13x x x x x x ( )
4 5 0.x
Lời giải 1. 1x
2
( ) ( 1)( 4 5 3) 2( 5)( 3 2) 3 7 10x x x x x x
4( 1).( 1) 2( 5)( 1)
( 1)(3 10) 0
4 5 3 3 2
x x x x
x x
x x
4( 1) 2( 5)
( 1) (3 10) 0 1.
4 5 3 3 2
x x
x x x
x x
Do
4 5 05
5 04
x
x
x
4( 1) 2( 5)
(3 10)
4 5 3 3 2
x x
x
x x
4 5 4 5 2( 5) 5 25 5
3 34 5 3 3 2 4 5 3
x x x x
x x x
4 5 4 5 2( 5) 5 25 5 2 10 5
0
3 3 2 3 34 5 3 4 5 3
x x x x x
x x
37. Tư duy sáng tạo tìm tòi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vô tỷ – ThS. Lê Văn Đoàn
36
Kết luận có nghi m duy nh t 1.x
Lời giải 2.
2
( ) 2( 1). ( 2) 4 5 2( 5) 3.( 3 2) 2 6 8 0x x x x x x x x
2
2( 1) ( 1) 2( 5)(x 1) 3
2( 1)( 4) 0
2 4 5 3 2
x x x x
x x
x x x
2
2( 1) 2( 5) 3
( 1) 2( 4) 0 1.
2 4 5 3 2
x x x
x x x
x x x
Do
2
2( 1) 2( 5) 3 5
2( 4) 0,
42 4 5 3 2
x x x
x x
x x x
Kết luận m duy nh t 1.x
Sai lầm thường gặp i v i cách gi i 1, sai l ng g p c a h c sinh là
4( 1) 2( 5) 4 2
(3 10) ( 1) ( 5) (3 10)
3 24 5 3 3 2
x x
x x x x
x x
2 23 5
0,
3 4
x
x
B i lẻ v i
5
4
x thì d u c a 1x c nh âm
t.
Ví dụ 44. Gi 23
3 2 3 2 2 2 1x x x x ( )
Lời giải.
2
3
x
23
( ) ( 3 2 2) 2 ( 3 2 2) 2 2 2 1x x x x x
23
( 3 2 2) ( 3 2 2) 2 ( 1) 2 1 0x x x x x
2 233
3( 2) 3 ( 2) 2 ( 2)
0
3 2 2(3 2) 2 3 2 4 1 2 1
x x x x x
xx x x x
2 233
3 3 2
( 2) 0
3 2 2(3 2) 2 3 2 4 1 2 1
x x
x
xx x x x
2
23 2
3 (3 2 1 2 3 2 3 1)
( 2) 0
( 3 2 1) 3 ( 3 2 2)( 1 2 1)
x x x x
x
x x x x
2
2
23 2
( )
18 12 17
3 1
3 3 2 1 2 3 2
( 2) 0
( 3 2 1) 3 ( 3 2 2)( 1 2 1)
f x
x x
x x
x x
x
x x x x
2 0 2.x x Do
2
• 8 72
3 •
x x
x
x
nên ( ) 0.f x
38. khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821
37
Kết luận 2.x
Ví dụ 45. Gi 2
18 (2 9) 3 2 5 1 0x x x x x ( )
1
5
x
Lời giải 1. Liên h ng.
2
( ) (2 9)( 3 2) 2(2 5 1) 3 4 0x x x x x
1 10.(1 )
(2 9) ( 1)( 4) 0
3 2 5 1 2
x x
x x x
x x
2 9 10
( 1) 4 0
3 2 5 1 2
x
x x
x x
(1)
2 9 10
( ) 4
3 2 5 1 2
x
f x x
x x
trên
1
;
5
2 2
2 3 8 3 5 1
( ) 1 0,
52 3( 3 2) 5 1( 5 1 2)
x x
f x x
x x x x
( )f x
1
; ,
5
suy ra
1 227 94 5
( ) 0
5 10
f x f
(2)
1 0 1.x x
Kết luận 1.x
Lời giải 2 c d u.
( ) 3(4 18 11 3) 2 5 1( 5 1 2) ( 1)(2 1) 0x x x x x x x
( 1)(16 39) 10( 1) 5 1
3 ( 1)(2 1) 0
4 18 11 3 5 1 2
x x x x
x x x
x x x
(16 39) 3 10 5 1
( 1) (2 1) 0 1.
4 18 11 3 5 1 2
x x x
x x x
x x x
Do
1
,
5
x suy ra:
(16 39) 3 10 5 1
2 1 0.
4 18 11 3 5 1 2
x x x
x
x x x
Kết luận 1.x
Nhóm III: Có nghiệm đẹp 1 2
, PP
x x x x ghép bậc nhất .ax b
Ví dụ 46. Gi 2 2
2 3 21 17x x x x x ( )
Phân tích. S 2 2
2 3 21 17X X X X X
2.X
ú 2 2
( 2 3 21 17) :( 2)X X X X X X ,
1.X
39. Tư duy sáng tạo tìm tòi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vô tỷ – ThS. Lê Văn Đoàn
38
2
( 2)( 1) 3 2x x x x é
: 2
2 3 ( ) , ( ) 21 17x x ax b cx d x
, , ,a b c d :
2 2
2 2
1 2 3 2.1 1 3 2 1
12 2 3 2.2 2 3 3 2
khi x x x ax b a b a
bkhi x x x ax b a b
và
1 21 17 21.1 17 2 2 3
2 5 12 21 17 21.2 17 5 2
khi x x cx d c d c d c
c d dkhi x x cx d c d
é ờ ả :
Lời giải. 21 17 0.x
2 2
( ) 2 3 ( 1) (3 1) 21 17 ( 3 2) 0x x x x x x x
2 2
2
2
3 2 9( 3 2)
( 3 2) 0
3 1 21 172 3 1
x x x x
x x
x xx x x
2
2
1 9
( 3 2) 1 0
3 1 21 172 3 1
x x
x xx x x
(1)
Do
17
,
21
x suy ra:
2
1 9
1 0
3 1 21 172 3 1 x xx x x
nên:
(1) 2
3 2 0 1x x x 2.x
Kết luận 1, 2.x x
Ví dụ 47. Gi 2
2 3 4 3 5 9 6 13x x x x ( )
u ki n:
3 4 0 4
5 9 0 3
x
x
x
Phân tích S : 0, 1.x x é
2. 3 4 ( ) , 3. 5 9 ( ) ,x ax b x cx d
:
0 3 4 3.0 4 2 .0 1
21 3 4 3.( 1) 4 1 .( 1)
khi x x ax b a b b a
bkhi x x ax b a b a b
0 5 9 5.0 9 3 .0 1
31 5 9 5.( 1) 9 2 .( 1)
khi x x cx d c d d c
dkhi x x cx d c d c d
Lời giải. Ta có: 2
( ) 2 3 4 ( 2) 3 5 9 ( 3)x x x x x x
2 2
22( ) 3( )
( ) 0
3 4 2 5 9 3
x x x x
x x
x x x x
2 2 02 3
( ) 1 0 0
13 4 2 5 9 3
x
x x x x
xx x x x
40. khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821
39
Do
4
,
3
x suy ra:
2 3
1 0.
3 4 2 5 9 3x x x x
Kết luận 1, 0.x x
Ví dụ 48. Gi 2 2
3 2 1 5 4 4x x x x ( )
Đề nghị Olympic 30/04/2014 – THPT Chuyên Bình Long – Bình Phước
Phân tích S
1
, 1
2
x x é
V 2 1x thì
1 1 1
22 1 2 1 0
2 2 2
1
1 2 1 2.1 1 1 1.
ax x ax b a b
b
x x ax b a b
V 2
5 4x thì
2
2 2
1 1
5 4 5 1 2 2
2 2
3
1 5 4 5 4.1 1
khi x x ax b a b a
b
khi x x ax b a b
Lời giải
1 5
2 2
x ( )a
1
2
x
V
1
2 1 2 1 0
2
x x x thì:
2 2
( ) 3 2 1 (2 1) . 5 4 ( 2 3) 3(2 3 1) 0x x x x x x x
2 2
2
2
6(2 3 1) 4 (2 3 1)
3(2 3 1) 0
2 1 2 1 5 4 3 2
x x x x x
x x
x x x x
2
2
6 4
(2 3 1) 3 0
2 1 2 1 5 4 3 2
x
x x
x x x x
2 1
2 3 1 0
2
x x x (lo i) ho c 1.x
Kết luận
1
1,
2
x x
Nhận xét T ả é ờ
1
2 1 2 1 0
2
x x x
é ế ờ ọ .
Ví dụ 49. Gi 23
3 5 2 19 30 2 7 11x x x x ( )
Đề nghị Olympic 30/04/2014 – Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai – S c Trăng
41. Tư duy sáng tạo tìm tòi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vô tỷ – ThS. Lê Văn Đoàn
40
Phân tích S 2, 3x x
é ờ ả :
Lời giải
5
3 5 0
3
x x ( )a
23
( ) 3 5 ( 1) 2 ( 19 30 ) 2 10 12x x x x x x
2 3
2 233
3 5 ( 1) 19 30
2 2( 2)( 3)
3 5 1 (19 30) 19 30
x x x x
x x
x x x x x x
2 233
( 2)( 3) ( 2)( 3)( 5)
2 2( 2)( 3)
3 5 1 (19 30) 19 30
x x x x x
x x
x x x x x x
2 233
0, ( )
1 2( 5)
( 2)( 3) 2 0
3 5 1 (19 30) 19 30
x a
x
x x
x x x x x x
( 2)( 3) 0 2x x x ho c 3.x
Kết luận 2, 3.x x
Ví dụ 50. 3 2 2
( 1) 3 1 2 1 2 1 6x x x x x x x ( )
2
3 1 0 1
31 0
x
x
x x
Phân tích và lời giải 1 S 2 0, 1,x x
2
( 1) .x x x x D é
: 2
( 1). 3 1 ( ) , 2. ( ) 1x x ax b cx d x x
:
0 3 1 1 1
11 3 1 2
Khi x x ax b b a
bKhi x x ax b a b
:
2
2
0 1 1 0
11 1 1
Khi x x x cx d d c
dKhi x x x cx d c d
T ờ ả 1 :
2 3 2
( ) ( 1) 3 1 ( 1) 2(1 1) 3 4 0x x x x x x x x
2 2
2
2
( 1)( ) 2( )
( )( 4) 0
3 1 1 1 1
x x x x x
x x x
x x x x
2
2
01 2
( ) 4 0
13 1 1 1 1
xx
x x x
xx x x x
Do
2
1 2 1 1
4 2 4 1 0,
1 33 1 1 1 1
x x
x x x x
xx x x x
Kết luận 0, 1.x x
42. khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821
41
Phân tích và lời giải 2 V ( )f x trong 2
( ). ( )x x f x sau khi
liên : 2
2.(1 1)x x :
2 2
2. 1.( 1 1)x x x x 3 1 ( 1)x x 3 1.( 1 3 1)x x x
( )f x p T ờ ả :
2 2 3
( ) 2 1( 1 1) 3 1( 1 3 1) 0x x x x x x x x x
2 2 2
2
2
2( ) 1 ( ) 3 1
( )( 1) 0
1 3 11 1
x x x x x x x
x x x
x xx x
2
2 2
2
02 1 3 1
( ) 1 0 0
11 3 11 1
xx x x
x x x x x
xx xx x
Do
1
,
3
x suy ra:
2
2
2 1 3 1
1 0.
1 3 11 1
x x x
x
x xx x
Kết luận 0, 1.x x
Ví dụ 51. 3 2
3 2 4 4 1x x x x x x x ( )
Phân tích và lời giải. S 1, 2x x
é T
é ế 2
( 1)( 2) 2.x x x x
ế ế ả ọ
2 3.x
2
( ) ( 3 1) ( 2 ) ( 2)( 2)x x x x x x x
2 2
22 2
( 2)( 2) 0
3 1 2
x x x x
x x x
x x x x
2 1 1
( 2) 2 0
3 1 2
x x x
x x x x
2
2 0 1x x x 2.x
Kết luận 1, 2.x x
2. Liên hợp với phương trình có nghiệm vô tỷ hoặc có sự biến đổi
Nhóm I: Đặt ẩn phụ để đơn giản hơn hoặc có sự biến đổi, rồi liên hợp
Ví dụ 52. Gi (8 13) 4 7 2( 2) 2 3 12 35x x x x x ( )
Phân tích. S
1
2
x N
2 ,x ả q
1 2
2 3 2 3.t x x t
43. Tư duy sáng tạo tìm tòi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vô tỷ – ThS. Lê Văn Đoàn
42
2 2 3 2
( ) (4 1) 2 1 6 17 0t t t t t ú 2,t é
ờ ả :
Lời giải 2 3 0.x 2
2 3 0 2 3.t x x t
2 2 3 2
( ) (4 1) 2 1 6 17t t t t t
2 2 3 2
(4 1) 2 1 ( 1) 3 2 16 0t t t t t
2 2
2
2
(4 1)( 2 )
( 2)(3 4 8) 0
2 1 1
t t t
t t t
t t
2
2
0, 0
1 1
( 2) 3 4 8 0 2 0 2
22 1 1
t
t t t t t x
t t
Kết luận
1
2
x
Bình luận ế 2 3 0t x
2t é 2 2 2
(4 1)( 2 1 3) ( 2)( 4 7)t t t t t
ế ẳ ả
q ế ả ế
ọ ả
2 2
(4 1)( 2 1 3)t t 2 2
(4 1). 2 1 ( 1)t t t
ả ả
V ế ả 1t ?!
TL
ở 0,t ế .( 2)t t
é ax b 0, 2)t t
é 1,t ọ
2 3 2
(4 1)( 1) 4 4 1t t t t t :
3 2 2
3 2 16 ( 2)(3 4 8)t t t t t có 2
3 3 8 0, , (do : 0, 3 0).t t t a
Ví dụ 53. Gi 3 2 4 2
(8 6 1) 4 21 16 12 2 21x x x x x x ( )
Chọn đội tuyển VMO năm 2014 – Tỉnh Nghệ An
Phân tích S 1.x Nh
2 ,x ả
2t x ờ ả :
Lời giải 2 .t x
3 2 4 2
( ) ( 3 1) 21 3 21t t t t t t
3 2 3
( 3 1) 21 ( 3 1) 21t t t t t t
44. khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821
43
3
3 2
2
21.( 3 1)
( 3 1).( 21 ) 21 21
21
t t
t t t t
t t
3 2 3 2
3 1 21 ( 3 2) ( 3 21) 0t t t t t t t t
2 2
2 2
6( 2) 6
( 2)( 1) 0 ( 2) ( 1) 0
3 21 3 21
t
t t t t
t t t t
2,t suy ra: 2 2 1.t x x
Kết luận 1.x
Ví dụ 54. Gi 3 3 4 3
(28 4 ) 2 15 2 3 14 16x x x x x ( )
Phân tích. 3 3 4 3 3 3
28 4 4(7 ); 2 14 2 ( 7); 2 15 2( 7) 1x x x x x x x x
ả 3 3 3
7 7 7t x x t x t ờ ả :
Lời giải 3 3
15
2 15 0
2
x x
3 3 3 3
( ) 2 ( 7) 3( 7) 5 4(7 ) 2( 1)x x x x x (1)
3 3
7 7t x x t 3 3 1
2 15 0 2 2 14 1
2
x t x t
3 3
(1) 2 7 4 2 1 3 5 2 ( 7 2) 4 ( 2 1 1) 5( 1) 0t t t t t t t t t t
2 33
2 ( 1) 8 ( 1)
5( 1) 0 1 2.
2 1 1( 7) 2 7 4
t t t t
t t x
tt t
Do:
2 33
2 8 1
5 0,
22 1 1( 7) 2 7 4
t t
t
tt t
Kết luận 2.x
Ví dụ 55. Gi i 2 4 2 4 2
91 2 2 93 2 2 2 93x x x x x x x x x
Đề nghị Olympic 30/04/2014 – THPT Phân Châu Trinh – Đà Nẵng
Lời giải
4 2
2
2 2 93 2 0
x
x x x x
4 2
2 2 93 0.t x x x x
Suy ra: 2 4 2 2 2
2 2 93 ( 2) 91.t x x x x x x
h
2 2 2 2 2
2 2 2 2
( 2) 91 2 91
91 2 2 91
x x t x x t
x t t t t x
2 2
( )( )
( )( ) 0
2 2 91 91
x t x t x t
x t x t
x t t x
( , 2)x t
45. Tư duy sáng tạo tìm tòi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vô tỷ – ThS. Lê Văn Đoàn
44
2 2
1
( ) 0 .
2 2 91 91
x t
x t x t x t
x t t x
Suy ra: 2 2 2 2
91 2 ( 91 10) ( 2 1) ( 9)x x x x x x
2
( 3)( 3) 3
( 3)( 3)
2 191 10
x x x
x x
xx
2
3 1
( 3) ( 3) 0 3 :
2 191 10
x
x x x
xx
Do:
2
3 1 3 1
( 3) ( 3) 0, 2.
102 1 2 191 10
x x
x x x
x xx
Kết luận 3.x
Bình luận. Trong bài giả t n ph h i x ng
lo i II, ta s tìm hi u d u hi u nh n d th ở nh ng bài họ
n a, qua bài này tôi mu n g i m p r ng: khi g p h i x ng
lo i II ch c thì sau khi l y vế tr vế s liên h p luôn nh c ,x y ho c
có th s d ng nhân t .x y
Ví dụ 56. Gi
3 2 9
3 1 3
x x
xx x
( )
Phân tích
q
ế ú ú ọ
ế T ờ
2
1 2
( ) .( )( )f x ax bx c a x x x x 1 2
,x x
( ) 0f x ẳ
:
2
2 2
2 2
•
•
•
x x x x x x
x x x x
x x x x
T ế ờ ả :
Lời giải
1 0; 9 0 1 9
3 1 3 0.
0 0
x x x
x x
x x
( 1 2)( 1 2) 2 9
( )
( 1 1)( 1 2) ( 1 1)( 1 1)
x x x
x x x x
( 1 2)( 1 1) 2 9 3 3 1 2 9 0x x x x x x
( 8) 1 2( 8)
1( 1 3) 2(1 9 ) 0 0
1 3 1 9
x x x
x x x
x x
46. khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821
45
8 0 8 :x x
Do: 1 2
0, 1;9 0
1 3 1 9
x
x
x x
.
Kết luận 8.x
Ví dụ 57. Gi
( 6) 1 8 2 2 1 5
23 1
x x x x
x x
( )
Lời giải V 1,x thì ta có:
2
3 2
•
• 6 8 5 6
( 1) 2( 1) 5 1 6 ( 1 2)( 1 3)( 1 1)
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
1 1
21 1 0
x x
xx
( 1 2)( 1 3)( 1 1) 2 1 5 2 1 5
( ) 1 3
2 2( 1 1)( 1 2)
x x x x x
x
x x
x 5 nên có tách ghép:
( 2 1 3) 2
1 2 1 2( 1 2) ( 2 1 3)
2
x
x x x
2( 5) 2( 5) 1 1
( 5) 0
1 2 2 1 3 1 2 2 1 3
x x
x
x x x x
5 0 1
5 :
2 1 1 1 0 2 2 2 1 1
x x
x
x x x x x
Kết luận 5.x
Ví dụ 58. Gi
2
9 14 25 ( 1 1)(2 4)
3 3 4 2 1
x x x x
xx x
( )
Phân tích và lời giải 1,x suy ra: 3 3 4 2 1 0.x x Ta có:
2 2
(3 3) 4 2 1 (3 3) 4 2 1 (3 3) 16 2 1 9 14 25x x x x x x x x
2
9 14 25
(3 3) 4 2 1
3 3 4 2 1
x x
x x
x x
( 1 1)(2 4)
( ) 3 3 4 2 1
x x
x x
x
2
3 3 4 2 1 (2 4) 1 2 4x x x x x x x
2
3 5 4 4 2 1 2( 2) 1 0x x x x x x
47. Tư duy sáng tạo tìm tòi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vô tỷ – ThS. Lê Văn Đoàn
46
D ẵ
n n
A B ẳ :
2 2
4 2.2 . 2 1 (2 1) ( 2) 2.( 2). 1 ( 1) 0x x x x x x x x
2 2 2 2
(2 2 1) ( 2 1) 0 (2 2 1) ( 2 1)x x x x x x x x
2 2 1 2 1 1 2 1 2
2 2 1 2 1 3 2 1 2 1 0
x x x x x x x
x x x x x x x
(1)
(2)
1 ọ 1x
:
2 2
(1) 3 2 2 ( 1)(2 1) 4 4 2 ( 1)(2 1) 6x x x x x x x x x
Do 1,x suy ra: 2 2
2 ( 1)(2 1) 2 .2 2 2. 2 6
Cauchy
x x x x x x x x
S 1,x é (2) :
(2) 1 2 1( 2 1 1) ( 1) 0x x x x ỹ
2( 1) 2 1
1 ( 1) 0
2 1 1
x x
x x
x
0, 1
2 ( 1)(2x 1)
1 1 1 0 1 0 1.
2 1 1
x
x
x x x x
x
Kết luận 1.x
Ví dụ 59. 3 2 3 2 2
3 2 9 4 4 2 2 4 1x x x x x x x ( )
32 2 2 3
( ) 16 4 4 9 4 4 3 2 2 0x x x x x x x (1)
3 2 3 3 2
3 2 2 0 35 54 0 0x x x x x x
54
35
x
TH 1 V 0x 0x
TH 2 V
54
0;
35
x
0,x
3
2 2
1 1 1 1 2
(1) 16 4 9 4 3 1
x x xx x
(2)
3
2
1,t
x
suy ra:
3
3 2 1 1
1
2
t
t
x x
6 6
(2) 15 8 3 2 0t t t u ki n: 3 2 0)t
6 6
6 6
6 6
1 1
( 15 4) (3 8) 3 3 3( 1)
15 4 8 3
t t
t t t t
t t
48. khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821
47
3 2 3 2
6 6
( 1)( 1) ( 1)( 1)
( 1) 3 0 1 1.
15 4 8 3
t t t t t t
t t x
t t
3 2 3 2
6 6
6 6
( 1)( 1) ( 1)( 1)
15 4 8 3
15 4 8 3
t t t t t t
t t
t t
Suy ra:
3 2 3 2
6 6
( 1)( 1) ( 1)( 1) 2
3 0,
315 4 8 3
t t t t t t
t
t t
TH 3 V ( ;0),x ho 0,x
32 2 2 31 1 1
(1) 16 4 4 9 4 4 3. 2 2x x x x x x
x x x
3
2 2
1 1 1 1 2
9 4 16 4 3 1
x x xx x
(3)
3
2
1,t
x
suy ra:
3
3 2 1 1
1
2
t
t
x x
Do 3
0 1 1.x t t
6 6
(3) 8 15 3 2 0t t t (4)
6 6
( ) 8 15 3 2f t t t t trên ( ; 1),
5
6 6
1 1
( ) 3 3 0, 1.
8 15
f t t t
t t
( )f t
trên ( ; 1), suy ra: 6 6
( ) 8 15 3 2 f( 1) 2f t t t t (5)
5
Kết luận 0, 1.x x
Ví dụ 60. 2 2
6 1 (2 1) 2 3x x x x x ( )
Học sinh giỏi tỉnh Long An năm 2014
T nh: .D
Phân tích và lời giải 1 S
2 2
0 :(2 1)( 2 3 ) 6 1 2a x x x a x x ax a
p:
2 2
2
2
2 3
(2 1) (6 2 ) 1 .
2 3
x x a
x x a x a
x x a
: 2
2 6 2 2
2
3 4 1 23 1
a a
a
a a
ờ ả 1 :
2
2 2 2
2
(2 1)( 2 1)
( ) (2 1)( 2 3 2) 2 1 2 1
2 3 2
x x x
x x x x x x x
x x
49. Tư duy sáng tạo tìm tòi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vô tỷ – ThS. Lê Văn Đoàn
48
2
2
22
2 1 02 1
( 2 1) 1 0
2 3 2 12 3 2
x xx
x x
x x xx x
2 2
1 2 1 2
2 1 0 3 15
2 3 (2 1) 3
x x
x
x
x x x
Kết luận
3 15
1 2,
3
x x
Lời giải 2.
Do
1
2
x
2
2 6 1
( ) 2 3 2 2
2 1
x x
x x
x
22 2
22
1 22 1 02 1 2 1
3 152 1 2 2 3 2 12 3 2
3
xx xx x x x
x x x xx x x
Bình luận V q ế ax b ế
q ế ả hệ số x2 ng nhau nên để
đơn giản c thể thêm h ng số a T ờ ả 3 phương
pháp đ t n số phụ không hoàn toàn (nên làm khi là số chính phương):
Lời giải 3 2 2 2
2 3 2 2 3t x x x t x
2
( ) (2 1) 4 2 0t x t x 2
(2 3)t
x 2t 2 1.t x
Suy ra:
2
2
2 3 2
1 2
2 3 2 1
x x
x
x x x
3 15
3
x
Ví dụ 61.
3 2
2
2
2 3 1
1
2
x x x
x x
x
( )
Phân tích ế ế 2 2 3 2
( 2) 1 ( ) 2 (3 ) 1x x x ax b x x a x b
ế ế ế ả 3
ế ế ả é
ờ ả :
Lời giải .D
2 2
2 2
5 3 5 3
( ) 1 2 1 ( 2)
2 2
x x
x x x x x x
x x
(1)
V 2 2
1 2 0 1 2 :x x x x x x
V 2
1 2 0x x x
50. khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821
49
2 22 2
(5 3) 5 3 3 1 1
(1) 0
52 21 2 1 2
x x
x
x xx x x x x x
(2)
2 2 1 3 2 5
(2) 1
2
x x x x x
Kết luận
3 1 3 2 5
,
5 2
x x
Ví dụ 62. 2 2
2 16 18 1 2 4x x x x ( )
Đề nghị Olympic 30/04/2013 – Chuyên Thoại Ngọc Hầu – An Giang
2 1x 1.x
Phân tích và lời giải 1 S 1,x
2
1.x 2
1x ả 1,x ế ú
ỉ é ế 2
2 16 18 (2 4)x x x
ở ế ẵ
é é 2 4 0.x T ờ ả 1:
2 2
( ) 2 16 18 (2 4) 1 0x x x x
2
2
2
2( 1)
1 0
2 16 18 2 4
x
x
x x x
2
2
2
2 1
1 1 0
2 16 18 2 4
x
x
x x x
2
1 0 1x x 2 2
2 16 18 2 4 2 1x x x x (1)
2 2
2
2 2
2 16 18 1 2 4
( ),(1) 3 1 4 8
2 16 18 2 1 2 4
x x x x
x x
x x x x
2 2 2
4 8 0 2 32 3 57
79( 1) (4 8) 7 64 73 0
x x
x
x x x x
Kết luận
32 3 57
1,
7
x x
Phân tích và lời giải 2 4, 1a b
ĩ
2 2
2 16 18 .( 2) .( 1)x x a x b x
2 2 2
( ) 4( 2) 2( 1) 2( 2) 1x x x x (1)
Do 2x 2 0,x
51. Tư duy sáng tạo tìm tòi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vô tỷ – ThS. Lê Văn Đoàn
50
2 2
2
1 1
(1) 4 2 2
2( 2)
x x
xx
(2)
2
1
0
2
x
t
x
2
2 2
0
0 2
(2) 4 2 2 4
4 2 (2 )
3
t
t
t t
t t t
V
2
21
0 0 1 0 1:
2
x
t x x
x
V
2
24 1 4 32 3 57
3 1 4( 2) :
3 2 3 7
x
t x x x
x
3 57 32
1,
7
x x
Ví dụ 63. 2 21 1
1 2 2 1 2 2 5x x x x
x x
( )
Lời giải 0.x
2 2 2 21
( ) 2 2 2 2 ( 2 2 2 2) 5x x x x x x x x
x
2 2
2 2
1 4
2 2 2 2 5
2 2 2 2
x
x x x x
x x x x x
2 2
2 2
4
2 2 2 2 5
2 2 2 2
x x x x
x x x x
2 2 2 2
2 2 2 2 ( 1) 1 ( 1) 1 2.t x x x x x x
24
(1) 5 5 4 0 1t t t t
t
4t
Suy ra: 2 2 2 2 2
2 2 2 2 4 2 ( 2 2)( 2 2) 8x x x x x x x x x
4 2
4 4 2 2
6 6 6 6 2 6
4 6
34 12 36 12 32
x x
x x x
x x x x
Nhóm II: S dụng chức năng table của casio tìm nhân t bậc hai, bậc ba
V q ọ ú
ú é ú
ờ q ả
Ví dụ 64. Gi
2
2
2
1 2
2. 4
4 1
x x
x
x x
( )
52. khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821
51
Phân tích
2
2
2
1 2
2. 4
4 1
X X
X
X X
SHIFT / CACL / 9 /
1.732050808.X T
TABLE : casio fx – 570 ES PLUS)
ế X A : ALPHA / ) / SHIFT / RCL / (–)
2
( )f X A AX : MODE SETUP / 7 / ALPHA
/ (–) / 2
x / / ALPHA / (–) / ALPHA / ) / / / 9 / / 9 / / 1 /
:
( )
9 1 4.732,
10 0 3
X F X
q ế dòng có .
T 1 0 3 2
3x
3 ( )F X : 2
.X bX c
casio fx – 570 VN PLUS ho c Vinacal 570es flus:
( )g x : MODE SETUP / 7 /
ALPHA /(–) / 2
x / / ALPHA / (–) / ALPHA / ) / / / / 9 / / 9 / / 1 /
T é ờ ả :
Lời giải
2
1
0 4 0 4.
4
x x
x x
x
2
2
2
1 2
( ) ( 3) 2. 1 1 0
4 1
x x
x
x x
2
2
2
2 2
1
1
1 24( 3) 2. 0
1 1
1
4
x x
xxx
x x x
x
2 2
2
2 2 2
2.( 3) 3
( 3) 0
( 4)( 1) 4 1.( 1 2)
x x
x
x x x x x x
2
2 2 2
32 1
( 3) 1 0
3( 4)( 1) 4 1 2 1
x
x
xx x x x x x
Do
2 2 2
2 1
1 0, 4.
( 4)( 1) 4 1 2 1
x
x x x x x x
Kết luận 3, 3.x x
Bình luận: S 2
3,x ờ
ờ ả ọ é 1
53. Tư duy sáng tạo tìm tòi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vô tỷ – ThS. Lê Văn Đoàn
52
2
3x ỉ “ ả ”
2
1
,
4
x x
x
é
2
1
4
x x
a
x
và
2 2 2 2
21 (1 ) 1 4
4 4
x x x a x a
a
x x
2
3x nên t ọ 1.a “ ả ”
é q 2
3x
Ví dụ 65. Gi
2
2 2
9 2 1
42 3
x x
x x x
( )
Phân tích S 2
7x é
T ờ ả :
Lời giải 9 3x 3.x
2
22
( 7) 8 2 9
( ) 0
4 23
x x
x xx
2
2 2
1 2 9
( 7) 1 1 0
4 3 2
x
x
x x x
2 2
2
2 2
1 3 2 2 9
( 7) 0
4 3 2
x x x x
x
x x x
2 2
2
2 2 2 2
1 7 7
( 7) 0
4 3.( 3 2) 2 ( 9)( 2)
x x
x
x x x x x x x
2
2 2 2 2
1 1 1
( 7) 0
2 3.( 3 2) 2 ( 9)( 2)
x
x x x x x x x
2
7 0 7x x 7.x
Do
2 2 2 2
1 1 1
0, ( ).
2 3.( 3 2) 2 ( 9)( 2)
x a
x x x x x x x
Kết luận 7.x
Bình luận Q ế
é
ẵ T é ế :
Ví dụ 66. Gi 2 2
2(1 ) 2 1 2 1x x x x x ( )
2 1 2
2 1 0
2 1
x
x x
x
54. khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821
53
Phân tích B 2 2
( ).ax bx c dx e ax fx g ả
T ả 2
2 5x x :
Lời giải 2
2 5.x x
2 2
( ) ( 2 5) 2( 1)( 2 1 2) 0x x x x x
22
2
22
2 5 02( 1)( 2 5)
( 2 5) 0
2 1 22 1 2
x xx x x
x x
x x xx x
(1)
(2)
(1) 1 6x 1 6.x
2
(2) 2 1 2 :x x x
Kết luận 1 6.x
Ví dụ 67. Gi 3 3 2 2
7 11 5 3 5 7x x x x x x ( )
Đề nghị Olympic 30/04/2014 – THPT Chuyên Bảo Lộc – Lâm Đồng
Phân tích S 2
3x x ẵ
T é
5 7x n ghép ( ) 5 7ax b x :
2
3.x x V
1, 2a b : 2 2
3 (5 7) ( 2) .x x x x H 2x
2x é T ờ ả ế :
Lời giải
7
5
x 3 3 2
7 11 5, 2.a x x x b x
32 3 2
( ) ( 3) 7 11 5 ( 2) ( 2) 5 7 0x x x x x x x x
2 2
2
2 2
3 3
3 0
2 5 7
x x x x
x x
a ab b x x
2
2 2
1 1 1 13
( 3) 1 0
22 5 7
x x x
a ab b x x
Do: 2 2
1 1 7
1 0,
52 5 7
x
a ab b x x
Kết luận
1 13
2
x
Ví dụ 68. 3 32 3
12 46 15 5 1 2 2x x x x x ( )
Phân tích S 2X 1
3 32 3
( 12 46 15 5 1 2 2) :( 2)X X X X X X
solve 9 = ế
2
2 1.x x
55. Tư duy sáng tạo tìm tòi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vô tỷ – ThS. Lê Văn Đoàn
54
2 3
( 2)( 2 1) 5 2x x x x x
ờ
Lời giải 3 32 3
12 46 15, 2 1, 5 1.a x x b x c x x
3 32 3
( ) 12 46 15 (2 1) ( 5 1 1) 0x x x x x
3 3 3 3
2 2 2 2 2 2
8 40 16 5 2 8( 5 2) 5 2
0 0
1 1
x x x x x x x x
a ab b c c a ab b c c
3
2 2 2
0, , ,
28 1
( 5 2) 0
1 1 2
a b c
x
x x
a ab b c c x
Kết luận 2x 1 2.x
Ví dụ 69. Gi 3 3 2 2 174
16 62 78 7 36
5
x x x x x
x
( )
Phân tích S 1X 1
3 3 2 2 174
16 62 78 7 36 :( 1)
5
x x x x x X
x
và
9 = ế
2
3 11.x x
2 3 2
( 1)( 3 11) 4 8 11,x x x x x x ờ ả ế :
Lời giải 5.x
3 3 2 3 2
( ) ( 5) 16 62 78 2 6x x x x x x x
33 2 3 2 2
4 8 11 ( 5) 16 62 78 2 9 5x x x x x x x x x
33 2 3 2
4 8 11 ( 5) 16 62 78 ( 5)(2 1)x x x x x x x x x
33 2 3 2
4 8 11 ( 5). 16 62 78 (2 1)x x x x x x x x
33 2 3 2
( 4 8 11) ( 5). (2 1) 16 62 78 0x x x x x x x x
3 3 2
2 1, 16 62 78.a x b x x x
3 2
3 2
2 2
7( 5)( 4 8 11)
( 4 8 11) 0
x x x x
x x x
a ab b
3 2
2 2
7( 5)
( 4 8 11) 1 0
x
x x x
a ab b
2 2
3 2
2 2
3
7( 5)
2 4
( 4 8 11) 0
3
2 4
a a
b x
x x x
a a
b
56. khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821
55
2
2
3 2
2 2
3
(2 1) 7( 5)
2 4
( 4 8 11) 0
3
2 4
a
b x x
x x x
a a
b
2 2
3 2
2 2
12 16 143
2 4
( 4 8 11) 0
3
2 4
a x x
b
x x x
a a
b
3 2
4 8 11 0 1x x x x
3 53
2
x
Vì:
2
2 2 2
12 16 143 0,
3
0; 0
2 2 4
x x x
a a a
b b
2 2
2 2
12 16 143
2 4
0.
3
2 4
a x x
b
a a
b
Kết luận
3 53
1,
2
x x
Ví dụ 70. Gi 3 2 2
3 2 2 4 2 11x x x x x x ( )
Phân tích S 2
2 7x x ờ ả :
Lời giải 4.x
2
( ) ( 3) 2 4 ( 2) 2 1 0x x x x x
(1)
( 3) 2 4 ( 2) 2 1 0x x x x
1 2 2 :x
1 2 2 ( 3) 2 4 ( 2) 2 1 0x x x x x
2 2 2
( 2 7) 2 7
(1) 0
3 2 4 2 2 1
x x x x x
x x x x
2
2 1
( 2 7) 0
3 2 4 2 2 1
x
x x
x x x x
2
2
2 7 0 2 2 1.
( 2 2 1) 3 2 4 0 (2)
x x x
x x x x x
(2), ( ),
3 2 2
3 2 2
3 2 2 4 2 11
2 3 2 11 2 4
x x x x x x
x x x x x x
2 2 2 2
1 2 4 2 11 2 11 2 4 2.( 4) 11x x x x x x x x
57. Tư duy sáng tạo tìm tòi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vô tỷ – ThS. Lê Văn Đoàn
56
2 2
3 1x x
Kết luận 2 2 1.x
Ví dụ 71. Gi 2 3
8 3 3 1x x x ( )
Phân tích S 2
1x x ờ ả :
Lời giải 2 8 3 8 3
8 3 0
3 3
x x
2 2
( ) ( 1)( 1) (2 ) 8 3 0x x x x x
2
2
2
4( 1)
( 1)( 1) 0
2 8 3
x x
x x x
x x
2
2
2
2
1 0 (1)
4
( 1) 1 0 4
1 0 (2)2 8 3
2 8 3
x x
x x x
xx x
x x
2 1 5
(1) 1 0 :
2
x x x
2
(2) ( 1)(2 8 3 ) 4 0x x x 2 3
8 3 3 1x x x
3 3
( 1)(2 3 1) 4 ( 1)( 4 3) 4 0x x x x x x x
4 2 3 2 2 3
( 4 4) 4 0 0 ( 2) 4 0 :x x x x x x x
Kết luận
1 5 1 5
,
2 2
x x
Ví dụ 72. Gi 2 2 3 2
(3 11) 1 3 3. 8 11 3. 4x x x x x ( )
Lời giải 3 2
3 3. 8 11 3. 4 0x x x (1)
2 2 2 2
( ) (3 11) 1 3. (3 11) 8 4x x x x x
2 2
2 2 2 2
2
(3 11)(1 2 )
(3 11)( 1 3. ) 4(1 2 ) 4(1 2 )
1 3.
x x
x x x x x
x x
2
2 2 2 2
2
3 11
(1 2 ) 4 0 (1 2 )(3 11 4 1 4 3 ) 0
1 3.
x
x x x x x
x x
2 2 2 2 2
(1 2 ) ( 1 2. 1.2 2 ) 2( 2 . 3 3) 0x x x x x
(2)
2
2 2 2 2 2
1 2 0
(1 2 ) ( 1 2) 2( 3) 0 1 2 0
3 0
x
x x x x
x
58. khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821
57
1
2
x
3 2
23
x
x
x
3.x
Kết luận
2
, 3.
2
x x
Bình luận T ế ả
2 2 0
0
0
A
A B
B
ế ờ
ẵ ế ẳ
ỹ ở ả ẳ ả
trình : 2
4 3 3 4 3 2 2 1x x x x x ế ẳ
: (4 2.2. 3 3) (1 2 2 1 2 1) 0x x x x
2 2 2 3 0
(2 3) (1 2 1) 0 1.
1 2 1 0
x
x x x
x
S ờ
ọ 1,x é
sau: 2
4 ( 3 2) 2( 2 1 1) 4 5 1x x x x x
1
4 ( 1) 4( 1)
( 1)(4 1) 4 4
4 1 03 2 2 1 1
3 2 2 1 1
x
x x x
x x x
xx x
x x
ú T q q
ọ ả
ọ ả
ọ
Ví dụ 73. Gi 33 2 3
8x 2 2 20 2( 1)x x x x ( )
Phân tích S 2
2 2x x ờ ả :
Lời giải 3 2
8 2 0x x x ( )a
33 2 3
( ) 8 2 2 (2 4) 2 20x x x x x
3 2 3 3
33 2 2 3 3 23
8 6 (2 4) 8( 20)
8 2 2 (2 4) 2(2 4) 20 ( 20)
x x x x x
x x x x x x x
2 2
33 2 2 3 3 23
( 3)( 2 2) 48( 2 2)
8 2 2 (2 4) 2(2 4) 20 ( 20)
x x x x x
x x x x x x x
2
32 3 3 2 3 23
2 2 0 1 3
48 3
(1)
(2 4) 2(2 4) 20 ( 20) 8 2 2
x x x
x
x x x x x x x
59. Tư duy sáng tạo tìm tòi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vô tỷ – ThS. Lê Văn Đoàn
58
V
1 2
3 2 3 23 3
1 3 2
48
0
( 20) 3 ( 20)
(2 4)
3 (1) : .2 4
3
0
8 2 2
o
VT
x x
x
x VN
x
VP
x x x
V
3 3
3 2
2 2 2 20 0
3 ( ) :
8 2 0
x x
x
x x x
Kết luận 1 3.x
Ví dụ 74. Gi 3 2 3 2
( 3 5) 2 5 3 5 2 5x x x x x x x ( )
Lời giải 2 5
2 5 0
2
x x x 0.x
3 2 3 2 3
( ) ( 3 5)( 2 5 1) 3 5 2 5 ( 3 5)x x x x x x x x x
2
3 2
2
2 5 1
( 3 5) (2 5 1)
2 5 1
x x
x x x x x
x x
23
2
3 22
2 5 1 03 5
(2 5 1) 0
3 5 ( 2 5 1)2 5 1
x xx x
x x x
x x x x xx x
(1)
(2)
5 33
(1)
4
x
5 33
:
4
x
2
3 2 3 2
(2) 2 5 2 5 (2 5) ( . 2 5)x x x x x x x x x x
3 2 3 2 3
( ) 2 (2 5) (2 5) (2 5)x x x x x x
3 2 3 2
( ) (2 5) (2 5) 0x x x x
2 3
3 2 2 2 5 02 5 3
(2 5) 0 :
2 4 2 5 0
x xx
x x
x
Kết luận
5 33 5 33
,
4 4
x x
Bình luận 3 2 3 2
(3 5 2 5) ( 3 5) (2 5 1)x x x x x x x x ế
é
2
2
2
2 5 1
2 5 1
2 5 1
x x
x x
x x
2
2 5 1x x
é T ra .
Ví dụ 75. Gi 2 2
(3 5 6) 2 3 6 5x x x x x ( )
60. khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821
59
Lời giải 2
2 0 3 2 6
33 6 5 0
x
x
x x
2
2 2
2
3 5 7
( ) (3 5 7) 2 3 6 5 2
3 6 5 2
x x
x x x x x x
x x x
2
2
1
(3 5 7) 2 0
3 6 5 2
x x x
x x x
2
2
22
3 5 7 0 5 109
3 5 7 0
61
2
(2 )(3 6 5) 1:3 6 5 2 o
x x
x x x
x
x x x x VNx x x
Kết luận
5 109
6
x
Ví dụ 76. Gi 2 2 3 2
( 3) 1 3 4 1x x x x x x ( )
Đề nghị Olympic 30/04/2014 – Chuyên Lương Văn Chánh – Phú Yên
Lời giải. .D
3 2
2
2 2
3 4 1 7 8
( ) 1 ( 3)
3 3
x x x x
x x x
x x
2
2 2 2
7 8 7 8 7 8
1 ( 3) 0 0
3 3 1 3
x x x
x x x
x x x x x
2 2
2 2
8
1 1
7(7 8) 0
3 1 3 1 (1)
x
x
x x x x x x x x
2
2 2 21 3 3
1 1.
2 4 2
t x x x t x x
2 21 5 1 3 2 5
(1) 1 0 2 2 1 5 0
2 2
t t t x x x
Kết luận
8 1 3 2 5
,
7 2
x x
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
BT 11. Gi 10 1 3 5 9 4 2 2.x x x x ( )x
BT 12. Gi 2 2 2 2
3 5 1 2 3( 1) 3 4x x x x x x x
BT 13. Gi 2 3 1 3 1 2 3.x x x x ( )x
BT 14. Gi 2 2
( 1) 5 1.x x x x ( )x
61. Tư duy sáng tạo tìm tòi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vô tỷ – ThS. Lê Văn Đoàn
60
BT 15. Gi 2 2 10 2 3.x x x ( )x
BT 16. Gi 2 3 2 6.x x x ( )x
BT 17. Gi i 2 2
4 5 1 2 1 9 3.x x x x x ( )x
BT 18. Gi 2 1 1 2.x x x ( )x
BT 19. Gi 2
2 3 2 2.x x x x ( )x
BT 20. Gi
3
4 1 3 2
5
x
x x
( )x
BT 21. Gi
3 1
4 1 2
5
x
x x
( )x
BT 22. Gi 9( 4 1 3 2) 3.x x x ( )x
BT 23. Gi 2 2
2 3 5 2 3 5 3 .x x x x x ( )x
BT 24. Gi i 2 2
2 1 1 3 .x x x x x ( )x
BT 25. Gi
3
3 1 1.
3 10
x
x
x
( )x
BT 26. Gi 1 3 1.
2
x
x x
x
( )x
BT 27. Gi 2 2
9 8 1 3 1 8 .x x x x x ( )x
BT 28. Gi
4 1 5
2x x x
x x x
( )x
BT 29. Gi 2
2 4 2 5 1.x x x x ( )x
BT 30. Gi 4 3 2
3 2 1 5 12 15 3 0.x x x x x x
BT 31. Gi 2 2
12 5 3 5.x x x ( )x
BT 32. Gi 2 2 10
91 7 4.
3
x x x ( )x
BT 33. Gi 2
3 5 2 7 2 0.x x x x ( )x
BT 34. Gi 3 2
5 1 2 5 10 13 0.x x x x x ( )x
BT 35. Gi 3 2
3 1 2 1 3 2 5 3 0.x x x x x x
BT 36. Gi 3 2
3 17 8 9 3 2 7 0.x x x x x ( )x
BT 37. Gi 4 3 2
3 2 2 2 3 8 8 0.x x x x x x
BT 38. Gi 2
9 20 2 3 10.x x x ( )x
62. khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821
61
BT 39. Gi nh:
2
2
2( 1)
20.
(3 7 2 )
x
x
x
( )x
BT 40. Gi
2
2
6
2 1 1.
( 2 1 1)
x
x x
x
( )x
BT 41. Gi
8
3 2 1 1.
8 1 1
x
x
x
( )x
BT 42. Gi 2 2
( 4)( 1 1) .x x x ( )x
BT 43. Gi 2
( 7 3)(1 10 21) 4.x x x x ( )x
BT 44. Gi 2
( 5 2)(1 7 10) 3.x x x x ( )x
BT 45. Gi ( 1 1)( 1 2 5) .x x x x ( )x
BT 46. Gi h: 2 3
2 11 21 3 4 4.x x x ( )x
BT 47. Gi 3
2 3 4 2 5 4 16.x x x ( )x
BT 48. Gi 3 2
4 1 2 3.x x x ( )x
BT 49. Gi 23
6 1 1.x x x ( )x
BT 50. Gi 3 2 3
2. ( 4) 7 3 28 0.x x x x x ( )x
BT 51. Gi 3 2 2 2
3 8 2 15.x x x ( )x
BT 52. Gi 23
6 7 1.x x x ( )x
BT 53. Gi : 3
3 5 3 4.x x ( )x
BT 54. Gi 3
2 3 3 1 2 .x x x ( )x
BT 55. Gi 3 3
2 6 5 .x x x ( )x
BT 56. Gi 3 23
3 2 3 3 0.x x x x ( )x
BT 57. Gi 23
4 2 7 8 13 0.x x x x ( )x
BT 58. Gi 23
2 1 2 13 4 44 117 0.x x x x ( )x
BT 59. Gi 3 3
2 3 ( 2) 3 6 3.x x x x ( )x
BT 60. Gi : 3 23 3
2 5 2 3 2( 1).x x x x x ( )x
BT 61. Gi 3 2
2 4 4 2 1 4.x x x x ( )x
BT 62. Gi 3 3 2
4 2 2.x x x x ( )x
BT 63. Gi 3 2 2
1 2 1 2.x x x x x ( )x
63. Tư duy sáng tạo tìm tòi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vô tỷ – ThS. Lê Văn Đoàn
62
BT 64. Gi 33 2 2
2 ( 1) 2 1 2 .x x x x x x ( )x
BT 65. Gi 3 3 2 2
1 3.x x x x ( )x
BT 66. Gi 3 2 2
10 1 1.x x x x ( )x
BT 67. Gi 3
3 5 3 2 2.x x x ( )x
BT 68. Gi 3 3 23
4
4 3 2 3 .
3
x x x x x ( )x
BT 69. Gi 2 3
2 4 1 3 2.x x x x x ( )x
BT 70. Gi 2 2
5 5 2 3 2.x x x x x ( )x
BT 71. Gi 2
( 2 2 1 1)(1 1 ) .x x x x x x ( )x
BT 72. Gi 32 2 2
( 1)(2 3 ) 3 5 5 3.x x x x x ( )x
BT 73. Gi 2 2 2
(2 2 5)( 1) 4 1 2 2 5x x x x x x x x
BT 74. Gi 3 2 3 2 2
3 2 9 4 4 2 2 4 1.x x x x x x x
BT 75. Gi 2
2 11 2 16 28 5 .x x x x ( )x
BT 76. Gi
2
2
2
3 3 3
6 2 .
3 24
x x
x
xx
( )x
BT 77. Gi
2 2
2
2 1
1
2 32
x x x
xx
( )x
BT 78. Gi 2
2 3 2 2( 1) 2 3 8 4.x x x x x ( )x
BT 79. Gi ( 2) 1 (4 5) 2 3 6 23 0.x x x x x ( )x
BT 80. Gi 2 2
( 2) 3 6 2 1 3 10 0.x x x x x ( )x
BT 81. Gi 2
( 1) 4 5 2( 5) 3 3 14 13.x x x x x x
BT 82. Gi 2
( 1) 2 3 2(3 1) 4 2 16 14 2.x x x x x x
BT 83. Gi 2
3 1 5 4 3 3.x x x x ( )x
BT 84. Gi 2 2
2 5 7 5 6 3 0.x x x x x ( )x
BT 85. Gi 2 2 3 2
( 3) 1 3 4 1.x x x x x x ( )x
BT 86. Gi 32 3 2
2 1 3 5.x x x x x x ( )x
BT 87. Gi 3
5 1 7 8 2 2 1.x x x x ( )x
BT 88. Gi 2 2
( 1) 2 5 4 1 2( 1).x x x x x x ( )x
64. khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821
63
BT 89. Gi 23
2 3 5 6.x x x x ( )x
BT 90. Gi 3 3 2
(5 1) 3 6 2 3.x x x x x ( )x
BT 91. Gi 2 3 3 2
6 18 9 10 81.x x x x x x x ( )x
BT 92. Gi
1 1
1 1 .
2 2
x x x x x
( )x
BT 93. Gi 26
2 1 4 9 2 3.x x x
x
( )x
BT 94. Gi
2
4 1 2
1 3.
3 ( 2 1)
x x
x
x
( )x
BT 95. Gi 2 46 17
3 6 1 5 8x.
2 1 4 3 1
x
x x
x x
( )x
BT 96. Gi i: 2 2 2
( 10 26) 4 ( 2 2) 2 3 18.x x x x x x x x ( )x
BT 97. Gi 3
( 3)(2 2) 2 5 3 7.x x x x ( )x
BT 98. Gi 2
6 2 6 6 5 2 5.x x x x x ( )x
BT 99. Gi 2 2
3 2 5 6 ( 5 9 18 2).x x x x x x
BT 100. Gi 3 2 2
4x 3 2x 5 2x 13.x x x ( )x
BT 101. Gi 3 2 2
3 2 2 4 2 11.x x x x x x ( )x
BT 102. Gi 2 2
3 2 1 2 3 3 2 .x x x x x x ( )x
BT 103. Gi 2
3 2.x x x x ( )x
BT 104. Gi 3 2 3 2
2 ( 1) 3 2 6 7 2 .x x x x x x ( )x
BT 105. Gi 4
4 ( 8) ( 1 1) .x x x x x ( )x
BT 106. Gi
3
6 1
1.
1 1
x
x
x x
( )x
BT 107. Gi
2
2
1 2
1
x x x
x x
( )x
BT 108. Gi 2 2
(3 5 6) 2 3 6 5.x x x x x ( )x
BT 109. Gi 32
2 3 1.
4
x
x x
( )x