1. www.PNE.edu.vn
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 2/ Viết pt mặt phẳng (Q) song song với (P) và
tiếp xúc với (S). Tìm tọa độ của tiếp điểm.
1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
điểm M(1; 1 ; 0) và mặt phẳng (P): x + y – 2z + 3 = ba điểm A(1 ; 4 ; 0), B(0 ; 2 ; 1), C(1 ; 0 ; -4).
0. 1/ Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình
1/ Viết phương trình mặt cầu tâm M và tiếp xúc hành và tìm tọa độ tâm của hình bình hành .
với mp(P). 2/ Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua
2/ Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với
và vuông góc với (P). Tìm tọa độ giao điểm. mp(ABC).
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 10. Trong không gian Oxyz, cho hai đường
điểm M(-1 ; 2 ; 1) và đường thẳng (d): thẳng:
x −1 y z + 2
= = . x = t
2 1 −1 x −1 y − 2 z − 3 
1/ Viết ptrình mặt cầu tâm M và tiếp xúc với (d). d: = = và d’:  y = −1 − 5t
−2 1 −1  z = −1 − 3t
2/ Viết phương trình mặt phẳng đi qua M và 
vuông góc với (d). Tìm tọa độ giao điểm. 1/ Chứng minh d và d’ chéo nhau.
3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và
các điểm A(-1 ; 2 ; 0), B(-3 ; 0 ; 2), C(1 ; 2 ; 3), D(0 song song với d’.Tính khoảng cách giữa d và d’.
; 3 ; - 2). 11. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(1;
1/ Viết phương trình mặt phẳng (ABC) và -2 ; 2), B(1 ; 0 ; 0), C(0 ; 2 ; 0), D(0 ; 0 ; 3).
phương trình đường thẳng AD. 1/ Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra
2/ Tính diện tích tam giác ABC và thể tích tứ ABCD là một tứ diện.
diện ABCD. 2/ Tìm điểm A’ sao cho mp(BCD) là mặt phẳng
4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho trung trực của đọan AA’.
các điểm A(-2; 0 ; 1), B(0 ; 10 ; 2), C(2 ; 0 ; -1), 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
D(5 ; 3 ; -1). x y −1 z +1
1/ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba đường thẳng d: = = và hai mặt phẳng:
2 1 2
điểm A, B, C và viết phương trình đường thẳng đi
(P1): x + y – 2z + 5 = 0, (P2): 2x – y + z + 2 = 0.
qua D song song với AB.
1/ Tính góc giữa mp(P1) và mp(P2), góc giữa
2/ Tính thể tích của khối tứ diện ABCD, suy ra
đường thẳng d và mp(P1).
độ dài đường cao của tứ diện vẽ từ đỉnh D.
2/ Viết phương trình mặt cầu tâm I thuộc d và
5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
tiếp xúc với mp(P1) và mp(P2).
mp(P): 2x + y – z – 6 = 0 và điểm M(1, -2 ; 3).
13. Trong không gian Oxyz,cho hai điểm A(2 ;
1/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua M và
1 ; 1), B(2 ; -1 ; 5).
song song với mp(P).Tính khoảng cách từ M đến
1/ Viết phtrình mặt cầu (S) đường kính AB.
mp(P).
2/ Tìm điểm M trên đường thẳng AB sao cho
2/ Tìm tọa độ hình chiếu của điểm M lên (P)
tam giác MOA vuông tại O.
6. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng:
14. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu
(P): 3x – 2y + 2z – 5 = 0, (Q): 4x + 5y – z + 1 = 0.
(S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z = 0 và hai điểm M(1
1/ Tính góc giữa hai mặt phẳng và viết phương
; 1 ; 1), N(2 ; -1 ; 5).
tình tham số của giao tuyến của hai mặt phẳng (P)
1/ Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu
và (Q).
(S).Viết phương trình mặt phẳng (P) qua các hình
2/ Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua gốc
chiếu của tâm I trên các trục tọa độ.
tọa độ O vuông góc với (P) và (Q).
2/ Chứng tỏ đường thẳng MN cắt mặt cầu (S)
7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
tại hai điểm. Tìm tọa độ các giao điểm đó.
điểm D(-3 ; 1 ; 2) và mặt phẳng (P) đi qua ba điểm
15. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(3 ;
A(1 ; 0 ; 11), B(0 ; 1 ; 10), C(1 ; 1 ; 8).
0 ; -2), B(1 ; -2 ; 4).
1/ Viết phương trình đường thẳng AB và
1/ Viết phương trình đường thẳng AB và phương
phương trình mặt phẳng (P).
trình mặt phẳng trung trực của đọan AB.
2/ Viết phtrình mặt cầu tâm D, bán kính r = 5.
2/ Viết phương trình mặt cầu tâm A và đi qua
Chứng minh rằng mặt cầu này cắt mặt phẳng (P).
điểm B. Tìm điểm đối xứng của B qua A.
8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
mặt phẳng (P): 2x + 2y + z + 5 = 0 và mặt cầu
(S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4y + 4z = 0.
1/ Tìm tâm và bán kính của mặt cầu (S).
1

2. www.PNE.edu.vn
16. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ( α ) : 2 x − y + 3z + 1 = 0; ( β ) : x + y − z + 5 = 0 và điểm M
x −1 y +1 z − 2 (1; 0; 5).
hai đường thẳng d: = = và d’:
2 3 4 1) Tính khoảng cách từ M đến ( α ) .
 x = −2 + 2t
 2) Viết phương trình mặt phẳng đi qua giao
 y = 1 + 3t . tuyến (d) của ( α ) và ( β ) đồng thời vuông góc với
 z = 4 + 4t
 mặt phẳng (P): 3x − y + 1 = 0 .
1/ Chứng minh d song song với d’. Tính khỏang 23. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz:
cách giữa d và d’. a) Lập pt mặt cầu có tâm I(-2;1;1) và tiếp
2/ Viết phtrình mặt phẳng (P) chứa d và d’. xúc với mp(P): x + 2 y − 2 z + 5 = 0
17. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho b) Tính khoảng cách giữa hai mp:
điểm A(2 ; -1 ; 3), mặt phẳng (P): 2x - y - 2z + 1 = (Q): 4 x − 2 y − z + 12 = 0 và (R): 8 x − 4 y − 2 z − 1 = 0 .
x −1 y − 2 z 24. Trong kgian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường
0 và đường thẳng d: = = .
2 −1 3 x y −1 z +1
thẳng d: = = và hai mp:
1/ Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng của A qua 2 1 2
mp(P). và ( β ) : 2 x − y + z + 2 = 0 .
(α ) : x + y − 2 z + 5 = 0
2/ Tìm tọa độ của điểm M trên đường thẳng d sao Lập phương trình mặt cầu tâm I thuộc đường thẳng
cho khỏang cách từ M đến mp(P) bằng 3. d và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng ( α ) , ( β ) .
18. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1 ; 1 ; 25. Trong không gian Oxyz: Cho A(1;0;0),
1), mp(P): x + y – z – 2 = 0 và đường thẳng 1 1 1
x − 2 y z −1 B(1;1;1), C ; ; ÷
d: = = .  3 3 3
1 1 −1
a) Viết phương trình tổng quát của mặt
1/ Tìm điểm A’ đối xứng của A qua d.
phẳng ( α ) đi qua O và vuông góc với OC.
2/ Viết phương trình đường thẳng đi qua A,
song song với mp(P) và cắt d. b) Viết phương trình mặt phẳng ( β ) chứa AB
19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho và vuông góc với ( α ) .
hai điểm A, B có tọa độ xác định bởi các hệ thức 26. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho
uuu → →
r uuu
r → →
OA = i − 2 k , OB = −4 j − 4 k và mặt phẳng ba điểm A(5;0;4), B(5;1;3), C(1;6;2), D(4;0;6).
(P): 3x – 2y + 6z + 2 = 0. a. Viết phương trình tham số của đường thẳng AB.
1/ Tìm giao điểm M của đường thẳng AB b. Viết phương trình mặt phẳng (α ) đi qua điểm D
với mp(P). và song song với mặt phẳng (ABC).
2/ Viết phương trình hình chiếu vuông góc 27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
của AB trên mp (P). điểm M(1;2;3) và mặt phẳng (P): x - 2y + z + 3 =
20. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 0
 x = 1 + 2t a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua
 điểm M và song song với mặt phẳng (P).
đường thẳng d:  y = 2t và mp(P): x + 2y – 2z + 3
z = t b) Viết phương trình tham số của đường thẳng
 (d) đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (P).
= 0. Tìm tọa độ giao điểm H của đường thẳng (d) với
1/ Viết pt đường thẳng đi qua gốc tọa độ O mặt phẳng (P).
vuông góc với d và song song với (P). 28. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho
2/ Viết phương trìng mặt cầu có tâm thuộc A(2;0;0), B( 0; 4; 0 ) và C(0; 0; 4).
d, tiếp xúc (P) và có bán kính bằng 4. 1.Viết phương trình mặt cầu qua 4 điẻm O, A, B,
21. Trong kgian cho hệ tọa độ Oxyz, điểm A C. Xác định toạ độ tâm I và tính bán kính R của mặt
(1; -1; 1) và hai đường thẳng (d1) và (d2) theo thứ tự cầu.
x = t 2.Viết phương trình mặt phẳng (ABC) và đường
có phương trình: ( d1 ) :  y = −1 − 2t ;
 thẳng d qua I vuông góc với (ABC).
 z = −3t
 29. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2
3x − y − z + 3 = 0 x = 1+ t
( d2 ) :  
2 x − y + 1 = 0 đường thẳng: ∆1 :  y = −1 − t ,
Chứng minh rằng (d1), (d2) và A cùng thuộc một z = 2
mặt phẳng. 
22. Trong không gian cho hệ tọa độ Oxyz, cho x − 3 y −1 z
∆2 : = =
mặt phẳng ( α ) vµ ( β ) lần lượt có phương trình là: −1 2 1
2

3. www.PNE.edu.vn
uuu
r uuur
1.Viết phương trình mặt phẳng qua đường thẳng + Tính AB . AC
∆1 và song song với đường thẳng ∆2. + Chứng minh A, B, C không thẳng
2.Xác định điểm A trên ∆1 và điểm B trên ∆2 sao hàng. Viết phương trình mp( ABC).
cho AB ngắn nhất . + Viết phương trình mặt cầu tâm
30. Trong k gian Oxyz cho A(2 ; 4; -1), B( 1; 4; I( -2;3;-1) và tiếp xúc (ABC).
-1 ), C(2; 4; 3) và D(2; 2; -1). 38. Trong không gian cho hai đường thẳng
1.CMR AB ⊥AC, AC ⊥ AD, AD ⊥ AB. Tính thể  x = 2t +1 x = m + 2
 
tích của tứ diện ABCD. (d1):  y = t +2 (t ∈ R ) và (d2):  y = 1 + 2m (m ∈ R)
 z = 3t − 1 z = m +1
2.Viết phương trình mặt cầu qua 4 điẻm A, B, C,  
D. Xác định toạ độ tâm I và tính bán kính R của a. Chứng tỏ d1 và d2 cắt nhau.
mặt cầu. b. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa
31. Trong kgian với hệ toạ độ Oxyz cho A(4 ; 3; (d1) và (d2).
2), B( 3; 0; 0 ), C(0; 3; 0) và D(0; 0; 3). c. Viết phương trình mặt cầu đường kính
1.Viết phương trình đường thẳng đi qua A và G OH với H là giao điểm của hai đt trên.
là trọng tâm của tam giác BCD. 39. Trong hệ toạ độ Oxyz cho các điểm:
2.Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc A(0,1,1), B(1,2,4), C(-1,0,2). Hãy lập phương trình
(BCD). mặt phẳng (Q) đi qua A, B, C. Lập phương trình
32. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tham số của đường thẳng đi qua B và M với M là
điểm A(1 ; 4 ; 2) và mặt phẳng (P) có phương trình: giao điểm của mặt phẳng (Q) với trục Oz.
x + 2y + z – 1 = 0. 40. Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(3 ;-
1) Hãy tìm tọa độ của hình chiếu vuông góc 2 ; -2), B(3 ;2 ;0), C(0 ;2 ;1), D(-1;1;2)
của A trên mặt phẳng (P). 1. Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy
2) Viết phương trình của mặt cầu tâm A, ra ABCD là 1 tứ diện
tiếp xúc với (P). 2. Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc
33. Cho mặt phẳng (P): 2x + y – z – 3 = 0 và với mặt phẳng (BCD).
x+2 y z +3 x = 4 + t
đường thẳng (d): = =
1 −2 2 
1. Tìm tọa độ giao điểm M của đường thẳng (d) 41. Cho 2 đường thẳng d1 :  y = 3 − t , d2 :
z = 4
và mặt phẳng (P). 
2. Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng x = 2
(d) trên mặt phẳng (P). 
34. Trong không gian Oxyz cho 3 điểm  y = 1 + 2t '
A(2;2;3); B(1;2;-4); và C(1;-3;-1).  z = −t '

1/Viết phương trình mặt phẳng (ABC). 1) Tính đoạn vuông góc chung của 2 đường
2/Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện thẳng d1 và d2.
OABC.Tâm của mặt cầu có trùng với trọng tâm của
2) Viết phương trình mặt cầu có đường kính là
tứ diện không?
đoạn vuông góc chung của d1 và d2.
35. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
x+2 y z +3
42. Trong không gian Oxyz cho mặt cầu
đt (d): = = và mp(P): (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z = 0.
1 −2 2
x + 2 y − 2z + 6 = 0 . 1/ Xác định tâm và bán kính của mặt cầu
(S).
1. Viết phương trình mặt cầu tâm I (1; −2; 3) và
2/ Gọi A; B; C lần lượt là giao điểm (khác
tiếp xúc với mặt phẳng (P).
gốc toạ độ O) của mặt cầu (S) với các trục Ox; Oy;
2. Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa
Oz. Tìm toạ độ A; B; C. Viết phương trình mặt
đường thẳng (d) và vuông góc với mp(P). phẳng (ABC).
36. Cho 2 điểm A (0; 1; 2) và B (-3; 3; 1) 43. Trong không gian Oxyz cho đường thẳng
a/ Viết phương trình mặt cầu tâm A và đi x − 2 y +1 z −1
qua B. (d): = = và mp(P): 2x + y + z – 8 = 0.
2 3 5
b/ Viết phương trình tham số của đường 1/ Chứng tỏ đường thẳng (d) không vuông
thẳng (d ) qua B và song song với OA. góc mp(P). Tìm giao điểm của đường thẳng (d) và
c/ Viết phương trình mặt phẳng ( OAB). mặt phẳng (P).
37. Trong không gian Oxyz:
r r r r 2/ Viết phương trình đường thẳng (d’) là
r 1r r
a) Cho a = 4i + 3 j , b = (-1; 1; 1). Tính c = a − b hình chiếu vuông góc của đường thẳng (d) lên mặt
2
phẳng (P).
b) Cho 3 điểm A(1; 2; 2), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1)
3

4. www.PNE.edu.vn
44. Trong không gian Oxyz cho điểm M(-  x = 1− t
3;1;2) và mặt phẳng (P): 2x + 3y + z – 13 = 0 
51. Cho hai đt (d1 ) :  y = 2 + 2t và
1) Hãy viết phương trình đường thẳng (d) đi qua  z = 3t
M và vuông góc với mặt phẳmg (P). Tìm tọa độ 
giao điểm H của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P).  x = 1+ t /
2) Hãy viết phương trình mặt cầu tâm M có bán 
(d 2 ) :  y = 3 − 2t / .
kính R = 4. Chứng tỏ mặt cầu này cắt mặt phẳng  z =1

(P) theo giao tuyến là 1 đường tròn.
Chứng minh rằng (d1) và (d2) chéo nhau.
45. Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(- 52. Cho mặt cầu
2;1;2), B(0;4;1), C(5;1;-5), D(-2;8;-5) và đường ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 10 x + 2 y + 26 z + 170 = 0 .
x + 5 y + 11 z − 9
thẳng d: = = . 1. Tìm toạ độ tâm I và độ dài bán kính r
3 5 −4 của mặt cầu (S).
1) Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ 2. Lập phương trình đường thẳng (d) qua điểm I
diện ABCD. vuông góc với mặt phẳng (α ) : 2 x − 5 y + z − 14 = 0 .
2) Tìm tọa độ giao điểm M, N của (d) với mặt 53. Cho ba điểm A(1;0;-1), B(1;2;1), C(0;2;0).
cầu (S). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
3) Viết phương trình các mặt phẳng tiếp xúc 1. Viết phương trình đường thẳng OG.
với mặt cầu (S) tại M, N. 2. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn
điểm O, A, B, C.
46. Trong không gian Oxyz cho 2 mặt phẳng
3. Viết phương trình các mặt phẳng vuông
( α ) : 2x – y + 2z – 1 = 0 và ( α ' ): x + 6y +2z +5 = 0.
góc với đường thẳng OG và tiếp xúc với mặt cầu
1/Chứng tỏ 2 mặt phẳng đã cho vuông góc (S).
với nhau. x − 2 y +1 z −1
2/Viết phương trình mặt phẳng ( β ) đi qua 54. Cho đường thẳng (d ) : = =
gốc tọa độ và giao tuyến của 2 mặt phẳng( α ), ( α ' ). 1 2 3
47. Cho bốn điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), và mặt phẳng (α ) : x − y + 3 z + 2 = 0 .
D(-2;1;-1) 1. Tìm toạ độ giao điểm M của đường thẳng
1. Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ (d) và mặt phẳng (α ) .
diện. 2. Viết phương trình mặt phẳng chứa (d) và
2. Tính thể tích của tứ diện đó. vuông góc với mặt phẳng (α ) .
3. Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện 55. Cho mặt phẳng (α ) : x + y − 2 z − 4 = 0 và
ABCD. điểm M(-1;-1;0).
48. Cho mặt cầu (S) có đường kính AB, biết 1. Viết phương trình mặt phẳng ( β ) qua M và
A(6;2;-5), B(-4;0;7). song song với (α ) .
1. Lập phương trình mặt cầu (S). 2. Viết phương trình đường thẳng (d) qua M
2. Lập phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt và vuông góc với (α ) .
cầu (S) tại điểm A. 3. Tìm toạ độ giao điểm H của (d) và (α ) .
49. Cho bốn điểm A(-2;6;3), B(1;0;6), C(0;2;-
56. Cho bốn điểm A(1;-1;2), B(1;3;2), C(4;3;2),
1), D(1;4;0)
D(4;0;0)
1. Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy
1. Lập phương trình mặt phẳng (BCD). Từ
ra ABCD là một tứ diện.
đó suy ra ABCD là một tứ diện.
2. Tính chiều cao AH của tứ diện ABCD.
2. Tính thể tích tứ diện.
3. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa
3. Lập phương trình mặt phẳng (α ) qua gốc
AB và song song với CD.
toạ độ và song song mặt phẳng (BCD).
50. Cho mặt phẳng (α ) : 3 x + 5 y − z − 2 = 0 và
57. Cho bốn điểm A(0;-1;1), B(1;-3;2), C(-
 x = 12 + 4t 1;3;2), D(0;1;0)

đường thẳng (d ) :  y = 9 + 3t . 1. Lập phương trình mặt phẳng (ABC). Từ
 z = 1+ t đó suy ra ABCD là một tứ diện
 2. Lập phương trình đường thẳng (d) qua
1. Tìm giao điểm M của đường thẳng (d) trọng tâm G của tam giác ABC và đi qua gốc tọa
và mặt phẳng (α ) . độ.
2. Viết phương trình mặt phẳng ( β ) chứa điểm M 58. Cho điểm A(0;-1;1) và mặt phẳng
và vuông góc với đường thẳng (d). (α ) : 2 x + 3 y − z − 7 = 0
4

5. www.PNE.edu.vn
1. Lập phương trình đường thẳng (d) chứa 1. Lập phương trình đường thẳng (d) đi
A và vuông góc với mặt phẳng (α ) . qua A và B.
2. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (α ) . 2. Lập phương trình mặt phẳng (α ) chứa M
59. Cho ba điểm A(1;0;4), B(-1;1;2), C(0;1;1) và vuông góc với đường thẳng AB.
1. Chứng minh tam giác ABC vuông. 3. Tìm toạ độ giao điểm của (d) và mặt
2. Lập phương trình đường thẳng (d) qua phẳng (α ) .
trọng tâm G của tam giác ABC và đi qua gốc tọa 68. Cho mặt cầu
độ. (S ) : x + y + z + 4 x + 8 y − 2 z − 4 = 0
2 2 2
và mặt
60. Cho hai điểm A(1;2;-1), B(7;-2;3) và phẳng (α ) : x + 3 y − 5 z + 1 = 0 .
 x = −1 + 3t 1. Xác định tọa độ tâm I và độ dài bán kính

đường thẳng (d ) :  y = 2 − 2t r của mặt cầu (S).
 z = 2 + 2t 2. Lập phương trình đường thẳng (d) qua

điểm I và vuông góc với mặt phẳng (α ) .
1. Lập phương trình đường thẳng AB.
69. Cho ba điểm A(3;0;4), B(1;2;3), C(9;6;4).
2. Chứng minh đường thẳng AB và đường
1. Tìm toạ độ điểm D sao cho ABCD là
thẳng (d) cùng nằm trong một mặt phẳng.
hình bình hành.
61. Cho ba điểm A(0;2;1), B(3;0;1), C(1;0;0)
2. Lập phương trình mặt phẳng (BCD).
1. Lập phương trình mặt phẳng (ABC).
70. Cho điểm I(-2; 1; 1) và mp
2. Lập phương trình đường thẳng (d) qua
(α ) : x + 2 y − 2 z + 5 = 0 .
M(1; - 2; ) và vuông góc mặt phẳng (ABC).
3. Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng 1. Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt
(ABC). phẳng (α )
62. Cho hai điểm A(1;0;-2), B(0;1;1) 2. Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm là I
1. Lập phương trình đường thẳng đi hai A và tiếp xúc với mặt phẳng (α )
và B. 71. Cho điểm M(-2; 3; 1) và đường thẳng
2. Lập phương trình mặt cầu (S) có đường kính là x − 2 y +1 z + 2
(d ) : = =
AB. 2 −2 3
63. Cho hai điểm M(3;-4;5), N(1;0;-2) 1. Lập phương trình tham số của đường
1. Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua M thẳng (d/) qua M và song song với đường thẳng (d).
và có tâm là N. 2. Tìm toạ độ điểm M/ là hình chiếu vuông
2. Lập phương trình mặt phẳng (P) qua M góc của M trên (d).
tiếp xúc với mặt cầu (S). 72. Cho mp (α ) : x + y + z − 1 = 0 và đt
64. Cho điểm H(1; 0; - 2) và mp  x = 2t
(α ) : 3 x − 2 y + z + 7 = 0 
(d ) :  y = 1 − t
1. Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (
α) z = 3 + t

2.Lập phương trình mặt cầu có tâm H và tiếp xúc 1. Tìm toạ độ giao điểm H của (d) và mp
với mặt phẳng ( α ). (α ) .
65. Cho điểm M(1;4;2) và mp 2. Lập phương trình mp trung trực của
(α ) : x + y + z − 1 = 0 đoạn OH.
1. Lập phương trình đường thẳng (d) qua 73. Cho bốn điểm A(6;-2;3), B(0;1;6), C(2;0;-
M và vuông góc với mặt phẳng (α ) 1), D(4;1;0)
2. Tìm toạ độ giao điểm H của (d) và mặt 1. Lập phương trình mặt phẳng (BCD). Tứ
phẳng (α ) đó suy ra ABCD là một tứ diện.
66. Cho mặt phẳng (α ) : 3 x + 5 y − z − 2 = 0 và 2. Tính thể tích của tứ diện.
x − 12 y − 9 z − 1 74. Cho điểm H(2;3;-4) và điểm K(4;-1;0)
đường thẳng (d ) : = = 1. Lập phương trình mặt phẳng trung trực
4 3 1
của đoạn HK.
1. Tìm toạ độ giao điểm H của (d) và mp
2. Lập phương trình mặt cầu (S) có đường kính là
(α ) .
HK.
2. Lập phương trình mặt cầu (S) qua H và 75. Cho điểm I(-2; 1; 0) và mp
có tâm là gốc tọa độ. (α ) : x + 2 y − 2 z + 1 = 0
67. Cho ba điểm A(2;-1;-1), B(-1;3;-1), M(-
1. Lập phương trình đường thẳng (d) qua I và
2;0;1).
vuông góc với mặt phẳng (α ) .
5

6. www.PNE.edu.vn
2. Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của I trên 83. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 4
mặt phẳng (α ) . điểm A = (-2; 1 ;-1 ) , B = ( 0 ; 2 ; -1) , C = ( 0 ; 3 ;
76. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1 ; 0 ) và D = (1 ; 0 ; 1 ).
0 ; 2), B(-1 ; 1 ; 5), C(0 ; -1 ; 2) và D(2 ; 1 ; 1) a/ Viết phương trình đường thẳng BC.
1. Lập phương trình mặt phẳng (P) b/ Viết phương trình mặt phẳng ABC, suy ra
chứa AB và song song với CD. ABCD là tứ diện.
2. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua c/ Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
4 điểm A, B, C, D. 84. Trong không gian Oxyz, cho A(−2 ; 3 ; 1) ,
77. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng B (1 ; 2 ; 4) và (α ) : 3 x + y − 2 z + 1 = 0
(d) và mặt phẳng ( α ) lần lượt có phương trình: 1. Viết phương trình mặt cầu (S) nhận AB làm
x − 5 y + 3 z −1
(d ) : = = , ( α ) : 2x + y − z − 2 = 0 đường kính.
−1 2 3 2. Viết phương trình mp ( β ) đi qua A đồng thời
1-Viết phương trình mp( β ) đi qua giao điểm I vuông góc với hai mặt phẳng (α ) và (Oxy).
của (d) và ( α ) và vuông góc (d). 85. Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(3 ;-
2-Cho A(0 ; 1 ; 1). Hãy tìm toạ độ điểm B sao 2 ; -2), B(3 ;2 ;0), C(0 ;2 ;1), D(-1;1;2).
cho ( α ) là mặt trung trực của đoạn AB. 1). Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra
78. Trong không gian Oxyz cho đường thẳng
ABCD là 1 tứ diện.
 x = 1 + 2t 2). Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với

(d):  y = −1 + t mặt phẳng (BCD).
z = 3 − t x = 4 + t


a) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 86. Cho 2 đường thẳng d1 :  y = 3 − t , d2 :
A(2; 0; 0) và vuông góc với đường thẳng (d). z = 4

b) Tìm tọa độ giao điểm của (d) với mặt phẳng (P).
79. Trong không gian Oxyz cho đường thẳng x = 2

 x = 1 + 2t  y = 1 + 2t '
  z = −t '
(d):  y = −1 + t 
z = 3 − t 1) Tính đoạn vuông góc chung của 2 đường

a) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc vẽ từ điểm thẳng d1 và d2.
A(2; 0; -1) lên đường thẳng (d). 2) Viết phương trình mặt cầu có đường kính là
b) Tìm tọa độ giao điểm B đối xứng của A qua đoạn vuông góc chung của d1 và d2.
đường thẳng (d). 87. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,
80. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. cho cho các điểm A(1 ; 0 ; 2), B(-1 ; 1 ; 5), C(0 ; -1 ; 2)
mặt phẳng (P): 3x − 2 y − 3 z − 7 = 0 , và A(3; -2; -4). và D(2 ; 1 ; 1).
1) Tìm tọa độ điểm A’ là hình chiếu của A trên (P). 1). Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox
2) Viết pt mặt cầu có tâm A và tiếp xúc với (P). và song song với CD.
81. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Cho 2). Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 4 điểm
mặt phẳng (P): 2 x − y + 2 z + 5 = 0 và các điểm A(0; 0; A, B, C, D.
4), B(2; 0; 0) 88. Trong không gian với hệ toạ độ 0xyz cho
1) Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông điểm A(1; 0 ;-1), B(2;1;2) và mặt phẳng (α) có
góc với mặt phẳng (P). phương trình: 3x – 2y + 5z + 2 = 0.
2) Viết phương trình mặt cầu đi qua O, A, B và 1. Chứng tỏ A∈(α), B∉(α) viết phương trình
tiếp xúc với mặt phẳng (P).
đường thẳng (d) qua A và vuông góc với (α). Tính
82. Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC
có A(1, 1, 2), B(-1, 3, 4) và trọng tâm của tam giác góc giữa đường thẳng AB và (α).
là G(2, 0, 4). 2. Viết phương trình mặt cầu (S) nhận AB làm
đường kính. Xác định toạ độ tâm và bán kính của
a. Xác định toạ độ đỉnh C của tam giác.
đường tròn là giao của mp(α) và mặt cầu(S).
b. Viết phương trình mp(ABC).
( S ) : ( x − 1) + ( y + 1) + z 2 = 11
2 2
89. Cho mcầu
c. Viết phương trình tham số và phương trình
và 2 đt:
chính tắc của đường trung tuyến hạ từ đỉnh A của x y +1 z −1 x +1 y z
d1 : = = và d 2 : = = .
tam giác ABC. 1 1 2 1 2 1
1/ Viết phương trình các mặt phẳng tiếp xúc với
6 (S) đồng thời song song d1, d2.

7. www.PNE.edu.vn
2/ Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d 96. Trong không gian với hệ toạ độ Đề Các
qua tâm của (S) đồng thời cắt d1 và d2 . Oxyz, cho đường thẳng ( ∆ ) có phương trình
90. Trong kg Oxyz, cho điểm I(1;1;1) và đt d: x −1 y − 2 z
= = và mặt phẳng (Q) đi qua điểm
 x = −2 + 4t 2 −1 3
 r
 y = −4 + t . M(1;1;1) và có véctơ pháp tuyến n = (2; −1; −2).
 z = 3 − 2t Tìm toạ độ các điểm thuộc ( ∆ ) sao cho khoảng

cách từ mỗi điểm đó đến mp(Q) bằng 1.
1/ Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc H của I
97. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d):
trên đường thẳng d .
2/ Viết pt mặt cầu (S) có tâm I và cắt d tại hai x +1 y −1 z − 2
= = và mp(P): x – y – z – 1 = 0 .
điểm A,B sao cho AB = 16. 2 1 3
91. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng 1/ Tìm phương trình chính tắc của đường
 x = 1 + 2t thẳng ( ∆ ) đi qua A(1; 1; - 2) song song với (P) và
 vuông góc với đường thẳng (d).
d:  y = 2 − t và mp (P): 2x – y – 2z + 1 = 0 .
 z = 3t 2/ Tìm một điểm M trên đường thẳng (d) sao
 5 3
1/ Tìm các điểm thuộc đường thẳng d sao cho cho khoảng cách từ M đến mp(P) là
3
khoảng cách từ điểm đó đến mp(P) bằng 1.
98. Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD
2/ Gọi K là điểm đối xứng của I(2; -1; 3) qua
với A(1; 1; 1) , B(1; 2; 1) , C(1; 1; 2) , D(2; 2; 1) .
đường thẳng d. Xác định toạ độ K.
1/ Viết phương trình đường vuông góc chung
92. Trong không gian Oxyz, cho hai đường
của AB và CD. Tính thể tích tứ diện ABCD.
thẳng:
2/ Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ
x−2 y −3 z +4 x +1 y − 4 z − 4
(d1): = = , (d2): = = diện ABCD .
2 3 −5 3 −2 −1 99. Trong mặt phẳng toạ độ Oxyzuuur hai điểm:
1/ Viết phương trình đường vuông góc chung uuur r r cho r r
A(1;0;0) ; B(0;-2;0) và OC = i − 2 j ; OD = 3 j + 2k .
d của d1 và d2 .
2/ Tính toạ độ các giao điểm H , K của d với 1/ Tính góc ABC và góc tạo bởi hai đường
d1 và d2. Viết phương trình mặt cầu nhận HK làm thẳng AD và BC.
đường kính. 2/ Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
93. Cho hai điểm M(1; 2; - 2) và N(2; 0; -2). ABCD. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu.
1) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng đi x y−2 z+4
100. 1/ Cho hai đường thẳng (d 1): = = ;
qua M,N và lần lượt vuông góc với các mặt phẳng 1 −1 2
toạ độ. x + 8 y − 6 z − 10
(d2): = = trong hệ toạ độ vuông
2) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng 2 1 −1
(α ) đi qua M, N và vuông góc với mặt phẳng góc Oxyz. Lập phương trình đường thẳng (d) cắt
3x + y + 2z -1 = 0 . (d1), (d2) và (d) song song với trục Ox.
94. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 101. Trong mặt phẳng toạ độ Oxyz cho bốn điểm:
mặt phẳng ( α ) : x + z + 2 = 0 và đường thẳng A(1;0;0) ; B(0;-2;0) ; C(1;-2;0) ; D(0;3;2).
x −1 y − 3 z +1 1) Chứng minh ABCD là một tứ diện và tính
d: = = . chiều cao của tứ diện vẽ từ đỉnh A.
1 −2 2 2) Tính chiều cao tam giác ABC vẽ từ đỉnh C.
1/ Tính góc nhọn tạo bởi d và ( α ) . Viết phương trình đường cao qua C của tam giác
2/ Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) là hình ABC. Xác định trực tâm H của tam giác ABC.
chiếu vuông góc của d trên ( α ) . 102. Trong không gian cho hai dường thẳng (d) & (d’)
95. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu với :
(S) : x + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y − 6 z − 67 = 0 ,
2  x = −1 + 2t x = 1+ t '
 
mp(P): 5x + 2y + 2z - 7 = 0 (d):  y = 3 + t ; (d’):  y = −2t '
 x = −1 + t  z = −1 − 2t  z = 1 + 2t '
 

và đường thẳng d:  y = 1 + 2t 1) Tính góc giữa (d) & (d’). Xét vị trí tương
 z = 13 + t đối của (d) & (d’) .

2) Giả sử đoạn vuông góc chung là MN, xác
1/ Viết phương trình mặt phẳng chứa d và tiếp định toạ độ của M, N và tính độ dài của đoạn MN.
xúc với (S) .
2/ Viết phương trình hính chiếu vuông góc
của d trên mp (P) . 7

8. www.PNE.edu.vn
103. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm 110. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 mp:
x −1 y +1 z − 2 (P): 2x + y + 3z – 1 = 0 ; (Q): x + y – 2z + 4 = 0 .
M(1; 0; 4 ) và đường thẳng (d): = =
−1 3 1 1/ Chứng tỏ (P) và (Q) cắt nhau. Viết ptrình
1/ Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và chính tắc của đường thẳng (d) là giao tuyến của (P)
vuông góc với (d). và (Q).
2/ Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M 2/ Viết pt hình chiếu vuông góc của (d) lên mặt
trên (d). phẳng (Oxy).
3/ Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm M và (S) 3/ Viết pt mp(R) song song mp: 2x + 2z - 17 = 0
tiếp xúc với (d). và tiếp xúc với mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 25 = 0.
104. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 4 điểm 111. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm
A(4; 0; 1 ), B (2; -1; 0 ), C (0; 6; 1 ), D (6; 3; -2 ) A(-1; 0; 2); B( 3; 1; 0); C(0; 1; 1) và đường thẳng
1/ Viết phương trình mp(BCD). Suy ra ABCD là x +1 y − 7 z − 2
(d): = =
một hình tứ diện. 1 2 3
2/ Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua 1/ Viết phương trình mp (P) qua A, B, C.
trọng tâm G của tam giác BCD và vuông góc với 2/ Tìm tọa độ giao điểm H của đt(d) và mp(P).
(BCD). CM H là trực tâm tam giác ABC.
3/ Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là A và 3/ Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc
(S) tiếp xúc với (BCD). mp(Oxz) và (S) qua A, B, C.
105. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai 112. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm
điểm A(2, 0, -2 ), B(1, -2, 3) và mặt phẳng (P): M(2; 3; 0), mặt phẳng (P): x + y + 2 z + 1 = 0 và
2 x − y + 3z − 5 = 0 . mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y − 6 z + 8 = 0 .
1/ Viết phương trình chính tắc đường thẳng AB. 1/ Tìm điểm N là hình chiếu của điểm M lên
2/ Tìm tọa độ giao điểm K của đt AB và mp(P). mặt phẳng (P).
3/ Viết phương trình mp(Q) chứa AB và vuông 2/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song
góc với (P). với (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S).
106. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai 113. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho A(1;2;3)
đường thẳng: x −1 y +1 z −1
x − 3 y − 2 z −1 x −1 y + 2 z − 2 và đường thẳng d: = = .
(d1): = = ; (d2): = = 2 1 2
−1 3 1 3 1 −2 1. Viết phương trình mặt phẳng ( α ) qua A và
1/ Chứng minh rằng (d1) và (d2) cắt nhau. vuông góc d.
2/ Viết phương trình mp(P) chứa (d1) và (d2). 2. Tìm tọa độ giao điểm của d và mặt phẳng ( α ).
107. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(0, -1, -2), 114. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho A(1;0;0),
B(-1, 2, 1), C(1, 0, 0). B(0;2;0), C(0;0;4)
1/ Viết phương trình mp(ABC).
1) Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua ba điểm
2/ Viết phương trình tham số đường thẳng AB.
A, B, C. Chứng tỏ OABC là tứ diện.
3/ Tính độ dài đường cao CH của tam giác ABC.
2) Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ
108. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm
diện OABC.
x +1 y − 3 z − 2
M(-2, 4, 1) đường thẳng (d): = = ; 115. Trong Kg Oxyz cho điểm A(3;4;2), đường thẳng
1 −1 3 x y z −1
mp(P): 2x + y – 2z – 4 = 0. (d): = =
1 2 3
1/ Viết phương trình mp(Q) đi qua M và vuông
góc với (d). và mặt phẳng (P): 4 x + 2 y + z − 1 = 0 .
2/ Tìm tọa độ điểm M/ đối xứng với M qua (d). 1) Lập ptrình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mp (P).
3/ Viết phương trình mp(R) chứa (d) và vuông 2) Viết phương trình đường thẳng qua A, vuông
góc với (P). góc (d) và song song với mặt phẳng (P).
4/ Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm M và 116. Trong Kg Oxyz cho điểm A(2;0;1), mặt phẳng
tiếp xúc mp(P). (P): 2 x − y + z + 1 = 0
109. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm x = 1+ t
x −1 y + 2 z +1 
I(0, -2, 1) đt(d): = = . và đường thẳng (d):  y = 2t .
−2 1 2 z = 2 + t
1/ Viết phương trình mp(P) qua I và vuông góc 
đt(d). 1) Lập phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với
2/ Tính khoảng cách từ I đến đt(d). mặt phẳng (P).
3/ Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I và tiếp 2) Viết pt đường thẳng qua điểm A, vuông góc
xúc với (d). 8 và cắt đường thẳng (d).

9. www.PNE.edu.vn
117. Trong Kg Oxyz cho ba điểm A( 2 ; -1 ; 1), 1) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của A lên
B( 0; 2 ;- 3), C( -1 ; 2 ;0). d.
1) Chứng minh A,B,C không thẳng hàng .Viết 2) Tìm tọa độ điểm B đối xứng với A qua đường
phương trình mặt phẳng (ABC). thẳng d.
2) Viết phương trình tham số của đường thẳng
BC. 125. Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng:
118. Trong kg cho hai điểm A(1; 0; -2), B( -1 ; -1 ; 3) x = 1 + t
và mặt phẳng (P): 2x – y +2z + 1 = 0.  x − 2y + z − 4 = 0 
d1 :  d2 :  y = 2 + t
1. Viết phương trình mặt phẳng ( Q) qua hai  x + 2y − 2z + 4 = 0  z = 1 + 2t
điểm A,B và vuông góc với mặt phẳng (P). 
2. Viết phương trình mặt cầu có tâm A và tiếp 1) Viết phương trình mặt phẳng chứa d1 và song
xúc với mặt phẳng (P). song với d2.
119. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu 2) Cho điểm M(2; 1; 4). Tìm tọa độ điểm H trên
(S): x2 + y2 + z2 – 2x + 2y + 4z – 3 = 0 và hai đt: d2 sao cho độ dài MH nhỏ nhất.
x + 2 y − 2 = 0 x −1 y z 126. Cho mặt cầu (S) có đường kính là AB biết rằng
(∆1) :  , (∆2) : = = A(6; 2; -5), B(-4; 0; 7).
 x − 2z = 0 −1 1 −1
1. Tìm toạ độ tâm I và bán kính r của mặt cầu (S).
1) Chứng minh (∆1) và (∆2) chéo nhau. 2. Lập phương trình của mặt cầu (S).
2) Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S), 127. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(-1; 2; 0),
biết tiếp diện đó song song với hai đường thẳng (∆1) B(-3; 0; 2), C(1; 2; 3), D(0; 3; -2).
và (∆2). 1) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
120. Trong không gian (Oxyz) cho đường thẳng (d): 2) Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa AD
và song song với BC.
 x = 1+ t x- 3 y + 1 z- 2
 128. Cho đường thẳng d : = = và mặt
 y = 3− t và mặt phẳng (P): 2x + y + 2z = 0 2 - 1 2
z= 2+ t phẳng ( a ) : 4 x + y + z - 4 = 0 .
 1. Tìm tọa độ giao điểm A của d và ( a ) . Viết
1. Chứng tỏ (d) cắt (P).Tìm giao điểm đó.
2. Tìm điểm M thuộc (d) sao cho khoảng cách từ phương trình mặt cầu ( S ) tâm A và tiếp xúc với mặt
M đến (P) bằng 2.Từ đó lập phương trình mặt cầu phẳng (Oyz).
có tâm M và tiếp xúc với (P). 2. Tính góc j giữa đường thẳng d và mặt phẳng
121. Trong kg Oxyz cho 2 điểm A(5;-6;1) và B(1;0;-5) ( a) .
1. Viết phương trình chính tắc của đường
r 129. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường
thẳng ( ∆ ) qua B có véctơ chỉ phương u (3;1;2). x − 2 y +1 z + 3
Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AB và ( ∆ ). thẳng ( ∆ ) : = =
1 −2 2
2. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và và mặt phẳng ( P ) : x + y − z + 5 = 0 .
chứa ( ∆ ).
1) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng ( ∆ )
122. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho các
điểm A(1; 0; 0); B(0; 2; 0); C(0; 0; 3) và mặt phẳng (P).
1. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng 2) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của
qua ba điểm: A, B, C. đường thẳng ( ∆ ) trên mặt phẳng (P).
2. Lập phương trình đường thẳng (d) qua C và 130. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt
vuông góc mặt phẳng (ABC). Tìm tọa độ giao điểm phẳng ( a ) : 2 x + 3 y + 6 z - 18 = 0 . Mặt phẳng ( a )
của đường thẳng (d) và mặt phẳng (Oxy).
123. Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(3; -2; -2), cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B và C. Viết phương
B(3; -2; 0), C(0; 2; 1), D(-1; 1; 2) trình mặt cầu ( S ) ngoại tiếp tứ diện OABC. Tình
1) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Từ đó tọa độ tâm của mặt cầu này.
suy ra ABCD là một tứ diện. 131. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
2) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A và x = 2 + t
tiếp xúc với mặt phẳng (BCD). 
A ( 1; −2; 2 ) và đường thẳng ( d ) :  y = 1 − t .
124. Trong không gian Oxyz cho đường thẳng
 z = 2t
x +1 y + 3 z + 2 
d: = = và điểm A(3; 2; 0)
1 2 2 1. Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa
điểm A và đường thẳng (d).
9

10. www.PNE.edu.vn
2. Tìm tọa độ của điểm A’ đối xứng với 141. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho M(1; −
điểm A qua đường thẳng (d). x−1 y z
1;1), hai đường thẳng ( ∆1 ) : = = ,
132. Trong không gian Oxyz cho điểm M (1,1,1) và −1 1 4
mặt phẳng (α ) : − 2 x + 3 y − z + 5 = 0 . Viết phương x = 2 − t

trình đường thẳng d qua điểm M và vuông góc (∆2 ) : y = 4 + 2t và mặt phẳng (P): y + 2z = 0
với mặt phẳng (α ) . z = 1

133. Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng: a. Tìm điểm N là hình chiếu vuông góc của điểm
 x = 2 + 2t x = 1 M lên đường thẳng ( ∆2 ) .
 
∆1 :  y = −1 + t ∆2 :  y = 1 + t b. Viết phương trình đường thẳng cắt cả hai
z =1  z = 3−t
  đường thẳng (∆1) ,(∆2 ) và đi qua điểm M.
1. Viết phương trình mặt phẳng (α ) 142. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm
chứa ( ∆1 ) và song song ( ∆ 2 ) . M(2;3;0), mặt phẳng (P): x + y + 2z + 1 = 0 và mặt
2. Tính khoảng cách giữa đường thẳng cầu (S) : x 2 + y 2 + z2 − 2x + 4y − 6z + 8 = 0 .
( ∆ 2 ) và mặt phẳng (α ) . 1. Tìm điểm N là hình chiếu của điểm M lên mặt
134. Viết phương trình đường thẳng đi qua M(1,2,-3) phẳng (P) .
và vuông góc với mp(P): x - 2y + 4z – 35 = 0 2. Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với
135. Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S) .
A(2;-1;3), B(4;0;1), C(-1;5;3), D(0;1;2). Suy ra tâm 143. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
và bán kính mặt cầu. A(1;4;2) và (P): x + 2y + z -1 = 0.
136. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;2;3) a. Tìm hình chiếu vuông góc của A lên (P).
1. Viết phương trình mặt phẳng ( α ) đi qua M b. Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với
và song song với mặt phẳng x − 2 y + 3 z − 4 = 0 . (P).
2. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1;1;1) 144. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho
và tiếp xúc với mặt phẳng ( α ). x − 2 y −1 z
A(-1;2;3), đường thẳng ( ∆ ) : = = .
137. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm 1 2 1
M(0 ; 1; –3), điểm N(2 ; 3 ; 1). a. Tìm điểm N là hình chiếu vuông góc của điểm
1) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng A lên đường thẳng ( ∆ ).
(P) đi qua N và vuông góc với MN. b. Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với
2) Viết phương trình tổng quát của mặt cầu (S) ( ∆ ).
đi qua điểm M, điểm N và tiếp xúc với mp(P). 145. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
138. Viết PT mp đi qua A(3,1,-1), B(2,-1,4) và vuông M(1;0;5) và hai mặt phẳng:
góc với mặt phẳng ( β ) : 2x – y + 3z + 4 = 0 (P): 2 x − y + 3z + 1 = 0 và (Q): x + y − z + 5 = 0 .
139. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai 1.Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Q) .
đường thẳng: 2. Viết phương trình mặt phẳng (R) qua O, M và
x = − 2t vuông góc với mặt phẳng (P).
x −1 y − 2 z 
(∆2 ) : y = −5 + 3t
(∆1) : = = , 146. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đthẳng
2 −2 −1 z = 4 x + 3 y +1 z − 3
 (d): = = và mp(P): x + 2 y − z + 5 = 0 .
2 1 1
1.Chứng minh rằng đường thẳng (∆) và
1.Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và
đường thẳng (∆) chéo nhau . mặt phẳng (P) .
2. Viết PTMP (P) chứa đường thẳng (∆) và 2. Tính góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng
song song với đường thẳng (∆) . (P) .
140. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 4 147. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai
điểm A( − 2;1; − 1), B(0;2; − 1), C(0;3;0), D(1;0;1).  x = − 2t
a. Viết phương trình đường thẳng BC . x −1 y − 2 z 
đường thẳng (∆1 ) : = = , (∆ 2 ) :  y = −5 + 3t
b. Chứng minh rằng 4 điểm A,B,C,D không 2 −2 −1 z = 4

đồng phẳng . (∆1 ) và đường
1. Chứng minh rằng đường thẳng
c. Tính thể tích tứ diện ABCD .
thẳng (∆ 2 ) chéo nhau.
2. Viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa đường
thẳng (∆1 ) và song song với đường thẳng (∆ 2 ) .
148. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
10 M( −1;4;2) và hai mặt phẳng:

11. www.PNE.edu.vn
( P1 ) : 2 x − y + z − 6 = 0 , ( P2 ) : x + 2 y − 2 z + 2 = 0 . 156. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d:
1) Chứng tỏ rằng hai mặt phẳng ( P1 ) và ( P2 ) cắt  x = 1 + 2t
nhau. Viết phương trình tham số của giao tuyến ∆ 
 y = −1 + t và d’ là giao tuyến của hai mặt phẳng:
của hai mặt phằng đó . z = 2 − t
2) Tìm điểm H là hình chiếu vuông góc của 
điểm M trên giao tuyến ∆ . (P): 3y – z – 7 = 0 ; (Q): 3x + 3y – 2z -17 = 0 .
149. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam a/ CMR d và d’ chéo nhau và vuông góc với
giác ABC có các đỉnh A, B, C lần lượt nằm trên các nhau.
trục Ox, Oy, Oz và có trọng tâm G(1;2; −1 ). Viết b/ Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa d’ và
phương trình mp(ABC). vuông góc với d. Tìm toạ độ giao điểm của d và
150. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt (R).
phẳng ( P) : x + y + z − 3 = 0 và đường thẳng (d) là 157. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:
 x = 7 + 6t
giao tuyến của 2 mp: x + z − 3 = 0 và 2y -3z = 0 x −1 y − 6 z − 3 
1.Viết phương trình mp (Q) chứa M(1;0;-2) và d: = = ; d ':  y = 6 + 4t
9 6 3  z = 5 + 2t
qua (d). 
2.Viết phương trình chính tắc đường thẳng (d’) là a/ Xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng d và d’.
hình chiếu vuông góc của (d) lên mặt phẳng (P). b/ Lập phương trình mặt phẳng chứa hai đường
151. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba thẳng d và d’.
điểm: A(1;0;-1); B(1;2;1); C(0;2;0). Gọi G là trọng 158. Trong không gian Oxyz, cho điểm A( 1 ; 2 ; -3) và
tâm của tam giác ABC. 2 mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – 1 = 0
1.Viết phương trình đường thẳng OG. (Q): x + 6y + 2z + 5 = 0 .
2.Viết phương trình mặt cầu ( S) đi qua bốn điểm a/ Xác định góc giữa hai mặt phẳng.
O, A, B, C. b/ Lập phương trình đường thẳng d qua A và
3.Viết phương trình các mặt phẳng vuông góc với song song với hai mặt phẳng.
đường thẳng OG và tiếp xúc với mặt cầu ( S). 159. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho A(1; 2; 3)
152. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho bốn và đường thẳng d có phương trình:
điểm A, B, C, D với A(1; 2; 2), B(-1; 2; -1), x −1 y +1 z −1
uuuur r r r uuuuu r r r r = = .
OC = i + 6 j − k ; OD = −i + 6 j + 2k . 2 1 2
1.Chứng minh rằng ABCD là hình tứ diện và có 1) Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua A và
các cặp cạnh đối bằng nhau. vuông góc d.
2.Tính khoảng cách giữa hai đthẳng AB và CD. 2) Tìm tọa độ giao điểm của d và mặt phẳng (α ) .
3.Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp hình 160. Trong Kg Oxyz cho A(2;0;1),
tứ diện ABCD.
153. Trong không gian Oxyz cho S(0; 0; 2), A(0; 0; 0), x = 1+ t

B(1; 2; 0), C(0; 2; 0) đt d:  y = 2t và mp (P): 2 x − y + z + 1 = 0 .
a/ Tìm toạ độ điểm D sao cho ABCD là hình z = 2 + t

bình hành.
1. Lập phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với
b/ Viết phương trình (P) qua A và vuông góc với
mặt phẳng (P).
SB.
2. Viết phương trình đường thẳng qua điểm A,
c/ Tìm toạ độ các điểm B’, C’, lần lượt là giao
vuông góc và cắt đường thẳng (d).
điểm của SB, SC với (P).
161. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu
d/ Tính thể tích của khối tứ diện SAB’C’.
( S): x2 + y2 + z2 – 2x + 2y + 4z – 3 = 0 và 2 đường
154. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:
x + 2 y − 2 = 0
x − 2 y +1 z −1
= = và (P): x – y + 3z + 2 = 0 thẳng ( ∆1 ) :  ( ∆2 ) : x−−1 = 1 = −z1
y
1 2 3 x − 2z = 0 1
a/ Tìm giao điểm của d và (P). 1.Chứng minh ( ∆1 ) và ( ∆ 2 ) chéo nhau.
b/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường 2.Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S) biết
thẳng d và vuông góc với ( P). tiếp diện đó song song với hai đường thẳng ( ∆1 ) và
155. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): ( ∆2 ) .
x2 + y2 + z2 - 2x + 2y + 4z – 3 = 0
và (P): x – y – 2z + 1 = 0 . 162. Trong không gian Oxyz cho điểm A(2; 0; 1), mp
 x = 1+ t
a/ Xác định toạ độ tâm và bán kính mặt cầu. 
b/ Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu, biết (P): 2 x − y + z + 1 = 0 , đt d:  y = 2t .
z = 2 + t
tiếp diện song song với mặt phẳng (P). 
11

12. www.PNE.edu.vn
1. Lập phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với a. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và
mặt phẳng (P). mặt phẳng (P) .
2. Viết phương trình đường thẳng qua điểm A, b. Tính góc giữa đường thẳng (d) và mp(P) .
vuông góc và cắt đường thẳng (d). c. Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) là hình
163. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm chiếu của đường thẳng (d) lên mặt phẳng (P).
M(1; 1 ; 0) và mặt phẳng (P): x + y – 2z + 3 = 0. 171. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường
1/ Viết phương trình mặt cầu tâm M và tiếp xúc thẳng
với mp(P).  x = 2 + 4t
2/ Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M 
(d ):  y = 3 + 2t và mp(P): − x + y + 2 z + 5 = 0
và vuông góc với (P). Tìm tọa độ giao điểm.  z = −3 + t
164. Trong không gian Oxyz cho 2 điểm A(5;-6;1) và 
B(1;0;-5) a. Chứng minh rằng (d) nằm trên mặt phẳng (P).
1. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng ( b. Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) nằm trong
r
∆ ) qua B có véctơ chỉ phương u = (3;1;2). (P), song song với (d) và cách (d) một khoảng là
2. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và 14 .
chứa ( ∆ ). 172. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 4 điểm
165. Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;2;-3) và A( − 2;1; − 1), B(0;2; − 1), C(0;3;0), D(1;0;1) .
mặt phẳng (P): 3 x + y + 2z - 1 = 0. a. Viết phương trình đường thẳng BC .
a) Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm b. Chứng minh rằng 4 điểm A, B, C, D không
A và song song với mp(P). đồng phẳng.
b) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là A và c. Tính thể tích tứ diện ABCD.
tiếp xúc với mặt phẳng (P). 173. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm
166. Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(3;-2;-2), x −1 y z
B(3;-2;0), C(0;2;1), D(-1;1;2) M(1; − 1;1), hai đường thẳng (∆1 ) : = = ,
−1 1 4
1) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Từ đó
suy ra ABCD là một tứ diện. x = 2 − t

2) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A và (∆ 2 ) :  y = 4 + 2t và mặt phẳng (P): y + 2 z = 0 .
tiếp xúc với mặt phẳng (BCD). z = 1

167. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai
a. Tìm điểm N là hình chiếu vuông góc của điểm
đường thẳng ∆ và ∆ ' có phương trình lần lượt là:
M lên đường thẳng ( ∆ 2 ) .
x = 1+ t  x = 2 + t′ b. Viết phương trình đường thẳng cắt cả hai
 
∆:y = 2+t ∆′ :  y = 1 − t ′ đường thẳng (∆1 ), (∆ 2 ) và nằm trong mặt phẳng
 z = −2 − 2t z = 1
  (P).
a) Chứng tỏ hai đường thẳng ∆ và ∆′ chéo nhau. 174. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng
b) Viết phương trình đường vuông góc chung của  x = − 2t
∆ và ∆′ . x −1 y − 2 z 
(∆1 ) : = = , (∆ 2 ) :  y = −5 + 3t
168. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường 2 −2 −1 z = 4
x+2 y z+3 
thẳng (d): = = và mặt phẳng (P) có a. Chứng minh rằng đường thẳng (∆1 ) và đường
1 −2 2
phương trình: 2 x + y − z − 5 = 0 . thẳng (∆ 2 ) chéo nhau.
a. Chứng minh rằng (d) cắt (P) tại A. Tìm tọa độ b. Viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa đường
điểm A . thẳng (∆1 ) và song song với đường thẳng (∆ 2 ) .
b. Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) đi qua A, 175. Trong không gian Oxyz cho điểm M(2;3;0), mặt
nằm trong (P) và vuông góc với (d). phẳng (P): x + y + 2 z + 1 = 0 và mặt cầu (S):
169. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm x2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y − 6 z + 8 = 0 .
M(1;0;5) và hai mặt phẳng: a. Tìm điểm N là hình chiếu của điểm M lên
(P): 2 x − y + 3 z + 1 = 0 và (Q): x + y − z + 5 = 0 . mặt phẳng (P).
a. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Q). b. Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song
b. Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua giao với (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S).
tuyến (d) của (P) và (Q) đồng thời vuông góc với 176. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đt
mặt phẳng (T): 3 x − y + 1 = 0 .  x = 2 − 2t
170. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (d):  x − 2 y −1 z
(d1 ) :  y = 3 và (d 2 ) : = = .
x + 3 y +1 z − 3 z = 1 −1 2
= = và mp(P): x + 2 y − z + 5 = 0 .  t
2 1 1 12

13. www.PNE.edu.vn
a. Chứng minh rằng hai đường thẳng (d1 ), (d2 ) 183. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai
vuông góc nhau nhưng không cắt nhau. x −1 y − 2 z
đường thẳng (∆1 ) : = = ,
b. Viết phương trình đường vuông góc chung của 2 −2 −1
(d1 ), (d 2 ) .
 x = − 2t
177. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt 
(∆ 2 ) :  y = −5 + 3t
phẳng ( α ): 2 x − y + 2 z − 3 = 0 và hai đt: z = 4
x − 4 y −1 z x+3 y +5 z −7 
( d1 ): = = , ( d 2 ): = =
2 2 −1 2 3 −2 a. Chứng minh rằng đường thẳng (∆1 ) và đường
a. Chứng tỏ đường thẳng ( d1 ) song song mặt thẳng (∆ 2 ) chéo nhau .
phẳng ( α ) và ( d 2 ) cắt mặt phẳng ( α ). b. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường
b. Tính khoảng cách giữa đường thẳng ( d1 ) và ( thẳng (∆1 ) và song song với đường thẳng (∆ 2 ) .
d 2 ). 184. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm
c. Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) song song M(2;3;0), mặt phẳng (P): x + y + 2 z + 1 = 0 và mặt
với mặt phẳng ( α ), cắt đường thẳng ( d1 ) và ( d 2 ) cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y − 6 z + 8 = 0 .
lần lượt tại M và N sao cho MN = 3. a. Tìm điểm N là hình chiếu của điểm M lên mặt
178. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm ( phẳng (P).
M (−1; 4; 2) và hai mặt phẳng : b. Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song
( P ): 2 x − y + z − 6 = 0 , ( P2 ) : x + 2 y − 2 z + 2 = 0 . với (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S).
185. Cho D(-3;1;2) và mặt phẳng ( α ) qua ba điểm
1
a. Chứng tỏ rằng hai mặt phẳng ( P1 ) và ( P2 ) cắt
A(1;0;11), B(0;1;10), C(1;1;8).
nhau . Viết phương trình tham số của giao tuyến ∆
1.Viết phương trình tham số của đường thẳng AC.
của hai mặt phằng đó.
2.Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng ( α )
b. Tìm điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm
3.Viết phương trình mặt cầu tâm D bán kính R = 5.
M trên giao tuyến ∆ .
Chứng minh mặt cầu này cắt ( α ).
179. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam
186. Cho A(1;1;1), B(1;2;1), C(1;1;2), D(2;2;1)
giác ABC với các đỉnh là A(0; −2 ;1), B( −3 ; 1; 2),
a.Tính thể tích tứ diện ABCD.
C(1; −1 ; 4).
b.Viết phương trình đường thẳng vuông góc
a. Viết phương trình chính tắc của đường trung
chung của AB và CB.
tuyến kẻ từ đỉnh A của tam giác.
c.Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ
b. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi
diện ABCD.
qua điểm C và vuông góc với mặt phẳng (OAB) với
187. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba
O là gốc tọa độ.
điểm: A(1;0;-1); B(1;2;1); C(0;2;0). Gọi G là trọng
180. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Viết
tâm của tam giác ABC.
phương trình mặt phẳng (P) qua O, vuông góc với
1.Viết phương trình đường thẳng OG.
mặt phẳng (Q): x + y + z = 0 và cách điểm M(1;2; 2.Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm
−1 ) một khoảng bằng 2 . O, A, B, C.
181. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng 3.Viết phương trình các mặt phẳng vuông góc với
 x = 1 + 2t đường thẳng OG và tiếp xúc với mặt cầu (S).
 188. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho bốn
(d):  y = 2t và mặt phẳng (P): 2 x + y − 2 z − 1 = 0
 z = −1 điểm A, B, C, D với A(1;2;2), B(-1;2;-1),
 −−−−> −> −> −> −−−−> −> −> −>
OC = i + 6 j − k ; OD = − i + 6 j + 2 k .
a. Viết phương trình mặt cầu có tâm nằm trên
1.Chứng minh rằng ABCD là hình tứ diện và có
(d), bán kính bằng 3 và tiếp xúc (P).
các cặp cạnh đối bằng nhau.
b. Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) qua
2.Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và
M(0;1;0), nằm trong (P) và vuông góc với đường
CD.
thẳng (d).
3.Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp hình tứ
182. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình
diện ABCD.
lập phương ABCD.A’B’C’D’. Biết A’(0;0;0),
B’(a;0;0), D’(0;a;0), A(0;0;a) với a > 0. Gọi M, N 189. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu
lần lượt là trung điểm các cạnh AB và B’C’. (S) : x2 + y2 + z2 – 2x + 2y + 4z – 3 = 0 và hai
a. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và x + 2 y − 2 = 0 x −1 y z
song song với hai đường thẳng AN và BD’. đường thẳng ( ∆1 ) :  x − 2 z = 0 ; ( ∆2 ) : = =
 −1 1 −1
b. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng 1.Chứng minh ( ∆1 ) và ( ∆ 2 ) chéo nhau.
AN và BD’ .
13