1. 複雑ネットワーク勉強会
第６章
成長するスケールフリー・ネットワークのモデル
（後編）
２０１２年３月２１日 @tetsuroito

2. 前回（６章前半）のおさらい
第６章の前半では、成長するスケールフリー・ネットワークの概要を説明しました。
その中で、代表的な下記のモデルを紹介しました。
・BAモデル
（次数分布の導出および優先的選択の拡張）
・頂点コピーモデル
・Dorogovtsev-Mendes-Samukhinモデル
・Holme-Kimモデル
本日は残りをやります！

3. お断り-again-
•本章ではたくさんの数式が頻出するため、スライドの数
式は控え、教科書の式番号と対応させています。あらか
じめご了承ください。

4. アジェンダ
• 適応度モデル
• 頂点非活性化モデル
• 階層的モデル
バラバシの階層的モデル
ドロゴフツェフの階層的モデル
ラヴァスの階層的モデル

5. 適応度モデル
BAモデルの優先的選択の対極的な拡張モデル。
（新しいノードが既存のハブに下克上し、新たなハブとなるモデル）
ネットワークに加わる各ノードは適応度（頂点の価値、強さ）という実数を持つ。
適応度が大きいほどエッジを受けとりやすい。
適応度の高いノードがそれより低い既存のハブを追い越し、ハブとなる。
次数分布は適応度の分布に依存。γ≠３のべき分布になったり、べき分布にならなかっ
たりする。
極論すると、数個のノードがほとんどのエッジを持つような一人勝ち現象も起こりえ
る。
このモデルはボーズ統計という量子統計との間に対応関係がある。

6. 適応度モデル
モデルの定式化
点viの適応度がηiとする。（ηi:各iについて独立に確率密度ρ(η)に比例し選ばれる）
優先的選択ルールの拡張で、新しい枝を受ける確率を とする。
成長ルールはBAモデルと同様。ηi=1ならば通常のBAモデルと同じ
■次数分布の導出
dki/dt=
適応度モデルでは次数はネットワークへの加入時刻tiだけでなく、適応度ηiにも依存
初期条件
ここでβ(η)を知りたい。

7. 適応度モデル
適応度モデルでは、ηiとkjの間に相関があるので、分母が単純に2mtではない。
評価の方法は式（6.36）のようになる。
２つの積分によって適応度と頂点のネットワーク加入時刻tiの平均を取っている。
単位時間でki(t)は高々１しか増えず、実際はki(t)はtに比例するほど速くは増えない
以下よりβ(η)<1とし、t→∞として、(6.36)の を無視すると(6.37)式。
ただし
(6.37)式を(6.34)式の右辺の分母に代入すると、
この式の解が(6.35)なので、β(η)＝η／cが満たされている必要がある。
βがηについて単調増加→適応度大きいノードほど次数が大きくなりやすい
あとは、cとβ(η)の連立方程式として解き、次数がk未満となる頂点の割合を
求めれば、次数分布の導出は完了する。（6章前半でもさんざんやった導出）

8. 適応度モデル
ボーズ・アインシュタイン凝縮の話は割愛させてください。
適応度モデルと対応するとのこと。

9. 頂点非活性化モデル
Holme-Kimモデルと同じように大きいCを実現するBAモデルの拡張版
頂点非活性化モデルではネットワークの成長と優先的選択に加えて、頂点の非活性化
を考慮する。
加入時点でのノードは活性化状態であり、エッジを受け取ることができる。
しかし、ある時点で非活性化され、新しいエッジを永久に受け取らないこととする。

10. 頂点非活性化モデルの作り方
(1)BAモデル同様に、m= 個の初期ネットワークを用意。（完全グラフとする）
m個の頂点は活性化状態とする。
活性化状態を●、非活性化状態を○で示す。
(2)枝をm本持った頂点 （活性化状態）をネットワークに加える。
新しい枝は元からあるm個の非活性化状態の頂点に1本ずつつながる。
（次数はすべてm）
(3)vのいずれかの１つを非活性化する。非活性化される確率を(6.56)式で定める。
加入直後の頂点が非活性化される場合もある。
γは(6.57)式で定義。次数に差がないので、非活性化される確率も差がない。
頂点を追加後に１個を非活性化→m個の活性化状態。
非活性化された頂点には‘（ダッシュ）をつける
(4),(5),(6)は次スライドの図で説明。

11. 頂点非活性化モデルの作り方
非活性化の仕組みは一種の優先的選択（次数大はなりにくい）

12. 頂点非活性化モデルの作り方
119ページ∼121ページまでのまとめ
・時間が十分に立たないと評価が粗いので、時刻を無限大において、定常化。
・すると、活性化状態の頂点の次数分布はべき分布となる。
・非活性状態の頂点：次数分布は全体の次数分布と同一視してよい。（N→∞）
・各時刻で だけの割合の頂点が
「次数kをもって非活性化された頂点」の仲間に加わる。
→べき分布が出てくる。（6.65）式
・最低次数はm
・α＞０、m≧１を変化させることでγ＝３以外のべき指数も生成可能

13. 頂点非活性化モデル（クラスター係数）
計算は割愛（PDFにて入手可（http://www.stat.t.u-tokyo.ac.jp/~masuda/CN_supplement.pdf））
頂点非活性化モデルのクラスター性は高い。（BAモデルは欠いていた）
しかし、平均距離がL Nとなる。
WSモデルと同様に枝をつなぎかえを
導入するとLを小さくできる。
→実際には‥
確率1-pで頂点非活性化の成長ステップ
確率pでBAモデルの優先的選択の成長ステップ
この混合モデルは
べき則、小さいL、大きいCの３つを同時に満たす。

14. 階層的モデル
スケールフリー・ネットワークはしばしばフラクタルな構造を持つ。
”階層”とは呼ぶものの、連想されるピラミッド構造ではない。
ピラミッド型のネットワークは第９章に後述される。
本節で紹介する階層的モデルは下記の３つ。
・バラバシの階層的モデル
・ドロゴツェフの階層的モデル
・ラヴァスの階層的モデル

15. バラバシの階層的モデル
(1)１つの頂点（根）を置く。
(2)根のコピーを２つ追加し、それぞれの元の根とつなげる。
(3)現在のネットワークのコピーを２つ追加する。
新しく追加したそれぞれのコピーの端にある頂点を根と結ぶ。
そのような端点は各コピーに２つあり、次数は2+4=6になる。
(4)３でできたネットワークのコピーを２つ追加する。
それぞれのコピーの端にある頂点から
根に枝をはる。次数は８→１４
(5)４をt=Tまで繰り返す

16. バラバシの階層的モデル
バラバシの階層モデルはスケールフリー・ネットワーク
根の次数：
根ではない頂点はコピーでの生成なので、その後次数は増えない。
根のコピーやコピーたちの次数：
このような頂点の数：(2/3) 個ある。
(2.1.3)の「区間化」と同様に、
tを１増やすと次数は２倍になるので、
べき指数は、

17. バラバシの階層的モデルの特徴
・BAモデルとベキ指数γが異なるスケールフリー・ネットワーク
・成長モデル
・優先的選択が埋め込まれている。根がハブである。
・平均距離（L）が小さい
・クラスター係数（C）=０
BAモデルとの相違点
・決定論的作り方（≠確率モデル）：対称性がよく、解析しやすい
現実の乱雑さは欠くが、そのための拡張は容易にできる。
・階層性がある。
バラバシの階層的モデルの欠点
・Cが小さいという点で現実のネットワークにそぐわない。
以降の２つはその点をクリアする。

18. ドロゴフツェフの階層的モデル
(1)枝で結ばれた頂点２つを置く。
(2)頂点１つに枝２本がついた「 回路」を用意し、元からある２点を結ぶ距離２の
回路ができるようにネットワークを追加する。
(3)各枝に対して頂点１個と枝２本の 回路を追加する。
t=1で枝が３本あったので、頂点３個と枝６本が追加された。
(4)３を時刻Tまで繰り返す。毎時刻、既存の枝と同じ数だけの新しい頂点と
その２倍の新しい枝が追加される。

19. ドロゴフツェフの階層的モデル
時刻T時点での頂点の数： 個
枝の本数：
頂点の次数はその頂点がネットワークに加わった時刻だけで決まる。
（早ければ早いほど次数は大きい）
バラバシの階層モデルと同様に、 とし、
tを消去。
このモデルもスケールフリー・ネットワーク。
さらに、クラスター性を持ち、べき則の次数分布、小さいL、大きいCももつ。

20. ラヴァスの階層的モデル
(1) からなる完全グラフを作る。中心の頂点vを１つ決めておく。
(2)この完全グラフのコピー ー１個を追加し、vのコピー以外の新しい頂点それぞれ
と、元のvをつなぐ。頂点数は となる。
(3)新しい枝を作らなかった頂点は、中心の仲間入りをすることにする。
(4)t=1でできたネットワークのコピー 個を追加する。
中心に属する頂点以外の点から、大元の中心vに枝をはる。
(5)３、４を時刻Tまで繰り返す。

21. ラヴァスの階層的モデル
次数分布はべき分布で、 でγの調整が可能
Cも教科書にある通り、ある程度の大きさを持っている。
またLは小さい。
構造的にはフラクタルを連想するが、入れ子構造のみで自己相似的ではない。
フラクタル性を持つモデルは2005年以降に提案されている‥らしい。
実データについて階層性の有無を測るには？
→次数ごとのクラスター係数を見るとよい。
頂点ごとのクラスター係数のうち、次数がkである頂点だけについて平均したもの
C(k)は となることが多い。

22. 階層的モデルまとめ
階層的なネットワークでは次数kの大きい頂点は大小さまざまな部分ネットワークを
統合する役割を果たす。
部分ネットワークの位置づけ ≒ コミュニティ だが、
部分ネットワーク自体も元のネットワークに似ていることが特徴である。
階層的ネットワークでは次数の小さい頂点から出る枝は部分ネットワークに留まる。
部分ネットワークはCが大きい。小さいkに対するC(k)は大きくなりやすい。
ハブは異なるネットワークを結ぶ傾向にあるので、２つの隣接点とは直接つながって
いない可能性が高い。
バラバシの階層モデルは三角形を持たないが、他は(6.74)を満たす。
頂点非活性化モデルもこの性質を持つ。
一方、BAモデルはスケールフリーネットワークだが、C(k)はkによらない。(tに依存)
∴ スケールフリー・ネットワークは常に階層的ではない。

23. おまけ
最近、赤い本の増田先生が、新しい本を出されたようです！
目次
第１章 ネットワークで世界を読み解く
第２章 ネットワークを分断せよ
第３章 食うか食われるか
第４章 人気投票のネットワーク
第５章 三角形はなぜ強い
第６章 流行を生み出すネットワーク
第７章 ネットワークが孤独を救う
第８章 職場での行動パターンを見る
第９章 幸せになるための三角形の作り方
レビューしたので、私の名前もあるよ★