O documento descreve os principais sistemas de numeração utilizados em circuitos lógicos, incluindo o sistema decimal, binário, hexadecimal e octal. Também aborda tópicos como conversão entre bases, aritmética binária, códigos binários e detecção de erros através do bit de paridade.

1. UFCD 6024
Circuitos lógicos

2. Conteúdos
■ Sistemas de numeração
 Sistema decimal
 Sistema binário
 Sistema hexadecimal
 Conversão entre sistemas
■ Aritmética binária
 Adição e subtração binária
 Complemento a dois e a um
 Representação de um número binário com bit de sinal
 Códigos binários
 BCD
 Paridade
 Gray
 ASCII
 Deteção de erros através do bit de paridade
 Álgebra de Boole
 Método de Karnaugh
 Funções lógicas
 Portas lógicas
 Simbologia
 Funcionamento
 Famílias lógicas

3. Sistemas de numeração
■ Um numeral é um símbolo ou grupo de símbolos que representa um número num
determinado instante da evolução do homem.
■ Numa determinada escrita ou época, os numerais diferenciaram-se dos números
do mesmo modo que as palavras se diferenciaram das coisas a que se referem.
EX. Os símbolos "11", "onze" e "XI" (onze em latim) são numerais diferentes,
representativos do mesmo número, apenas escrito em idiomas e épocas diferentes.
■ Um sistema de numeração, (ou sistema numeral) é um sistema em que um
conjunto de números são representados por numerais de uma forma consistente.

4. Sistema Decimal
■ O sistema decimal é um sistema de numeração de posição que utiliza a base dez.
Símbolos da base Decimal:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
■ Baseia-se em uma numeração de posição, onde os dez algarismos: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 servem
a contar unidades, dezenas, centenas, etc. da direita para a esquerda.
■ Assim, em 111, o primeiro algarismo significa 100, o segundo algarismo 10 e o terceiro 1,
enquanto que emVIII (oito em numeração romana) os três I significam todos 1.
111= 1x100+1x10+1x1

5. Assim:
■ No sistema decimal o símbolo 0 (zero) posicionado à esquerda do número escrito não
altera seu valor representativo. Assim: 1; 01; 001 ou 0001 representam a mesma
grandeza, neste caso a unidade. O símbolo zero posto à direita implica multiplicar a
grandeza pela base, ou seja, por 10 (dez).
435,23= 4x102x3x101+5x100+2x10-1+3x10-2
2x10-1=2/101=0,2
3x10-2=3/102=0,03

6. ■ 259,41(10)
■ 6251,271(10)

7. Sistema Binário
■ O sistema binário ou base 2, é um sistema de numeração posicional em que todas as
quantidades representam-se com base em dois números.
Símbolos da base Binária:
0 1
■ Os computadores digitais trabalham internamente com dois níveis de tensão, pelo
que o seu sistema de numeração natural é o sistema binário (aceso, apagado). Com
efeito, num sistema simples como este é possível simplificar o cálculo, com o auxílio
da lógica booleana. Em computação, chama-se um dígito binário (0 ou 1) de bit, um
agrupamento de 8 bits corresponde a um byte.

8. ■ O sistema binário é base para a Álgebra booleana (de George Boole – matemático
inglês), que permite fazer operações lógicas e aritméticas usando-se apenas dois
dígitos ou dois estados (sim e não, falso e verdadeiro, tudo ou nada, 1 ou 0, ligado e
desligado).
■ Toda a eletrónica digital e computação está baseada nesse sistema binário e na lógica
de Boole, que permite representar por circuitos eletrónicos digitais (portas lógicas) os
números, caracteres, realizar operações lógicas e aritméticas. Os programas de
computadores são codificados sob forma binária e armazenados sob esse formato.

9. 10110(2)
■ Começando da esquerda para a direita
■ O algarismo 1 tem um valor de 1x24
■ O algarismo 0 tem um valor de 0x23
■ O algarismo 1 tem um valor de 1x22
■ O algarismo 1 tem um valor de 1x21
■ O algarismo 0 tem um valor de 0x20
Assim, se quisermos saber o valor total do número temos de proceder do seguinte modo:
1x24 + 0x23 + 1x22 + 1x21 + 0x20 =16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 22(10)
Ou seja 10110 em binário corresponde a 22 unidades no nosso sistema decimal.

10. 1011,10(2)
■ Começando da esquerda para a direita
■ O algarismo 1 tem um valor de 1x23
■ O algarismo 0 tem um valor de 0x22
■ O algarismo 1 tem um valor de 1x21
■ O algarismo 1 tem um valor de 1x20
■ O algarismo 1 tem um valor de 1x2-1
■ O algarismo 0 tem um valor de 0x2-2
■ 1x23 + 0x22 + 1x21 + 1x20 + 1x2-1 + 0x2-2 =8 + 0 + 2 + 1 + 0,5 + 0,25 = 11,75(10)
■ Ou seja 1011,10 em binário corresponde a 11,75 no nosso sistema decimal.

11. Conversões entre Bases
Converter Binário para Decimal
■ O sistema binário ou de base 2 é um sistema de
numeração posicional em que todas as quantidades
representam-se com base em dois números, ou seja, zero
e um (0 e 1).
■ O sistema decimal é um sistema de numeração de posição
que utiliza a base 10.
1102=1×22+1×21+0×20=610
610=1102
1010012=1x25+0x24+1x23+0x22+0x21+1x20
32+0+8+0+0+1=4110

12. Converter Decimal para Binário
■ O sistema de numeração decimal (base dez) possui dez possíveis valores (0, 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9) para cada casa numérica. Por outro lado, o sistema de
numeração binária (base dois) possui apenas dois valores, representados por 0
e 1.

13. Número Decimal Binário Número Decimal Binário
Zero 0 Dezasseis 16
Um 1 Dezassete 17
Dois 2 Dezoito 18
Três 3 Dezanove 19
Quatro 4 Vinte 20
Cinco 5 Vinte e um 21
Seis 6 Vinte e dois 22
Sete 7 Vinte e três 23
Oito 8 Vinte e quatro 24
Nove 9 Vinte e cinco 25
Dez 10 Vinte e seis 26
Onze 11 Vinte e sete 27
Doze 12 Vinte e oito 28
Treze 13 Vinte e nove 29
Catorze 14 Trinta 30
Quinze 15 Trinta e um 31

14. Sistema Octal
■ O sistema octal é um sistema de numeração de base 8, ou seja,
recorre a 8 símbolos (0,1,2,3,4,5,6,7) para a representação de um
determinado valor. O sistema octal foi muito utilizado no mundo da
computação, como uma alternativa mais compacta do sistema
binário, na programação em linguagem de máquina.
■ Atualmente, o sistema hexadecimal é um dos mais utilizado como
alternativa viável ao sistema binário.
símbolos (0,1,2,3,4,5,6,7)
Octal (base 8)

15. ■ 56433(8)= ? (10)
■ 4,56(8)= ? (10)
= (4x80)+ (5x8-1)+(6x8-2)
= (4x1)+(5x0,125)+(6x0,015625)

16. ■ 27,21(8)= ? (10)

17. ■ Símbolos usados nas bases 2, 8, 10 e 16
Binário
Octal
Decimal
Hexadecimal

18. Sistema Hexadecimal
■ O sistema hexadecimal é um sistema de numeração posicional que representa os
números em base 16, portanto empregando 16 símbolos.
Símbolos da base Hexadecimal:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
■ O sistema hexadecimal está vinculado à informática, pois os computadores costumam
utilizar o byte como unidade básica da memória. 1 byte = 8 bits e então um byte pode
ser representado por 8 algarismos do sistema binário ou por 2 algarismos do sistema
hexadecimal.
■ Hexadecimal (base 16)

19. Tabela de conversão de bases

20. O dígito com a maior potência da base é denominado Most
Significant Digit (MSD) – mais significativo
O dígito com a menor potência da base é denominado Least
Significant Digit (LSD) – menos significativo
(27)10 = (11011)2
(0.375)10 = (0.011)2

21. Aritmética binária
Soma de dois números em Base 2.
■ Regras de Adição
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 0 e vai 1 = 102 1 0 0
+ 0 1 0
1 1 0
Exemplos:
Decimal Binário
6
+ 2
8

22. Regras de Adição
1

23. Aritmética binária
Subtração de dois números em Base 2.
■ Regras de Subtração
0 - 0 = 0
0 - 1 = 1 e empresta 2 (pois a Base é 2)
1 - 0 = 1
1 - 1 = 0
Exemplos:

24. Regras de Subtração:

25. Sistema de Numeração Binário com
Complemento a um e a dois
Um circuito somador é mais rápido do que um circuito que precise de faz uma subtração.
■ Sinal Magnitude: bit de sinal;
■ Complemento de 1;
■ Complemento de 2;
■ Resultado de subtração através da adição

26. Bit de sinal
■ Para um computador conseguir considerar todo o conjunto de números
inteiros, foi definido que o primeiro bit é responsável pela definição de sinal.
■ Na notação de números binários o bit de sinal é o primeiro dígito (da
esquerda para a direita) representa o sinal do número (positivo ou negativo).
■ Igualar o número de dígitos.
■ Representar todos os números em quantidade iguais (8, 16, 32 bits)
0 = positivo
1 = negativo

27. ■ Para representar, convertemos o número em binário e depois igualamos o número ao
número de bits sendo que o primeiro número irá representar se o número é positivo ou
negativo.
■ Exemplo: Representar o 2110 positivo e negativo
■ 2110 = 101012 = 00010101
■ -2110 = 101012 = 10010101
Bit de sinal
Bit de sinal
Magnitude
(+35)10 = (00100011)2 , (−35)10 = (10100011)2
Para converter em decimal, basta converter a magnitude e
verificar o primeiro bit para atribuição do sinal.
(10100011)2 = −(1 × 2 5 + 1 × 2 1 + 1 × 2 0 ) = (−35)10

28. Binário - Complemento de 1
■ O complemento de 1 de um número binário é a inversão dos dígitos.
0 -> 1
1 -> 0
■ Exemplo: Complemento de 1 do número 10001110
10001110
01110001

29. Binário - Complemento de 2
■ O complemento de 1 de um número binário consiste na utilização do
complemento de 1, somando mais 1 a este complemento.
■ Exemplo: Complemento de 2 do número 10001110
10001110
01110001
1
01110001
1
01110010
+
Complemento de 1
Complemento de 2

30. Subtração com o Complemento de 2
■ Para o computador é mais simples e rápido;
■ Resultado de uma subtração através da adição;
■ Igualar os números (ex: usar o sinal magnitude de 8bits)
■ Somar o primeiro número como o complemento de 2 do segundo.
10001110
01110001
1
01110001
1
01110010
+
Complemento de 1
Complemento de 2

32. Códigos Binários
■ BCD
■ Paridade
■ Gray
■ ASCII

33. Código BCD
Codificar - significa transformar um conjunto de símbolos conhecidos em códigos.
■ No código BCD (Binary Coded Decimal) cada dígito decimal é representado
pelo seu equivalente em binário sendo necessários 4 bits para cada dígito
decimal de 0 a 9.

34. Código BCD
Cada conjunto de 4 bits representa um dígito decimal.
Portanto o código BCD não usa as sequências:
Se qualquer um desses números de 4 bits não utilizados (ou “proibidos”) aparecer
em um circuito que usa o código BCD, deverá ocorrer uma indicação de erro.

35. Código BCD
■ Embora sejam representados pelos dígitos 0 e 1, esta codificação é diferente da
binária.
■ A conversão de decimal para BCD é simples. Basta substituir cada dígito
decimal pela sua representação binária de 4 bits.
■ Obviamente, a conversão de BCD para decimal é feita diretamente para grupos
de quatro bits.

36. Exemplo: Converter para BCD
0111 1100 0001
7 1
Erro no código BCD: grupo de 4 bits
proibido

37. Relações entre as Representações Numéricas

38. Código ASCII
Código ASCII (American Standard Code for Information Interchange)
Possui 7 bits (portanto tem 27 = 128 representações codificadas)

41. Exemplo
A seguinte sequência de bits é uma mensagem codificada em ASCII. Que
mensagem é essa?
1001000 1000101 1001100 1010000
Solução:
Converta cada código de 7 bits em seu equivalente Hexadecimal:
48 45 4C 50
Localize na tabela: H E L P

42. Deteção de erros - Método da paridade
A movimentação de dados e códigos binários de um local para outro é a operação
mais frequente em circuitos digitais. Exemplos:
■ Transmissão de voz digitalizada por um enlace (link) de micro-ondas
■ Armazenamento e recuperação de dados em disco
■ Transmissão de dados por meio de linha telefónica (modem)
Há a possibilidade de ocorrência de erros
Causa principal: ruído elétrico (flutuações aleatórias da tensão ou corrente que
estão presentes em todos os sistemas eletrónicos em intensidades diversas)

43. Deteção de erros - Método da paridade
■ Ruído numa transmissão de dados:
■ No momento de uma flutuação, o modem recetor pode interpretar 0
como 1 e vice-versa.
■ Um dos métodos para a deteção de erros é o método da paridade.

44. Método da paridade
Consiste em adicionar um bit extra ao conjunto de bits do código, podendo ser 0 ou 1.
Existem dois métodos:
Paridade par
• O total de bits 1 do código, incluindo o bit de paridade, deve ser par.
• Suponha que o conjunto de bits seja 1000011 (caractere C do código ASCII). Neste caso o bit de
paridade será 1. A sequência transmitida será 11000011
• Se o número de bits já for par, então adiciona-se o bit 0 de paridade. Ex.: Se o código for 1000001
a sequência transmitida será 01000001
Paridade ímpar
• Idêntico, porém o total de bits 1 do código, incluindo o bit de paridade, deve ser ímpar.

45. Ex.:
Para se transmitir a sequência de caracteres “HELLO” usando-se a tabela
ASCII e bits de paridade par, qual será a sequência de bits a ser
transmitida?

46. Código Gray
Desenvolveu-se com o intuito de reduzir a probabilidade de um circuito digital interpretar
mal uma entrada que está mudando.
Representa uma sequência de números.
A sua característica é que apenas um bit muda entre dois números sucessivos na
sequência.
Para converter binários para Gray:
• Comece pelo bit mais significativo e use-o como o Gray MSB com o próximo bit binário
(B1)
• Se forem iguais, então G1 = 0. Se forem diferentes, nesse caso G1 = 1.
• G0 pode ser encontrado comparando-se B1 com B0

47. Ex.:

48. Relações entre as representações numéricas

49. Álgebra de Boole Ver Ficheiro
■ Na eletrónica digital, os sistemas (computadores, processadores de dados, sistemas
de controle, codificadores, decodificadores, etc) utilizam um pequeno grupo de
circuitos lógicos básicos, que são conhecidos como portas e, ou, não e flip-flop.
■ Com a utilização adequada destas portas é possível implementar todas as expressões
geradas pela álgebra de Boole.

50. Propriedades de álgebra Booleana
■ Identidades booleanas

51. Propriedades de álgebra Booleana
■ Identidades booleanas

52. Propriedades de álgebra Booleana
■ Identidades booleanas

53. Propriedades de álgebra Booleana
■ Identidades booleanas

54. Propriedades de álgebra Booleana
■ Propriedades booleanas

55. Propriedades de álgebra Booleana
■ Propriedades booleanas

56. Propriedades de álgebra Booleana
■ Propriedades booleanas

57. Propriedades de álgebra Booleana
■ Teorema de Morgan

58. Mapa de Karnaugh
■ Método gráfico usado para simplificar uma
equação lógica ou converter uma tabela
verdade no seu circuito lógico correspondente
■ Este método é muito rápido e eficaz a
simplificar qualquer tipo de expressão que
contenha até quatro variáveis.

59. Mapa de Karnaugh

60. Famílias Lógicas
Características Gerais dos Circuitos Integrados - CI
As duas tecnologias mais importantes no fabrico de circuitos integrados digitais são:
 TTL
 CMOS CI 7404 - é um CI que possui 6 portas NOT
ex: ligar um botão (ligado ao 5v) no pino 1. Toda vez
que o botão for apertado, o pino 2 irá para nível lógico
0, caso contrário o pino 2 fica em nível lógico 1.

61. Principais parâmetros destes CIs, fornecidos, pelos fabricantes, são:
 Tensão de alimentação e sua tolerância
 Temperatura máxima de funcionamento
 Fan-out – Número máximo de entradas de outras portas que se podem ligar a uma
saída
 Níveis de entrada e de saída
o VIL é a tensão de entrada do nível baixo input low
o VIH é a tensão de entrada do nível alto input high
o VOL é a tensão de saída no nível baixo output low
o VOH é a tensão de saída no nível alto output high

62.  Margem de ruído nos estados lógicos 1 e 0.
 Tempo de propagação médio. É o intervalo de tempo que decorre desde que se
verifica uma variação no estado da entrada até que apareça, na saída, o resultado
dessa variação.
 Dissipação de Potência - quantidade de calor que um resistor perde .
Principais parâmetros destes CIs, fornecidos, pelos fabricantes, são:

63. Caraterísticas ideais dos Circuitos Integrados Digitais:
o Grande densidade de integração
o Alta velocidade de comutação (tempo de propagação baixo)
o Mínimo consumo
o Máxima imunidade ao ruído e às variações de temperatura
o Compatibilidade com outras famílias lógicas
o Baixo custo

64. ■ Esta família é a mais popular devido ao seu baixo custo.
■ Esta família fabrica, além das portas lógicas, também fabrica descodificadores, contadores,
registos de deslocamento, etc.
■ Características da (série 54/74) das TTL Standard:
 Tensão de alimentação entre 4,5 e 5,5 V
 Temperatura de funcionamento de 0 a 700C
 Fan-out igual a 10
 Margem de ruído, em ambos os níveis, de 0,4 V
 Tempo de propagação médio de 10 ns – nanossegundo (10-9 x menor que o segundo)
 Dissipação de potência de 10 mW (Milíwatt) por porta.
■ A série 54 (de uso militar) diferencia-se por suportar uma gama mais vasta de temperaturas: -
55C a 125C.
Família Lógica TTL (Transistor-Transistor-Logic)

65. Família Lógica CMOS
■ A principal vantagem em relação à família TTL é o baixo consumo. Apresentam ainda uma maior
imunidade ao ruído. O reverso da medalha é que os tempos de propagação são, no geral, maiores que
os TTL.
■ Características Principais:
 Tensão de alimentação variável entre 3 e 18 V
 Gama de temperaturas entre -40C e 85C
 Fan-out superior a 50
 Grande imunidade ao ruído
 Os tempos de propagação variam inversamente com a tensão de alimentação, sendo de 125 ns
para 5 V e de 45 ns para 15 V
 A potência dissipada por porta é de 10 nW(Nanowatt)
■ A família CMOS aparece nos catálogos referenciada como série 4000.

66. Vantagens e desvantagens:
■ TTL: principais desvantagens é o facto do consumo elétrico ser relativamente elevado, por serem
construídos co transístores bipolares, que consomem uma boa quantidade de corrente elétrica. Além
disso, as portas TTL possuem uma velocidade de operação limitada por conta desses transístores, o
que significa que a transição entre um estado lógico 0 (Desligado / OFF) para um estado lógico 1
(Ligado / ON) leva um certo tempo, denominado Atraso de Propagação, o que pode causar impacto
negativo caso haja necessidade de alta velocidade de chaveamento entre os níveis lógicos.
■ CMOS: O consumo elétrico de dispositivos CMOS é muito mais baixo do que o dos dispositivos TTL, por
serem baseados em tecnologia FET, estando na faixa de 1 a 2 microampères (1 a 2 uA). Assim, são
ideais para uso em dispositivos nos quais o consumo elétrico seja um ponto crítico – tais como
dispositivos portáteis. Uma outra vantagem dos dispositivos CMOS é seu baixo tempo de
chaveamento, o que significa que a passagem de um nível lógico para outro se dá de forma muito
rápida também.
■ Os circuitos CMOS possuem uma desvantagem que deve ser levada em consideração: eles são
danificados com muita facilidade por eletricidade estática. Por isso, devem ser protegidos contra
descargas que possam afetar os circuitos onde se encontram, e também ao serem manuseados, pois os
circuitos integrados CMOS são muito sensíveis, e podem se danificar até mesmo com um simples
contato com as mãos do técnico que os manipula.