1) El documento introduce la lógica temporal y los flujos del tiempo. Explica por qué es necesaria una lógica temporal y cómo esta permite representar razonamientos que involucran el pasado, presente y futuro. 2) Presenta brevemente la historia de la lógica y el tiempo desde Aristóteles hasta la Edad Media. 3) Explica los conceptos básicos de la sintaxis, semántica y valuación de la lógica temporal. 4) Muestra algunos ejemplos sencillos de expresiones lógicas temporales.

1. L´ogica temporal y flujos del tiempo
Joan Casas Roma
22 de mayo de 2015
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 1 / 27

2. Presentaci´on
Joan Casas Roma (jcasasrom@uoc.edu)
Ingenier´ıa t´ecnica en Inform´atica de Gesti´on (UVic)
M´aster en L´ogica y Filosof´ıa de la Ciencia (USAL)
Estudiante de Doctorado (UOC):
Knowledge Representation and Reasoning
L´ıneas de investigaci´on:
L´ogica formal y filos´ofica
L´ogica epist´emica
L´ogica intensional
L´ogica h´ıbrida
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 2 / 27

3. Plan de ruta
¿Por qu´e una l´ogica temporal?
Un poco de historia
Manual de supervivencia l´ogico
L´ogica temporal b´asica
Sintaxis
Sem´antica
Flujos del tiempo y l´ogica temporal
Extensiones de la l´ogica temporal
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 3 / 27

4. ¿Por qu´e una l´ogica temporal?
L´ogica proposicional:
Verdades atemporales:
“El cuadrado de la hipotenusa de un tri´angulo rect´angulo es igual a la
suma del cuadrado de sus catetos.”
“Si el agua llega a 100o
C, entonces hierve.”
“James Moriarty es el archienemigo de Sherlock Holmes.”
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5. ¿Por qu´e una l´ogica temporal?
L´ogica proposicional:
Verdades atemporales:
“El cuadrado de la hipotenusa de un tri´angulo rect´angulo es igual a la
suma del cuadrado de sus catetos.”
“Si el agua llega a 100o
C, entonces hierve.”
“James Moriarty es el archienemigo de Sherlock Holmes.”
L´ogica temporal:
El valor de verdad de una proposici´on var´ıa con el tiempo:
“Hoy es viernes.”
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 4 / 27

6. ¿Por qu´e una l´ogica temporal?
L´ogica proposicional:
Verdades atemporales:
“El cuadrado de la hipotenusa de un tri´angulo rect´angulo es igual a la
suma del cuadrado de sus catetos.”
“Si el agua llega a 100o
C, entonces hierve.”
“James Moriarty es el archienemigo de Sherlock Holmes.”
L´ogica temporal:
El valor de verdad de una proposici´on var´ıa con el tiempo:
“Hoy es viernes.”
Razonamientos que involucran pasado, presente y futuro:
“Si ya le´ı el libro sobre f´ısica cu´antica, aprobar´e el examen de hoy y
alg´un d´ıa llegar´e a ser un f´ısico importante.”
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 4 / 27

7. ¿Por qu´e una l´ogica temporal? (Ejemplo)
“Hace unos d´ıas fu´ı a ver una peli, hoy vuelvo a verla, y la semana
que viene ir´e tambi´en.”
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8. ¿Por qu´e una l´ogica temporal? (Ejemplo)
“Hace unos d´ıas fu´ı a ver una peli, hoy vuelvo a verla, y la semana
que viene ir´e tambi´en.”
L´ogica proposicional: un ´atomo para cada proposici´on
p ∧ q ∧ r
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 5 / 27

9. ¿Por qu´e una l´ogica temporal? (Ejemplo)
“Hace unos d´ıas fu´ı a ver una peli, hoy vuelvo a verla, y la semana
que viene ir´e tambi´en.”
L´ogica proposicional: un ´atomo para cada proposici´on
p ∧ q ∧ r
L´ogica temporal: un solo ´atomo en distintos instantes
Pp ∧ p ∧ Fp
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 5 / 27

10. ¿Por qu´e una l´ogica temporal? (Ejemplo)
“Hace unos d´ıas fu´ı a ver una peli, hoy vuelvo a verla, y la semana
que viene ir´e tambi´en.”
L´ogica proposicional: un ´atomo para cada proposici´on
p ∧ q ∧ r
L´ogica temporal: un solo ´atomo en distintos instantes
Pp ∧ p ∧ Fp
Mayor poder expresivo: el tiempo se hace expl´ıcito
“Los l´ımites de mi lenguage son los l´ımites de mi mundo.”
(Ludwig Wittgenstein, Tractatus Logico-Philosophicus (5.6).)
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 5 / 27

11. L´ogica y tiempo: un poco de historia
Arist´oteles: “ma˜nana habr´a una batalla naval, o no la habr´a”
¿Puede decirse hoy que es cierto (o falso) que ma˜nana habr´a una
batalla naval?
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 6 / 27

12. L´ogica y tiempo: un poco de historia
Arist´oteles: “ma˜nana habr´a una batalla naval, o no la habr´a”
¿Puede decirse hoy que es cierto (o falso) que ma˜nana habr´a una
batalla naval?
La duraci´on del presente
Ahora, hoy, esta semana, este a˜no...
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 6 / 27

13. L´ogica y tiempo: un poco de historia
Arist´oteles: “ma˜nana habr´a una batalla naval, o no la habr´a”
¿Puede decirse hoy que es cierto (o falso) que ma˜nana habr´a una
batalla naval?
La duraci´on del presente
Ahora, hoy, esta semana, este a˜no...
Incipit y desinit: el principio y el fin
Empezar a ser, empezar a dejar de ser, dejar de empezar a ser...
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 6 / 27

14. L´ogica y tiempo: un poco de historia
Arist´oteles: “ma˜nana habr´a una batalla naval, o no la habr´a”
¿Puede decirse hoy que es cierto (o falso) que ma˜nana habr´a una
batalla naval?
La duraci´on del presente
Ahora, hoy, esta semana, este a˜no...
Incipit y desinit: el principio y el fin
Empezar a ser, empezar a dejar de ser, dejar de empezar a ser...
La edad media: tiempo, l´ogica y teolog´ıa
Libre albedr´ıo y providencia divina
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 6 / 27

15. Manual de supervivencia l´ogica
Repasando conceptos b´asicos:
Sintaxis: el lenguaje formal
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 7 / 27

16. Manual de supervivencia l´ogica
Repasando conceptos b´asicos:
Sintaxis: el lenguaje formal
Sem´antica: la representaci´on de la realidad
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 7 / 27

17. Manual de supervivencia l´ogica
Repasando conceptos b´asicos:
Sintaxis: el lenguaje formal
Sem´antica: la representaci´on de la realidad
Valuaci´on: ¿qu´e es cierto y qu´e no lo es?
p, ¬q,
r ∧ s, ...
Realidad
(modelo)Prop. → {0, 1}
(falso, cierto)
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 7 / 27

18. Manual de supervivencia l´ogica
Repasando conceptos b´asicos:
Sintaxis: el lenguaje formal
Sem´antica: la representaci´on de la realidad
Valuaci´on: ¿qu´e es cierto y qu´e no lo es?
p, ¬q,
r ∧ s, ...
Realidad
(modelo)Prop. → {0, 1}
(falso, cierto)
La l´ogica es una representaci´on de una parte de la realidad
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 7 / 27

19. L´ogica temporal b´asica: sintaxis
Operadores de la l´ogica proposicional: ¬, ∧, ∨, →, ↔
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 8 / 27

20. L´ogica temporal b´asica: sintaxis
Operadores de la l´ogica proposicional: ¬, ∧, ∨, →, ↔
Operadores propios de la l´ogica temporal:
Fα: en alg´un momento futuro se dar´a el caso que α;
Pα: en alg´un momento pasado se dio el caso que α;
Gα: en todo momento futuro se dar´a el caso que α;
Hα: en todo momento pasado se dio el caso que α.
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 8 / 27

21. L´ogica temporal b´asica: sintaxis
Operadores de la l´ogica proposicional: ¬, ∧, ∨, →, ↔
Operadores propios de la l´ogica temporal:
Fα: en alg´un momento futuro se dar´a el caso que α;
Pα: en alg´un momento pasado se dio el caso que α;
Gα: en todo momento futuro se dar´a el caso que α;
Hα: en todo momento pasado se dio el caso que α.
Los operadores temporales son interdefinibles:
Gα ≡ ¬F¬α
Hα ≡ ¬P¬α
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 8 / 27

22. L´ogica temporal b´asica: sintaxis
Dos formas de utilizar los operadores temporales:
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 9 / 27

23. L´ogica temporal b´asica: sintaxis
Dos formas de utilizar los operadores temporales:
M´etrica (unidad de tiempo y ‘distancia’ temporal):
(Unidad: d´ıa); “Ma˜nana vendr´e”: F(1)v
(Unidad: d´ıa); “Hace una semana que hice el examen”: P(7)e
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 9 / 27

24. L´ogica temporal b´asica: sintaxis
Dos formas de utilizar los operadores temporales:
M´etrica (unidad de tiempo y ‘distancia’ temporal):
(Unidad: d´ıa); “Ma˜nana vendr´e”: F(1)v
(Unidad: d´ıa); “Hace una semana que hice el examen”: P(7)e
No m´etrica (no especificamos la ‘distancia’ temporal):
“Vendr´e esta semana”: Fv
“Hice el examen hace unos d´ıas”: Pe
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 9 / 27

25. Algunos ejemplos sencillos
“Si ya le´ı el libro sobre f´ısica cu´antica (c), aprobar´e el examen de hoy
(a) y alg´un d´ıa llegar´e a ser un f´ısico importante (i).”
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 10 / 27

26. Algunos ejemplos sencillos
“Si ya le´ı el libro sobre f´ısica cu´antica (c), aprobar´e el examen de hoy
(a) y alg´un d´ıa llegar´e a ser un f´ısico importante (i).”
Pc → (a ∧ Fi)
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 10 / 27

27. Algunos ejemplos sencillos
“Si ya le´ı el libro sobre f´ısica cu´antica (c), aprobar´e el examen de hoy
(a) y alg´un d´ıa llegar´e a ser un f´ısico importante (i).”
Pc → (a ∧ Fi)
“Siempre has sido un torpe (t) y siempre lo ser´as; nunca llegar´as a ser
bailar´ın (b).”
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 10 / 27

28. Algunos ejemplos sencillos
“Si ya le´ı el libro sobre f´ısica cu´antica (c), aprobar´e el examen de hoy
(a) y alg´un d´ıa llegar´e a ser un f´ısico importante (i).”
Pc → (a ∧ Fi)
“Siempre has sido un torpe (t) y siempre lo ser´as; nunca llegar´as a ser
bailar´ın (b).”
Ht ∧ Gt ∧ ¬Fb
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 10 / 27

29. Algunos ejemplos sencillos
“Si ya le´ı el libro sobre f´ısica cu´antica (c), aprobar´e el examen de hoy
(a) y alg´un d´ıa llegar´e a ser un f´ısico importante (i).”
Pc → (a ∧ Fi)
“Siempre has sido un torpe (t) y siempre lo ser´as; nunca llegar´as a ser
bailar´ın (b).”
Ht ∧ Gt ∧ ¬Fb
“Ayer supe que ma˜nana tengo un examen de l´ogica temporal (l) y no
s´e nada del tema (n)... Si no me pongo a estudiar (e) ahora mismo,
ma˜nana suspender´e (s) y mi fracaso se recordar´a (r) por los siglos de
los siglos.”
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 10 / 27

30. Algunos ejemplos sencillos
“Si ya le´ı el libro sobre f´ısica cu´antica (c), aprobar´e el examen de hoy
(a) y alg´un d´ıa llegar´e a ser un f´ısico importante (i).”
Pc → (a ∧ Fi)
“Siempre has sido un torpe (t) y siempre lo ser´as; nunca llegar´as a ser
bailar´ın (b).”
Ht ∧ Gt ∧ ¬Fb
“Ayer supe que ma˜nana tengo un examen de l´ogica temporal (l) y no
s´e nada del tema (n)... Si no me pongo a estudiar (e) ahora mismo,
ma˜nana suspender´e (s) y mi fracaso se recordar´a (r) por los siglos de
los siglos.”
P(1)F(2)l ∧ n ∧ (¬e → F(1)s ∧ Gr)
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 10 / 27

31. L´ogica temporal b´asica: sem´antica
La sem´antica nos permite representar un ‘mundo’ o ‘situaci´on’ y
determinar cu´ando una f´ormula es verdadera.
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 11 / 27

32. L´ogica temporal b´asica: sem´antica
La sem´antica nos permite representar un ‘mundo’ o ‘situaci´on’ y
determinar cu´ando una f´ormula es verdadera.
El elemento central de la sem´antica es un modelo, que en l´ogica
temporal permite representar:
Distintos instantes de tiempo
Qu´e instantes de tiempo est´an conectados entre ellos
Qu´e f´ormulas son verdaderas en cada instante
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 11 / 27

33. L´ogica temporal b´asica: sem´antica
Estructura
Una estructura se define como un par E = (T, <).
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 12 / 27

34. L´ogica temporal b´asica: sem´antica
Estructura
Una estructura se define como un par E = (T, <).
T es un conjunto de instantes de tiempo (s, t, u, ..., t1, t2...)
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 12 / 27

35. L´ogica temporal b´asica: sem´antica
Estructura
Una estructura se define como un par E = (T, <).
T es un conjunto de instantes de tiempo (s, t, u, ..., t1, t2...)
< es una relaci´on binaria llamada relaci´on de precedencia
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 12 / 27

36. L´ogica temporal b´asica: sem´antica
Estructura
Una estructura se define como un par E = (T, <).
T es un conjunto de instantes de tiempo (s, t, u, ..., t1, t2...)
< es una relaci´on binaria llamada relaci´on de precedencia
Si un par de instantes de tiempo (s, t) pertenece a <, entonces
diremos que “s es anterior a t”
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 12 / 27

37. L´ogica temporal b´asica: sem´antica
Valuaci´on
Diferentes valuaciones para cada instante de tiempo
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 13 / 27

38. L´ogica temporal b´asica: sem´antica
Valuaci´on
Diferentes valuaciones para cada instante de tiempo
Una valuaci´on en E es un mapa V : (T → (Prop → {0, 1}))
O sea, una valuaci´on indica, para cada instante de tiempo, si una
proposici´on es verdadera o falsa.
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 13 / 27

39. L´ogica temporal b´asica: sem´antica
Modelo
Un modelo se define como M = T, <, V
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 14 / 27

40. L´ogica temporal b´asica: sem´antica
Modelo
Un modelo se define como M = T, <, V
Est´a formado por una estructura (que contiene T y <) y una
valuaci´on que determina los valores de verdad que toman las
proposiciones en cada instante de tiempo.
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 14 / 27

41. L´ogica temporal b´asica: sem´antica
Modelo
Un modelo se define como M = T, <, V
Est´a formado por una estructura (que contiene T y <) y una
valuaci´on que determina los valores de verdad que toman las
proposiciones en cada instante de tiempo.
Una estructura puede pensarse como la base o el esqueleto de un
modelo:
La estructura E determina los instantes de tiempo y la relaci´on entre
ellos.
La valuaci´on V determina el valor de las proposiciones, pero no influye
en la ‘forma’ del mundo que estamos representando.
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 14 / 27

42. L´ogica temporal b´asica: sem´antica
Para los operadores temporales, una f´ormula α es verdadera en un instante
de tiempo t de un modelo M = T, <, V , si se cumplen las condiciones
(siendo t y s dos instantes de tiempo distintos en nuestro modelo):
M, t Fα si para alg´un s tal que t < s, se cumple M, s α
M, t Pα si para alg´un s tal que s < t, se cumple M, s α
M, t Gα si para todo s tal que t < s, se cumple M, s α
M, t Hα si para todo s tal que s < t, se cumple M, s α
Estos operadores “trasladan” la f´ormula α hasta un instante de
tiempo distinto al instante en que se eval´ua la f´ormula.
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 15 / 27

43. Estructuras, relaciones y propiedades
Recuperamos la noci´on de estructura E = (T, <); o sea, la ‘forma’ de
los instantes del mundo temporal que estamos representando.
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 16 / 27

44. Estructuras, relaciones y propiedades
Recuperamos la noci´on de estructura E = (T, <); o sea, la ‘forma’ de
los instantes del mundo temporal que estamos representando.
La relaci´on < puede cumplir ciertas propiedades en funci´on de
como se relacione con los elementos del conjunto T:
Transitividad: ∀xyz((x < y) ∧ (y < z)) → (x < z)
Irreflexividad: ∀x¬(x < x)
Linealidad: ∀xy(x < y) ∨ (x = y) ∨ (y < x)
Infinitud: ∀x∃y(x < y) ∧ (x = y)
L´ımite superior: ∃x∀y(y < x) ∨ (y = x)
· · · · · ·
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 16 / 27

45. Tiempo, propiedades y f´ormulas
Diferentes im´agenes del tiempo: lineal, c´ıclico, ramificado...
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 17 / 27

46. Tiempo, propiedades y f´ormulas
Diferentes im´agenes del tiempo: lineal, c´ıclico, ramificado...
La forma y el comportamiento de los flujos del tiempo pueden
cumplir algunas de estas propiedades.
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 17 / 27

47. Tiempo, propiedades y f´ormulas
Diferentes im´agenes del tiempo: lineal, c´ıclico, ramificado...
La forma y el comportamiento de los flujos del tiempo pueden
cumplir algunas de estas propiedades.
Algunas (no todas) de estas propiedades se pueden expresar mediante
f´ormulas de la l´ogica temporal:
Transitividad ∀xyz((x < y) ∧ (y < z)) → (x < z) FFα → Fα
Futuro lineal ∀xy(x < y) ∨ (x = y) ∨ (y < x) FPα → (Pα ∨ α ∨ Fα)
Futuro infinito ∀x∃y(x < y) ∧ (x = y) Gα → Fα
Densidad ∀xy(x < y) → ∃z((x < z) ∧ (z < y)) Fα → FFα
· · · · · · · · ·
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 17 / 27

48. L´ogica temporal y flujos del tiempo
Se pueden “dise˜nar” sistemas de l´ogica temporal que determinen,
mediante f´ormulas del lenguaje, la forma y el comportamiento del
flujo del tiempo que se quiera representar.
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 18 / 27

49. L´ogica temporal y flujos del tiempo
Se pueden “dise˜nar” sistemas de l´ogica temporal que determinen,
mediante f´ormulas del lenguaje, la forma y el comportamiento del
flujo del tiempo que se quiera representar.
El lenguaje de la l´ogica temporal nos permite hablar sobre el flujo del
tiempo, y viceversa: una forma del tiempo determinada har´a v´alidas
unas f´ormulas determinadas en nuestro sistema l´ogico.
Veamos algunos ejemplos...
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 18 / 27

50. Flujo de tiempo lineal
t0 t1 t2
(...)
tn tn+1
(...)
Propiedad F´ormula
Transitiva ∀xyz((x < y) ∧ (y < z) → (x < z)) FFα → Fα
Irreflexiva ∀x(¬(x < x)) · · ·
Lineal ∀xy((x < y) ∨ (x = y) ∨ (y < x)) FPα → (Pα ∨ α ∨ Fα)
PFα → (Pα ∨ α ∨ Fα)
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 19 / 27

51. Flujo de tiempo c´ıclico
(...)
t1
t2 t3 t4
t5
t6tntn+1
Propiedad F´ormula
Transitiva ∀xyz((x < y) ∧ (y < z) → (x < z)) FFα → Fα
Reflexiva ∀x(x < x) · · ·
Lineal ∀xy((x < y) ∨ (x = y) ∨ (y < x)) FPα → (Pα ∨ α ∨ Fα)
PFα → (Pα ∨ α ∨ Fα)
Infinitud ∀x∃y(x < y) ∧ (x = y) Gα → Fα
Hα → Pα
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 20 / 27

52. Flujo de tiempo ramificado
(...)
t0
t1 t3
t4
t5
t6
t2
(...)
(...)
(...)
(...)
(...)
Propiedad F´ormula
Transitiva ∀xyz((x < y) ∧ (y < z) → (x < z)) FFα → Fα
Irreflexiva ∀x(¬(x < x)) · · ·
Pasado lineal ∀xy((x < y) ∨ (x = y) ∨ (y < x)) PFα → (Pα ∨ α ∨ Fα)
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 21 / 27

53. Otros flujos temporales
(...)
t1 t2 t3 t4
(...)
(...) (...)
(...)
(...)
t0
t1
t2
t3 t4
t5
t6
Aplicaciones con flujos temporales “at´ıpicos”: algoritmos, situaciones hipot´eticas...
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 22 / 27

54. Extensiones de la l´ogica temporal: since y until
Dos nuevos operadores temporales:
‘Since’: Sαβ (desde que α, es el caso que β)
‘Until’: Uαβ (hasta que α, ser´a el caso que β)
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 23 / 27

55. Extensiones de la l´ogica temporal: since y until
Dos nuevos operadores temporales:
‘Since’: Sαβ (desde que α, es el caso que β)
‘Until’: Uαβ (hasta que α, ser´a el caso que β)
Permiten establecer relaciones temporales entre proposiciones:
“Desde que cay´o el techo (t), la casa se moja (m); estar´e resfriado (r)
hasta que lo arreglemos (a)!”
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 23 / 27

56. Extensiones de la l´ogica temporal: since y until
Dos nuevos operadores temporales:
‘Since’: Sαβ (desde que α, es el caso que β)
‘Until’: Uαβ (hasta que α, ser´a el caso que β)
Permiten establecer relaciones temporales entre proposiciones:
“Desde que cay´o el techo (t), la casa se moja (m); estar´e resfriado (r)
hasta que lo arreglemos (a)!”
Stm ∧ Uar
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 23 / 27

57. Extensiones de la l´ogica temporal: intervalos de tiempo
Considerar el tiempo como intervalos en lugar de como instantes
independientes.
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 24 / 27

58. Extensiones de la l´ogica temporal: intervalos de tiempo
Considerar el tiempo como intervalos en lugar de como instantes
independientes.
Sem´antica: los instantes de tiempo del conjunto T visto
anteriormente sirven para formar intervalos, de forma que:
El intervalo de tiempo [s, t] est´a compuesto por todos los instantes de
tiempo u tales que s ≤ u ≤ t.
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 24 / 27

59. Extensiones de la l´ogica temporal: intervalos de tiempo
Considerar el tiempo como intervalos en lugar de como instantes
independientes.
Sem´antica: los instantes de tiempo del conjunto T visto
anteriormente sirven para formar intervalos, de forma que:
El intervalo de tiempo [s, t] est´a compuesto por todos los instantes de
tiempo u tales que s ≤ u ≤ t.
Sintaxis: se pueden introducir (por ejemplo) los operadores:
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 24 / 27

60. Extensiones de la l´ogica temporal: intervalos de tiempo
Considerar el tiempo como intervalos en lugar de como instantes
independientes.
Sem´antica: los instantes de tiempo del conjunto T visto
anteriormente sirven para formar intervalos, de forma que:
El intervalo de tiempo [s, t] est´a compuesto por todos los instantes de
tiempo u tales que s ≤ u ≤ t.
Sintaxis: se pueden introducir (por ejemplo) los operadores:
D α es cierto en el intervalo [s, t] si y solo si α es cierto en alg´un
instante entre s y t.
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 24 / 27

61. Extensiones de la l´ogica temporal: intervalos de tiempo
Considerar el tiempo como intervalos en lugar de como instantes
independientes.
Sem´antica: los instantes de tiempo del conjunto T visto
anteriormente sirven para formar intervalos, de forma que:
El intervalo de tiempo [s, t] est´a compuesto por todos los instantes de
tiempo u tales que s ≤ u ≤ t.
Sintaxis: se pueden introducir (por ejemplo) los operadores:
D α es cierto en el intervalo [s, t] si y solo si α es cierto en alg´un
instante entre s y t.
α ◦ β es cierto en el intervalo [s, t] si y solo si el intervalo se puede
dividir por un tercer punto u tal que s < u < t y se cumple que α es
cierto durante el intervalo [s, u] y β lo es durante el intervalo [u, t].
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 24 / 27

62. Extensiones de la l´ogica temporal: la l´ogica h´ıbrida
La l´ogica h´ıbrida permite:
Identificar los instantes de tiempo desde dentro del propio lenguaje.
Decir, con el propio lenguaje l´ogico, qu´e es cierto en un instante de
tiempo espec´ıfico.
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 25 / 27

63. Extensiones de la l´ogica temporal: la l´ogica h´ıbrida
La l´ogica h´ıbrida permite:
Identificar los instantes de tiempo desde dentro del propio lenguaje.
Decir, con el propio lenguaje l´ogico, qu´e es cierto en un instante de
tiempo espec´ıfico.
Los nominales (i, j, k...) y el operador @:
Los nominales identifican instantes de tiempo concretos.
El operador @ permite “trasladar” una proposici´on hasta ese instante.
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 25 / 27

64. Extensiones de la l´ogica temporal: la l´ogica h´ıbrida
La l´ogica h´ıbrida permite:
Identificar los instantes de tiempo desde dentro del propio lenguaje.
Decir, con el propio lenguaje l´ogico, qu´e es cierto en un instante de
tiempo espec´ıfico.
Los nominales (i, j, k...) y el operador @:
Los nominales identifican instantes de tiempo concretos.
El operador @ permite “trasladar” una proposici´on hasta ese instante.
“El d´ıa 24 de junio (j) es San Juan (s), y el 24 de diciembre (d) es
Nochebuena (b)”
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 25 / 27

65. Extensiones de la l´ogica temporal: la l´ogica h´ıbrida
La l´ogica h´ıbrida permite:
Identificar los instantes de tiempo desde dentro del propio lenguaje.
Decir, con el propio lenguaje l´ogico, qu´e es cierto en un instante de
tiempo espec´ıfico.
Los nominales (i, j, k...) y el operador @:
Los nominales identifican instantes de tiempo concretos.
El operador @ permite “trasladar” una proposici´on hasta ese instante.
“El d´ıa 24 de junio (j) es San Juan (s), y el 24 de diciembre (d) es
Nochebuena (b)”
@j s ∧ @d b
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 25 / 27

66. Extensiones de la l´ogica temporal: la l´ogica h´ıbrida
La l´ogica h´ıbrida permite:
Identificar los instantes de tiempo desde dentro del propio lenguaje.
Decir, con el propio lenguaje l´ogico, qu´e es cierto en un instante de
tiempo espec´ıfico.
Los nominales (i, j, k...) y el operador @:
Los nominales identifican instantes de tiempo concretos.
El operador @ permite “trasladar” una proposici´on hasta ese instante.
“El d´ıa 24 de junio (j) es San Juan (s), y el 24 de diciembre (d) es
Nochebuena (b)”
@j s ∧ @d b
La l´ogica h´ıbrida permite formalizar proposiciones sobre instantes de
tiempo espec´ıficos, cosa que los operadores convencionales F, G, P y
H no permiten.
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 25 / 27

67. Como dir´ıa Leibniz... Recapitulemus!
La l´ogica temporal ofrece:
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 26 / 27

68. Como dir´ıa Leibniz... Recapitulemus!
La l´ogica temporal ofrece:
Mayor expresividad: podemos formalizar razonamientos que involucran
el tiempo.
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 26 / 27

69. Como dir´ıa Leibniz... Recapitulemus!
La l´ogica temporal ofrece:
Mayor expresividad: podemos formalizar razonamientos que involucran
el tiempo.
Modelos que permiten representar determinados flujos del tiempo en
los que enmarcar nuestro razonamiento.
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 26 / 27

70. Como dir´ıa Leibniz... Recapitulemus!
La l´ogica temporal ofrece:
Mayor expresividad: podemos formalizar razonamientos que involucran
el tiempo.
Modelos que permiten representar determinados flujos del tiempo en
los que enmarcar nuestro razonamiento.
Extensiones:
Nuevos operadores
Intervalos de tiempo vs. instantes
Identificar instantes espec´ıficos
· · ·
Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 26 / 27

71. El fin de los tiempos
¡Gracias por vuestra atenci´on!
(jcasasrom@uoc.edu)
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