Ley de senos y cosenos

1
INTRODUCCIÓN
LEY DE SENOS Y COSENOS
LEY DE SENOS LEY DE COSENOS
PROBLEMA 1b
PROBLEMA 1a
PROBLEMA 2a
PROBLEMA 2b PROBLEMA 4b
PROBLEMA 4a
PROBLEMA 3b
PROBLEMA 3a
RESUME L. SENOS RESUMEN L. COSENOS
Estándar 19
TERMINAR
PANTALLA
COMPLETA
PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved

2
Estándar 19:
Los estudiantes usan funciones
trigonometricas para resolver un
triángulo rectángulo con un lado
desconocido dados un ángulo y la
longitud de un lado.

3
55°
64° 61°
110°
21°
49°
Triángulo
Rectángulo
Triángulo
Acutángulo
Triángulo
Obtusángulo
Clasificación de triángulos por sus ángulos:

4
Estándar 19
o
u
i
C
B
A
Tan C=
i
o
Tan C=
Lado adyacente
Lado opuesto
TANGENTE
Sen C=
i
u
Sen C=
Hipotenusa
Lado opuesto
SENO
Cos C=
o
u
Cos C=
Hipotenusa
COSENO
Lado adyacente
Para triángulos
rectangulos
tenemos…

5
? ?
Estándar 19
¿Cómo resolver este tipo?
… con la Ley De Senos Y Ley De Cosenos.

6
=
C
B
A
b
ac
a b
Sen A Sen B
LEY DE SENOS Estándar 19

7
=
C
B
A
b
ac
a c
Sen A Sen C

8
=
C
B
A
b
ac
c b
Sen C Sen B

9
Sen A Sen B
a b
=
C
B
A
b
ac
LEY DE SENOS
Sen C
c
=
Estándar 19

10
m A = 67°, a=14, b=9
C
B
A
b=9
a=14c
67°
RESOLVER: Sen A
Sen 67°
Sen B
Sen B
a
14
b
9
=
= (9)(9)
Sen 67°
Sen B
14
=(9)
.9205
Sen B
14
=(9)
Sen B= .5917
m B = Sen( )
-1
.5917
m B = 36.3°
36.3°
m C = 180°-67°-36.3°= 76.7°
76.7°
Estándar 19

11
C
B
A
b=9
a=14c
67°
36.3°
76.7°
Sen 67° Sen76.7°
14 c
=
Sen 67°c = Sen76.7°14
Sen 67° Sen76.7°14c
=
Sen 67° Sen 67°
(.9731)
(.9205)
14
c =
c = 14.79
14.79=
m A = 67°, a=14, b=9RESOLVER: Sen A
Sen 67°
Sen B
Sen B
14
b
9
=
= (9)(9)
Sen 67°
Sen B
14
=(9)
.9205
Sen B
14
=(9)
Sen B= .5918
m B = Sen( )
-1
.5918
m B = 36.3°
m C = 180°-67°-36.3°= 76.7°
a
Estándar 19

12
m A = 58°, a=11, b=8
C
B
A
b=8
a=11c
58°
RESOLVER: Sen A
Sen 58°
Sen B
Sen B
a
11
b
8
=
= (8)(8)
Sen 58°
Sen B
11
=(8)
.8480
Sen B
11
=(8)
Sen B= .6167
m B = Sen( )
-1
.6167
m B = 38°
38°
m C = 180°-58°-38°= 84°
84°
Estándar 19

13
Sen A Sen B
a b
=
C
B
A
b=8
a=11c
m A = 58°, a=11, b=8
58°
RESOLVER:
Sen 58° Sen B
11 8
=
Sen 58°
Sen B
11
=
(8)(8)
(8)
.8480
Sen B
11
=(8)
Sen B= .6167
m B = Sen( )
-1
.6167
m B = 38°
38°
m C = 180°-58°-38°= 84°
84°
Sen 58° Sen 84°
11 c
=
Sen 58°c = Sen 84°11
Sen 58° Sen 84°11c
=
Sen 58° Sen 58°
(.9945)
(.8480)
11
c =
c= 12.9
12.9=
Estándar 19

14
79°
c
C
B
A
b
a=1563°
38°
Sen 79°c = Sen 38°15
Sen 79° Sen 38°15c
=
Sen 79° Sen 79°
(.6157)
(.9816)
c
15
=
c = 9.40
9.40 =
a=15, m B = 63°, m C = 38°RESOLVER:
Sen 79°
Sen A
Sen 38°
Sen C
c
c
15
a
m A = 180°-63°-38°= 79°
=
=
Estándar 19

15
C
B
A
b
a=15c
79°
63°
38°
9.4 =
a=15, m B = 63°, m C = 38°RESOLVER:
=Sen 79°b Sen 63°15
Sen 79° Sen 63°15b
=
Sen 79° Sen 79°
(.8910)
(.9816)
15
b= b = 13.61
Sen 79°
Sen A
Sen 63°
Sen B
b
b
=
=
15
a
=13.61
Sen 79°c = Sen 38°15
Sen 79° Sen 38°15c
=
Sen 79° Sen 79°
(.6157)
(.9816)
c
15
=
c = 9.4
Sen 79°
Sen A
Sen 38°
Sen C
c
c
15
a
m A = 180°-63°-38°= 79°
=
=
Estándar 19

16
75°
c
C
B
A
b
a=1765°
40°
Sen 75°c = Sen 40°17
Sen 75° Sen 40°17c
=
Sen 75° Sen 75°
(.6428)
(.9659)
c
17
=
c = 11.31
11.31 =
a=17, m B = 65°, m C = 40°RESOLVER:
Sen 75°
Sen A
Sen 40°
Sen C
c
c
17
a
m A = 180°-65°-40°= 75°
=
=
Estándar 19

17
C
B
A
b
a=17c
75°
65°
40° Sen 75° Sen 40°
17 c
=
Sen 75°c = Sen 40°17
Sen 75° Sen 40°17c
=
Sen 75° Sen 75°
(.6428)
(.9659)
17
c =
c = 11.31
11.31 =
a=17, m B = 65°, m C = 40°RESOLVER:
Sen A Sen C
c
=
a
m A = 180°-65°-40°= 75°
=Sen 75°b Sen 65°17
Sen 75° Sen 65°17b
=
Sen 75° Sen 75°
(.9063)
(.9659)
17
b= b = 15.95
Sen 75°
Sen A
Sen 65°
Sen B
b
b
=
=
17
a
=15.95
Estándar 19

18
LEY DE SENOS
1. Dos lados conocidos y un ángulo
opuesto a alguno de ellos.
2. Dos ángulos conocidos y un lado
cualquiera
Estándar 19

CASO AMBIGUO:
LA LEY DE SENOS para resolución de triángulos, tiene un caso ambiguo;
donde dos triángulos distintos pueden ser construidos (Existen dos soluciones
posibles para el triángulo).
Dado un triángulo general ABC, las siguientes condiciones se necesitan
cumplir para tener el caso ambiguo:
a) La única información acerca de el triángulo es el ángulo A y dos de sus
lados a, y b; para los cuales el ángulo A no esta incluido, en otras palabras el
ángulo es opuesto a uno de los dos lados.
b) El ángulo A es agudo, es decir menos de 90° y más de 0°.
c) El lado a (opuesto a el ángulo A) es más corto que el lado b, o a < b.
d) El lado a (opuesto al ángulo A) es más largo que la altitud de un triángulo
rectángulo de altura a, e hipotenusa b, o a > b sin A.
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Cumpliéndose las condiciones arriba enumeradas:

A B
C
b
a
Solución 1 Solución 2
A B’
b a
C’

Aplicando Ley De Senos:
y
BCB’ es un triángulo isósceles con
bases congruentes
A B
C
b
a
A B’
b a
C’
Después conA y cada B y B’ encontrar C y C’ con la Suma De Los
Ángulos Interiores De Un Triángulo. Finalizar aplicando Ley De Senos para
encontrar AB y AB’
Si m  B + m  CBB’ = 180°
entonces m  B + m  B’ = 180°
y por ello
SinB
b

SinA
a
SinB 
bSinA
a
SenB
b

SenA
a
SenB 
bSenA
a
mB  180o
 Sen1 b SenA
a






mB  Sen1 b SenA
a





 mB  180o
 Sen1 b SenA
a






mB  Sen1 b SenA
a






‘

El siguiente es un ejemplo de la Ley De Senos con dos soluciones.
Los elementos de la figura en rojo son los datos de inicio.

Si a = b Sen A, entonces existe una solución. Un triángulo rectángulo.
Si a < b Sen A, entonces no hay solución.
Con A agudo: 0° < mA < 90°
A B
C
b
a = b Sen A
A B
C
b
a < b Sen A
Si a > b, entonces hay una solución.
A B
C
b
a

Con A obtuso o recto:
Si a = b o a < b, entonces no hay solución.
Si a > b, entonces existe una solución.
A
B
C
b
a
A B
C
b
a

28
C
B
A
b
ac
LEY DE COSENOS
CosAa =
2
+ - 2bb
2
cc
2
Estándar 19

29
C
B
A
b
ac
LEY DE COSENOS
CosBb =
2
a+ - 2a
2
cc
2
Estándar 19

30
C
B
A
b
ac
LEY DE COSENOS
Cos Cc =
2
a+ - 2a
2
bb
2
Estándar 19

31
bc+ - 2 Cos Aa =
2
b
2
c
2
ac+ - 2 CosBb =
2
a
2
c
2
a b+ - 2 CosCc =
2
a
2
b
2
C
B
A
b
ac
LEY DE COSENOS Estándar 19

32
Cos Cc =
2
a+ - 2a
2
bb
2
a=29, b=42, m C = 65°RESOLVER:
C
B
A
b=42
a=29c
65°
(29) (42)+ - 2 Cos (65°)c =
2
29
2
42
2
c =
2
(841) + (1764) - (2436) (.423)
c =
2
(2605) - (1030.43)
c =
2
1574.57
c = 39.7
39.7=
c = 39.7 c = -39.7
Estándar 19

33
Cos Cc =
2
a+ - 2a
2
bb
2
C
B
A
b=42
a=29c
65°
39.7=
Sen C
Sen 65°
c
39.7
a
29
=
= (29)(29)
Sen 65°
Sen A
39.7
=(29)
.9063
Sen A
39.7
=(29)
Sen A= .662
m A = Sen( )
-1
.662
m A = 41.5°
m B = 180°-65°- 41.5°= 73.5°
Sen A
Sen A
73.5°
41.5°
(29) (42)+ - 2 Cos (65°)c =
2
29
2
42
2
c =
2
(841) + (1764) - (2436) (.423)
c =
2
(2605) - (1030.43)
c =
2
1574.57
c = 39.7 c = 39.7 c = -39.7
a=29, b=42, m C = 65°RESOLVER: Estándar 19

34
Cos Cc =
2
a+ - 2a
2
bb
2
C
B
A
b=40
a=30c
70°
(30) (40)+ - 2 Cos (70°)c =
2
30
2
40
2
c =
2
(900) + (1600) - (2400) (.342)
c =
2
(2500) - (820.85)
c =
2
1679.15
c = 41
41=
c = 41 c = -41
Estándar 19

35
Cos Cc =
2
a+ - 2a
2
bb
2
(30) (40)+ - 2 Cos (70°)c =
2
30
2
40
2
c =
2
(900) + (1600) - (2400)(.342)
c =
2
(2500) - (820.85)
c =
2
1679.15
c =41
C
B
A
b=40
a=30c
70°
41=
c = c =41 -41
Sen C
Sen 70°
c
41
a
30
=
= (30)(30)
Sen 70°
Sen A
41
=(30)
.94
Sen A
41
=(30)
Sen A= .688
m A = Sen( )
-1
.688
m A = 43.5°
m B = 180°-70°- 43.5°= 66.5°
Sen A
Sen A
66.5°
43.5°
Estándar 19

36
a=23, b=18, c = 35RESOLVER:
+ - 235 =
2
(23)23
2
(18)18
2
C
B
A
b=18
a=23c35=
+ - 2c =
2
aa
2
bb
2
Cos C
Cos C
1225 = 853 - Cos C(828)
-853 -853
372 = Cos C-828
-828 -828
Cos C= -.4493
m C = Cos( )
-1
-.4493
m C = 116.7°
116.7°
C1225 = (529) + (324) - (828)Cos
Estándar 19
Siempre empezar
buscando el
ángulo opuesto al
lado más largo.

37
Cos Cc =
2
a+ - 2a
2
bb
2
C
B
A b=18
a=23
c35=
116.7°
=
= (18)(18)
Sen 116.7°
Sen B
35
=(18)
.8934
Sen B
35
=(18)
Sen B= .4595
m B = Sen( )
-1
.4595
m B = 27.4°
m A = 180°-116.7°-27.4°= 35.9°
Sen C
Sen 116.7°
Sen B
Sen B
b
1835
35
27.4°
35.9°
35 =
2
(23)23
2
(18)18
2
Cos C+ - 2
1225 = 853 - Cos C(828)
-853 -853
372 = Cos C-828
-828 -828
Cos C= -.4493
m C = Cos( )
-1
-.4493
m C = 116.7°
C1225 = (529) + (324) - (828)Cos
Estándar 19

38
+ - 230 =
2
(21)21
2
(16)16
2
C
B
A
b=16
a=21c30=
+ - 2c =
2
aa
2
bb
2
Cos C
Cos C
900 = 697 - Cos C(672)
-697 -697
203 = Cos C-672
-672 -672
Cos C= -.3020
m C = Cos( )
-1
-.3020
m C = 107.6°
107.6°
C900 = (441) + (256) - (672)Cos
Estándar 19
Siempre empezar
buscando el
ángulo opuesto al
lado más largo.

39
Cos Cc =
2
a+ - 2a
2
bb
2
C
B
A b=16
a=21
(21) (16)+ - 2
Cos C
30 =
2
21
2
16
2
900 = (441) + (256) - (672)
c30=
Cos C
900 = 697 - Cos C(672)
-697 -697
203 = Cos C-672
-672 -672
Cos C= -.3020
m C = Cos( )
-1
-.3020
m C = 107.6°
107.6°
=
= (16)(16)
Sen 107.6°
Sen B
30
=(16)
.9532
Sen B
30
=(16)
Sen B= .5084
m B = Sen( )
-1
.5084
m B = 30.6°
m A = 180°-107.6°-30.6°= 41.8°
Sen C
Sen 107.6°
Sen B
Sen B
b
1630
30
30.6°
41.8°
Estándar 19

40
LEY DE COSENOS
1. DOS LADOS CONOCIDOS Y EL
ÁNGULO ENTRE ELLOS
2. TRES LADOS CONOCIDOS. Siempre
tomar el lado más largo con el primer
ángulo a encontrar para evitar el caso
ambiguo descrito en la Ley De Senos.
Estándar 19

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