Cálculo de errores

Cálculo de errores
Cálculo de Errores
1 Objetivo.
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Hacer un repaso general de los tópicos aprendidos previamente sobre el Cálculo de
errores, esto implica a las variables usadas, fórmulas y procedimiento para la obtención de
datos cuantitativos en general.
Obtención de los distintos tipos de errores a partir de los datos proporcionados por
el docente de Laboratorio.
2 Fundame nto Teórico.
En las tareas usuales de experimentación se observa que las mediciones efectuadas
de la misma propiedad, bajo las mismas condiciones, poseen cierta discrepancia unos con
otros; así en la determinación del tiempo de cierto evento, como el de la caída de un objeto
a partir del reposo, los tiempos cronometrados para la altura de caída H=60 cm. pueden ser:
0,351 s; 0,348 s; 0,353 s.
En la labor cotidiana de los ingenieros se observan también hechos similares,
imaginemos que nos encontramos en una fábrica de gaseosas, en las cuales se envasa el
producto en recipientes de 1 litro, al medir los volúmenes de varios frascos, se podrán
obtener valores como: 1,06 lt; 0,970 lt; 1,10 lt; etc...
En ambos ejemplos, el valor a ser reportado debe ser uno solo. Para ello, los
científicos, ingenieros y todos los que de alguna manera están relacionados con las medidas
deben recurrir a las estadística.
Términos usados en el cálculo de errores
Valor verdadero (μ). Es la cantidad que se expresa el valor absoluto de esa magnitud. Su
determinación por medición en la generalidad de los casos es muy difícil y sólo se conocen
aproximaciones. Esto se debe a las limitaciones de los instrumentos, limitaciones en el
sujeto que efectúa la medición y algunas veces a la inaccesibilidad de la medición.
Laboratorio de Física Básica II ( FIS-102L ) Lic. René
Torrez

VALOR VERDADERO
μ
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Exacta y
precisa
Precisa e
inexacta
Inexacta e
imprecisa
1ª Serie de medidas
MAGNITUD DE LA MEDIDA
Cálculo de errores
Exactitud y precisión. La exactitud
señala el grado en que un valor
experimental (xi) o un promedio ( ) se
acerca al valor verdadero (μ).
La precisión indica el grado de
concordancia entre los valores
experimentales, es decir en cuánto se
aproximan unas a otras.
Población y muestras. Población es un conjunto de objetos reales o conceptuales y
principalmente mediciones u observaciones.
Si la población es infinita, no es posible observar todos sus valores; aún en el caso de
las poblaciones finitas, determinar todos los valores puede resultar impracticable y/o
costoso, tazón por la cual es necesario recurrir a muestras, que son porciones o partes de la
población y luego a partir de ellas inferir los resultados relativos a la población entera. Para
que estos resultados sean útiles, es necesario que la muestra sea representativa de la
población, con el propósito que la muestra sea representativa, se recurren a las llamadas
muestras aleatorias. En este punto es necesario diferenciar muestra aleatoria del muestreo
al azar, una muestra es aleatoria cuando todos los miembros de la población tienen
posibilidad de ser incluidos, mientras que el término al azar corresponde a casual y no a
aleatorio.
Tipos de errores
Errores sistemáticos. Son errores que afectan el resultado de una medida en la misma
proporción y signo (sesgo), es decir, las mediciones repetidas poseen siempre el mismo sesgo
ya sea positivo o negativo.
VALOR VERDADERO
μ Medida con
Sesgo
ositivo
Medidas con
mayor Sesgo
positivo
1ª Serie de
medidas
2ª Serie de
medidas
VALOR VERDADERO
μ
Medida con
Sesgo negativo
Medidas con
mayor Sesgo
negativo
1ª Serie de
medidas
2ª Serie de
medidas
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Cálculo de errores
Entre las causas que originan estos errores podemos citar:
a) Debido a cálculos
i) Empleo de una ecuación en su forma más simple
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Por ejemplo, para un resorte en oscilación, la constante de rigidez K se calcula por la
ecuación:
M m
æ +
ö çè
2
2
2
p
4
T
K
÷ø
=
Donde, M = Masa del cuerpo oscilante; m = masa del resorte y T = periodo.
Cuando la masa del resorte es muy pequeña comparada con la del cuerpo oscilante. Es
posible despreciar m frente a M; luego la anterior ecuación en su forma simple se escribe:
4 2
T
K = p M
2
Por una conclusión bastante obvia se infiere que los valores calculados por la última ecuación
siempre serán ligeramente inferiores a los calculados por la expresión sin simplificaciones.
ii) Uso de un valor constante equivocado.
El peso de un objeto se calcula por la ecuación:
W=m·g
Donde el valor de g varía según la distancia al centro de la Tierra. Por ejemplo, si
deseamos calcular pesos en la ciudad de La Paz, deberíamos emplear 9,775 m/s2 como el
valor de la gravedad, y no 9,81 m/s2 que es el valor al nivel del mar.
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b) Debido a los instrumentos de medida
i) Error de cero.
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Este se presenta debido a las existencia de algún defecto en el cero del instrumento,
por ejemplo, consideremos una regla, la cual por el uso excesivo sufrió desgaste…
En el ejemplo mostrado, las graduaciones son correctas, pero el desgaste en la región
del cero, hace que sistemáticamente leamos valores ligeramente mayores.
Este error es frecuente en instrumentos como: vernier, micrómetro, pipetas,
balanzas, algunos instrumentos de lectura con aguja, etc...
ii) Error de calibración
Los instrumentos pueden venir mal calibrados desde fábrica o descalibrarse por uso
excesivo y descuidado. Para el primer caso, la escala del instrumento no corresponde a los
valores correctos; para el segundo tenemos una gran variedad de situaciones: Por ejemplo,
balanzas y cronómetros que van descalibrandose poco a poco, citaremos también el caso de
las buretas, pipetas, matraces aforados, que cuando en ellas se mide volúmenes de líquidos
calientes, estos materiales al enfriarse no vuelven a su tamaño original, quedando por lo
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tanto con desca libración permanente.
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Por todo ello, es conveniente comprobar periódicamente la calidad de la escala de
cualquier instrumento.
El vernier es uno de los instrumentos de medición cuya descalibración es bastante común.
c) Debido a las características del observador
i) Error de paralaje
Al realizar medidas con una regla, si
la línea visual del observador no es
perpendicular a la escala del instrumento,
entonces se comete el error de paralaje.
En el uso de instrumentos de
medida analógicos como el amperímetro y
el voltímetro, el observador tiene la
tendencia a situarse a la izquierda o
derecha de la aguja que señala la medida.
Es también frecuente este error en la
lectura de buretas, pipetas, probetas y otros instrumentos de medida de volumen, el
observador se sitúa por encima o debajo del menisco que forma el líquido y la escala del
instrumento.
Los errores sistemáticos pueden corregirse cuantificando el monto del error, y luego
sumando o restando esta cantidad, según sea el caso, al resultado de la medida.
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Errores aleatorios o fortuitos
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Son errores que ocurren e modo aleatorio y no pueden controlarse ni conocerse con
anticipación. Las causa que originan estos errores son difíciles de descubrir, algunos de
ellos son:
 Los cambios bruscos de temperatura del ambiente, que por la dilatación o
contracción, pueden cambiar la longitud de los objetos.
 La presencia de corrientes de aire qu pueden desviar la aguja indicadora de una
balanza sensible.
 En la determinación del tiempo, es posible que el experimentados realice la lectura
con anticipación o retardo (con retraso) o prevean la posición del objeto y se
cronometre el tiempo con adelanto.
 En la lectura de las longitudes con regla u otros instrumentos por lo general las
limitaciones en el sentido de la vista, permiten realizar lecturas diferentes para la
misma longitud, por el mismo experimentador o por el grupo de experimentadores.
 El cansancio del observador luego de varias horas de trabajo, disminuyéndole su
capacidad visual y la rapidez de sus reflejos.
Los errores fortuitos afectan el resultado de una medida ya sea por exceso o defecto
indistintamente, en consecuencia, estos errores son difíciles de corregir. Sin embargo,
estos errores pueden minimizarse realizando varias medidas, ya que no en todas ellas
esperamos la presencia del mismo error.
Faltas graves o errores gruesos
Estos errores afectan grandemente el resultado de una medida y, normalmente se
deben al observador ya sea por una mala toma de datos o el uso de una ecuación equivocada.
Por ejemplo, si la masa de cierto objeto se muestra en la balanza como 8,5 g, el
experimentados puede anotar 5,8 g. Para corregir estos errores, solamente es necesario
mayor concentración en el trabajo.
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Variables correspondientes al cálculo de errores
a) Media aritmética
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Dado un conjunto de medidas u observaciones, x1, x2, ...... xn, la media aritmética se
define como;
Medición mínima
å=
= 1 + 2 + + = 1 1 ......
n
x
x x x x
n
n
i
n
Es la medición, obtenida del conjunto de mediciones realizadas, cuya magnitud es la
menor de todas.
Medición máxima
Es la medición, obtenida del conjunto de mediciones realizadas, cuya magnitud es la
mayor de todas.
Rango
Es la diferencia aritmética existente entre la medición máxima y la mínima.
Moda
Es la cifra mayormente obtenida del conjunto de mediciones realizadas.
Mediana
Es el valor intermedio existente entre las medidas de mayor y menor magnitud.
Varianza y Desviación estándar
Un conjunto de medidas, en ausencia de errores sistemáticos, se caracteriza porque
no todas son iguales, esto debido a errores aleatorios que no pueden evitarse, de manera
que dichas medidas se encuentran alrededor de la mediana ( ) con una cierta dispersión. Si
bien el valor de  reporta el valor más confiable, no nos dice nada acerca del grado de
dispersión de las medidas.
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En un conjunto de medidas x1, x2, ...., xn con media  , las siguientes operaciones (x1-
  ), (x2-  ), ....., (xn-  ) se denomina desviación de la media. Resulta natural pensar
entonces que el promedio de estas desviaciones sea una medida del grado de dispersión, son
n
embargo esto no es posible porque su suma siempre es cero, ( ) 0
= - å=
1 1
i x x . Otra alternativa
para medir el grado de dispersión es trabajar con los cuadrados de las desviaciones con
respecto al promedio, definiéndose de esta manera la varianza de la
muestra.
x -
x
( )
1
n
å=
2 1 1
i
-
=
n
s
La razón de dividir entre n-1, se debe a que solo n-1 de las n desviaciones (xi-  )
son independientes, ya que la desviación restante se calcula de la ecuación å(x - x) = 0 i .
Sin embargo, como medida de la dispersión se prefiere emplear la desviación
estándar (s), que es la raíz cuadrada de la varianza:
x -
x
( )
1
n
å=
1 1
i
-
=
n
s
La ventaja que posee la desviación estándar con respecto a la varianza para expresar
la dispersión, se debe a que posee las mismas unidades que las de promedio (o medidas).
Frecuencia
La frecuencia (Y) es el número de observaciones o medidas repetidas.
Coeficiente de dispersión
Es el cociente que existe entre la desviación estándar y la media.
Error absoluto
Es el cociente entre la desviación estándar y la raíz cuadrada del número de
mediciones hechas.
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Error relativo
El error relativo es el cociente del error absoluto (E) entre el valor medio.
Error relativo porcentual
Es el error relativo multiplicado por 100.
3 Resultados.
A continuación tenemos el cuadro con los datos provistos por el docente:
X Y
11,2 2
14,4 3
22,8 4
31,7 5
40,4 6
51,2 7
4 Procesamiento de datos.
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Presentamos los cálculos correspondientes a las medidas y errores relacionados con
el conjunto de datos previamente proporcionados.
Medición mínima
11,2
Medición máxima
51,2
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Rango
51,2 – 11,2 = 40
Moda
51,2
Mediana
(11,2 + 51,2)/2 = 31,2
Media
x x x x
= 1 + 2 + + = 1 1 ......
n
n
X/27 = 33,9
Desviación estándar
x -
x
( )
1
n
å=
1 1
i
-
n
S = 13,9
Varianza
=
x -
x
( )
1
n
å=
2 1 1
i
-
=
n
S2 = 193,7
Coeficiente de dispersión
   0,4 
Error absoluto
s
 Nº = 2,7
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å=
n
x
n
i
s
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Cálculo de errores
Error relativo
E/ = 8,0x10-2
Error porcentual
Er·100 = 8%
Regresión lineal
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Nº Xi Yi Xi·Yi Xi2 Yi2
1 11,2 2 22,4 125,4 4
2 14,4 3 43,2 207,3 9
3 22,8 4 91,2 519,8 16
4 31,7 5 158,5 1004,9 25
5 40,4 6 242,4 1632,2 36
6 51,2 7 358,4 2621,4 49
 28,6 4,5 152,7 773,7 23,2
Y = a+b·x
b = xy -
x ·
y
2 ( )2
x -
x
b = 0,12
a = y - b·x
a = 1,1
y = 1,1+0,2·x
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Regresión lineal
55
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8
X
Y
5 Conclusio nes.
Pag - 12
En un mundo cuyos pilares son las medidas y cuantificaciones, este tipo de
herramientas son de uso más que indispensable, la alta tecnología actual ha permitido que el
error presente en dichos temas se disminuya drásticamente, pero aún así debemos tomar en
cuenta que en la micro realidad nada puede ser medido con absoluta exactitud, puesto que
nuestro mundo se basa en moléculas imperceptibles, aún estamos relativamente alejados de
la maquinaria necesaria para evitar estos errores minúsculos, que en ciertos campos de la
ciencia pueden costar hasta vidas humanas, y si esta tecnología llegara a inventarse, es
seguro que estará basada en los principios estudiados previamente.
6 Comentarios, sugerencias, referencias.
Puesto que lo avanzado es parte de un medio conceptual, y no así práctico, no existen
mayores problemas en su estudio o procedimiento.
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