Cours d’analyse topologie leçon 4 - t. masrour

1. Leçon 4
Définition (densité).
Soient
un espace métrique et
vide de contient des points de .
. On dit que
est dense dans
N.B. On peut restreindre la définition aux boules ouvertes i.e. :
Propriété.
ssi tout ouvert non
.
c
est dense dans
ssi
.
Preuve.
 Si
alors ,
on a
Or
ouvert non vide ,
On a alors :
ouvert, on a
et donc
.
cqfd.
 Supposons que soit dense dans et montrons que
Soit
on sait que:
est un ouvert de
et il est non vide.
Comme est dense dans alors
ce qui veut dire que
.
cqfd.
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.
,
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2. Exemples.

 Si
 Si
,
sont denses dans .
est ouvert alors
est fermé alors

,
et
8. Fonctions continues sur des espaces
métriques.
Soient (
et
deux espaces métriques.
Définition (continuité en un point).
Soient
une function et
. On dit que
est continue en
ssi:
ou de manière équivalente :
Théorème. (Continuité sur E).
Les quatres assertions suivantes sont équivalentes :
(C1) est continue sur .
(C2) L’image inverse par de tout ouvert de
est un ouvert de (
(C3) L’image inverse par de tout fermé de
est un fermé de (
(C4)
.
.
.
Preuve.
L’idée : On démontre que (C1)
Montrons par exemples que :
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(C2) )
(C3) )
(C4) )
(C1)
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3. (C1) (C2) ]
Soit ’ un ouvert de
.
1er Cas.
Si ’
, alors
et le vide est un ouvert.
2ème Cas.
Si ’
, il existe alors un certain
tel que
et donc :
.
Or
cqfd.
Remarques.
 Si
ouvert !
est continue de
dans
’ ’ on n’a pas forcèment l’image de tout ouvert est un
Par exemples :
t.q.
, on a bien que
continue pourtant
qui est un
fermé !
Cette propriété quand elle est vérifiée par une fonction on dit qu’elle est ouverte.
 De même on n’a pas l’image de tout fermé est un fermé ! cette propriété quand elle est
vérifiée on dit que l’application est fermée.
9. Homéomorphismes et difféomorphismes
(Transfert de propriétés topologiques).
Définition.
Soient (E,d) et (E’,d’) deux espaces métriques.
est un homéomorphisme ssi :
 est continue,
 est bijective
 et
est continue sur ’.
On dit, dans ce cas que
et ’ ’ sont homéomorphes.
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4. Exercices de cours.
 Montrer que
est homéomorphe à
On peut considerer l’application :
(quand
)
Correction:
 Montrer que
est homéomorphe à
.
On peut considerer l’application
Correction:
 Montrer que la sphère
homéomorphe à
privée de ses pôles nord et sud (i.e.
.
est
Correction:
 Soient
,
,
et
( )
Montrer qu’ils sont tous homéomorphes.
Correction:
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