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目次
1. 統計学における最大のテーマ（pp.3-4）
母集団の特徴（母数）を知るための統計学
母数の情報を得るための推定・仮説検定
2. 仮説検定（pp.4-21）
仮説検定の手順
仮説検定の全体像
実際の仮説検定
様々な問題への対応方法
[練習] 1標本問題
[練習] 2標本問題
仮説検定に使うR関数まとめ](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
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- 2. 2 目次 1. 統計学における最大のテーマ（pp.3-4） 母集団の特徴（母数）を知るための統計学 母数の情報を得るための推定・仮説検定 2. 仮説検定（pp.4-21） 仮説検定の手順 仮説検定の全体像 実際の仮説検定 様々な問題への対応方法 [練習] 1標本問題 [練習] 2標本問題 仮説検定に使うR関数まとめ
- 5. 5 仮説検定の手順 I. 仮説の設定 未知の母数𝜃について，既知の値 𝜃0 から次の２つの仮説を考える． 帰無仮説 𝐻0 ∶ 𝜃 = 𝜃0 対立仮説 𝐻1 ∶ 𝜃 ≠ 𝜃0 𝜃 > 𝜃0 𝜃 < 𝜃0 帰無仮説：最終的に否定したい仮説 対立仮説：最終的に採択したい仮説 両側検定：母数 𝜃 が目標値𝜃0 と等しいか否かを調べる場合 右側検定：母数 𝜃 が目標値𝜃0 より大きいか否かを調べる場合 左側検定：母数 𝜃 が目標値𝜃0 より小さいか否かを調べる場合 両側検定 右側検定 左側検定
- 6. 6 仮説検定の手順 II. 検定統計量𝑇 の選定 検定する母数についての情報をもつ統計量の内，帰無仮説と対立仮説 の差をもっとも反映するような統計量を検定統計量𝑇 とする． 統計量：標本を要約し，母集団の母数の推測に用いられる数値． （例）標本の平均，分散，最小値，最大値 III. 有意水準α の設定 有意水準αは帰無仮説を棄却するか否かの「判断基準」になる確率値． 有意水準より低い確率の現象が起こった → 帰無仮説を棄却 有意水準より高い確率の現象が起こった → 帰無仮説を棄却しない 誤った結論を導く危険率でもあるため，小さい値が求められる． （例）α = 0.10, 0.05, 0.01
- 7. 7 仮説検定の手順 IV. 棄却域の設定 検定統計量𝑇 の確率分布（確率密度関数）を用いて， 有意水準α に対応するパーセント点𝑇𝑎 と棄却域を求める． パーセント点：棄却域と採択域の境界点 棄却域 ：パーセント点より外側の領域 採択域 ：パーセント点より内側の領域 確率密度関数 P(𝐴 ≤ 𝑇 ≤ B) = 𝐴 𝐵 𝑓 𝑇 𝑑𝑇 では，確率P＝面積 ⇒Pに，有意水準𝛼（確率）を代入 ⇒区間𝐴 − 𝐵に，パーセント点𝑇𝑎 ーその外側（∞や − ∞）を代入 ⇒方程式を解き，パーセント点𝑇𝑎 を得る 1-α 𝛼 2 𝛼 2 𝑇𝑎−𝑇𝑎 𝑓 𝑇 確率密度関数の例 両側検定の例 片側検定の例 α 1-α 𝑇𝑎 棄却域
- 8. 8 仮説検定の手順 V. 検定統計量𝑇 の実現値𝑡 の算出 データ𝑋 = 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋n から，検定統計量𝑇 の実現値𝑡 を計算する． また，確率分布を元に，実現値𝑡に対応する𝑝値も算出できる． 実現値：実際に観測された値 𝑝値 ：検定統計量𝑇 が実現値𝑡 になる確率 VI. 結論 実現値が棄却域に含まれる場合 ⇒ 帰無仮説を棄却 実現値が採択域に含まれる場合 ⇒ 帰無仮説を棄却しない 𝑇𝑎 𝑡 𝑇𝑎𝑡 帰無仮説を棄却 帰無仮説を棄却できない
- 9. 9 既知 未知 母数 𝜃 母集団 検定統計量 𝑇 𝑇 = 𝑓(𝑋|𝜃) 帰無仮説 𝐻0 𝐻0 ∶ 𝜃 = 𝜃0 Pに𝛼を，区間A-Bにパーセント点 𝑇𝛼や±∞を代入して方程式を解く 実現値 𝑡 𝑇の確率分布 の種類 自由度 𝑑𝑓 𝑇の確率分布 （𝐴以上𝐵以下の確率） P(𝐴 ≤ 𝑇 ≤ B) = 𝐴 𝐵 𝑓 𝑇 𝑑𝑇 パーセント点 𝑇𝛼 既知 データ 𝑋 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋n 有意水準 α 比較 仮説検定の全体像 𝑝値 比較 母数𝜃 = 𝜃0である母集団から，今実現値𝑡が観測された． この母集団の確率分布からその値が観測される確率が，有意水準より低ければ， 仮定である𝜃 = 𝜃0の方が誤っていると考えた方が自然である．
- 10. 10 実際の仮説検定 実際は， ① 適切な検定統計量を考える必要はなく， ② 有意水準に対応するパーセント点を手計算する必要もない． なぜなら，既に統計学の教科書に載っているから！ やることは， ① 帰無仮説と対立仮説を決めること ② 有意水準を決めること ③ 検定統計量の実現値を計算すること これくらいである． ただし，Rを使えばこれらもほぼ自動的にやってくれる．
- 11. 11 様々な問題への対応 問題の種類や検定の対象，条件によって，行うべき検定は異なる． 問題の種類 • 1標本問題（1つの母集団からの1標本に関する問題） • 2標本問題（2つの母集団からの2標本に関する問題） 検定の対象 • 母平均 • 母分散 条件 母集団に関する追加情報の有無 ⇒代表的な問題に対する検定方法を次ページにまとめた．
- 12. 12 1 問題 1標本問題 2標本問題 データ 標本データ ∶ 𝑋 = 𝑋1, 𝑋2 , ⋯ , 𝑋 𝑛 標本平均 ∶ 𝑋 不偏分散 ∶ 𝑠2 標本データ ∶ 𝑋 = 𝑋1, 𝑋2 , ⋯ , 𝑋 𝑚 , 𝑌 = 𝑌1, 𝑌2 , ⋯ , 𝑌𝑛 , 𝐷 = 𝑋1 − 𝑌1, 𝑋2 − 𝑌2, ⋯ , 𝑋 𝑘 −𝑌𝑘 標本平均 ∶ 𝑋, 𝑌 , 𝐷 不偏分散 ∶ 𝑠1 2 , 𝑠2 2 , 𝑠 𝐷 2 2 検定の対象 母平均 𝜇 母分散 𝜎2 母平均の差 母分散の比 2群に対応なし 2群対応あり 3 帰無仮説𝐻0 𝜇 = 𝜇0 𝜎2 = 𝜎0 2 𝜇1 = 𝜇2 𝜇 𝐷 = 0 𝜎1 2 = 𝜎2 2 対立仮説𝐻1 両側検定か片側検定かによって，適切な対立仮説をたてる． 4 条件 母分散 𝜎2 が既知 母分散 𝜎2 が未知 𝜎1 2 = 𝜎2 2 𝜎1 2 ≠ 𝜎2 2 検定統計量 の選定 𝑍 = 𝑋 − 𝜇 𝜎2 𝑛 𝑡 = 𝑋 − 𝜇 𝑠2 𝑛 𝜒2 = (𝑛 − 1)𝑠2 𝜎2 𝑡 = 𝑋 − 𝑌 𝑠 1 𝑚 + 1 𝑛 𝑡 = − 𝑋 − 𝑌 𝑠1 2 𝑚 + 𝑠2 2 𝑛 𝑡 = 𝐷 − 𝜇 𝐷 𝑠 𝐷 2 𝑘 𝐹 = 𝑠1 2 𝑠2 2 検定名 (分布) 𝑧 検定 (標準正規分布) 𝑡 検定 (𝑡 分布) 𝜒2 検定 (𝜒2 分布) 𝑡 検定 (𝑡 分布) Welchの検定 (𝑡 分布) 𝑡 検定 (𝑡 分布) 𝐹 検定 (𝐹 分布) 5 有意水準α 有意水準α（確率）を設定する．（例）0.05, 0.01 分布の 自由度 𝑑𝑓 𝑛 − 1 𝑛 − 1 𝑚 + 𝑛 − 2 𝑠1 2 𝑚 + 𝑠2 2 𝑛 2 𝑠1 2 𝑚 2 𝑚 − 1 + 𝑠2 2 𝑛 2 𝑛 − 1 に最も近い整数 𝑘 − 1 𝑚 − 1 𝑛 − 1 棄却域 有意水準α と自由度𝑑𝑓 から，棄却域（パーセント点）を設定する． 6 実現値 検定統計量の実現値を計算する．また，その実現値に対応する 𝑝値を計算する． 7 結論 実現値の場合はパーセント点と，𝑝値の場合は有意水準α と比較して，結論する．
- 13. 13 [練習] 例題1（1標本問題） エアコンの作動状況を調べるために，設定温度を25℃とし，7日間に わたって室内温度を計測したところ，次の結果を得た． 24.2 25.3 26.2 25.7 24.4 25.1 25.6 このエアコンが正しく動作しているかどうかを，有意水準5%で検定 してください．
- 15. 15 α df (2α) 0.1 (0.2) 0.05 (0.10) 0.025 (0.050) 0.01 (0.02) 0.005 (0.010) 1 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657 2 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 3 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 4 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 5 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 6 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 7 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 𝑡分布表（パーセント点） α : 片側検定の場合の有意水準 2α: 両側検定の場合の有意水準 𝑑𝑓: 自由度 [練習]例題1 手計算で検定
- 16. 16 [練習]例題1 Rで検定 > data <- c(24.2, 25.3, 26.2, 25.7, 24.4, 25.1, 25.6) Rを起動して，コンソールに打ち込んでみよう ① データの入力 ② t検定の実行 > t.test(data, mu=25) One Sample t-test data: data t = 0.79277, df = 6, p-value = 0.4581 alternative hypothesis: true mean is not equal to 25 95 percent confidence interval: 24.55289 25.87568 sample estimates: mean of x 25.21429 ③ 結論 𝑝 > 𝛼 より，帰無仮説を棄却できない．⇒ エアコンは正常
- 17. 17 2標本問題についての注意 対応のない2群の母平均の差を検定する𝑡検定には， いくつか前提条件が存在する． そのうちの一つが，「2つの母集団の分散が等しいこと」である． したがって，母平均の差を検定する前に，母分散の比の検定を行い， その結果から2種類の検定を選択する． 母分散が等しい ⇒ 2群の𝑡検定 母分散が等しくない ⇒ Welchの𝑡検定 母分散の比の検定
- 18. 18 [練習]例題2（2標本問題） 2つのクラスA，B（各クラス10人）で統計学のテストをしました． すると，以下の結果が得られました． クラスA： 54 55 52 48 50 38 41 40 53 52 クラスB： 67 63 50 60 61 69 43 58 36 29 2つのクラスの平均点に差があるといえますか？ 有意水準5%で検定してください．
- 19. 19 [練習]例題2 Rで検定 > class1 <- c(54, 55, 52, 48, 50, 38, 41, 40, 53, 52) > class2 <- c(67, 63, 50, 60, 61, 69, 43, 58, 36, 29) ① データの入力 > var.test(class1, class2) F test to compare two variances data: class1 and class2 F = 0.21567, num df = 9, denom df = 9, p-value = 0.03206 alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1 95 percent confidence interval: 0.05356961 0.86828987 sample estimates: ratio of variances 0.2156709 ③ 母分散の比の検定 ② まず母分散の比の検定をする必要がある 有意水準 𝛼 𝑣=0.05とする． Rを起動して，コンソールに打ち込んでみよう
- 20. 20 [練習]例題2 Rで検定 > t.test(class1, class2, var.equal = FALSE) Welch Two Sample t-test data: class1 and class2 t = -1.1191, df = 12.71, p-value = 0.2838 alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: -15.554888 4.954888 sample estimates: mean of x mean of y 48.3 53.6 ④ 母分散の比について結論 𝑝 < 𝛼 𝑣より，帰無仮説を棄却する．⇒ 2つの母分散は等しくない． ⑤ 母平均の差の検定 母分散が等しくないので，Welchの𝑡検定をおこなう． ⑥ 結論 𝑝 > 𝛼 より，帰無仮説を棄却できない．⇒ 差があるとは言えない
- 21. 21 Rの仮説検定関数まとめ 問題の種類 検定の対象 Rの関数 凡例 1標本問題 母平均 ・母分散が未知 t.test(X, mu) X：データ mu：帰無仮説 2標本問題 母平均の差 ・対応なし ・母分散が等しい t.test(X1,X2,var.equal=TRUE) X1：データ1 X2：データ2 母平均の差 ・対応なし ・母分散が等しくない t.test(X1,X2,var.equal=FALSE) 母平均の差 ・対応あり t.test(X1,X2,paired=TRUE) 母分散の比 var.test(X1,X2)