SEMOGA BERMANFAAT DAN MEMBANTU

1. 1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakag
Transformasi telah dikenal sejak lama, dimulai dari zaman babilonia, yunani, para
ahli aljabar muslim abad ke-9 sampai ke-15 dan dilanjutkan matematikawan eropa abad ke-
18 sampai dua decade pertama abad ke-19. Keberaturan dan pengulangan pola member
dorongan untuk mempelajari bagaiman dan apa yang tak berubah oleh suatu transformasi.
Transformasi geometri adalah suatu fungsi yang mengaitkan antar setiap titik di bidang
dengan suatu aturan tertentu. Pengaitan ini dapat dipandang secara aljabar atau geometri.
Sebagai ilustrasi, jika titik (x,y) dicerminkan terhadap sumbu x, maka diperoleh titik (x,-y).
secara aljabar transformasi ini ditulis T(x,y) =(x,-y) atau dalam bentuk matriks
𝑇 (
𝑥
𝑦) = (
1 0
0 −1
) (
𝑥
𝑦) = (
𝑥
−𝑦)
Masalah ini dapat diperluas untuk menentukan peta dari suatu konfigurasi geometri
berbentuk daerah tertentu oleh suatu transformasi. Transformasi geometri meliputi translasi
(pergeseran), rotasi(perputaran), refleksi(pencerminan) dan dilatasi(pembesaran). Namun,
pada makalah ini penulis mengkhususkan pada Refleksi (pencerminan). Dimana Suatu titik
atau sistem mengalami pergeseran namun tidak merubah bentuk, karena setiap titik penyusun
sistem mengalami pergeseran yang sama.
Pemindahan suatu titik atau bangun pada suatu bidang yang digunakan salahsatunya
adalah refleksi (pencerminan), dimana dalam kehidapan seharih-hari sering kita jumpai
trutama pada saat bercermin, yang menjadi pertanyaan adalah ketika bercermin apakah
bayangan kitadengankitasendiri sama jaraknya? dengan pencerminan dan menjawab
pertanyaan-pertanyaan tersebut, kita akan mengetahui pengertian dan sifat dari penceerminan
itu.
pencerminan merupakan suatu transsformasiyang memindahkan setiap titik pada
bidang dengan menggunakan sifat bayangan cermin dari titik-titik yang hendak dipindahitu.
Refleksi suatu bangun geometri adalah proses mencerminkan setiaptitik bangun geometri itu
terhadap garis tertentu. garis tertentu itu dinamakansebagai sumbu cermin atau sumbu simetri.
Jika suatu bangun geometi dicerminkan terhadap garis tertentu, makabangun bayangan
kongruen dengan bangun semula.

2. 2
B. Tujuan
1. Menentukan persamaan suatu garis sebagai peta/prapeta suatu garis oleh suatu
pencerminan
2. Menggunakan sifat pencerminan untuk menentukan persamaan suatu garis, sehingga
pencerminanpada garis itu memenuhi syarat tambahan lainnya;
3. Menganalisis kebenaran pernyataan berdasarkan sifat-sifat pencerminan.
C. Manfaat
1. Bagi mahasiswa
a. Dapat menambah wawasan/pengetahuan tentang persamaan pencerminan
b. Dapat mengetahui manfaat pencerminana dalam kehidupan sehari-hari.
2. Bagi Dosen
Dengan adanya makalah ini dosen dapat sekiranya digunakan sebagai refrensi
selanjutnya.

3. 3
BAB II
PERSAMAAN PENCERMINAN PADA GARIS
A. Definisi
Suatu pencerminan (reflexi) pada sebuah garis s adalah suatu fungsi Ms yang didefinisikan
untuk setiap titik pada bidang V sebagai berikut:
a. jika P  s maka Ms (P) = P
b. jika P s maka Ms (P) = P’ sehingga garis s adalah sumbu 'PP . Pencerminan M pada
garis s selanjutnya dilambangkan sebagai Ms. garis s disebut sumbu refleksi / sumbu
pencerminan / singkat cermin.
Persmaan pencerminan pada garis dibatasi hanya pada garis yang istimewa saja. Adapun
rumus-rumus pencerminan pada garis-garis istimewa ini diantarnya.
 Pencerminan titik A (a,b) terhadap sumbu x menghasilkan bayangan titik B (a',b')
dengan a' = a dan b' = b.
hubungan diatas dapat ditulis
Mx : A(a,b) B(a',b') = B(a, -b)
Pemetaan A(a,b) B(a',b') dapat pula ditentukan oleh persamaan matriks



















b
a
b
a
10
01
'
'
Matriks 





10
01
dinamakan matriks yang bersesuian dengan pencerminan terhadapa
sumbu X.
Gambar 1.1 Pencerminan titi A terhadap Sumbu x

4. 4
 Pencerminan titik A (a,b) terhadap sumbu y menghasilkan bayangan titik C (a',b')
dengan a' = - a dan b' = b.
hubungan diatas dapat ditulis
My : A(a,b) C(a',b') = C(-a, b)
Pemetaan A(a,b) C(a',b') dapat pula ditentukan oleh persamaan matriks


















b
a
b
a
10
01
'
'
Matriks 





10
01
dinamakan matriks yang bersesuian dengan pencerminan terhadapa
sumbu Y.
Gambar 1.2 Pencerminan titik A terhadap sumbu y
 Pencerminan titik A (a,b) terhadap garis y = x menghasilkan bayangan titik D (a',b')
dengan a' = b dan b' = a.
hubungan diatas dapat ditulis
My=x : A(a,b) D(a',b') = D(-a, b)
Pemetaan A(a,b) D(a',b') dapat pula ditentukan oleh persamaan matriks


















b
a
b
a
01
10
'
'
Matriks 





01
10
dinamakan matriks yang bersesuian dengan pencerminan terhadapa
sumbu y = x.

5. 5
Gambar 1.3 Pencerminan titik A terhadap garis y = x
 Pencerminan titik A (a,b) terhadap garis y = -x menghasilkan bayangan titik E(a',b')
dengan a' = -b dan b' = -a.
hubungan diatas dapat ditulis
My= -x : A(a,b) E(a',b') = E(-b, -a)
Pemetaan A(a,b) E(a',b') dapat pula ditentukan oleh persamaan matriks




















b
a
b
a
01
10
'
'
Matriks 







01
10
dinamakan matriks yang bersesuian dengan pencerminan terhadapa
sumbu y = -x.
Gambar 1.4 Pencerminan titik A terhadap garis y = -x
 Pencerminan titik A (a,b) terhadap titik asal menghasilkan bayangan titik F(a',b') dengan
a' = -a dan b' = -b.
hubungan diatas dapat ditulis
Mo : A(a,b) F(a',b') = F(-a, -f)
Pemetaan A(a,b) F(a',b') dapat pula ditentukan oleh persamaan matriks

6. 6




















b
a
b
a
10
01
'
'
Matriks 







10
01
dinamakan matriks yang bersesuian dengan pencerminan terhadapa
titik asal O(0,0)
Gambar 1.5 Pencerminan titik A terhadap titikasal
 Pencerminan titik A (a,b) terhadap garis x = h menghasilkan bayangan titik G(a',b')
dengan a' = 2h-a dan b' = -b.
hubungan diatas dapat ditulis
Mx=h : A(a,b) G(a',b') = G(2h-a, -b)
Pemetaan A(a,b) G(a',b') dapat pula ditentukan oleh persamaan matriks


















b
a
b
a
10
01
'
'
Matriks 





10
01
dinamakan matriks yang bersesuian dengan pencerminan terhadapa
garis x=h .
Gambar 1.6 Pencerminan titik A terhadap garis x = h

7. 7
 Pencerminan titik A (a,b) terhadap garis y = k menghasilkan bayangan titik G(a',b')
dengan a' = 2h-a dan b' = -b.
hubungan diatas dapat ditulis
My=k : A(a,b) H(a',b') = H(a,2k -b)
Pemetaan A(a,b) H(a',b') dapat pula ditentukan oleh persamaan matriks



















b
a
b
a
10
01
'
'
Matriks 





10
01
dinamakan matriks yang bersesuian dengan pencerminan terhadapa
garis y=k .
Gambar 1.7 Pencerminan titik A terhadap garis y = k
 Misalkan, titik A(a,b) dicerminkan terhadap garis x= h kemudian dilanjutkan dengan
pencerminan terhadap garis x = k
untuk mengetahui pencerminan ini, amatilah gambar berikut!

8. 8
Dari gambar, tampak bahwa:
),)(2("),2('),( bahkAbahAbaA kGarisxhGarisx
   
Dengan cara yang sama, dapat ditentukan bayangan titik A(a,b) yang dicerminkan
terhadap garis y = m, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis y = n sebagai
berikut.
)),(2,(")2,('),( bmnaAbmaAbaA nGarisymGarisxy
   
Sekarang jika titik A(a,b) dicerminkan terhadap dua garis yang berpotongan tegak lurus,
misalnya pencerminan terhadap garis x = h dilanjutkan dengan pencerminan terhadap
garis y= m. Diperoleh bayangan A'''sebagai berikut:
)2,2("),2('),( bmahAbahAbaA mGarisyhGarisx
   
B. Teorema
Dengan demikian diperoleh suatu teorema dari rumus-rumus tersebut
Misalkan Mg pencerminan pada garis g dan P(x, y)  v, apabila
a) g = {(x,y) │x = 0} maka Mg (P) = (-x, y)
b) g = {(x,y) │y = 0} maka Mg (P) = (x,- y)
c) g = {(x,y) │x = a} maka Mg (P) = (2a – x, y)
d) g = {(x,y) │y = b} maka Mg (P) = (x,2b – y)
e) g = {(x,y) │y = x} maka Mg (P) = (y, x)
f) g = {(x,y) │y = -x} maka Mg (P) = (-y, -x)
g) g = {(x,y) │y = mx} maka 










 2
2
2
2
1
)1(2
1
2)1(
)(
m
ymmx
m
myxm
PMg
C. Contoh-Contoh Dan Jawaban
1. Diketahui garis y = 2x + 2 yang dicerminkan terhadap garis y = x, tentukan bayangannya!
Jawab
Rumus dasar pencerminan terhadap garis y= x : P(x,y)  xy
P'(x',y')
x' = y  y = x' …………….. (1)
y' = x  x = y'……………... (2)
Subtitusikan (1) dan (2) ke garis y = 2x + 2 diperoleh

9. 9
x' = 2y' + 2
1
2
'
'
2''2


x
y
xy
Hasil pencerminannya adalah : 1
2
'
' 
x
y
2. Diketehui: g = {(x,y)│x = -3}
Ditanya:
a. Mg(A),Bila (2,1).
b. bila Mg(C) = (-1,7), Maka C =…
Jawab
a. Persamaan garis yang melalui A(2, 1) dan tegak lurus g adalah y = 1. B(-3,1) adalah titik
tengah "AA ,
Maka (-3,1 ) = 




 





 


2
"1
,
2
2
2
'
2
' yaxAyAyAxAxA
Jelas (-6,2) = (2 + xA',2 + yA')
(xA',yA') = (-8,1)
Jadi A' = (-8,1)
b. Persamaan garis yang melalui Mg(C) = (-1,7) dan tegak lurus g adalah y = 7. D(-3, 7)
adalah titik tengah "AA .
maka (-3,7) = 




 





 


2
7"
,
2
1
2
'
2
' yCxCyCyCxCxC
Jelas (-6,14) = (xC – 1, yC + 7)
(xC,yC) = (-5,7)
Jadi C = (-5, 7)
3. Diketahui titik A(3, -5) dicerminkan terhadap sumbu X. Tentukan koordinat bayangan titik
A ?
jawab:
Mx : A(3,-5) B(a',b')
Kita gunakanpersamaan matriks untuk menentukan x' dan y'

10. 10



















b
a
b
a
10
01
'
'









































5
3
)5)(1(3.0
)5(03.1
'
'
5
3
10
01
'
'
b
a
b
a
Jadibayangan A(3, -5) oleh pencerminan terhadap sumbu x adalah A'(3,5)
4. Diketahui g = {(x,y)│x + y = 1}
Ditanya:
a. Mg(0)
b. Mg(A) dengan A(1,2).
c. Jika P(x,x+1).
Tentukan Mg(P) = P
Jawab:
a. Dipunyai g = {(x,y)│x + y = 1}, dari x + y = 1  y = 1 – x .
gradien dari g adalah m = -1, dan gradien yang tegak lurus dengan g adalah m = 1 maka
persamaan garis h yang melalui O(0,0) dan tegak lurus g dengan m = 1adalah
y – y1 = m(x – x1)
y – 0 = 1(x – 0)
y = x
jadi h = y – x
titik potong antara g dan h adalah titik O, yaitu
y = y
1 – x = x
2x = 1
x =
2
1
Subtitusikan x =
2
1
ke persamaan y = x
diperoleh y =
2
1
.
jadi titik potongnya (
2
1
,
2
1
)

11. 11
karena (
2
1
,
2
1
) titik tengah 'OO , maka





 





 






2
'00
2
'00
2
'
,
2
'0
2
1
,
2
1 yxyoyoxox
Jelas (1,1) = (x0',y0')
(x0',y0') = (1.1)
Jadi Mg(O) = (1,1)
b. Maka persamaan garis h yang melalui titik A(1,2) dan tegak lurus g dengan m = 1 adalah
y – y1 = m(x – x1)
y – 2 = 1(x – 1)
y = x + 2 – 1
y = x + 1
Jadi h y = x + 1
Mencari perpotongan g dengan h.
y = y
1 – x = x + 1
2x = 0
x = 0
subtitusikan x = 0 ke persamaan y = 1 – x
Diperoleh y = 1
Jadi titik potongnya (0,1)
Karena (0,1) titik tengah 'OO , maka
  




 





 

2
'02
2
'01
2
'
,
2
'0
0,0
yxyoyoxox
Jelas (0,2) = (1 + x0',2 + y0')
(x0',y0') = (-1,0)
Jadi A' = (-1,0)
c. Dipunyai p = (x, x+1) dan g = {(x,y)│x + y = 1}
Karena Mg(P) = P, maka P  P(x, x + 1)
Diperoleh x + y = 1 x + y =1  X + (x + 1) = 1  x = 0
dan y = 0 + 1 =1

12. 12
Jadi Mg (P) = (0,1)
5. Diketahui titip P(-3,7) dicerminkan terhadap garis y =-x.Tetukan koordinat bayangan titik P!
Jawab




















b
a
b
a
01
10
'
'










































3
7
7.0)3)(1(
)7)1()3.(0
'
'
01
10
'
'
b
a
b
x
b
a
Jadi bayangan titik P(-3,7) dicerminkan terhadap garis y=-x adalah P'(-7,3)
6. Jika garis x - 2y – 3 = 0 dicerminkan terhadap sumbu y. maka tentukan persamaan
bayangannya!
Jawab
Garis x – 2y – 3 = 0 dicerminkan terhadap sumbu Y.


















b
a
b
a
10
01
'
'













b
a
b
a
'
'
Dengan demikian a' = - x x = - x', dan
b' = - y b = y'
Dengan mensubtitusikan x = - x' dan y' persamaan garis, maka diperoleh.
(-x') – 2(y') – 3 = 0
- x' – 2y – 3 =0
Jadi, bayangan garis x – 2y – 3 = 0 oleh pencerminan terhadap sumbu Y adalah – x – 2y – 3
= 0.
7. Tentukan bayangan parabola y = x2
+ 2x + 1 yang dicerminkan terhadap garis y = 3.
jawab
ambil sebarang titik P(a,b) pada y = x2
+ 2x + 1 sehingga b = a2
+ 2a + 1
Refleksikan titik P terhadap garis y = 3 sehingga diperoleh titik P'(a', b').
Dengan mencerminkan titik P(a, b) trhadap garis y = 3, diperoleh titik A'(a',b')

13. 13
)6,(')3.2,('),( 3
baPbaPbaP Garisy
  
Jadi, titik P'(a, 6 – b).
Perhatikan bahwa: a' = a, b' = 6 – b. Dari persamaan ini, didapat b = 6 – b'. Dengan
mensubtitusi nilai a dan b ini ke persamaan, sehinga diperoleh:
6 – b' = (a') + 2a' + 1
b' = - (a')2
– 2a' + 5
Jadi, bayangan parabola y = x2
+ 2x + 1 yang dicerminkan terhadap garisy = 3 adalah
y = - x2
– 2x + 5.
8. Persamaan peta garis x – 2y + 4 = 0 yang dicerminkan terhadap y = x adalah
jawab
x – 2y + 4 = 0 dicerminkan terhadap sumbu y = x, maka kita ubah persamaan
menjadipersamaan x = 2y – 4. kita tahu bahwa y = x matriks yang bersesuaian adalah:



















b
a
b
a
xy
'
'
01
10
Dengan demikan untuk y = x:
x' = y
y' = x
Didapat x = 2y – 4 menjadi y = 2x – 4
Jadi dapat disimpulkan hasil pencerminan adalah y – 2x + 4 = 0
9. tentukan bayangan jajar =genjang ABCD dengan titik sudut A(-2, 4), B(0, -5), C(3, 2), dan
D(1, 11) jika
a. Dicerminkan terhadap sumbu x.
b. dicerminkan terhadap sumbu y
jawab
a. Pencerminan terhadap sumbu x.





















11254
1302
10
01
'4'3'2'1
'4'3'2'1
yyyy
xxxx

14. 14
= 







11254
1302
Jadi, bayangan jajargenjang ABCD oleh pencerminan terhadap sumbu x adalah
jajargenjang A'B'C'D' dengan titik sudut A'(-2,-4), B'(0,5), C'(3, -2), dan D'(1, -11).
b. Pencerminan terhadap sumbu y




























11254
1302
11254
1302
10
01
'4'3'2'1
'4'3'2'1
yyyy
xxxx
Jadi Bayangan jajar genjang ABCD oleh pencerminan terhadap sumbu y adalah
jajargenjang A'B'C'D' dengan titik sudut A'(2,4), B'(0,-5), C'(-3, 2), dan D'(-1,11).
10. Tentukan bayangan persamaan garis y = 2x – 5 oleh translasi
Jawab :
Ambil sembarang titik pada garis y = 2x – 5, misalnya (x, y) dan titik bayangan oleh
translasi adalah (x’, y’) sehingga ditulis
Atau
x’ = x + 3 x = x’- 3 ..... (1)
y’ = y – 2 y = y’ + 2 ......(2)
Persamaan (1) dan (2) disubtitusikan pada persamaan garis semula, sehingga :
y = 2x – 5
y’ + 2 = 2 (x’- 3) – 5
y’ = 2x’ – 6 – 5 – 2
y’ = 2x’ – 13
Jadi persamaan garis bayangan y = 2x – 5 oleh translasi adalah y = 2x – 13 .

15. 15
11. Persamaan bayangan kurva y = x2
– 2x – 3 oleh rotasi [0, 180o
], kemudian dilanjutkan oleh
pencerminan terhadap garis y = -x adalah….
jawab
T1 : Matriks transformasi yang bersesuaian dengan R[0, 180 0
] adalah 







10
01
T2 : Matriks transformasi yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap garis y = - x
adalah 







01
10
T1 o T2 : (x,y) adalah:
jadi
x
y
y
x
y
x
y
x
y
x
x
y


























































"
"
01
10
"
"
01
10
10
01
"
"
y = x"
x = y"
maka
T2 o T1 : y = x2
– 2x – 3 adalah : x" = y"2
– 2y" – 3
Jadi hasil Trasformasinya adalah x = y2
– 2y – 3
12. persamaan bayangan dari lingkaran x2
+ y2
+ 4x – 6y – 3 = 0 oleh transformasi yang
barkaitan dengan matriks 





 01
10
adalah…
jawab
T = 





 01
10
: (x,y) 

























x
y
y
x
y
x
01
10
'
'
Jadi
y = x'

16. 16
x = -y'
maka T: x2
+ y2
+ 4x – 6y – 3 = 0 (-y')2
+ (x')2
– 4y' – 6x' – 3 = 0
↔ y'2
+ x'2
– 4y' – 6x' – 3 = 0
Jadi persamaan bayangannya adalah x2
+ y2
– 6x – 4y – 3 = 0
13. Diketahui g = x, y│x - 3y 1  0, dan A (2,k).
Ditanya: Tentukan k bila Mg(A) = A Jawab :
Dipunyai x – 3y +1 = 0,
Karena Mg(A) = A, maka A terletak pada g.
Nilai k dapat dicari dengan mensubstitusikan titik A ke persamaan garis g. Untuk
x = 2 maka x – 3y +1 = 0  2 - 3y = -1  3y = 3  y = 1
Jadi nilai k = 1.
BAB III

17. 17
PENUTUP
A. Rangkuman
Persmaan pencerminan pada garis dibatasi hanya pada garis yang istimewa saja. Adapun
rumus-rumus pencerminan pada garis-garis istimewa ini diantarnya.
 Pencerminan titik A (a,b) terhadap sumbu x menghasilkan bayangan titik B (a',b')
dengan a' = a dan b' = b.
hubungan diatas dapat ditulis
Mx : A(a,b) B(a',b') = B(a, -b)
 Pencerminan titik A (a,b) terhadap sumbu y menghasilkan bayangan titik C (a',b')
dengan a' = - a dan b' = b.
hubungan diatas dapat ditulis
My : A(a,b) C(a',b') = C(-a, b)
 Pencerminan titik A (a,b) terhadap garis y = x menghasilkan bayangan titik D (a',b')
dengan a' = b dan b' = a.
hubungan diatas dapat ditulis
My=x : A(a,b) D(a',b') = D(-a, b)
 Pencerminan titik A (a,b) terhadap garis y = -x menghasilkan bayangan titik E(a',b')
dengan a' = -b dan b' = -a.
hubungan diatas dapat ditulis
My= -x : A(a,b) E(a',b') = E(-b, -a)
 Pencerminan titik A (a,b) terhadap titik asal menghasilkan bayangan titik F(a',b') dengan
a' = -a dan b' = -b.
hubungan diatas dapat ditulis
Mo : A(a,b) F(a',b') = F(-a, -b)
 Pencerminan titik A (a,b) terhadap garis x = h menghasilkan bayangan titik G(a',b')
dengan a' = 2h-a dan b' = -b.
hubungan diatas dapat ditulis
 Pencerminan titik A (a,b) terhadap garis y = k menghasilkan bayangan titik G(a',b')
dengan a' = 2h-a dan b' = -b.
hubungan diatas dapat ditulis
My=k : A(a,b) H(a',b') = H(a,2k -b)

18. 18
Sehingga diperoleh teorema sebagai berikut:
a) g = {(x,y) │x = 0} maka Mg (P) = (-x, y)
b) g = {(x,y) │y = 0} maka Mg (P) = (x,- y)
c) g = {(x,y) │x = a} maka Mg (P) = (2a – x, y)
d) g = {(x,y) │y = b} maka Mg (P) = (x,2b – y)
e) g = {(x,y) │y = x} maka Mg (P) = (y, x)
f) g = {(x,y) │y = -x} maka Mg (P) = (-y, -x)
g) g = {(x,y) │y = mx} maka 










 2
2
2
2
1
)1(2
1
2)1(
)(
m
ymmx
m
myxm
PMg
B. Kesimpulan
Dalam kehidupan sehari-hari sering kita jumpai pencerminan misalnya ketika kita
bercermin dikaca maka tentu ada bayangannya. cara mencari bayangan tersebut tentu kita
menggunakan bergai macam rumus yang ada direfleksi, diantaranya Pecerminan terhadap
sumbu x, pencerminan terhadap sumbu y, pencerminan terhadap titik pusat, pencerminan
terhadap gars y = x, pencerminana terhadapgaris y = -x, pencerminana terhadap titik h ,
pencerminana terhadap titik y = k, dan pencerminan terhadap titik y = mx. Namun yang dibahas
disini adalah persamaan pencermnan pada garis tentu mencarinya dengan rumus/sifat sifat dari
pencerminan, sehinggadi peroleh teorema pencerminan terhadap garis