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「0がn個続いたあと1がn個続く」を正規表現にできるか?
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「0がn個続いたあと1がn個続く」を正規表現にできるか?
1.
「0がn個続いたあと1がn個続く」 を正規表現にできるか?
01, 0011, 000111, ..... 2013.3.28 たぬき
2.
おはなしの流れ 全ての正規表現には等価な有限オートマトンがあ る。 有限オートマトンには必要条件がある。 さっきの問題は有限オートマトンの必要条件を満た さない。よって、正規表現にはできない。
3.
有限オートマトン 有限オートマトンとは計算機のモデルである。 有限個の状態があり、入力信号によって状態間を遷移する。 ひとつの開始状態といくつかの受理状態がある。
0 1 1 状態 {A, B, C} 信号 {0, 1} A B C 開始状態 A 0 0 受理状態 {C} 受理するもの :011, 1101, 00101101, ... 受理しないもの:0, 110, 00110, ....
4.
正規表現のオートマトン変換 全ての正規表現は有限オートマトンへ変換できる。 時間が限られているので、正確な定義と証明は飛ばす。 ※証明は「計算理論の基礎 第一巻」など参照。 ここでは幾つか正規表現をオートマトンに変換してみる。
5.
正規表現→オートマトン(1) 0*1
like検索 [0,1]*010[0,1]* 1 0 1 0 0 0,1 1 1 0 0,1 0,1
6.
正規表現→オートマトン(2) 0*1*001
0,1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0,1 1 0 0 1 0 1 正規表現は必ずオートマトンに変換できる
7.
必要条件:ポンピング補題 あるルールに従っている文字列の集合Aがオートマトンで表せる とする。オートマトンの状態数をpとする。 そのとき、Aの集合に含まれる文字列のうち、長さpを超えるもの は全て、以下の条件を満たす3つの文字列片x,y,zに分解できる。 1) 各i≧0について、x(y^i)z ∈
A 2) yの長さは0より大きい 3) xyの長さはpより小さいか等しい
8.
ポンピング補題 簡易証明 状態の数pより長い任意文字列sは、必ず同一の状態を通るはず (sによる行き先はpより多いのだから)。 よって、通る遷移にループが生まれているはず。 このループがyにあたると考えると……。 【補題内容】 1) 各i≧0について、x(y^i)z
∈ A 2) yの長さは0より大きい 3) xyの長さはpより小さいか等しい
9.
背理法による証明(方針) 「任意の整数nに対し、0がn個続いた後に1がn個続く」 を正規表現にできたとしよう。 すると、これはオートマトンにできるはずだ。 オートマトンにできるなら、ポンピング補題を満たすはずだ。
10.
背理法による証明(実装1) 「任意の整数nに対し、0がn個続いた後に1がn個続く」ことを表す オートマトンの状態がp個だったとする。 ここで、0がp個続いたあと1がp個続く文字列sを考える。 sは明らかに上記条件を満たしている。 また、sの長さはpより大きい。 ポンピング補題より、sはxyzの3つの文字列に分けられ、以下を満た すはずである。 1) 各i≧0について、x(y^i)z ∈
A 2) yの長さは0より大きい 3) xyの長さはpより小さいか等しい
11.
背理法による証明(実装2) ここでyが0だけからなるとする。するとxyyzなどは0と1の数があわ ず、以下を満たさない。 1) 各i≧0について、x(y^i)z ∈
A 1だけからなるとする場合も、同様に成り立たない。 0と1の組み合わせからなる場合、yyの内部で0より前に1が現れる ようになり、成り立たない。 よって、「任意の整数nに対し、0がn個続いた後に1がn個続く」こは ポンピング補題を満たさない。 →オートマトンにできない→正規表現にできない Q.E.D
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